第４章 前期天元術與借根方的發展

第４章 前期天元術與借根方的發展

在完成對《緝古演段》的內容分析後，我們可以發現南秉吉在「借根方即天元 一法也」的態度下，以借根方模擬天元術解題的情形。此後，南秉吉所撰的算學著 作 ─ 像是《無異解》（1855）、《算學正義》（1867），或是其兄南秉哲的《海鏡細 艸解》 （1861）、其友李尚爀的《翼算》 （1868），也都有涉及借根方或天元術的相關 內容。因此，筆者在 4、5 兩章，將聚焦在借根方和天元術上，試圖還原南秉吉團 隊在這方面的算學發展。

接下來的論述裡，筆者把南秉吉團隊在借根方和天元術的算學發展，區分為兩 個時期。本章將先探討前期的發展，於下一章再進入後期的部分。前期與後期的差 異，主要為前者是在掌握借根方下解讀天元術，並視兩者具有「相同」的知識內容；

後者則在了解了天元術後，在天元術和借根方間有所取捨。然而，由於筆者掌握的 資料有限，無法明確斷定兩時期的起迄時間，故在本論文中，主要利用南秉吉、南 秉哲和李尚爀三人的著作，當作區分的標準。此外，為了對整個借根方和天元術發 展有更全面性的了解，前期之前與後期之後的情形亦是不可忽略。對此，筆者則會 在本章中概括地介紹前期之前洪正夏的《九一集》與黃胤錫的《算學本源》 ，再於 下一章的結論前介紹後期之後趙羲純的《筭學拾遺》 （1869）。

另外，中國傳入的算書在整個發展過程中，亦扮演著相當重要的角色。因此，

筆者在研究上將先介紹各時期中主要影響天元術或借根方發展的中國算書，然後再 回到朝鮮本身的著作上。分析的方式，則如同前一章對《緝古演段》的內容分析，

將完整天元術或借根方解題的過程，區分為開方前與開方法兩部分。筆者在論述中 直接稱前者為「天元術」和「借根方」 ，稱後者為「開方法」 ，以便於研究和說明。

接著，就從前期的發展談起。

延續前期之前洪正夏的《九一集》與黃胤錫的《算學本源》等著作，在前期期 間，朝鮮國內與天元術或借根方相關的算學著作，主要是李尚爀的《借根方蒙求》

（1854）和《算術管見》（1855）、南秉吉的《緝古演段》和《無異解》（1855）以

及南秉哲的《海鏡細艸解》 （1861） 。至於在天元術或借根方上影響上述著作的中國

算書，除了早已傳入韓國的《楊輝算法》和《算學啟蒙》外，還有清代傳入的《數

理精蘊》 、 《赤水遺珍》 、 《益古演段》和《測圓海鏡》 。筆者接下來將先在 4.1 中介

紹前期之前洪正夏的《九一集》與黃胤錫的《算學本源》 ，於 4.2 中緊接著介紹影

響前期發展的中國算書，再於 4.3 中移回南秉吉團隊的著作上。最終，在 4.4 中總

結前期期間借根方和天元術的發展。

4.1 前期之前的韓國算學著作

對於前期之前有關天元術或借根方的韓國算學著作，筆者在此以《九一集》與

《算學本源》作為代表。選擇這兩本著作的原因，主要是在於前者與南秉吉的關係 和後者呈現出的天元術與借根方的關係。

首先，南秉吉在 1869 年為趙羲純《筭學拾遺》所撰寫的序文中，曾提及自己 「取

《劉氏勾股術要》、洪氏《九一》、李生《筭學管見》及《翼筭》，印而布之。」

的事蹟，

雖然這篇序言為南秉吉晚期所寫，而且筆者對於《九一集》 「印而布之」

的時間亦不知曉，

但總意謂著南秉吉曾關注這本前期之前的算學著作，介紹其中 使用天元術的情形也顯得較具意義。

至於《算學本源》的部分，則因當時《數理精蘊》的傳入，並在黃胤錫「《算 學啟蒙》之天元一，《數理精蘊》之借根方，名異而實同也。」的看法下，

讓既 有《算學啟蒙》的天元術與《數理精蘊》的借根方產生有趣的「對話」 。

4.1.1 《九一集》

《九一集》的作者為洪正夏（1684~?）。根據《籌學先生案》與《籌學入格案》

的記載，洪正夏，字汝匡，南陽人。丙戌（1706）入仕後，先後擔任過訓導、執事 與教授等職位，是一位中人算學者。他的父親洪載源、祖父洪敘疇、曾祖洪仁男以 及岳父李克俊，分別擔任過籌教授壽職同樞、籌教授北部主簿、營將壽職嘉善以及 籌訓導等官職，亦表明其出身為李朝的中人階級。

洪正夏在這本《九一集》的著作中，除了〈目錄〉與〈凡例〉外，共分為九卷。

第一卷共有五門，分別是「縱橫乘除門」、「異乘同除門」、「田畝形段門」、「折 變互差門」與「商功修築門」。第二卷共有「貴賤差分門」、「差等均配門」與「貴 賤反率門」三門。第三卷共有「之分齊同門」、「物不知總門」與

「盈不足術門」三門。第四卷共有「方程正負門」、「毬隻解隱門」、「缶瓶堆垛 門」與「倉囤積粟門」四門。第五卷共有「句股互隱門」與「望海島術門」兩門。

第六、七、八卷分別為「開方各術門」的上、中、下三部分。至於第九卷則為「雜

1

引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 4。

2

此處所引序言「余嘗有《緝古濱段》、《測量圖解》、《筭學正義》等諸書之述，又取《劉氏勾 股術要》、洪氏《九一》、李生《筭學管見》及《翼筭》，印而布之。」的整句話中，依據筆者所 掌握《緝古演段》 、 《算學正義》 、 《算術管見》和《翼算》的成書年代，前三本書和後四本書可能各 自皆有先後順序。若是如此，《九一集》便可能是在《算術管見》前所印製。不過，這僅只是筆者 的猜測，尚無更明確的證據。

3

引自黃胤錫，《理藪新編》卷二十三，頁 27b~28a。

4

主要參考洪萬生，〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏 vs. 何國柱〉。

錄」。

在第四卷的「毬隻解隱門」中，針對「今有金毬一隻，重六百八十四斤，只云 厚二寸，問外高及內周各若干？」的問題，

洪正夏引進了天元術的解法，並在接 下來第六、七、八卷的「開方各術門」裡，多次使用天元術。特別是在第九卷「雜 錄」裡所附的「癸巳五月二十九日，余與劉生壽錫入館與五官司曆何國柱論筭」中，

6

當清朝的使臣阿齊圖吹捧司曆何國柱的算學「為天下第四，而其筭法充滿於腹中 矣，如君輩不可抗衡」，並主動提出「司曆之問既多，而君無一問，盍試其術？」

的情形下，洪正夏便提問：

今有璞玉一塊，形如鳥卵，內容方玉。而空之殼重二百六十五斤一十五兩五錢。

只云殼厚四寸五分，問玉方石徑各若干？

諷刺的是，何國柱竟答不出來，並表示「此術甚難，未可猝解，明日吾當解之。」，

但「其後終無解示」 。對此，洪正夏在此文中，於「原荅：玉方五寸、石徑一十四 寸」後以「天元術」與「減從開立方法」求得其解。

顯示洪正夏在掌握了當時於 中國失傳的天元術下，在處理一些算學問題時，要比「號稱」 「天下第四」的何國 柱略勝一籌。

另外， 《九一集》與中國算書，特別是《算學啟蒙》 ，有著密切的關連。川原秀 城認為「洪正夏先是改編《算學啟蒙》成為《東算抄》，然後再大幅度地修訂而成 為《九一集》」 。

洪萬生則在〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏vs. 何國 柱〉中的研究同樣也表明了兩者的相關性，

並進一步指出，在洪正夏的轉化下，

「《九一集》在內容的深度與廣度上，都遠遠地超越了《算學啟蒙》」。

像是在 前述與何國柱的互問中，便突顯出在吸收並轉化了《算學啟蒙》引進的天元術後，

洪正夏所塑造出的算學優勢。擁有如此傑出的算學內容，也難怪南秉吉會將《九一 集》「印而布之」。

4.1.2 《算學本源》

《算學本源》收入在黃胤錫所編的《理藪新編》中，為《理藪新編》二十三卷 中的最後一卷。黃胤錫，字永叟，號頤齋，自稱西溟散人、雲浦主人和越松外史，

5

引自金容雲編，《韓國科學技術史資料大系‧數學篇(2)》，頁 374。

6

參見金容雲編，《韓國科學技術史資料大系‧數學篇(2)》，頁 676~693。

7

引自金容雲編，《韓國科學技術史資料大系‧數學篇(2)》，頁 676。

8

事實上，此題也在第八卷第 15 題中出現，解法也幾乎完全相同。

9

引自洪萬生，〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏 vs. 何國柱〉，頁 67~68。

10

詳見洪萬生，〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏 vs. 何國柱〉，頁 62~68。

11

引自洪萬生，〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏 vs. 何國柱〉，頁 76。

全羅興德人。生於英祖五年（1729），

卒於正祖十五年（1791），累官至世子翊 衛司翊贊（兵曹，正六品）。著有〈湖洛學心性說〉、《理藪新編》二十三卷和《頤 齋全書》二十六卷（《頤齋遺稿》十二卷、《頤齋續稿》十四卷）。

根據《算學本源》開頭處所言：

世傳算書有所謂《算學原本》 ，乃本國人所編（鶴城朴繘所編，嘗經殷山郡守 沒後，其子斗世就正此書于崔錫鼎序之刊行） ，而攷其書或誤訛，究其法多闕 漏。今另加修潤，正之補之，遂載于此。蓋《原本》 《啟蒙》之階梯，而吾此 書又《原本》之階梯也。

可以知道，朴繘的《籌學本原》經其子朴斗世的修正勘誤後，以《算學原本》印行。

後來，黃胤錫又「另加修潤，正之補之」 ，便完成了《算學本源》 。筆者接下來將先 對朴繘與朴斗世的生平略作簡介，

再進入《算學本源》中有關天元術或借根方的 部分。

朴繘，字梧里，號子明，忠清南道大興人，本籍為慶尚南道蔚山鶴城。生於光 海君十三年（1621），卒年不詳。仁祖二十年時（1642），通過司馬試（即生員進 士試），孝宗五年（1654）文科考試以丙科及第，顯宗時曾擔任殷山縣監。

除了

《籌學本原》外，另著有《歷代帝王傳世界》。其子朴斗世（1650~1733），文才 極佳。肅宗四年（1678）撰寫《要路院夜話記》，肅宗八年（1682）增廣文科甲科 及第，肅宗二十六年（1700）勘修父親所撰的《籌學本原》而成《算學原本》，並 於肅宗二十八年（1702）編輯了《三韻通考補遺》。

至於黃胤錫編修《算學原本》而成的《算學本源》中，關於天元術或借根方的 論述內容，出現在〈天元一術〉中：

方只一段，如平方面、立方面、三乘方面、四乘方面各一段也。方率無古今新 舊之異術，只有一種法也。《算學啟蒙》之天元一，《數理精蘊》之借根方，

名異而實同也。

由於《數理精蘊》刊行於 1723 年，傳入韓國當然更是之後的事，所以文中有關「《算

12

在金容雲，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(3)》〈解題〉中，黃胤錫生卒年為 1729~1791，但 李崇寧， 《理藪新編》〈解題〉裡則為 1719~1791。

13

引自黃胤錫，《理藪新編》卷二十三，頁 1a。

14

主要參考孫梅茵，《朴繘《籌學本原》初探》與周宗奎，《黃胤錫《算學入門》探源》。

15

殷山縣為今平安道。

16

引自黃胤錫，《理藪新編》卷二十三，頁 27b~28a。

學啟蒙》之天元一，《數理精蘊》之借根方，名異而實同也。」的看法，應是出自 黃胤錫所述。至於這樣的觀點是否受到梅瑴成《赤水遺珍》中「天元一即借根方解」

的影響，則尚待查證。

在接下來有關天元術的例題中，「今有平圓、平方、立方、三乘方、四乘方，

五段共積一千三百六十三尺，只云四色方面適等而圓徑少方面二尺，問各幾何？」 、

「今有平圓徑、平方面、立方面、三乘方面、四乘方面，五段共積一萬六千空七十 七尺。只云平方面為四乘方二分之一，三乘方三分之一，立方面四分之一，而圓徑 少平方面一尺。問各幾何？」與「今有五段共積八百四十六尺半，只云密圓徑少平 方面一尺而七倍於古徑，立圓徑少立方面一尺而三倍於古徑。問各幾何？」三題的 解題內容，

從「立天元一為……」到「相消得式」的過程，

皆屬天元術的解題 方式，唯獨在天元術的籌算圖示上，夾雜了借根方的術語。像是在上述第一個問題 中，在類似 4x

＋40 x

＋160 x

＋320 x

＋320x＋128 的天元術籌算圖示上，於原為

「太」或「元」的位置上，改以借根方術語中真數的「真」、根數的「根」……等

字取代，而變成

四 乘 三 乘 立 方 平 方 根 真

（如圖 4.1）。這種掌握天元術下，視「借根方即天元 一」的情形，恰與南秉吉團隊發展的情況相反，

形成了有趣的對比。

圖 4.1

17

分別詳見黃胤錫，《理藪新編》卷二十三，頁 38a~38b、頁 42b~43b 與頁 43b~44a。

18

比較特別的是，《算學本源》在天元術解題中「寄左」改以「寄位」取代，因此，「與寄左相消得 式」亦改為「與寄位相消得式」。

19

詳見本論文 4.3。

20

引自黃胤錫，《理藪新編》卷二十三，頁 38b。

4.2 影響前期的中國算學著作

如先前所述， 《楊輝算法》 、 《算學啟蒙》 、 《數理精蘊》 、 《赤水遺珍》 、 《益古演 段》和《測圓海鏡》是前期裡影響天元術和借根方發展的中國算學著作。在開方法 的部分， 《楊輝算法》和《算學啟蒙》是《數理精蘊》傳入前的主要知識來源，而 在《數理精蘊》傳入後，則又提供了另外的方式。至於開方前的借根方與天元術，

《算學啟蒙》 、 《數理精蘊》 、 《赤水遺珍》 、 《益古演段》和《測圓海鏡》所提供的相 關知識，亦在傳入韓國後為習算者所吸收。接著，就先從《楊輝算法》 談起。

4.2.1 《楊輝算法》

《楊輝算法》為楊輝所編撰。楊輝，字謙光，南宋末年（約13世紀中葉）錢塘

（今浙江杭州）人，生平不詳。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用 算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除捷法》

二卷（1275年）與《續古摘奇算法》二卷（1275年）等書。明洪武戊午（1378年）

古杭勤德堂翻刻《乘除通變本末》、《田畝比類乘除捷法》和《續古摘奇算法》，

合稱《楊輝算法》。韓國早在高麗王朝時便有覆刻本，李朝世宗十五年（1433年）

亦再覆刻明洪武本。

《楊輝算法》在《田畝比類乘除捷法》裡提供了劉益的「正負開方術」，內容 主要是引用劉益《議古根源》中的部分內容，再加上楊輝自己撰寫的細草和算草。

朝鮮李朝時代洪大容（1731~1783）的《籌解需用》、裴相說（1759~1789）的《書 計瑣錄》和黃胤錫（1729~1791）的《算學入門》中關於開方法的內容，主要便是 源於此部分。

在《田畝比類乘除捷法》中，關於開方法的這些內容出現在下卷第 43到64題。其中，除了第53和61題只需要利用一般的乘除便可解得外，其餘皆為解 二次式與四次式的問題。解二次式的開方法有帶從開方術、益積開方術、減從開方 術、益隅術、飜積術與四因積步等方式，與幾何思維關係密切，

因此，開方的術 語皆具有幾何上的意義。例如：「帶從」是在正方形旁另加矩形，「益隅」是添加

「隅」（正方形）的情形，「益積」和「飜積」則分別是指面積增加和變為負值的 情形。至於四次式的解法，數學史家則多認定為「增乘開方法」。

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主要參考李秀卿，《二次方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》、王文珮， 《楊 輝算法探微：一個 HPM 的觀點》、錢寶琮，〈楊輝〉、郭書春，〈《詳解九章算法》提要〉與高宏 林、李小娟，〈《楊輝算法》提要〉。

22

參閱洪宜亭，《從《籌解需用》看洪大容的數學與實學思想》，頁 41~49、林肯輝，《《書計瑣 錄》之內容分析》，頁 62~65 與周宗奎，《黃胤錫《算學入門》探源》，頁 85~90。

23

參閱李秀卿，《二次方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》，頁 52~83。

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李秀卿在《二次方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》頁 81~83，對是否為「增

乘開方法」則持懷疑的態度。

另外，與《楊輝算法》同屬較早傳入韓國的中國算書，還有《算學啟蒙》 。 《算 學啟蒙》除了開方法外，並介紹了天元術的知識，它的傳入，使得韓國有機會一窺 天元術的奧妙。

4.2.2 《算學啟蒙》

《算學啟蒙》為元．朱世傑所撰。朱世傑，字漢卿，號松庭，燕山（今北京附 近）人，生卒年不詳。在元朝一統天下後，遊學於江、淮等地，因而接觸到不少南 方的算學知識。像是秦九韶的《數書九章》和楊輝的算學著作，皆讓朱世傑受益良 多。當他旅居於廣陵時，登門求教者眾多，遂於此地講授算學知識，而《算學啟蒙》

便是在教學的目的下撰寫而成的，並在大德己亥（1299 年）由趙元鎮於揚州出版。

韓國李朝金始振在〈重刊《筭學啟蒙》序〉中稱此書「簡而且備，實是筭家之摠要」 ，

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足見其普及數學知識之功效。至於朱世傑的另一本數學著作 ─《四元玉鑑》 ，

則 承繼了北方的天元術後，與南方數學成就 ─ 如秦九韶的正負開方法等 ─ 相結合 下，發展出的重要研究成果，並於大德癸卯（1303 年）亦刊於揚州。

《算學啟蒙》在內容上一開始是〈總括〉的部分，有「釋九數法」 、 「九歸除法」 、

「斤下留法」 、 「明縱橫訣」等十八項，從九九乘法到高次方程開方法皆有涉及，為 全書立論的基礎。除了〈總括〉外， 《算學啟蒙》分為上、中、下三卷。上卷有「縱 橫因法門」 、 「身外加法門」 、 「留頭乘法門」等八門，共一百一十三問，第一到五門 呈現了當時乘除捷法的成就，第六、第八門為比例問題，第七門則是處理稅務上的 問題。中卷有「田畝形段門」 、 「倉囤積粟門」 、 「雙據互換門」等七門，共七十一問，

前兩門和第六門為面積、體積的計算問題，第三、第五門處理的是有關比例的問題，

第四門是雞兔同籠和等差問題，最後一門則是利用《九章算術》粟米章的其率術和 反其率術解題。至於下卷，則有「之分齊同門」 、 「堆積還源門」 、 「盈不足術門」 、 「方 程正負門」 、 「開方釋鎖門」五門，共七十五問，第一門是關於分數的四則運算，第 二門為各類垛積問題，用以討論等差級數和二階等差級數的相關內容，第三門是關 於盈不足術，第四門面對的是線性方程組的問題，第五門則用以處理高次方程的建 立及求解。全書內容涵蓋了四則運算、比例問題、垛積、開方法、天元術等多方面 數學內容，由淺入深，體系完整，是本極佳的啟蒙讀物。

至於與天元術相關的內容，在下卷第四門的最後一問「今有直田，句弦和取七 分之四，股弦和取七分之六，二數相減餘二十二步。又股弦和取三分之一，不及句

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主要參考孔國平，《李冶朱世傑與金元數學》、鄒大海，〈《算學啟蒙》提要〉。

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引自郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，頁 1126。

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《四元玉鑑》對南秉吉團隊在後期的發展產生重要的影響，因此，筆者會在下一章中，再對此書

作介紹。

弦和八分之五一十四步，問句、股、弦各幾何？」中便出現了，

並於接下來的「開 方釋鎖門」中全力介紹天元術的解題方法，內容涵蓋了李冶的天元術和秦九韶的正 負開方法。 「開方釋鎖門」的三十四個問題中，前七問用以介紹開方法，後二十七 問則介紹天元術。前七問的開方法皆無帶縱，處理的問題雖然最高有到開三乘方的 情形，但詳細列出開方過程的部分只有在前兩問的開平方和開立方中。至於後二十 七問的天元術，相消得到的開方式則有帶縱四乘方的情形。

4.2.3 《數理精蘊》

《數理精蘊》刊行於 1723 年，是在康熙的號召下編纂而成的數學百科全書，

內容幾乎涵蓋了當時數學知識的各個面向。至於編纂此書的緣由，主要起自南懷仁 與楊光先對曆法的爭論，進而引發了康熙學習西法的決心。後來在陳厚耀「定步算 諸書以惠天下」的建議下，康熙遂於 1712 年徵召梅瑴成、明安圖等人彙編《律曆 淵源》 ，最終完成了《律曆淵源》一百卷，包括《曆象考成》四十二卷， 《數理精蘊》

五十三卷和《律呂正義》五卷。

在《數理精蘊》的五十三卷中，包含了上編五卷、下編四十卷及表四種八卷。

上編目的為「立綱明體」 ，除了在第一卷中介紹中國數學本源與悠久歷史的「數理 本原」和「周髀經解」外，還有三卷依據清宮所藏滿文、漢文本《幾何原本》修訂 的「幾何原本」與一卷關於自然數性質的「算法原本」 。

至於下編目的則為「分條 致用」 ，全編四十卷可分為首部二卷、線部八卷、面部十二卷、體部八卷和末部十 卷。首部的內容主要為度量衡、記數法與整數和分數的四則運算。線部則主要用以 說明比例、盈朒、借衰、疊借與方程。面部則有開平方和帶縱平方、句股、三角形 相關知識、割圓、測量以及各種直線形與曲線形的數學知識。體部除了開立方和帶 縱立方、直線體與曲線體的相關知識外，還有利用比重而求積或求重的〈各體權度 比例〉與〈堆垛〉 。最後的末部，則有六卷〈借根方比例〉 、一卷〈難題〉 、一卷〈對 數比例〉及兩卷〈比例規解〉 。筆者接著將介紹末部的這六卷〈借根方比例〉 。

末部這六卷〈借根方比例〉為《數理精蘊》下編卷三十一到卷三十六。首先，

在卷三十一中，一開始便先介紹何謂借根方，並說明借根、借方的差別和使用時機：

借根方者，假借根數、方數以求實數之法也。凡法必借根、借方，加減乘除，

令與未知之數比例齊等，而本數以出。大意與借衰、疊借略同，然借衰、疊借

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引自朱世傑，《算學啟蒙》卷下，頁 23~24。

29

主要參考韓琦，〈《數理精蘊》提要〉、吳文俊主編，《中國數學史大系》第七卷與林倉億，《中 國清代 1723~1820 年間的借根方與天元術》。

30

「滿文、漢文本是根據法國耶穌會士巴蒂的著作(Elemens de Geometrie)翻譯、增刪而成的。」 （引

自韓琦，〈《數理精蘊》提要〉，頁 3）。

之法，止可以御本部，而此法則線、面、體諸部皆可御之。其中有借根、借方 之不同，蓋因根者方之邊數，即所謂線；以根自乘得平方，以根自乘再乘得立 方；以根累自乘即得累次多乘方。故以線類為問者，則借根數以比之；以面類 為問者，則借平方、長方以比之；以體類為問者，則借立方或累次多乘方以比 之。

接著，再利用定位表來處理真數、根數、方數在相互乘除後的變化，即所謂「定位 法」 。最終，則介紹加、減、乘、除四則運算。藉著卷三十一整卷的內容，借根方 解題在開方前的部分，基本上皆已交待清楚。接下來，當然就得面對開方的問題。

開方的部分出現在卷三十二和卷三十三中，這兩卷分別介紹了「開諸乘方法」

與「帶縱平方」、「帶縱立方」，並於「帶縱立方」後額外附上「帶縱三乘方、四 乘方、五乘方」各兩例。即便帶縱的部分主要只有說明帶縱平方與帶縱立方的開方 法，附上的例題也僅至五乘方，不過正如「帶縱立方」處的論述所言，「即推之多 乘方，莫不皆然」。

下以卷三十三第 13 題「設如有一四乘方多二立方與七百九十 九萬零二百七十二尺相等，問每一根之數幾何？」為例，

依《數理精蘊》中的附 圖（見圖 4.2），模擬其列式運算的情形，並附上現代符號於式子下，以說明整個 開方的過程：

圖 4.2

列式情形 原術文

二

︶ ︶ 七 九 九 ０ 二 七 二 三 二 一 六 ０ ０ ０ 四 七 七 四 二 七 二

法列原積七百九十九萬零二百七十 二尺，按四乘方法作記，於二尺上定 單位，九十萬尺上定十位。其七百九 十萬尺為初商積，與二十乘四次之數 相準，卽定初商為二十尺，書於原積 九十萬尺之上。而以初商二十尺乘四 次之三百二十萬尺為一四乘方積。又

31

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 2。

32

引自《數理精蘊》下編卷三十三，頁 12。

33

引自《數理精蘊》下編卷三十三，頁 36。

34

引自《數理精蘊》下編卷三十三，頁 37。

35

引自《數理精蘊》下編卷三十三，頁 36~38。

解 x

+ 2 x

= 7990272

4774272 ]

) 20 ( 2 ) 20 [(

7990272 −

+

=

以初商二十尺自乘再乘之八千尺二 因之，得一萬六千尺，為多二立方之 共積，與四乘方積相加，得三百二十 一萬六千尺，書於原積之下，相減餘 四百七十七萬四千二百七十二尺，為 次商積。

二 四

︶ ︶ 七 九 九 ０ 二 七 二 三 二 一 六 ０ ０ ０ 四 七 七 四 二 七 二 七 九 九 ０ 二 七 二 ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０

⋅⋅

⋅⋅

=

×

× +

×

÷ [ 5 ( 20 ) 2 3 ( 20 ) ] 5 . 4774272

取 4

0 ] ) 24 ( 2 ) 24 [(

7990272 −

+

=

而以初商之二十尺乘三次，五因之，

得八十萬尺，為一四乘方廉。又以初 商之二十尺自乘，三因之，得一千二 百尺，又二因之，得二千四百尺，為 多二立方之廉，與四乘方廉相加，得 八十萬零二千四百尺為次商廉法。以 除次商積，足五倍，因取略小之數為 四尺，書於原積二尺之上，合初商共 二十四尺，乘四次得七百九十六萬二 千六百二十四尺為一四乘方積，又以 二十四尺自乘再乘之一萬三千八百 二十四尺二因之，得二萬七千六百四 十八尺，為多二立方之共積，與四乘 方積相加，得七百九十九萬零二百七 十二尺，書於原積之下，相減恰盡。

是開得二十四尺為每一根之數也。

當前三卷把借根方解題的知識內容說明完後，卷三十四、卷三十五和卷三十 六，接著分別從「線類」 、 「面類」和「體類」三個部分，舉實際應用的例子作為借 根方解題的範例。線類共有六十三個例題，與工程、貿易等各類問題相關，主要是 用一元一次方程式的形式求解。面類共有三十八個例題，與面積和勾股等問題有 關，大都是用一元二次方程式的形式來解題。體類共有四十個例題，處理的是與體 積及高次方的問題，解題上也就多會遇到解高次方方程式的情形。以體類的第 29 題「設如有一正方，又有一長方，二方面積共二十三萬六千一百九十六尺。長方之 長比正方面積多二十四尺，長方之闊比正方面積少二十尺，問二方邊、面積各幾 何？」為例，

其借根方解題過程為：

法借一根為正方每邊之數，自乘得一平方為正方之面積，則長方之長為一平方 多二十四尺，長方之闊為一平方少二十尺，長闊相乘得一三乘方多四平方少四 百八十尺為長方面積，加正方面積之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺

36

引自《數理精蘊》下編卷三十六，頁 36。

為二方之共面積，與二十三萬六千一百九十六尺相等。兩邊各加四百八十尺得 一三乘方多五平方與二十三萬六千六百七十六尺相等。乃以二十三萬六千六百 七十六尺為帶縱三乘方積，用帶縱開三乘方法算之，得二十二為一根之數，即 正方每邊之數。自乘得四百八十四尺為正方面積，加二十四尺得五百零八尺為 長方之長，減二十尺得四百六十四尺為長方之闊，長闊相乘得二十三萬五千七 百一十二尺為長方面積。兩面積相加得二十三萬六千一百九十六尺以合原數也

（此帶縱開三乘方法） 。

在「借一根為正方每邊之數」後，運用題目已知的條件，得到「一三乘方多五平方 與二十三萬六千六百七十六尺相等」 ，最後再利用卷三十三所介紹的「帶縱開三乘 方法」 ，求得「二十二為一根之數，即正方每邊之數」 。如同此例，從設未知數到開 方式求解，正是借根方解題的基本模式。

當《數理精蘊》傳入朝鮮後，借根方的知識會與朝鮮既有的天元術產生了什麼 樣的交互作用？梅瑴成《赤水遺珍》 ，如同在中國的影響，

依舊扮演著重要的角色。

39

4.2.4 《赤水遺珍》

《赤水遺珍》為清初梅瑴成（1681~1763）所著，收入《梅氏叢書輯要》 （1759）

卷六十一的附錄裡。

梅瑴成（1681~1763）字玉汝，號循齋，又號柳下居士，諡號文穆，安徽宣城 人。他是清初曆算大師梅文鼎（1633~1721）之孫，自幼便習算學，

並深得祖父 器重。像是有一次，梅瑴成在梅文鼎研究日差原理時，對其觀點「竊竊然疑之」 ， 使梅文鼎注意到發生錯誤的情形，而得以修正改進。

後來，在梅文鼎徒弟陳厚耀 的推薦下，於 1712 年被康熙皇帝召入宮中。不僅在蒙養齋裡習算，並與明安圖、

何國宗等人合力編修《律曆淵源》一百卷（含《曆象考成》四十二卷， 《數理精蘊》

五十三卷以及《律呂正義》五卷） 。此外，梅瑴成還著有《赤水遺珍》 、 《操縵巵言》，

增刪《算法統宗》及編輯《梅氏叢書輯要》 ，累官至都察院左都御史。

37

引自《數理精蘊》下編卷三十六，頁 36~37。

38

詳見林倉億，《中國清代 1723~1820 年間的借根方與天元術》，頁 62~65。

39

除了天元術和借根方的部分外，李尚爀在《算術管見》的〈弧線求弦矢〉中，並有「梅文穆公瑴 成《赤水遺珍》，載有西洋人杜德美割圜捷術及弦矢捷術，而其弦矢捷術不甚分曉，故猥述愚見，

以質於游藝君子云爾。」之述，足見《赤水遺珍》在其他數學知識上亦有所影響。

40

主要參考洪萬生，〈數學典籍的一個數學教學的讀法：以《赤水遺珍》為例〉、林倉億，《中國清 代 1723~1820 年間的借根方與天元術》與吳文俊主編，《中國數學史大系》第七卷。

41

「為了培養瑴成及其弟軒成，梅文鼎曾編有專門的數學教材，供他們學習用。」（引自吳文俊主 編，《中國數學史大系》第七卷，頁 358。）

42

參考李迪、郭世榮編，《清代著名天文數學家梅文鼎》，頁 208~212。

梅瑴成所著的這本《赤水遺珍》 ，內容主要包括了「天元一即借根方解」 、 「有 勾股積、有勾股和，求諸數」 、 「杜氏三術」及「證明三角公式」 ，

筆者在此將特就 相關的「天元一即借根方解」做介紹。

在「天元一即借根方解」中，梅瑴成一開始便指出《授時歷草》和《測圓海鏡》

裡的天元術「傳寫魯魚，算式訛舛，殊不易讀」 ，

而明代數學家唐順之和顧應祥亦 未能了解，

後來「蒙聖祖仁皇帝授以借根方法……其法神妙，誠算法之指南」，

在「竊疑天元之一術頗與相似，復取《授時歷草》觀之」後，

發覺借根方與天元 術「殆名異而實同，非徒曰似之已也」 。

接著，梅瑴成先解釋何謂「借根方法」 ：

借根方法，原名東來法，今名乃譯書者就其法而質言之也。根者綫也，面之界 也，體之楞也。凡布算先借一根為所求之物，與借衰略相似。借根而并言方者，

初入算雖只借根，但根乘根則成平方，根乘平方則成立方，以及屢乘至多乘方，

俱所必用，故名之曰借根方法也。

並舉一次、二次方程式例各一，說明「借根方」解題的過程。緊接著，再舉「 《授 時歷》立天元一求矢術」 、 《測圓海鏡》的「餘句、餘股求容圓徑」與《四元玉鑑》

裡的「三角形用弦較句總求中垂線」和「有弦與積求句、股」為例，先載其立天元 一的解題過程，再以借根方法說明，或以註解的方式夾雜於天元術的術文內，或於 原術文後另以借根方解之。

從「 《授時歷》立天元一求矢術」中借根方註解天元術的內容，我們可以清楚 了解梅瑴成「天元一即借根方解」的想法。在「立天元一為矢」後，註解為「即如

借一根為矢也」 ；在 後，註解為「是為五千八百四十四少二平方也」 。特

43

參見吳文俊主編，《中國數學史大系》第七卷，頁 360~364。

44

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 8b。

45

唐順之和顧應祥對天元術的解讀分別為「藝士著書，往往以秘其機為奇。所謂立天元一云爾，如 積求之云爾，漫不省其為何語？」和「細考《測圓海鏡》 ，如求城徑，即以二百四十為天元；半徑，

即以一百二十為天元，既知其數，何用算為？似不必立可也。」 （引自梅瑴成， 《赤水遺珍》 ，頁 8b。）

46

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 8b~9a。

47

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 9a。

48

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 9a。

49

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 9a~9b。

別是在 與 相消得到 後，註 解為「是為三千四百一十五萬二千三百三十六，與七百二十一萬八千八百三十一根 四三七五少平方三萬五千九百一十六二五少三乘方四為相等。」 ，

明顯是以借根方 裡的「兩式相等」來解釋天元術「兩式相消」的過程。以上所述，在在顯示了梅瑴 成利用所掌握的「借根方法」解讀天元術的情形。

另外，接下來的「餘句、餘股求容圓徑」 、 「三角形用弦較句總求中垂線」和「有 弦與積求句、股」亦呼應了這樣的觀點。像是「餘句、餘股求容圓徑」中，以《測 圓海鏡》的「或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之，問城徑幾 步？」一問為例，在修正原細草與註釋後，

最後再以借根方解之：

借一根為半徑，於南行步內減去半徑，得四百八十步少一根為餘股，於東行步 內減去半徑，得二百步少一根為餘句，兩數相乘，得九萬六千步少六百八十根 多一平方為城徑冪之半（存之）。又置一根自乘，倍之得二平方，亦為城徑冪 之半，與存之之數為相等，乃加減之，兩邊各減一平方、各加六百八十根，得 一平方多六百八十根與九萬六千步為相等。乃以九萬六千為實，六百八十為 縱，用帶縱平方開之，得一百二十步為一根之數，即城之半徑也。

從《數理精蘊》的〈借根方比例〉到《赤水遺珍》「天元一即借根方解」的觀 點，塑造了南秉吉團隊在前期處理天元術和借根方的主要模式，至於中國在天元術 上的兩本重要著作 ─《測圓海鏡》與《益古演段》─ 傳入韓國後，更是讓這種模 式作用其中。像是南秉吉的《無異解》和南秉哲的《海鏡細艸解》 ，便是最佳的例 子。接著，讓筆者對《測圓海鏡》與《益古演段》作些介紹。

4.2.5 《測圓海鏡》與《益古演段》

《測圓海鏡》與《益古演段》的作者是金、元數學家李冶。李冶（1192~1279），

原名李治，字仁卿，號敬齋，祖籍為真定欒城（今河北欒城） 。正大七年（1230 年），

50

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 11b。

51

《赤水遺珍》在引用《測圓海鏡》原細草的部分，有少數用字不同。不過，筆者尚未確定是《測 圓海鏡》版本的差異，或是梅瑴成的筆誤。（筆者採用《中國科學技術典籍通彙》版。）

52

引自梅瑴成，《赤水遺珍》，頁 13b~14a。

53

主要參考孔國平，《李冶朱世傑與金元數學》、《測圓海鏡導讀》、〈《測圓海鏡》提要〉與〈《益古

演段》提要〉 。

前往洛陽應試，被錄取為詞賦進士。在金朝滅亡（1234 年）後，除了曾於至元二 年（1265 年）擔任元朝的翰林學士知制誥同修國史一年外，

大多時刻都定居並講 學於元氏縣（今河北元氏縣）縣城附近的封龍山下。李冶先是在 1248 年完成了他 第一部有關天元術的著作 ─《測圓海鏡》，再於 1259 年完成了另一部天元術的著 作 ─《益古演段》。比較這兩本著作，便會發現前者較為深奧，後者則較顯「平易 近人」 。事實上，李冶也極可能就是為了普及天元術，而在《測圓海鏡》後撰寫了

《益古演段》 。

地 夕 川

巽

山 東

艮 泉 青 泛 月

北 心 朱 南 日

乾 西 金 坤 旦 天

圖 4.3 圓城圖式

《測圓海鏡》共有十二卷，卷一為全書的理論基礎，分為「圓城圖式」 、 「總率 名號」 、 「今問正數」與「識別雜紀」四個部分。首先，在「圓城圖式」中，李冶利 用直角三角形及其內切圓，加上四條平行勾、四條平行股的線段，構成內含十六個 直角三角形的圖形（如圖 4.3）。「總率名號」則為圖中除了△月山巽以外的其他十 五個直角三角形定名。例如「天之地為通弦，天之乾為通股，乾之地為通勾。」

即 指△天地乾中，線段天地稱為「通弦」 ，線段天乾稱為「通股」 ，線段乾地稱為「通 勾」 。 「今問正數」接著在△天地乾弦為六百八十、勾為三百二十、股為六百的前提 下，列出這些直角三角形的邊長、兩兩邊差和和差以及弦與勾股和、勾股差的和與 差。

最終，在「識別雜紀」裡，再從「諸雜名目」 、 「五和五較」 、 「諸弦」 、 「大小 差」 、 「諸差」 、 「諸率互見」 、 「四位相套」和「拾遺」八部分，說明每個直角三角形 及其與圓徑的關係。

在卷一說明完基本知識後，卷二「正率十四問」則以例題演示。卷二的這十四

54

「翰林學士是官銜；知制誥是官名，掌管起草以帝王名義下達的文件；同修國史是具體的工作任 務。」 （引自孔國平， 《李冶、朱世傑與金元數學》，頁 53）。

55

引自李冶，《測圓海鏡》卷一，頁 1。

56

在「總率名號」裡的十五個直角三角形中，由於△天日旦和△日山朱、△月川青和△川地夕互為

全等，故「今問正數」裡只列出十三條。

個例題屬於基本題型，解題過程中提出了十種用以計算容圓直徑的公式，其中九式 即所謂「洞淵九容」 。至於筆者所關注的天元術，則出現在第 14 問「或問出西門南 行四百八十步有樹，出北門東行兩百步見之。問、荅同前。」

中。在解題的內容 上，於「法曰：以二行步相乘為實，二行步相併為從，一步常法，得半徑。」之後，

58

即在「草曰」裡以天元術解題：

立天元一為半徑，置南行步在地，內減天元半徑得

元

為股圓差。又置乙 東行步在地，內減天元得下式

元

為勾圓差。以勾圓差增乘股圓差得 元

為半段黃方冪，即城冪之半也（寄左） 。又置天元冪以倍之得

亦為半段黃方冪，與左相消得

元

。如法開之得半徑合問。

又法識別得二行併，即大弦也。立天元一為半徑，置甲南行步加天元一得 元

為大股，又置乙東行步加天元得

元

為大勾也，勾股相乘得 元

為一個大直積，以天元除之得下式

元

為三事和也（寄 左。黃方除倍積得三事和，今以半黃方除直積亦為三事和也） 。然後併二行步，

又併入勾股共得

元

為同數，與左相消得

元

。以平方開之 得一百二十步，倍之得全徑也，合問。

至於卷三到卷十二則為「邊股一十七問」 、 「底勾一十七問」 、 「大股一十八問」、

「大勾一十八問」 、 「明叀前一十八問」 、 「明叀後一十六問」 、 「大斜四問」和「大和 八問」 、

「三事和八問」 、 「雜糅一十八問」與「之分一十四問」 。這些題目多以天 元術解，並按已知條件的不同而加以分卷。像是卷三「邊股一十七問」 ，便是處理 邊股為已知條件之一的問題。

在《測圓海鏡》成書十多年後，如前所述，李冶為了普及天元術，便撰寫了《益

57

引自李冶，《測圓海鏡》卷二，頁 11。

58

引自李冶，《測圓海鏡》卷二，頁 11。

59

引自李冶，《測圓海鏡》卷二，頁 11~14。

60

第九卷上為「大斜四問」，第九卷下為「大和八問」。

古演段》 。 《益古演段》全書分為上、中、下三卷，卷上二十二問，卷中二十問，卷 下二十二問，凡六十四問。除了第四十四問裡出現「梯田」外，其餘的問題基本上 都是與矩形（含正方形）和圓形相關。在內文當中，除了題目、答案及說明題目的 附圖外，解題的內容可分為五個部分，分別是「法」 、 「條段圖」 、 「依條段求之」 、 「義」

和「舊術」 。

「法」是以天元術解題的過程； 「條段圖」是用來幫助解題的圖形； 「依 條段求之」是指利用「條段圖」而求得開方式的過程；「義」為解釋「條段圖」；

「舊術」則為蔣周《益古集》中的解法。筆者在第三章中曾以第九問為例來介紹《益 古演段》的解題方式，此處便不贅述，請讀者自行參閱。

另外，值得一提的是， 《益古演段》和《測圓海鏡》在天元術的籌算圖示上有 明顯的差異，前者越往下次方越大，後者則恰好相反。兩種圖示比較下， 《益古演 段》裡排列籌算的方式，在最終開方的運算上較《測圓海鏡》來得方便，因而在使 用上也較為普遍。像是先前介紹的《算學啟蒙》 ，以及多本涉及天元術的算學書籍，

都依此列式。

在介紹了《楊輝算法》 、 《算學啟蒙》 、 《數理精蘊》 、 《赤水遺珍》 、 《益古演段》

和《測圓海鏡》這幾本在前期裡影響天元術和借根方發展的中國算學著作後，接著 筆者將拉回至朝鮮南秉吉團隊的算學著作。

4.3 南秉吉團隊在前期的算學著作

南秉吉團隊在前期裡有關天元術或借根方的算學著作，主要是李尚爀的《借根 方蒙求》(1854)和《算術管見》(1855)、南秉吉的《緝古演段》和《無異解》(1855) 以及南秉哲的《海鏡細艸解》(1861)。在前一章，筆者已對《緝古演段》進行內容 分析，故此處不再介紹。以下將依序介紹其他幾本算學著作。

4.3.1 《借根方蒙求》

《借根方蒙求》成書於 1854 年。全書可分為乾、坤兩卷。乾卷裡除了一篇自 序外，先是〈借根方比例〉 、 〈加法〉 、 〈減法〉 、 〈乘法〉和〈除法〉五篇介紹借根方 基本法則的短文，再來則為〈線類〉的例題示範。至於坤卷裡則包含了〈面類〉和

〈體類〉兩部分的例題示範。

根據序文所言，李尚爀利用借根方解《測圓海鏡》、《益古演段》和《授時歷 艸》裡的數學問題時，發現「無不通釋吻合」，

因而感受到借根方的重要性。特

61

並非每個題目皆有後四部分，詳見李秀卿，《二方方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教 世界為例》，頁 13~14。

62

引自《借根方蒙求》序，頁 1a。

別是在「以唐荊川、顧箬溪之巨儒，尚不能知其術焉」的情形下，

更是覺得「以 我輩不能數一二，得知唐、顧所不知，豈不大幸也哉！」

由於「其能知有是術者，

惟賴《律厤淵源》一書。」

所以當試圖要推廣「借根方」時，必得利用《律歷淵 源》中《數理精蘊》的內容。然而，又因為「原編備載各部卷帙甚大，有難家庋戶 弆，又原書過於詳核，覽者反有支離之慮。」

所以李尚爀決定不直接採用《數理 精蘊》來介紹借根方，而是「以本法算線、面、體諸部若干条，另為一部。」

亦 即另撰《借根方蒙求》。根據吳秉鴻在《李尚爀《借根方蒙求》初探》中的比對，

68

《借根方蒙求》中〈線類〉 、 〈面類〉和〈體類〉裡例題的題目，的確也幾乎全抄 自《數理經蘊》 。不過，比較特別的是，大多數的題目並非引自介紹借根方的〈借 根方比例〉 ，而是引自《數理精蘊》的其他部分，

這也呼應序中所謂「又原書過於 詳核，覽者反有支離之慮。故今以本法算線、面、體諸部若干条，另為一部。」 ，

以借根方來解各類問題，藉以突顯其重要性。

除了題目引自《數理精蘊》外， 《借根方蒙求》以借根方解題的過程，基本上 亦與《數理精蘊》相似。筆者以《借根方蒙求》 〈體類〉第16題「設如有大、小二 正方面，大方每邊為小方每邊之二倍。若以兩面積相乘，得五萬八千五百六十四尺，

問二方邊、面積各幾何？」為例，

於表4.1中與《數理精蘊》下編卷三十六裡題目 完全相同的第27題作比較：

表 4.1

《借根方蒙求》 〈體類〉第 16 題 《數理精蘊》下編卷三十六第 27 題 法借一根為小方每邊，二根為大方每

邊，一平方為小方面積，四平方為大方 面積。四三乘方為兩方面積相乘數與五 萬八千五百六十四尺相等，一三乘方與 一萬四千六百四十一尺相等。以三乘方 開之得十一尺即小方每邊。倍之，得二 十二尺為大方每邊。以小方每邊十一尺 自乘得一百二十一尺為小方面積，以大

法借一根為小方每邊之數，則大方每邊 數為二根，以一根自乘得一平方為小方 之面積，以二根自乘得四平方為大方之 面積。以一平方與四平方相乘得四三乘 方為兩方面積相乘之數，與五萬八千五 百六十四尺相等。四三乘方既與五萬八 千五百六十四尺相等，則一三乘方必與 一萬四千六百四十一尺相等。乃以一萬

63

引自《借根方蒙求》序，頁 1a。

64

引自《借根方蒙求》序，頁 1a。

65

引自《借根方蒙求》序，頁 1a。此處的《律歷淵源》，所指應為其中的《數理精蘊》。

66

引自《借根方蒙求》序，頁 1a~1b。

67

引自《借根方蒙求》序，頁 1b。

68

參見吳秉鴻，《李尚爀《借根方蒙求》初探》，頁 117~128。

69

《借根方蒙求》只有〈線類〉第 1 題、〈面類〉第 30、31、34 題、〈體類〉第 9、10、16 題的題 目是抄自《數理精蘊》的〈借根方比例〉 。

70

引自《借根方蒙求》序，頁 1a~1b。

71

引自《借根方蒙求》坤卷〈體類〉，頁 29b。

方每邊二十二尺自乘得四百八十四尺為 大方面積。

四千六百四十一尺為三乘方積，用開三 乘方法算之得十一尺為一根之數，即小 方每邊之數。倍之得二十二尺，即大方 每邊之數。以十一尺自乘得一百二十一 尺，即小方之面積。以二十二尺自乘得 四百八十四尺，即 大方之面積。兩面積 相乘得五萬八千五百六十四尺以合原數 也。

藉由上表的比較，可以明顯發現兩者在方法上完全一致， 《借根方蒙求》僅是 將《數理精蘊》的解題內容加以簡化。不過，當仔細比較兩書在其他部分的內容時，

仍可發現些許不同。

像是《借根方蒙求》乾卷和《數理精蘊》下編卷三十一對「除法」的介紹，即 便開頭「按位列數……其歸除遞減皆與常法同」的論述幾乎完全相同，

但在「其 歸除遞減皆與常法同」後， 《借根方蒙求》則額外對《數理精蘊》所未提及「不受 除」的情形加以補述：

然根、方、真數各自為紀，不可相混，故每多不受除者，則必以法寄為分母，

命以幾方幾根幾數之幾方幾根幾數。（以命分之數乘命分之數，則以分母相乘 仍為分母，以分子相乘仍為分子。）至於彼此相較之時，并以分母通之比以相 等。（以命分之數與他等數相較，也并以分母通之，則命分之數以分子為全數 而去其分母，只他等數從分母為幾倍。）

指出在相除的過程中，遇到「不受除」的情形時，可採取「以法寄為分母，命以幾 方幾根幾數之幾方幾根幾數」的方式處理。這種「法寄為分母」的「命分之數」在 乘法上為「以分母相乘仍為分母，以分子相乘仍為分子」 ，至於「彼此相較之時」，

則「并以分母通之比以相等」 。所謂「相較」 ，是指「互相比較」 ，

特別是指「在相 等關係下各項間的相互比較」 。從文末的註解可更加清楚其意思。這段註解是「以 命分之數與他等數相較，也并以分母通之，則命分之數以分子為全數而去其分母，

只他等數從分母為幾倍。」 ，若以現代符號說明，即指：在命分之數為

) x (

p

、他等

72

引自《借根方蒙求》坤卷〈體類〉，頁 29b~30a。

73

引自《數理精蘊》下編卷三十六，頁 34~35。

74

參見《數理精蘊》下編卷三十一，頁 36 與《借根方蒙求》乾卷，頁 2b~3a。差別僅在《借根方 蒙求》於註解的部分省略了兩次「真數」 。

75

引自《借根方蒙求》乾卷，頁 3a。

76

吳秉鴻誤以為「相較」為「相除」之意。（見吳秉鴻，《李尚爀《借根方蒙求》初探》，頁 62~63）

數為

的情形下（即

x ( q

) x (

p =

），可將

) x ( q

) x (

p

取分子

作為「全數」，而只 需把

^乘上

^{即可，亦即化為}

。

以《借根方蒙求》中唯一出現「命分之數」的〈體類〉第15題「設如勾股積六 尺，股弦和九尺，求勾、股、弦各幾何？」為例，

其解題過程為：

法借一根為股，九尺少一根為弦，一根之十二尺為勾（以一根股除勾股積之倍 十二尺得勾，故一根之十二尺為勾。而以一根分之，故曰「一根之」。），一 平方為股積（一根自乘） ，一平方之一百四十四尺為勾積（一根之十二尺自乘） ， 八十一尺少十八根多一平方為弦積（九尺少一根自乘）。一三乘方為股積（勾 積以一平方分之，故勾、股、弦三積俱以一平方乘之），一百四十四尺為勾積，

八十一平方少十八立方多一三乘方為弦積與一三乘方多一百四十四尺相等（勾 積、股積相併），八十一平方少十八立方與一百四十四尺相等（兩邊各減一三 乘方），以縱和立方開之得四尺，即股。勾股積倍作十二尺，以股四尺除之得 三尺為勾。

從解題過程的術文和註解可知：先在「內寄分母為一根」的情形下，

利用上述「命 分之數」的乘法規則，可以自乘得到「一平方之一百四十四尺為勾積」 ，此時所寄 分母變為一平方。因此，根據「相較」時「并以分母通之比以相等」的規則，接著 讓「勾、股、弦三積俱以一平方乘之」 。最後，再利用畢氏定理而得到「八十一平 方少十八立方多一三乘方為弦積與一三乘方多一百四十四尺相等（勾積、股積相 併）」 。

此外，面對「不受除」的情形時，還會採取「借多根」與「不除故為幾倍」的 方式，前者應習自《數理精蘊》 ，可參見 3.2.3；後者則極似《算學啟蒙》與《益古 演段》裡常用的方式。針對後者「不除故為幾倍」的方式，茲以《借根方蒙求》 〈線 類〉第 12 題「設如原有菽三斗換黍二斗，又黍四斗換稷三斗，又稷五斗換稻四斗，

又稻六斗換麥五斗。今有麥七斗，問換菽幾何？」為例，

下為其借根方解題的過 程：

77

此處李尚爀雖以「命分之數」或「他等數」等「數」的方式說明，但從接下來筆者所舉的例子中，

可知其「數」的意思實可推廣至「多項式」。

78

引自《借根方蒙求》坤卷，頁 28b。

79

引自《借根方蒙求》坤卷，頁 28b~29a。

80

根據「一根之十二尺為勾」後的註解「以一根股除勾股積之倍十二尺得勾，故一根之十二尺為勾。

而以一根分之，故曰『一根之』」與前述「以法寄為分母，命以幾方幾根幾數之幾方幾根幾數」可 知即為「內寄分母為一根」 。

81

引自李尚爀，《借根方蒙求》乾卷，頁 7a~7b。

法借一根為換菽數，二根為換黍數之三倍（以換黍二斗乘換菽一根得二根，當 以菽三斗除之而不除，故為三倍） ，半根為換稷數（當以換稷三斗乘換黍二根，

而二根原是換黍三倍之數，故不必更乘，只以黍四斗除之得半根） ，十分根之 四為換稻數（以換稻四斗乘換稷半根得二根，又以稷五斗除之得十分根之四） ， 二根為換麥數之六倍（以換麥五斗乘換稻十分根之四得二根，又當以稻六斗除 之而不除，故為六倍） ，二根與四十二斗相等（今有麥七斗亦為六倍，然後與 麥二根相等，故麥七斗加六倍得四十二斗與二根相等） ，一根必與二石一斗相 等，即換菽數。

先是在「借一根為換菽數」的情形下，根據「菽三斗換黍二斗」的已知條件，本該 得到「三分根之二為換黍數」 。但因「當以菽三斗除之而不除，故為三倍」 ，所以「二 根為換黍數之三倍」 。後來又再次因「當以稻六斗除之而不除，故為六倍」 ，得到「二 根為換麥數之六倍」 。於是最終「今有麥七斗亦為六倍，然後與麥二根相等」而得 到「二根與四十二斗相等」 。若是比較《益古演段》第 9 問「今有方田一段，內有 圓池占之，外計地三千一百六十八步。只云內、外周與實徑共和得三百三十步。問 三事各多少？」的解題步驟，

可發現與「不除故為幾倍」的方式極為相似。其「法

曰」中所謂「立天元一為池徑，以五之減倍之相和步得

太

為九个方面。」

便是在「當以九除之而不除，故為九倍」的想法下進行的。

無論是「內寄分母」 、 「借多根」或是「不除故為幾倍」 ，皆顯示李尚爀在其「借 根方，泰西算術也。本名阿爾熱八達，譯云東來法，則中國之立天元一法耳。」的 思想上，

借根方與天元術相互為用而豐富其算學知識的情形。

4.3.2 《算術管見》

李尚爀的《算術管見》成書於 1855 年，

共分為〈各等邊形拾遺〉 、 〈圓容三方 互求〉 、 〈弧線求弦矢〉和〈弦矢求弧度〉四個部分，並附有〈不分線三率法解〉 。 根據南秉吉所撰的〈 《算術管見》序〉 ：

其一以各邊形之每邊求面積及內容外切圜徑與以面積求各等邊形之每邊法，而

《數理精蘊》則止用定率比例，故以此補其闕也；其二圜內容三小方形，以圜 徑、方邊相求之法，而古無其法而刱立也；其三以西人杜德美割圜及弦矢捷術

82

引自李尚爀，《借根方蒙求》乾卷，頁 7b。

83

詳見 3.2.1 中「條段解」的部分。

84

引自《借根方蒙求》序，頁 1a。

85

以南秉吉，〈《算術管見》序〉文末的「乙卯孟冬宜春南元裳序」作為判斷依據。

推演為弦矢定率，又反求弦矢求弧之術，而杜法不言其入算之根，故《赤水遺 珍》及《疇人傳》等書所載之說亦不分曉，是以推以詳之，使人易知也。

表明了正文四部分的成書緣由。至於書末處附加〈不分線三率法解〉的原因，則可 徵之李尚爀於書中的論述：

西人穆尼閣《天步真原》載有斜弧三角形之兩邊夾一角及兩角夾一邊者，

乃 用半和、半較立算而此即不分線三率法也。錢氏熙祚跋題曰： 「甘泉、江雲樵 襲用其法而不能言其立法之根。」

今以簡平儀繪圖算法觀之……又以次形之 法通之……入算既簡，得數甚真，實歷書未發之覆，可謂能言其立法之根矣。

然只說其槩不具細艸，初學尚無以藉手而探原，故為之圖解以補之。

《算術管見》全書中實際出現天元術解題的情形有兩題，

一是〈圓容三方互 求〉的第 2 問，一是〈弦矢求弧度〉的第 1 問。〈圓容三方互求〉第 2 問的天元術

解題過程可參見 3.2.1，此問在天元術的籌算圖示將 誤寫為

； 將 誤寫為 。至於〈弦

矢求弧度〉的第 1 問「半徑一千萬，正弦八百六十六萬零二百五十四。問弧線及弧 度幾何？」

則在「法曰」後的「三乘方法艸曰」中，出現天元術解題：

三乘方法艸曰：立天元一為第一數。又以天元自乘得平方積為實，以六因半徑 一十得六十，除之為六十分之一平方積，是為第二數。又以天元自乘再乘得立 方積為實，以九十乘半徑平方積一百得九千，除之為九千分之一立方積，是為 第三數。又以天元再自乘得三乘積為實，以二千五百二十乘半徑立方積一千得 二百五十二萬，除之為二百五十二萬分之一三乘積，是為第四數。

第一第三 相併數內減第二第四相併數餘，即餘矢也，可以與餘矢為比例而各數尚帶分

86

引自南秉吉，〈《算術管見》序〉，頁 1a~1b。

87

穆尼閣(1611-1656)，波蘭人，與薛鳳祚合譯《天步真原》(1648)，《比例對數表》(1653)，《三角 算法》(1653)。

88

甘泉指的是羅士琳，江雲樵指的是江臨泰。

89

引自李尚赫，《算術管見》〈不分線三率法解〉，頁 1a~2b。

90

另外，像是〈弦矢求弧度〉第 2 問的註解「以求正弦本率用天元法演之也」意謂此問亦需使用天 元術，但在解題術文中並沒有實際號以天元術解之。

91

引自李尚爀，《算術管見》，頁 35a~35b。

92

根據筆者所採《韓國科學技術史資料大系．數學篇(4)》的版本，「數」後還有一字，但因過於模

糊而無法辨識。

母，故以冣多分母二百五十二萬遍乘各數及餘矢，

餘矢得三百三十七萬六千 一百五十九小餘九二為實(此與各數之併減者為同數，故以為實。以各數之併 減者為法)，第一數得天元二百五十二萬為第一廉法正，第二數得天元平方積 四萬二千(即以六十除冣多分母數)為第二廉法負(當減者故負)，第三數得天元 立方積二百八十(即以九千除冣多分母數)為第三廉法正，第四數得天元三乘積 一為隅法負(當減者故負)，用三乘方法開之得第一數也(立天元一為第一數，故 所得為第一數)。

由於沒有以籌算圖示表示，所以並未出現上述的問題。

針對此處籌算圖示的問題，吳秉鴻於《李尚爀《借根方蒙求》初探》中曾推測

「筆算或印刷的錯誤，而非觀念不清楚」 、 「此時不熟悉運算規則」 、 「以借根方『法、

實恒為相等』解讀天元術」與「李尚爀其實是理解天元術『法、實恒為異名』 」四 種可能性，並指出第四種是此問題的最佳答案。

筆者則認為，另有兩種可能性，

一是根據《測圓海鏡》的〈 （館）案〉所述，一是依開方時所列的算籌。

在《測圓海鏡》卷二第 14 問「或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行 兩百步見之。問、荅同前。」中，曾出現〈（館）案〉指出：

相消者，取上兩相等之數，同加減相等之數，使一為步數，一為方元數，仍相 等也。如寄數內減一平方加六百八十元，則得九萬六千步。又數內亦減一平方 加六百八十元，則得一平方六百八十元。是為一平方六百八十元與九萬九千步

等，故其式為

元

。舊稿方、元數皆作斜畫以別之，然遇方方元數 有多少異號者，殊混人目。今不用。

即便其後有〈銳案〉予以反駁： 「此緣不知相消古法，故以負算斜畫為別方、元之 記，又以為混人目而輒去之，誤甚。」 ，

但依南秉吉在《無異解》裡的態度，多為 偏向〈 （館）案〉而反對〈銳案〉 ，所以極可能因而相信〈 （館）案〉所言，也使得 李尚爀在《算術管見》裡出現省去「斜畫」的情形。然而，值得一提的是，雖然南 秉吉在《無異解》亦有對此題的〈銳案〉作評論，但不知何故，對於筆者以上所引 的部分，卻是完全沒有提到。

93

「冣」通「最」。

94

引自李尚爀，《算術管見》，頁 36b~37b。

95

參見吳秉鴻，《李尚爀《借根方蒙求》初探》，頁 95。

96

引自李冶，《測圓海鏡》卷二，頁 14。

97

引自李冶，《測圓海鏡》卷二，頁 14。

另一方面，天元術最後開方所列的籌算，皆無「斜畫」的情形。若是籌算圖示 的部分為模擬開方計算所列，亦可能省去「斜畫」 。

無論如何，這種籌算圖示上的問題，某種程度意謂著對天元術的不夠熟悉，或 是使用得不夠有自信，這種情形也使得借根方有「趁虛而入」的機會。

4.3.3 《無異解》

《無異解》的成書緣由，參見本論文的 2.4.2，此處將直接介紹其內容。

全書共有七個問題，如表 4.2 所示，依序為《益古演段》的第 1 問、第 7 問、

第 11 問的又問和第 40 問，以及《測圓海鏡》的卷二第 14 問、卷三第 10 問和卷三 第 11 問。

表 4.2 題 號

《無異解》的題目及答案。 出處

1 今有方田一段，內有圓池水占之，外

計地一十三畝七分半，竝不記內圓外 方。只云：從外田楞至內池楞四邊，

各二十步。問內圓、外方各多少？

答曰：外田方六十步，內池徑二十步。

《益古演段》第 1 問：

同左。

2 今有方田一段，內有圓池水占之，外 計地一千三百五十七步。只云：外方 面不及內池周一十四步。問方、圓各 多少？

答曰：方面四十步，圓周五十四步。

《益古演段》第 7 問：

同左。

3 又有圓田一段，中有方池水占之，外 有田五十步。只云：方池一尖抵圓邊，

其一尖至圓邊三步。問圓徑、方面各 若干？

答曰：徑十步，面五步。

《益古演段》第 11 問的又問：

同左。

4 今有直田一段，中心有圓池水占之，

外計地四畝一十三步。只云：外田長

《益古演段》第 40 問：

除了「答」字外，只有一字之差。 《無

98

此處的《益古演段》及《測圓海鏡》出自郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一（鄭

州：河南教育出版社，1993。）。此二書中的「荅」字，於《無異解》中皆為「答」。