for m n mx nxdx

(1)

提要 259：三角函數之正交性(Orthogonality)

在探討 Fourier 級數問題時，常需面對許多牽涉三角函數中之「正弦函數」和「餘弦函數」的定積分，解決此類常見問題時，前人發現，可利用以下三個簡單關係式推求出問題之積分值，這三個簡單積分式的關係稱為三角函數之正交性(Orthogonality)，說明如下。

三角函數之正交性(Orthogonality)

1. 0,

sin sin

,

for m n mx nxdx

for m n



 



 

  



2. 0,

cos cos

,

for m n mx nxdx

for m n



 



 

  



3.

^

sin

mx

cos

nxdx

0, for any

m

and

n









證明：

雖然很少有人需面對三角函數之正交性(Orthogonality)的證明，但是對其由來之清楚瞭解，應有助於將以上所示積分公式背下來，甚至於在忘記積分公式時，還能將所需公式給推導出來。

國中時，讀者應有學過三角函數之和積關係式如下：

 a b  cos a cos b sin a sin b

cos   

(1a)

 a b  cos a cos b sin a sin b

cos   

(1b)

 a b  sin a cos b sin b cos a

sin   

(1c)

 a b  sin a cos b sin b cos a

sin   

(1d)

茲考慮式(1a)與式(1b)相加除以 2、式(1b)減式(1a)再除以 2、式(1c)與式(1d)相加除以 2 可分別求得：

   

 ^a ^b ^a ^b 

b

a

 cos  cos  2

cos 1

cos (2a)

   

 ^a ^b ^a ^b 

b

a

 cos  cos  2

sin 1

sin (2b)

(2)

   

 a b a b 

b

a

 sin  sin  2

cos 1

sin (2c)

式(2a)-(2c)中之符號

a

改寫為

mx

、

b

改寫為

nx

，再分別對變數

x

進行



到 之線積分，

可得：

 

     

 



 











dx x n m x

n m nxdx

mx

cos cos

2 cos 1

cos (3a)

 

     

 



 











dx x n m x

n m nxdx

mx

cos cos

2 sin 1

sin (3b)

 

     

 



 











dx x n m x

n m nxdx

mx

sin sin

2 cos 1

sin (3c)

其中

 

   ^ ^             

n m

n m n

m n m n

m x n dx m

x n

m



 



 



 



 



  ^ ^  _ ^ ^ ^



sin 2 sin

sin cos sin

 

   ^ ^             

n m

n m n

m n m n

m x n dx m

x n

m



 



 



 



 



  ^  ^ _ ^ ^ ^



sin 2 sin

sin cos sin

 

   ^ ^         

cos 0 cos

sin cos 



 



 

 

 





  ^ ^m ⁿ ^x ^dx _m ^m _n ⁿ ^x  ^ _ _m ^m _n ⁿ ^ _m ^m _n ⁿ ^



 

   ^ ^         

cos 0 cos

sin cos 



 



 

 

 





  ^ ^m ⁿ ^x ^dx _m ^m _n ⁿ ^x ^  _ _m ^m _n ⁿ ^ _m ^m _n ⁿ ^



故式(3a)-(3c)可改寫為：

 

     

n m

n m n

m n nxdx m

mx



 



 

 



 



sin cos sin

cos (4a)

 

     

n m

n m n

m n nxdx m

mx



 



 

 



 



sin sin sin

sin (4b)

(3)

0 cos

sin 

 



nxdx

mx

(4c)

式(4a)與式(4b)中之正弦函數的值與

m

、

n

有關，說明下：

當

m

 且

n m

、

n

均為自然數時，

   

sin 0



n m

n

m 

、

   

sin 0



n m

n

m 

。

當

m  n

且

m

、

n

均為自然數時，

   

sin 0



n m

n

m 

、但

   

sin 0



n m

n

m 

，因為由羅必達定理(L’Hospital’s Rule)知：

 

     

  ^ ^    ^  _ _



  

 

 





cos0

1 lim cos

lim sin

limsin

m n

dm n m d

dm n

m d n

m n m

n m n

m n

m

(5)

故式(4a)與式(4b)可加以改寫，再將式(4c)整理在一起，即可證出三角函數之正交性：







 

  m n

n nxdx m

mx

,

, cos 0

cos



(6a)







 

  m n

n nxdx m

mx

,

, sin 0

sin



(6b)

0 cos

sin 

 



nxdx

mx

(其中

m

、

n

為任意值) (4c)