極限的逼近意涵
單維彰‧2015 年 5 月 用多項式除法，我們可以處理以下極限：
2 1
lim 1 1
x
x
x
limx1x1 1 1 2 但將來會遇到沒有除法也沒有代數運算可做的狀況，例如
0
2 1 lim
x
x x
那種「真正的」極限，必須從「逼近」的意涵來理解。
函數
2 1 1 y x
x
在x1處無定義，所以它的圖形將會缺了x1所對應的點。
它的圖形如下：
其實僅僅一個點的「缺口」當然沒那麼大，我們只是故意畫一個圓圈來凸顯它。
而我們知道
當x 時，1 2 1 1 1
x x
x
所以當x 時，1 2 1 1 y x
x
的圖形就是直線y 。不論 x 從 1 的左邊越來越靠x 1 近 1：
0.7, 0.8, 0.9, 0.95, 0.96, 0.97, 0.98, 0.985, 0.986, … 或者是從 1 的右邊越來越靠近 1：
1.3, 1.2, 1.1, 1.05, 1.04, 1.03, 1.02, 1.015, 1.014, … 他所對應的 y 值，也就是
2 1 1 1
y x x
x
的值，就是
1.7, 1.8, 1.9, 1.95, 1.96, 1.97, 1.98, 1.985, 1.986, … 或者
2.3, 2.2, 2.1, 2.05, 2.04, 2.03, 2.02, 2.015, 2.014, … 可見
2 1 1 x
x
的值會隨著 x 越來越靠近 1 而變得越來越靠近 2。雖然當x 時，1 2 1 1 x
x
永遠不等於 2，但是它只能朝著 2 而去，沒有其他可能。這就是
2 1
lim 1 1
x
x
x
2 的逼近意涵。
再舉一個例子，
1 3 1 limx 1
x
x
1
lim 2 1
x x x
12 1 13
以下圖形是（誇大的）
3 1 1 y x
x
的函數圖形，它在x1處無定義，所以畫了一 個空心的圓圈。但是，當x 時，1 3 1 2
1 1
x x x
x
，所以圖中的曲線其實是
2 1
yx 的圖形，去掉 (1, 3) 那一點。 x
不論 x 從 1 的左邊越來越靠近 1：
0.7, 0.8, 0.9, 0.95, 0.96, 0.97, 0.98, 0.985, 0.986, … 或者是從 1 的右邊越來越靠近 1：
1.3, 1.2, 1.1, 1.05, 1.04, 1.03, 1.02, 1.015, 1.014, …
他所對應的 y 值，也就是 2
3 1 1 1
y x x x
x
的值，就是
2.19, 2.44, 2.71, 2.85, 2.88, 2.91, 2.94, 2.955, 2.958, … 或者
3.99, 3.64, 3.31, 3.15, 3.12, 3.09, 3.06, 3.045, 3.042, … 可見
3 1 1 x
x
的值會隨著 x 越來越靠近 1 而變得越來越靠近 3。雖然當x 時， 1
3 1 1 x
x
永遠不等於 3，但是它只能朝著 3 而去，沒有其他可能。這就是
1 3 1 limx 1
x
x
3 的逼近意涵。
回到非多項式分式的
0
2 1 lim
x
x x
問題，讓我們直接用電腦畫 2x 1
y x
在x [ 1,1]範圍內的函數圖形：
函數 2x 1
y x
在x0處無定義，所以它的圖形缺了x0所對應的值。這次我們
不畫誇張的圓圈，但是大家一定看不出來「缺漏」的那一點。從圖上看，大家一 定知道
0
2 1 lim 0.7
x
x x
而且略小於 0.7
讓我們觀察以下數值表
x 2x 1
y x
0.10000 0.71773…
0.01000 0.69555…
0.00100 0.69338…
0.00010 0.69317…
x0 0.6931…..
0.00010
0.69312…
0.00100
0.69290…
0.01000
0.69075…
0.10000
0.66967…
觀察當 x 從 0 的左邊和右邊越來越靠近 0 時， 2x 1
y x
的值分別從 0.6 和 0.7 越
來越靠近一個定數。那個數顯然是 0.6931…。雖然我們不確定 … 是哪些數，但 是至少確定小數點之下的前四位是 6931。也就是說
0
2 1
lim 0.6931
x
x x
