高斯 EUCLID 環的除式個數

(1)

高斯 ^EUCLID 環的除式個數

宋秉信

摘要 _:

本文對高斯 EUCLID 環中一對元 x, y 6= 0 的 EUCLID 除式的個數進行討論, 並得出其定理。

關鍵字: 歐氏環、整點、格點。

一、預備知識

(1) 若域 F 上的多項式環 F [x] 是一個歐氏環, 那麼對於 F [x] 中的任意兩個多項式 f (x), g(x) 6= 0, 在 F [x] 中存在唯一的 q(x), v(x), 使

f(x) = q(x)g(x) + r(x), v(x) = 0;

或

deg(g(x)) > deg(v(x))。

就是說, 這種表達式是唯一的。

(2) 我們知道, 整數環是歐氏環中的一種, 而其中這種表達形式一般不會超過兩個。

(3) 高斯 EUCLID 環是整數環 G = {a+bi, a, b ∈ Z} 及其 N(a+bi) = a

²

+b

²

為 EUCLID 函數 EUCLID 環。

問題是高斯 EUCLID 環的這種表達形式有多少種, 即除式的個數有多少?

二、除式個數定理

我們把一對元 x,y 6= 0 的除式個數記為 P (x, y), 把以 (x

⁰

,y

⁰

) 為中心, 以 1 為半徑的圓內整點個數記為 Q(x

0

,y

0

)。

定理1: 設 (G,N) 是高斯 EUCLID 環,∀ x = a + bi, y = c + di ∈ G = {a + bi, a,b ∈ Z},y 6= 0, 則 P (x,y) = Q(x

⁰

,y

⁰

)。

其中

x

0

=

a −b d c

N(y) , y

0

= −

a b c d

N(y) 證明: ∀x = a + bi, y = c + di ∈ G。

根據歐氏環的定義, 存在 ρ = e + f i, λ = g + hi ∈ G, 使得 x = ye + λ, 此外 λ= 0 或 N(λ) < N(y)。

∵

x− λ = ye, 而

x−λ=(a+bi)−(g+hi)=(a−g)+(b−h)i

72

(2)

高斯

_EUCLID

環的除式個數

₇₃

ye=(c+di)(e+f i)=(ce−df )+(cf+de)i

∴

a−g=ce−df , b−h=cf+de。

現分別討論:

(1) 若存在 ρ, 使 x = ye, 則 p(x,y) = 1。否則, 將還有 x = ye

¹

+ λ

¹

,λ

¹

= 0 或 N(λ

¹

) < N(y), 則 y(ρ − ρ

¹

) = λ

¹

。如果 λ

¹

= 0, 但 y 6= 0, 那麼只有 ρ = ρ

¹

, 這時除式 x = ye + λ, 與 x = yρ 是一致的; 如果 λ

1

6= 0, 由於 y 6= 0, 所以 ρ− ρ

¹

6= 0, 從而有 N(λ

¹

) ≥ N(y)。這與 N (λ

1

) < N(y) 相矛盾。因此, 在這種情況下, λ = 0, 即 g = h = 0。從而有

a b

!

= c −d d c

!

e f

!

。

∵

N(y) = N(c + di) = c

²

+ d

²

,

∴

e f

!

= 1 N(y)

c d

−d c

!

a b

!

= 1 N(y)

ac+ bd cb− ad

!

,

由於 e,f ∈ Z, 所以, 當 N(y) 整除

a −b c d

與

a b c d

時, x 與 y 有且僅有一個除式, 即 P (x,y) = 1。

(2) 若 x 與 y 有兩個或兩個以上的除式, 此時 λ = 0, 因為



 

 

 

 

g = a − ce + df h= b − cf − ae c

²

+ d

²

> g

²

+ h

²

其中 e, f, g, h 均為未知整數。

顯然, 它的一組整解 (e, f ) 決定相應的整解 (g, h), 而 (e, f ) 的整解數恰是 x 與 y 的除式個數。

將 g = a − ce + df , h = b − cf − de 代入不等式 c

²

+ d

²

> g

²

+ h

²

, 化簡整理後, 便得

(c

²

+d

²

) (e

²

+f

²

)−2e(ac+bd)+2(ad−bc)f +(a

²

+b

²

)−(c

²

+d

²

) < 0。

即

(c

²

+d

²

) [(e

²

+f

²

)−2e(ac+bd)

c

²

+d

²

+2f (ad−bc)

c

²

+d

²

]+(a

²

+b

²

)−(c

²

+d

²

) < 0, 即

N(y)

^h

(e

²

+ f

²

) − 2e

a −b d c

N(y) +

2f

a b c d

N(y)

i

+N (x)−N (y) < 0

經配方, 得

h

e−

a −b d c

N(y)

i ²

+

^h

f+

a b c d

N(y)

i ²

−

a −b d c

2

+

a b c d

2

−N (x)N (y)+N

²

(y)

N

²

(y) <0。

(3)

74

數學傳播

₂₂

卷

2

期民

₈₇

年

₆

月

由於

a −b d c

2

= (ac+bd)

²

=a

²

c

²

+b

²

d

²

+2abcd

= (a

²

+b

²

)(c

²

+d

²

)−a

²

d

²

−b

²

c

²

+2abcd

= N (x)N (y)−(ad − bc)

²

= N (x)N (y) −

a b c d

2

代入上面不等式, 得

h

e−

a −b d c

N(y)

i ²

+

^h

f+

a b c d

N(y)

i ²

−1<0

令x

0

=

a −b d c

N(y) , y

0

=

−

a b c d

N(y) 。

∴

(e − x

⁰

)

²

+ (f − y

⁰

)

²

<1。

這就是說, x 除以 y 的商為 e + f i, 則 (e, f ) 在以 (x

^o

, y

o

) 為中心的單位圓內, 從而有

P(x, y) ≤ Q(x

^o

, y

^o

)。

反之, 若 (e, f ) 是以 (x

^o

, y

o

) 為中心的單位圓內的任意整點, 不妨令 g + hi = (a + bi) − (c + di)(e + f i), 由於

N(g+hi)

= N ((a−ce+df )+(b−cf−de)i)

= (a−ce+df )

²

+(b−de−cf )

²

= a

²

+c

²

e

²

+d

²

f

²

−2ace+2adf−2cdef+b

²

+d

²

e

²

+c

²

f

²

−2bde−2bcf+2cdef

= (a

²

+ b

²

)+(c

²

+ d

²

)(e

²

+ f

²

)

−2(ac + bd)e+2(ad − bc)f

而

^h

e−

a −b d c

N(y)

i ₂

+

^h

f+

a b c d

N(y)

i ²

−1<0 N(x)N (y) = (a

²

+ b

²

)(c

²

+ d

²

)

= a

²

c

²

+b

²

c

²

+a

²

d

²

+b

²

d

²

= (ac + bd)

²

+(ad − bc)

²

=

a −b d c

2

+

a b c d

2

故有 N(λ)

N(y) = N(x)

N(y) + e

²

+ f

²

−2(ac + bd)e − 2(ad − bc)f N(y)

= N(x)

N(y) +

^h

e−

a −b d c

N(y)

i ²

+

^h

f +

a b c d

N(y)

i ²

−

a −b d c

2

+

a b c d

2

N

²

(y)

= N(x)

N(y) + (e − x

0

)

²

+ (f − y

0

)

²

−N(x)N (y) N

²

(y)

= N(x)

N(y) + (e − x

⁰

)

²

+ (f − y

⁰

)

²

−N(x) N(y)

= (e − x

0

)

²

+ (f − y

0

)

²

<1。

所以有 N (λ) < N (y)。這就說明凡是以 (x

0

, y

0

) 為中心的單位圓內的整點 (e, f ) 相應的 e+ f i 是 x 除以 y 的一個商, 故有 P (x, y) ≥ Q(x

0

, y

0

)。

綜上所述, 我們便證明了 P (x, y) = Q(x

⁰

, y

0

)。就是說, 高斯 EUCLID 環中一對

(4)

高斯

_EUCLID

環的除式個數

₇₅

元 x, y 6= 0 的 EUCLID 除式的個數等於以 (x

0

, y

0

) 為中心的單位圓內的整點的個數。

定理2: 設 (G, N) 是高斯 EUCLID 環,

∀x, y ∈ G, y 6= 0, P (x, y) ≤ 4。

就是說, 高斯 EUCLID 環除式的個數不超過 4 個。

由於在單位圓內格點至多只有 4 個, 所以定理顯然是成立的。

對於高斯 EUCLID 環中任意一對元 x, y ∈ G, y 6= 0, 有 1-4 個除式的情形分析如下:

1.(x

⁰

, y

0

) ∈ I

¹

= { 格點正方形4 個頂點 }, P (x, y) = 1; 如圖所示。

2.(x

⁰

, y

0

) ∈ I

²

= { 曲線三角形 A

^′

AD, B

^′

AB,C

^′

BC,D

^′

CD 上或內, 除去頂點 A,B,C,D 的點}, P (x, y) = 2 ;

3.(x

0

, y

0

) ∈ I

3

= { 曲邊三角形 AA

^′

B

^′

, BB

^′

C

^′

, CC

^′

D

^′

, DD

^′

A

^′

之內點及四條不包括端點在內的弧段

^z

A

^′

B

^{ ^′

,

z {

B

^′

C

^′

,

^z

C

^′

D

^{ ^′

,

^z

D

^′

A

^{ ^′

上的點 },P (x, y) = 3;

4.(x

⁰

, y

⁰

) ∈ I

⁴

= { 曲線四邊形 A

^′

B

^′

C

^′

D

^′

的內點 },P (x, y) = 4。

... .

.. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .

A(m,n) B(m+1,n) C(m+1,n+1) D(m,n+1)

. .. .. . .. . .. .. . .. . .. ... ...

. .. . ... . ...

... .. ...

.. ...

... ...

. . ...

...

.. ...

...

.. .. ...

. .. . .. ...

. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. . .. . .. .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. .. . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

. ... ..

. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .

A’

B’

C’

D’

參考資料

1. 吳品三著,「近世代數」北京高等教育出版社, 1979 年 12 月。

2. 華羅庚著,「數論導引」北京科學出版社,1957 年 7 月。

—本文作者任教於中國湖南省湘潭教育學

院—

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