3-1-3三角-正弦定理餘弦定理

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(1)1-3 正弦定理﹑餘弦定理【目標】能理解三角形及其邊與角的定量關係，如：三角形的面積（含海龍公式）﹑正弦定理（含外接圓半徑）﹑餘弦定理，並熟練之，作為處理與三角形相關的問題及測量問題的基本工具。【定理】 1. 三角形的面積公式：在 ABC 中，以 a, b, c 分別表示 A, B, C 的對邊長， 表示 ABC 的面積， 1 1 1 則   ab sin C  bc sin A  ca sin B 。 2 2 2 證明： (1) C 為銳角 (2) C 為直角 (3) C 為鈍角. 1   a  (b sin C ) 2. 2.. 1 1 1   a  b  a  (b sin 90)   a  (b sin(180  C )) 2 2 2 1 1  a  (b sin C )  a  (b sin C ) 2 2 各種 ABC 的面積表示公式(高中階段會學到的求三角形的面積公式)： 1 (1). 基礎公式：  (底)  (高) 。 2 1 1 1 (2). 正弦表示公式： ab sin C  bc sin A  ca sin B 。 2 2 2 abc (3). 海龍公式： s( s  a)(s  b)(s  c) ，其中 s  為周長之半。 2 abc (4). 外接圓半徑表示公式：，其中 R 為外接圓半徑。 4R (5). 內切圓半徑表示公式： rs ，其中 r 為內切圓半徑。 1 (6). 內積表示公式： | AB |2  | AC |2  ( AB  A C ) 2 。 2 1 (7). 外積表示公式： | AB  AC | 。 2 x1 y1 1 1 (8). 行列式表示公式： | x 2 y 2 1 | 。 2 x3 y 3 1.    . x1 1 x2 (9). 行列式速算法表示公式： | 2 x3 x1. 21. . y1 y2 |。 y3 y1.

(2) 【定理】正弦定理：設 a, b, c 分別表示 ABC 中 A, B, C 的對邊長，則. a b c    2R ， sin A sin B sin C. 其中 R 表示 ABC 的外接圓的半徑。證明： 1 1 1 (1)   bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 sin A sin B sin C a b c 。       a b c sin A sin B sin C (2)再證明等於 2 R 部分。 (a) A 為銳角 (b) A 為直角 (c) A 為鈍角 C. 2R O. C A. a  2R. a. a. O B. A. C. A'. A. O A' 2 R. B. B. a a a 2R a a a   2R   2R   2R  sin A sin A' sin A sin 90 sin A sin(180  A' ) sin A' 正弦定理表明三角形中三組邊長與對角正弦的比值相同。這個比值有沒有特別意義呢？由於 ABC 中至少有一個銳角，不妨假設 A 是銳角。作 ABC 外接圓的直徑 BA 及弦 AC ，則 AC  BC ，如圖所示。. A' BC 就是直角三角形，其中 ACB 是直角。由於 A 與 A 對同一個弧 BC ，故 A  A 。此時， AB 是外接圓的直徑。 a a a    2R 。 a  sin A sin A 2R a b c 因此，在 ABC 中，    2R 。 sin A sin B sin C. 若設外接圓半徑為 R ，則. 結論：在任意三角形中，邊長與其對角正弦的比值恰為此三角形外接圓的直徑。. 22.

(3) 註： 1. 正弦定理即邊長比等於對角的正弦比。 ( a : b : c  sin A : sin B : sin C ) 2. 正弦定理可說是三角形大邊對大角的性質。 (注意： a : b : c  A : B : C ) a b c 3. 至少 , , 等三個比值至少要有一個能夠求得出來，才能使用正 sin A sin B sin C 弦定理。【問題】 1. 在 ABC 中的三個角度 A, B, C 與三個邊長 a, b, c 共計六個條件中，給定哪幾個條件後可以利用正弦定理決定三角形？ 2. 設 ABC 的三邊長為 a, b, c ，面積為  ，外接圓半徑為 R 。試證： R . abc 。 4△. 23.

(4) 【定理】餘弦定理：設 a, b, c 分別表示 ABC 中 A, B, C 的對邊長，則. a 2  b 2  c 2  2bc cos A , b 2  c 2  a 2  2ca cos B , c 2  a 2  b 2  2ab cosC 。證明： (1) A 為銳角 (2) A 為直角 (3) A 為鈍角 y. C(b cos A, b sin A). y C(b cos A, b sin A). b. b. A(0,0). a. x B(c,0). y C(b cos A, b sin A). a. x B(c,0). A(0,0). a. b. A(0,0). x B(c,0). 上述三種情形皆滿足下式 2. a 2  BC  (c  b cos A) 2  (0  b sin A) 2  c 2  b 2 cos2 A  2bc cos A  b 2 sin 2 A 同理可證其餘兩式。【討論】使用時機： 1. 知道任兩邊及一角，就可以使用餘弦定理求第三邊。 2. 知道三邊，就可以使用餘弦定理求各內角的餘弦，有了餘弦值就可以進一步決定該內角的角度。 3. 當三角形的三邊長給定時，此三角形便確定，利用餘弦定理便可求得其任一中線長。. 24.

(5) 【定理】 1. 四邊形面積：若給定四邊形 ABCD (凹四邊形或凸四邊形都可)， 1 則四邊形面積為 AC  BD sin ，其中  為四邊形兩對角線夾角之一。 2 B. C . P. D. A. 2.. 證明：設兩對角線交點為 P ，四邊形面積為 PAB  PBC  PCD  PDA 1 1  PA  PB sin  PB  PC sin(180   ) 2 2 1 1  PC  PD sin  PD  PA sin(180   ) 2 2 1  sin  ( PA  PB  PB  PC  PC  PD  PD  PA) 2 1  sin  [ PB  ( PA  PC )  PD  ( PC  PA)] 2 1 1  sin  ( PB  PD)  ( PA  PC )  AC  BD sin 。 2 2 內角平分線長：設 ABC 中 A, B, C 的對邊長分別為 a, b, c ， A 2bc  cos bc  sin A 2)。則內角平分線長為 ( A b  c (b  c)  sin 2 A A 2. B. D. A 2. C. 證明： 1 1 A 1 A 由 bc  sin A  b  AD  sin  c  AD  sin ， 2 2 2 2 2 A 2bc  cos bc  sin A 2)。得 AD  ( A b  c (b  c)  sin 2. 25.

(6) 3.. 投影定理：在 ABC 中，以 a, b, c 分別表示 A, B, C 的對邊長，則. a  b cosC  c cos B  b  c cos A  a cosC 。 c  a cos B  b cos A  (證法一)： a 2  b2  c 2 a 2  c 2  b2 a。 b cosC  c cos B  b  c 2ab 2ac (證法二)： (1) A 為銳角 (2) A 為直角 (3) A 為鈍角 C. A D B c  AB  DB  DA  a cos B  b cos A 4.. C. C. A B c  AB  a cos B  a cos B  b cos90  a cos B  b cos A. A B D c  AB  DB  DA  a cos B  b cos(180  A)  a cos B  b cos A. 海龍(Heron)公式：. ABC 的面積為 s( s  a)(s  b)(s  c) ，其中 s . abc 為周長之半。 2. 註：海龍（Heron of Alexandria，約公元 100 年，古希臘數學家）圓內接四邊形 ABCD 的面積為 ( s  a)(s  b)(s  c)(s  d ) ， abcd 其中 s  。 2 證明：. 1 a 2  b2  c2 2 1 1 ) ABC  ab  sin C  ab  1  cos2 C  ab  1  ( 2 2ab 2 2 1 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2  ab  (1  )  (1  ) 2 2ab 2ab 1 [( a 2  2ab  b 2 )  c 2 ] [c 2  (a 2  2ab  b2 )]  ab   2 2ab 2ab . [( a  b) 2  c 2 ]  [c 2  (a  b) 2 ] 16. . ( a  b  c ) ( a  b  c ) (c  a  b ) (c  a  b )     s( s  a)(s  b)(s  c) 。 2 2 2 2. 26.

(7) 5.. 中線長：在 ABC 中，以 a, b, c 分別表示 A, B, C 的對邊長， 2b 2  2c 2  a 2 。 2. 則三角形 A 至 BC 邊的中點 D 連線所得的中線長 AD  A B. C. D. 證明： 2 2  AD  BD  c 2 cos ADB   2 AD  BD 已知  ， 2 2 AD  CD  b 2  cos ADC  2 AD  CD 又 ADB  ADC  180 ， 2. 6.. 2. 2. 2. AD  BD  c 2 AD  CD  b 2 即  ( )， 2 AD  BD 2 AD  CD 2b 2  2c 2  a 2 可得 AD  。 2 平行四邊形定理：平行四邊形中兩對角線平方和等於四邊平方和。 2. 2. 2. 2. 2. 2. 即若 ABCD 為平行四邊形，則 AC  BD  AB  BC  CD  DA 。 B. C. D. A 證明： 2 2 2  AB  BC  AC cos ABC   2 AB  BC 由 ， 2 2 2  AB  AD  BD cos BAD  2 AB  AD 又 ABC  BAD  180 ， 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB  BC  AC AB  AD  BD   0 2 AB  BC 2 AB  AD.  AB  BC  AC  AB  AD  BD  0  AB  BC  AC  CD  DA  BD  0 2. 2.  AC  BD  AB  BC  CD  DA 。. 27.

(8) 7.. 圓內接四邊形之對角線長：設四邊形 ABCD 內接於一圓且 AB  a, BC  b, CD  c, DA  d ，求對角線長。 B. a. . b. A d. 180. C. c. 證明：由餘弦定理知 2  a 2  d 2  BD cos BAD   2ad  2  b 2  c 2  BD cos BCD  2bc 2. 2. a 2  d 2  BD b 2  c 2  BD   0 2ad 2bc 可求出 BD ，同理可求出 AC 。. 28. D.

(9) 【問題】 1. 一個三角形為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的條件分別為何？討論： b2  c2  a2 (1) A 為銳角  cos A  0  cos A   0  b2  c2  a 2 。 2bc 2 b  c2  a2 (2) A 為直角  cos A  0  cos A   0  b2  c2  a 2 。 2bc 2 b  c2  a2 (3) A 為鈍角  cos A  0  cos A   0  b2  c2  a 2 。 2bc 2. 若給定 b, c, B ，可否作出三角形？討論： (1)若 B 為銳角，則 (a) b  c sin B  無解。 A b. c B (b) b  c sin B  恰一解。. A b. c B. C. (c) csin B  b  c  兩解。. A b. c B. C. C. (d) c  b  恰一解。. A b. c B. (2)若 B 為鈍角或直角，則 (a) b  c  無解。. C. A. b c B. (b) b  c  恰一解。. A b. c B. 29. C.

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