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第十五章 解三角函數

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Academic year: 2021

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(2)

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˘ăˬ֎בᇴࣃ!

15.1 ˬ֎בᇴ

修建山上供水系統時,沿著水平 面 成α 角 的 斜 坡 鋪 設 水 管 。 如 圖 15-1,當水管從坡底 O 處向上鋪設到 P 處。P 離水平面的高為 MP,繼續 向上鋪設到 P′ 處, P′ 離水平面的高 為 M P′ ′ ,鋪設的水管越長,管口離 水平面也越高。容易看出,△OPM ~△ OP M′ ′ ,因此, MP M P OP OP ′ ′ = ′ 。這就是說,當角α 的大小一定 時,管口離水平面的高與管長之比是一個定值。 想一想:當角α 是 30°時,上面所說的比值是多少? 上面的實例啟發我們進一步研究與角有關的一些比。 設有一個角α ,我們以它的頂點作為原點,以它的始邊作為 x 軸之正半軸 Ox,建立直角座標系(圖 15-2)。在角α 的終邊上任 取一點 P(x, y),它與原點 O(0, 0) 的距離是 2 2 r = x + y (r 總是正 的)。可以得到比值 y rx ry xx y設 P′ ( ,x′ y′)是角α 的終邊上另一 點, P′ 到原點 O(0, 0) 的距離是 2 2 r′= x′ + y′ 。又可以得到比值 y r ′ ′ 、 x r ′ ′ 、 y x ′ ′ 、 x y ′ ′ 。 α P M O P′ M ′ h 圖 15-1 α P(x, y) M O ( , ) P x y′ ′ ′ M ′ x 圖 15-2 y r x y

(3)

P 與P′ 分別畫 x 軸的垂線 MP 與 M P′ ′,那麼可得知△OPM ~△ OP M′ ′ ,且 x 與 x′ 、y 與 y′的符號相同,所以 y y r r ′ = ′ 、 x x r r ′ = ′ 、 y y x x ′ = ′ 、 x x y y ′ = ′ 。 由此可知,對於確定的角α ,這四個比值都是由角α 的大小唯一 確定的,與點 P 在角α 的終邊上之位置無關,所以這四個比值都 是自變量α 的函數。我們把 y r 叫做角α 的正弦,記作 sinα ,即 sin y r α = ; x r 叫做角α 的餘弦,記作 cosα ,即 cos x r α = ; y x 叫做角α 的正切,記作 tanα ,即 tan y x α = ; x y 叫做角α 的餘切,記作 cot

α

,即 cot x y α = ;

角α 的正弦 sinα 、角α 的餘弦 cosα 、角α 的正切 tan

α

、角 α 的餘切 cot

α

都叫做角α 的三角函數。 注意:「 sinα 」是一個完整的符號,它表示角α 的正弦,不能理 解成 sin i 。其它三角函數的符號也是這樣。

α

【ּ 1】 已知角α 的終邊經過點 P(3, 4),求 角α 的四個三角函數值(圖 15-3)。

ś

ྋ !! x = 、3 y = 4 ∴ r = x2 + y2 = 32 +42 = 5 ∴ sin 4 5 y r α = = 、 cos 3 5 x r α = = 、 tan 4 3 y x α = = 、cot 3 4 x y α = = 。 O 圖 15-3 x y P (3, 4) α

(4)

【ּ 2】 求證: (1) tan sin cos α α α = ; (2) 2 2 sin

α

+cos

α

= 。1 3 ᙋ! ! (1) 根據三角函數的定義: sin tan cos y y r x x r α α α = = = 即tan sin cos α α α = 。 (2) 2 2 2 2 2 2 2 sin cos y x y x r r r α + α =⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎛ ⎞⎜ ⎟ = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 ∵ y2 + x2 = r2 ∴ 2 2 2 2 sin cos r 1 r α + α = =

ቚ ௫!

1. (口答) sin

β

是角

β

的哪種三角函數,表示怎樣的比? tan

β

呢? cos

β

呢? cot

β

呢? 2. 已知角α 的終邊分別經過下列各點,求角α 的四個三角函數 值: (1) (4, 3); (2) (5, 12); (3) (2, 2); (4) (2, 3)。

15.2 30°ă45°ă60°֎۞ˬ֎בᇴࣃ

我們知道,對於給定的角α ,它的四個三角函數值是唯一確 定的,對於某些特殊角,我們可以用下面之方法求出它的三角函 數值。 3 2 sin α 表示(sin )α 2,其它三角函數的冪也這樣表示。

(5)

(1) 如圖 15-4,α = ° ,我們在角30 α 的終邊上取點 P。設點

P 的縱座標是 a,過點 P 畫 x 軸的垂線 MP。在直角三角形 OPM

中,∠POM = 30°、MP = a,則 OP = 2a。(為什麼?)由勾股定理,

2 2 (2 ) 3 OM = aa = a也就是說,點 P 的座標是( 3a , a)、r = 2a,所以 1 sin 30 2 2 3 3 cos 30 2 2 3 tan 30 3 3 3 cot 30 3 y a r a x a r a y a x a x a y a ° = = = ° = = = ° = = = ° = = = (2) 如圖 15-5,α = 45°,我們在角α 的終邊上取點 P。設點 P 的縱座標是 a,則點 P 的橫座標也是 a。(為什麼?)由勾股定理, 2 r = a。所以 2 sin 45 2 2 2 cos 45 2 2 tan 45 1 cot 45 1 y a r a x a r a y a x a x a y a ° = = = ° = = = ° = = = ° = = = (3) 如圖 15-6,α = ° ,我們在角60 α 的終邊上取點 P。設點 P 的橫座標是 a,則r =OP = 2a。(為什麼?)由勾股定理,點 P 的縱座標 2 2 (2 ) 3 y = aa = a。所以 30° P M O a 圖 15-4 2a x y 3a 45° P M O a 圖 15-5 a x y 2a

(6)

3 3 sin 60 2 2 1 cos 60 2 2 3 tan 60 3 3 cot 60 3 3 y a r a x a r a y a x a x a y a ° = = = ° = = = ° = = = ° = = = 以上這些特殊的三角函數值,今後經常要用到。為了便於記 憶,列表如下: 【ּ】 求下列各式的值:

(1) 2 sin 30° +3cos 60° +tan 45° ; (2) sin 452 ° +cot 60 cos 30° ° ;

(3) 1cos 30 2 cos 45 sin 60 cos 60 2 ° + 2 ° + ° °。 60° P M O a 圖 15-6 2a x y 3a 30° 45° 60° 正 弦 1 2 2 2 3 2 餘 弦 3 2 2 2 1 2 正 切 3 3 1 3 餘 切 3 1 3 3 角 值 三角函數 數 函 角 三

(7)

ś

ྋ !! (1) 2 sin 30 3cos 60 tan 45 2 1 3 1 1 31 2 2 2 ° + ° + ° = × + × + = ; (2) 2 2 2 3 3

sin 45 cot 60 cos 30

3 2 2 ⎛ ⎞ ° + ° ° = + × ⎝ ⎠ 1 1 2 2 1 = + =

(3) 1cos 30 2 cos 45 sin 60 cos 60 2 ° + 2 ° + ° ° 1 3 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 1 3 2 = × + × + × + = + =

ቚ ௫!

1. ( 口答 ) sin 30° 與 cos 60° 的值各是多少? tan 45° 與 cot 45° 呢 ? sin 45° 與 cos 45° 呢 ? sin 60° 與 cos30° 呢 ? tan 60° 與

cot 30° 呢? tan 30° 與 cot 60° 呢? 2. 求下列各式的值:

(1) sin 30° −3 tan 30° +2 cos 30° ; (2) 2 cos 30° +tan 60° −6 cot 60° ; (3) 5 cot 30° −2 cos 60° +2 sin 60° ; (4) cos 452 ° +sin 452 ° ; (5) sin 60 cot 45 tan 60 2 tan 45 ° − ° ° − ° 。 3. 在直角座標系中,以原點為頂點,x 軸的正半邊為始邊,在 第一象限內畫出 40°的角。量出它的終邊上一點之座標及這 個點到原點的距離,然後計算 40°角的四個三角函數值(精確 到 0.01)。

(8)

15.3 ϡ̍඀ࢍზጡՐˬ֎בᇴࣃ*

(本節可忽略不學) 上節我們求出了 30°、45°、60°這些特殊角的三角函數值, 但是對求任意角的三角函數值則是有困難的。從前,人們利用查 三角函數表來求出其含有四個有效數字的近似值。在現代,我們 可利用工程用計算器非常方便地求出任意銳角的正弦、餘弦、正 切的值。 一般 WINDOWS 作業系統之電腦都附有小算盤的計算器程 式,開啟此程式後,可在選單中的「檢視」功能表選擇「工程型」, 此即為一般所使用的工程用計算器。網路上也有許多線上工程用 計算器程式,例如在搜尋引擎 Google 上輸入「計算機」,即會顯 示出一個 Google 設計的線上工程計算器可供使用,也會有許多 其它網頁的線上工程計算器可選擇,但輸入順序與本節介紹的工 程計算器可能略有不同,請自行閱讀各網頁使用說明。 本節內所使用之按鍵 為第二功能鍵,在部分工程用 計算器上為 鍵,而在工程型小算盤中為 鍵。另外, 在角度的顯示上,工程用計算器是利用按鍵 來作為將數值 與角度轉換之功能鍵,而工程型小算盤是利用按鍵 與 ,且工程型小算盤將數值轉換成一般所使用的「度-分-秒」角度 單位後,小數點前為「度」,小數點後二位為「分」,小數點第三 位後為「秒」。 1. 正弦與餘弦 【ּ 1】 用工程用計算器求 sin10 36′° (精確到小數後第四位)。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵: 、

1 、

0 、 、

3 、

6 、 、

= , 螢幕上顯示結果為 0.18395135…,即所求為 0.1840。 sin DMS DMS 2ndF Shift Inv deg dms DMS

(9)

而若是使用工程型小算盤,依序按鍵:

1 、

0 、

˙ 、

3 、

6 、 、 、 , 螢幕上顯示結果為 0.18395135…,即所求為 0.1840。 ඍĈ0.1840。 ො:工程型小算盤計算三角函數時是先輸入角度再輸入函數。

ቚ ௫!

利用工程計算器求下列銳角的正弦值與餘弦值(精確到小數點後 第四位): (1) sin 28 30′° ; (2) cos 35′ ; (3) sin 60 48′° ; (4) cos 62 48′° 。 【ּ 2】 已知 sinα = 0.3688,用工程計算器求銳角α (精確到1′ )。

ś

ྋ !! 依序按鍵: 、 、

0 、

˙ 、

3 、

6 、

8 、

8 、

= , 螢幕上顯示結果為 21.6416292…(十進制度數表示),接 著依序再按鍵: 、 則螢幕上顯示結果為 21 38 29.87° ′ ′′,即α ≈ 21 38° ′。 而若是使用工程型小算盤,依序按鍵:

0 、

˙ 、

3 、

6 、

8 、

8 、 、 , 螢幕上顯示結果為 21.6416292…(十進制度數表示),接 著再按鍵: 則螢幕上顯示結果為 21.382986511…,此時小數點前為 「度」,小數點後二位為「分」,小數點第三位後為「秒」, 即α =21 38 29.86511° ′ ′′≈ 21 38° ′。 ඍĈ 21 38′° 。! ො: 工程型小算盤計算反三角函數時是先輸入數值再輸入函數。! sin 2ndF 2ndF DMS

Inv deg sin

Inv sin-1

(10)

ቚ ௫!

用工程計算器求下列正弦值或餘弦值對應的銳角α (精確到1′ ): (1) sinα = 0.8268,則α = ? (2) sinα = 0.1436,則α = ? (3) cosα = 0.3279,則α = ? (4) cosα = 0.9356,則α = ? 2. 正切與餘切 我們也可以用工程計算器求任意一個銳角的正切值,其使用 方法與求正弦值或餘弦值類似,只是按的鍵改為 鍵。而因 正切值與餘切值互為倒數,故求餘切值只需先求出正切值,再求 倒數即可。 【ּ 1】 用工程用計算器求 tan 53 49′° (精確到小數後第四位)。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵: 、

5 、

3 、 、

4 、

9 、 、

= , 而若是使用工程型小算盤,依序按鍵:

5 、

3 、

˙ 、

4 、

9 、 、 、 , 螢幕上顯示結果為 1.36716099…,即所求為 1.3672。 ඍĈ1.3672。 【ּ 2】 用工程用計算器求 cot14 32′° (精確到小數後第四位)。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵:

1 、

÷ 、 、

1 、

4 、 、

3 、

2 、 、

= ,螢幕上顯示結果為 3.85745373…,即所求為 3.8575。 而若是使用工程型小算盤,依序按鍵:

1 、

/ 、

1 、

4 、

˙ 、

3 、

2 、 、 、 、

= ,螢幕上顯示結果為 3.85745373…,即所求 為 3.8575。 ඍĈ3.8575。 tan DMS DMS tan tan DMS DMS

Inv deg tan

Inv deg tan

(11)

ቚ ௫!

利用工程計算器求下列銳角的正切值與餘切值(精確到小數點後 第四位):

(1) tan13 12′° ;(2) tan 40 55′° ;(3) tan 54 28′° ;(4) tan 89 43′° ; (5) cot 72 18′° ;(6) cot 56 56′° ;(7) cot 32 32′° ;(8) cot15 15′° 。 【ּ 3】 已知 tanα =1.4036,用工程計算器求銳角α (精確到1′ )。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵: 、 、

1 、

˙ 、

4 、

0 、

3 、

6 、

= , 螢幕上顯示結果為 54.5318877…(十進制度數表示),接著 依序再按鍵: 、 則螢幕上顯示結果為 54 31 54° ′ ′′,即α ≈ °54 32′。 而若是使用工程型小算盤,依序按鍵:

1 、

˙ 、

4 、

0 、

3 、

6 、 、 、

= , 螢幕上顯示結果為 54.53188…(十進制度數表示),接著 再按鍵: 則螢幕上顯示結果為 54.31547960…,即α ≈ °54 32′。 ඍĈ 54 32′° 。 【ּ 4】 已知 cotα =0.8637,用工程計算器求銳角α (精確到1′ )。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵: 、 、

1 、

÷ 、

0 、

˙ 、

8 、

6 、

3 、

7 、

= ,螢幕上顯示結果為 49.18282777…(十進制度 數表示),接著依序再按鍵: 、 則螢幕上顯示結果為 49 10 58° ′ ′′,即α ≈ 49 11° ′。 2ndF 2ndF tan DMS 2ndF 2ndF tan DMS Inv tan-1 dms

(12)

而若是使用工程型小算盤,依序按鍵:

1 、

/ 、

0 、

˙ 、

8 、

6 、

3 、

7 、

= 、 、 ,螢幕上顯示結果為 49.18282777…(十進制度數 表示),接著再按鍵: 則螢幕上顯示結果為 49.10581799…,即α ≈ 49 11° ′。 ඍĈ 49 11′° 。 !

ቚ ௫!

利用工程計算器求下列正切值或餘切值所對應的銳角α (精確到 1′ ): (1) tanα =0.9131,則α = ? (2) tanα =0.3314,則α = ? (3) tanα = 2.220,則α = ? (4) tanα =31.80,則α = ? (5) cotα =1.6003,則α = ? (6) cotα =3.590,則α = ? (7) cotα = 0.0781,則α = ? (8) cotα =180.9,則α = ?

௫ ᗟ ˝

! 1. 已知角α 的終邊分別經過下列各點,求角α 的四個三角函數 值: (1) (1, 2); (2) (1, 2 ); (3) (2, 5); (4) ( 2 , 3 )。 2. 求下列各式的值:

(1) 3 tan 30° +cot 45° −2 tan 45° +2 sin 60° ; (2) 2 cos 30° −4 cot 30° +3 tan 60° ;

(3) cos 45 sin 30 cos 45 sin 30 ° − ° ° + °; Inv tan-1 dms

(13)

(4) sin 452 ° +cos 602 ° ; (5) 3cot 602 2 cos 30 1 ° ° − ; (6) cos 60 1 1 sin 60 tan 30 ° + + ° ° 。 3. 利用工程計算器求下列三角函數值:

(1) sin 28 18′° 、 sin 57 43′° 、 sin 68 33′° 、 sin 72 58′° ; (2) cos 65 2′° 、 cos10 36′° 、 cos 44 15′° 、 cos 32 4′° 。 4. 回答下列問題:

(1) sin 20° +sin 40° 是不是等於 sin 60° ? (2) cos10° +cos 20°是不是等於 cos30°?

5. 已知下列三角函數值,利用工程計算器求銳角:

(1) sinα = 0.6841、 cosα = 0.3241、 sinα =0.5136; (2) cosβ =0.2839、 sinβ =0.0526、 cosβ =0.5412。 6. 利用工程計算器求下列三角函數值:

(1) tan 9 19′° 、 tan 64 10′° 、 tan 75 39′° 、 tan 79 51′° ; (2) cot 8 28′° 、 cot16 25′° 、 cot 48 27′° 、 cot 88 44′° ; (3) sin 89 32′° 、 cos 38 43′° 、 tan 5′ 、 cot14 27′° 。 7. 已知下列三角函數值,利用工程計算器求銳角:

(1) tanα =0.7817 、 cotα =1.1106、 tanα =1.0736; (2) cot

β

=3.267、 tan

β

= 2.378、 cot

β

=57.82; (3) sinx =0.86276、cos 2 3 x = 、 tanx =53.10。

!

!

!

(14)

˟ăྋۡ֎ˬ֎ԛ!

15.4 ۡ֎ˬ֎ԛ˯ᙝᄃ֎ม۞ᙯܼ

在生產實踐與科學研究中,經常須要求出線段的長度或角之 大小,這種問題常常可以歸結為求一個三角形的邊長或角之大 小。由三角形中已知的邊與角,計算未知的邊或角,叫做解三角 形。現在先來研究解直角三角形的問題。為此,我們用三角函數 來表示直角三角形上邊與角的關係。 如圖 15-7,直角三角形 ABC 中,C 是直角,斜邊是 c;銳角 A 的對邊是 a、 鄰邊是 b;銳角 B 的對邊是 b、鄰邊是 a 4。如圖 15-8 (1)或(2),建立直角座標 系。 根據三角函數的定義,可得: (1) sin A a c = 、 cosA b c = 、 tan A a b = 、 cot A b a = ; (2) sinB b c = 、 cosB a c = 、 tan B b a = 、 cotB a b = 。 4 在本章中,直角三角形 ABC 的邊與角的符號都這樣表示。 圖 15-7 A a c b C B 圖 15-8 O a (2) x y B c b C A (a, b) O a (1) x y A c b C B (b, a)

(15)

如果用α 表示直角三角形的一個銳角,那麼(1)與(2)可以概括 為(圖 15-9): 這四個式子給出了直角三角形上邊與角之間的關係。今後在 解直角三角形時。可以不必藉助於直角座標系,直接應用這些關 係式。 由於B = ° − ,從(1)與(2)還可得到 90 A 因為 90° − 與 A 的三角函數之間有上述關係,所以在求三角函數A 值的表中,正弦與餘弦可以合用一個表,正切與餘切可以合用一 個表。 【ּ】 在直角三角形 ABC 中,已知a =12、 5 b= 。求角 A、角 B 的四個三角函數 值(圖 15-10)。

ś

ྋ ! 由勾股定理,得 2 2 2 2 12 5 13 c = a +b = + = ∴ sin 12 13 a A c = = 、cos 5 13 b A c = = 、 12 tan 5 a A b = = 、cot 5 12 b A a = = 、 5 sin cos 13 B = A= 、cos sin 12 13 B = A= 、 5 tan cot 12 B = A= 、cot tan 12 5 B = A= 。 圖 15-9 對 邊 斜邊 鄰邊 α

sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan

° − = ° − = ° − = ° − = , , A A A A A A A A 圖 15-10 A a c b C B sin cos tan cot = = = = 的對邊 的鄰邊 , 斜邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 , 的鄰邊 的對邊 α α α α α α α α α α

(16)

15.5 ྋۡ֎ˬ֎ԛ

我們知道,直角三角形 ABC 的六個元素(三條邊與三個角), 除直角 C 外,其餘五個元素之間有如下的關係: (1) 三邊之間的關係 2 2 2 a +b = (勾股定理) c (2) 銳角之間的關係 90 A+ = ° B (3) 邊角之間的關係 sin cos tan cot α α α α α α α α α α = = = = 的對邊 的鄰邊 , 斜邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 , 的鄰邊 的對邊 式中的α 表示銳角 A 或銳角 B。

ቚ ௫

1. (口答) 分別說出圖中角 A、角 B 的四個三角函數值: 2. 在直角三角形 ABC 中: (1) 已知a = 、2 b = ,求角 A 的四個三角函數值; 1 (2) 已知a = 、3 b = ,求角 B 的四個三角函數值; 4 (3) 已知b= 、2 c = 29,求角 A、角 B 的四個三角函數值。 3. 把下列各式寫成角 A 或角 B 的三角函數的形式: (1) cos(90° − A); (2) tan(90° −B); (3) sin(90° −B); (4) cot(90° − A)。 (第 1 題) 10 8 6 5 9 2 14 A C B A C B

(17)

利用這些關係,知道其中的兩個元素(至少有一個是邊),就 可以求出其餘的三個未知元素。就是說,解直角三角形的問題, 只須知道直角三角形除直角外的兩個元素(至少有一個是邊)就可 解決。 【ּ 1】 如圖 15-11,在直角三角形 ABC 中, 已知b =35、c = 45,求 A、B (精確 到1° )與 a (保留兩個有效數字)。

ś

ྋ !! (1) cos 35 0.7778 45 b A c = = ≈ , 用 工 程計算器計算得 A≈ ° ; 39 (2) B = ° − ≈ ° − ° = ° ; 90 A 90 39 51 (3) a = c2 −b2 2 2 45 35 800 = − = 用工程計算器計算得a = 28.28≈ 28。 在例 1 中,由於已知邊 b、c,所以求角 A 時,我們選取含有 角 A 與邊 b、c 的關係式 cosA b c = 。 【ּ 2】 在直角三角形 ABC 中,已知a = 、15 A= °35 27′,求 b、 c 與 B(邊長保留兩個有效數字)。

ś

ྋ !! (1) ∵ cot A b a = ∴ b= acot A= ×15 cot 35 27° ′= ×15 1.4045 ≈ 21 (2) ∵ sin A a c = ; ∴ 15 15 26 sin sin 35 27 0.5800 a c A = = = ≈ ′ ° (3) B = ° − °90 35 27′= °54 33′ B 圖 15-11 C A 45 35 α

(18)

在例 2,已知 a 與 A,求 b 時,雖也可選用關係式tan A a b = , 但計算時須用除法 tan a b A = ,所以我們選用關係式 cot A b a = 。

ቚ ௫

1. 在直角三角形 ABC 中: (1) 已知 c、A,寫出求 a 與 b 的關係式; (2) 已知 b、A,寫出求 a 的關係式;已知 a、A,寫出求 b 的關係式;

(3) 已知 a、b,怎樣求 A?已知 a、c,怎樣求 A?已知 b、c, 怎樣求 A? 2. 根據下列條件解直角三角形: (1) c =10、 A= ° ; (2) 30 b =15、B = 45°; (3) a =51、c = 70; (4) a = 22、b=12。 (第(3)、(4)題要求角度精確到1° ,邊長保留兩個有效數字。)

15.6 ᑕϡᓝּ

解直角三角形的應用非常廣泛,下面舉一些例子。 【ּ 1】 廠房屋頂人字架(等腰三角形)的跨度為 10 m,角 A 為 26°(圖 15-12)。求中柱 BC (C 為底邊中點)與上弦 AB 的 長(精確到 0.01 m)。 B 圖 15-12 C A 上弦 26° 中 柱 跨度

(19)

ś

ྋ !! 由題意可知,△ABC 為直角三角形,其中C = °、A = 90 26°、 AC = m。 5 ∵ tan A BC AC = ∴ BC = AC i tan A= ×5 tan 26° = ×5 0.4877 ≈ 2.44m ∵ cos A AC AB = ∴ 5 cos cos 26 AC AB A = = ° 利用工程計算器計算可得 5 5.56 0.8988 AB ≈ ≈ m。 ඍĈBC 約為 2.44 m、AB 約為 5.56 m。! 【ּ 2】 燕尾槽的橫斷面是等腰梯形。圖 15-13 是一燕尾槽的橫 斷面,其中燕尾角 B 是 55°、外口寬 AD 是 180 mm、燕 尾槽的深度是 70 mm。求它的裏口寬 BC (精確到 1 mm)。

分析: 連結 AD,並分別作 AE、DF 垂直於 BC,則 AD = EF、

BE = FC。又BC = BE+ EF +FC = 2BE+ AD。由於 AD 已知,只要求出 BE,這個問題就解決了。

ś

ྋ !! 作 AEBC 、 DFBC 。在直角三角形 ABE 中, ∵ cotB BE AE = ∴ BE = AE icotB = 70 cot 55× ° = 70 0.7002× ≈ 49.0mm ∴ BC = 2BE+ AD ≈ ×2 49.0 180+ = 278mm ඍĈ燕尾槽的裏口寬 BC 約為 278 mm。 圖 15-13 F A D E C B

(20)

【ּ 3】 如圖 15-14,在山坡上種樹,要求株距(兩樹間的水平距 離)是 5.5 m。測得斜坡的傾斜角是 24°,求斜坡上相鄰 兩樹間的傾斜距離是多少 m (精確到 1 mm)。 分析: 如 圖 15-14(2) , ∠ =A 24° 水 平 距 離 AC = 5.5 m 、 BCAC 、△ABC 是直角三角形。只要解△ABC 求出 AB,問題就解決了。

ś

ྋ !! 在△ABC 中,∠ = ° C 90 ∵ cos A AC AB = ∴ 5.5 6.0 cos 0.9135 AC AB A = = ≈ m ඍĈ斜坡上相鄰兩樹間的傾斜距離約是 6.0 m。! 在築壩、開渠、挖河與修路時, 設計圖紙上都要註明斜坡的傾斜程 度。通常把坡面的鉛直高度 h 與水平 寬度 l 的比叫做坡度(或叫做坡比) (圖 15-15),用字母 i 表示,即 h i l = 。 坡度一般寫成 1:m 的形式,如 i = 1:5 (即 1 5 i = )。 A C B 圖 15-14 5.5 m 24° (1) (2) h l i = h:l 圖 15-15

(21)

如果把坡面與水平面的夾角記作α (叫做坡角),那麼 tan h i l α = = 。 顯然,坡度越大(於是α 角越大),坡面就越陡。 【ּ 4】 水庫大壩的橫斷面是一個梯形(圖 15-16),壩頂寬 6 m、 壩高 23 m、斜坡 AB 的坡度 i = 1:3、斜坡 CD 的坡度 i′ = 1:2.5。求斜坡 AB 的坡角α 、壩底寬 AD、斜坡 AB 的 長 (精確到 0.01 m)。

ś

ྋ !! 在圖 15-16 中,作 BEAD、CFAD。在直角三角形 ABE 與 CDF 中, BE AE = 1:3、 CF FD = 1:2.5 ∴ 3AE = BE = ×3 23= 69m FD = 2.5CF = 2.5 23× =57.5m ∴ AD = AE + EF + FD =69 6 57.5 132.5+ + = m 因為斜坡 AB 的坡度 tan 1 3 i = α = ,利用工程計算器計算 可得α ≈ °18 26′。 ∵ BE sin AB = α ∴ 23 72.73 72.7 sin sin18 26 BE AB α = = = ≈ ′ ° m ඍĈ斜坡 AB 的坡角α 約為18 26′° 、壩底寬 AD 約為 132.5 m、 斜坡 AB 的長約為 72.7 m。! 圖 15-16 1:3 B C A F α E 6 23 D 1:2.5

(22)

在例 4 中,也可由 BE AE =1:3,得 BE AB =1: 10 ,求得 10 10 23 72.7 AB = i BE = × ≈ m。

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1. 如圖,某廠庫間的人字屋架為等腰三角形,跨度 AB = 12 m、 22 A ∠ = ° ,求中柱 CD 與上弦 AC 的長(精確到 0.01 m)。 2. 如圖,在離地面高 5 m 處引拉線固定電線桿,拉線與地面成 60° 角,求拉線 AC 的長、拉線下端點 A 離桿底 D 多遠 (精 確到 0.01 m)。 3. 如圖,沿 AC 方向開山修渠,為了加快施工進度,要在小山 的另一邊同時施工。從 AC 上的一點 B 取ABD =140° 、BD = 520 m、∠ = °,那麼開挖點 E 離 D 多遠 (精確到 0.1 m),D 50 才能使 A、C、E 成一直線? 4. 如圖,一鐵路路基的橫段面為等腰梯形 ABCD,根據圖示數 據計算出路基下底寬 AD (精確到 0.1 m)與坡角α A D (第 1 題) C B A C B (第 2 題) D 5 m (第 3 題) 50° D E B A C 140° (第 4 題) 9.8 m 5.8 m B i = 1:1.6 A D C α

(23)

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! 1. 分別寫出下圖中角 A、角 B 的四個三角函數值: 2. 在直角三角形 ABC 中(C = °): 90 (1) 已知a = 、9 c =15,求角 A 的四個三角函數值; (2) 已知b = 21、c = 29,求角 A 的四個三角函數值; (3) 已知a = 、2 b = ,求角 A 與角 B 的四個三角函數值。 6 3. 判斷邊長為 8 cm、15 cm、17 cm 的三角形式不是直角三角形, 如果是直角三角形,求最小邊所對角的四個三角函數值。 4. 在直角三角形 ABC 中(C = °): 90 (1) a c 是角 A 的什麼三角函數值,是角 B 的什麼三角函數值? (2) b c 是角 A 的什麼三角函數值,是角 B 的什麼三角函數值? (3) a b 是角 A 的什麼三角函數值,是角 B 的什麼三角函數值? 5. 根據下列條件解直角三角形(不用工程計算器): (1) c =10、 A= 45°; (2) 6a = 、B = ° ; 30 (3) a =50、c =50 2 ; (4) a =8 5、b=8 15 。 C (第 1 題) (1) (2) A (3) B C A B C A B 73 55 10 16 8 73

(24)

6. 根據下列條件利用工程計算器解直角三角形: (1) 8.035c = 、 A= °38 19′; (2) b =7.234、 A= °7 20′; (3) a = 25.64、b =32.48。 7. 已知等腰三角形的頂角為 78 4′° 。底邊上的高是 28.5 cm,求腰 長與面積(保留三個有效數字)。 8. 如圖,在離鐵塔 150 m 的 A 處,用測角儀器測得塔頂的仰角5 為 30 12′° 。已知測角儀器高 AD = 1.5 m,求鐵塔高 BE(精確到 0.1 m)。 9. 在加工如圖的墊模時,須計算斜角α 。根據圖示尺寸求α 。 10. 如圖,一攔水壩的橫斷面為梯形 ABCD,根據圖示數據求坡角 α 與β 、壩底寬 AD 與斜坡 AB 的長(精確到 0.1 m)。 5 在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的叫做仰角,在水平線下方 的叫做俯角。 (第 8 題) 150 m A E D B 30 12′° (第 9 題) 83 α 124 150 140 A E i =1:2.5 B 4.2 m C D 7.5 m (第 10 題) 2.8 m α β

(25)

11. 如圖,利用土堤修築一條渠道:在堤中間挖去深為 0.6 m 的一 塊(圖中的(三)是挖去部分之橫斷面),把挖出來的土填在兩旁 (圖中的(一)、(二)是填土部分之橫斷面)即成一渠道。已知渠 道內坡度為 1:1.5,渠道底寬 BC 為 0.5 m,求: (1) 橫斷面(等腰梯形)ABCD 的面積; (2) 修一條長 100 m 的渠道要挖出多少方土?

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15.7 ̼น֎ˬ֎בᇴࠎዟ֎ˬ֎בᇴ

在生產實踐與科學研究中,也常遇到解斜三角形(銳角三角形 或鈍角三角形)的問題。為了研究斜三角形上邊與角間的關係,我 們先討論 90° ≤ <α 180° 時,角α 的三角函數之情況。 當α = ° 時,角90 α 的終邊與 y 軸的正半 軸 Oy 重合(圖 15-17),這時角α 的終邊上任 一點 P (x, y),有x = 、 y r OP0 = = ,所以 sin 90 1 cos 90 0 tan 90 cot 90 0 y x r r x y ° = = ° = = ° = ° = = , 不存在, 當 90° < <α 180° 時,角α 的終邊在第二象限(圖 15-18),這時 角α 的終邊上任一點 P (x, y),有x < 、0 y > 、0 r =OP > 。故 0 (第 11 題) A i =1:1.5 B (二) C D (三) (一) 圖 15-17 O x y r P (x, y) 90°

(26)

sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 y x r r y x x y α α α α = > = < = < = < , , 我們知道銳角三角函數的值都是正的。 (為什麼?)但是,對於鈍角三角函數來說,除 正弦的值仍是正的以外,餘弦、正切、餘切 的值都是負的。 【ּ 1】 已知角α 的終邊經過點 P( 3− , 4),求角α 的四個三角函 數值(圖 15-19)。

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ྋ !x = − 、3 y = 4 ∴ r = ( 3)− 2 +42 = 25 = 5 ∴ sin 4 5 y r α = = cos 3 5 x r α = = − tan 4 3 y x α = = − cot 3 4 x y α = = − 對於給定的一個鈍角,怎樣求出它的三角函數值呢? 銳角的三角函數值可以查表求得,如果我們能夠把鈍角的三 角函數轉化為銳角的三角函數,那麼求鈍角的三角函數值之問題 就解決了。 容易知道,任意一個鈍角都可以表示成180° − 的形式,其α 中α 為銳角。例如,120° =180° − °。我們來研究鈍角18060 ° − 與α 銳角α 的三角函數之間之關係。 圖 15-18 O x y r P (x, y) α y x M O 圖 15-19 x y P( 3− , 4) α

(27)

如圖 15-20,在鈍角180° − 的終邊α 上任取一點 P(x, y),設 OP = 。在銳角r α 的 終 邊 上 取 一 點 P (1 x y ) , 使1, 1 1 OP = 。那麼,因為OP 與r OP 與 y 軸1 成相等的角,且OP = OP1所以點 P 與點 1 P 關於 y 軸對稱。於是,這兩個點的座 標有下面的關係: 1 x = − 、x y = y1 ∴ sin(180 ) y y1 sin r r α α ° − = = = cos(180 ) x x1 cos r r α − α ° − = = = − 1 1 tan(180 ) y y tan x x α α ° − = = = − − 1 1 cot(180 ) x x cot y y α − α ° − = = = − 當α 為銳角時,有 這些公式今後經常用到,要記住。 【ּ 2】 求下列三角函數值: (1) sin120° ; (2) cos158 14′° ; (3) tan135° ; (4) cot150 18′° 。

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ྋ ! (1) sin120 sin(180 60 ) sin 60 3 2 ° = ° − ° = ° = ; (2) cos158 14° ′ =cos(180° − °21 46 )′ cos 21 46 0.9287 ′ = − ° = − ° − = ° − = − ° − = − ° − = − sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot

, , α α α α α α α α 圖 15-20 O x y r P (x, y) α r P (1 x y1, 1) 180° −α

(28)

(3) tan135° = tan(180° − ° = −45 ) tan 45° = − ; 1 (4) cot150 18° ′= cot(180° − °29 42 )′ cot 29 42 1.753 ′ = − ° = − 【ּ 3】 (1) 已知sin 5 6 α = 、 0° < <α 180° ,求α ; (2) 已知 cosα = −0.8728、 0° < <α 180° ,求α 。

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ྋ !! !(1) 已知sin 5 0.8333 6 α = ≈ 、0° < <α 180°,所以α 可以 是銳角,也可以是鈍角。利用工程計算器計算可得 sin 56 27° ′= 0.8333, ∴ α1 = °56 27′ 又 ∵ sin(180° − °56 27 )′ =sin 56 27° ′= 0.8333 ∴ α2 =180° − °56 27′ =123 33° ′ 本題有兩解: 1 56 27 α = ° ′、α2 =123 33° ′。 (2) 已知 cosα 為負值,且 0° < <α 180°,所以α 是鈍角。 設α =180° − ,θθ 為銳角,於是

cos

α

=cos(180° −

θ

)= −cos

θ

= −0.8728,

可得 cosθ = 0.8728。利用工程計算器計算後可得知 θ = 29 13° ′,所以 α =180° − °29 13′ =150 47° ′。

ቚ ௫!

1. 已知角α 的終邊分別經過下列各點,求角α 的四個三角函數 值: (1) (− , 2); (2) ( 12 − , 3 ); (3) ( 2− , 5 ); (4) (0, 3)。 2. 求下列三角函數值:

(1) sin135° 、 cos120° 、 tan150° 、 cot150° ;

(2) sin118 8′° 、 cos100 24′° 、 tan 95 12′° 、 cot151 42′° ; (3) cos123 26′° 、 sin 90 10′° 、 cot134 43′° 、 tan172 21′° ;

(29)

ቚ ௫!

3. 已知 0° < <θ 180° ,求下列各式中的θ 值: (1) sin 1 2 θ = ; (2) sinθ =0.6517; (3) cos 3 2 θ = − ;

(4) cosθ = −0.3541 (5) tanθ = −3.566; (6) cot 3 3 θ = − 。

15.8 ዶؽؠந

在本節與下節,我們來證明兩個重要定理—餘弦定理與正弦 定理,並說明怎樣利用這兩個定理來解斜三角形。 以三角形 ABC 的頂點 A 為 原點,射線 AC 為 x 軸的正半 軸 , 建 立 直 角 座 標 系 , 如 圖 15-21。這時,頂點 B 可看作角 A 終邊上的一個點,它到原點 的距離 r = 。設點 B 的座標為c (x, y),由三角函數的定義可 知,不論角 A 是銳角、鈍角還 是直角,都有 x cosA c = 、 sin y A c = ,所以x =ccosAy =csin A即點 B 的座標是( cosc A , csin A )。又點 C 的座標是(b, 0),根據 兩點間的距離公式,可得 2 2 ( cos ) ( sin ) a = BC = b cA + −c A 兩邊平方,得 2 2 2 ( cos ) ( sin ) a = −b c A + −c A 化簡等式右邊: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( cos ) ( sin ) 2 cos cos sin (sin cos ) 2 cos

2 cos b c A c A b bc A c A c A b c A A bc A b c bc A − + − = − + + = + + − = + − 圖 15-21 O x y c B (x, y) y x A b C (b, 0) a

(30)

於是 a2 =b2 + −c2 2bccos A (1) 如果以△ABC 的頂點 B 或頂點為原點,如圖 15-22 建立直角 座標系,同樣可證明 b2 =c2 +a2 −2cacosB (2) c2 = a2 +b2 −2abcosC (3) 由此,我們得到關於任意三角形的三條邊與一個角度間關係 的重要定理: 餘弦定理: 三角形任何一邊的平方等於其它兩邊平方的和減 去這兩邊與它們夾角的餘弦之積的兩倍。 如果三角形 ABC 中有一個角是直角,例如,C = °,這時90 cosC = ,由餘弦定理可得0 c2 = a2 + ,這就是勾股定理。由此b2 可見,餘弦定理是勾股定理的推廣,而勾股定理是餘弦定理的特 例。 由(1)、(2)、(3)式可得: + − = + − = 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 b c a A bc c a b B ca 圖 15-22 O x y b C (x, y) B c A (c, 0) a O x y b A (x, y) C a B (a, 0) c = + − = + − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C

(31)

+ − = 2 2 2 cos 2 a b c C ab 利用餘弦定理可以解決以下兩類解斜三角形的問題: (1) 已知三邊,求三個角; (2) 已知兩邊與它們的夾角,求第三邊與其它兩個角。 【ּ】 在△ABC 中,已知a = 、7 b =10、c = ,求 A、B 與 C 6 (精確到1° )。

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ྋ ! (1) 2 2 2 2 2 2 10 6 7 87 cos 0.7250 2 2 10 6 120 b c a A bc + − + − = = = = × × ,用 工程用計算器計算,得 A≈ 44°; (2) 2 2 2 2 2 2 7 10 6 113 cos 0.8071 2 2 7 10 140 a b c C ab + − + − = = = ≈ × × ,用 工程用計算器計算,得C ≈ °; 36 (3) B =180° −(A C+ ) ≈180° −(44° + ° =36 ) 100°。 注意:例題中我們先利用餘弦定理求出兩個銳角 A 與 C,然後利 用「三角形內角和定理」求角 B,B =100°,是一個鈍角。 如果用餘弦定理求角 B,由於角 B 是鈍角,cos B 應該取負 值。一般已知三角形的三邊求角時,根據「三角形內大邊 所對的角較大」,我們只要先求較小的邊所對的角,這時 所求的角必為銳角(想一想這是為什麼)。

ቚ ௫!

1. 在三角形 ABC 中: (1) 已知b = 、8 c = 、3 A = ° ,求 a; 60 (2) 已知a = 20、b= 29 、c = 21,求 B; (3) 已知a =3 3、c = 、2 B =150° ,求 b; (4) 已知a = 、2 b = 2 、c = 3 1+ ,求 A。 2. 根據下列條件解三角形: (1) a =31、b= 42 、c = 27; (2) a = 、9 b =10、c =15。

(32)

15.9 ϒؽؠந

如圖 15-23,以△ABC 的頂點 A 為原點,邊 AC 所在的射線為 x 軸 的正半軸建立直角座標系。由上節 我們知道,頂點 B 的座標是( cosc A , sin c A )。容易知道,AC 邊上的高 BE 就是 B 點的縱座標 sinc A,於是 △ABC 的面積 1 1 sin 2 2 S = × AC BE× = bc A。 同樣可得(參看圖 15-22): 1 sin 2 S = ca B、 1 sin 2 S = ab C 。 由此,我們得到關於任意三角形面積的公式: 也就是說三角形的面積等於任意兩邊與它們夾角的正弦的 積的一半。 將等式 1 1 1

sin sin sin 2bc A= 2ca B = 2ab C 各除以 1

2abc ,可得

sin A sinB sinC a = b = c 。 由此,我們得到關於任意三角形邊與角間的關係的另一個重 要定理: 正弦定理: 在一個三角形中,各邊與它所對角的正弦的比相等 圖 15-23 O x y c B ( cos , sinc A c A ) E A b C a

= 1 sin = 1 sin = 1 sin

2 2 2

S bc A ca B ab C

= = sin sin sin

a b c

(33)

如果三角形 ABC 中有一個角是直角,例如,C = °,這時90 sinC = ,由正弦定理可得 sin1 A a c = 、 sinB b c = ,這與 15.4 節直 角三角形內邊與角的關係是一致的。 利用正弦定理與三角形內角和定理,可以解決以下兩類解斜 三角形的問題: (1) 已知兩角與任一邊,求其它兩邊與一角; (2) 已知兩邊與其中一邊的對角,求另一邊的對角(從而進一 步求出其它的邊與角)。 【ּ 1】 在△ABC 中,已知c = 、10 A= 45°、C = °,求 b 與 S30 (結果保留兩個有效數字)。

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ྋ ! (1) ∵ sin sin b c B = CB =180° −(A C+ ) ∴ sin[180 ( )] sin c A C b C ° − + = 10sin[180 (45 30 )] sin 30 10sin 75 1 2 19.3 ° − ° + ° = ° ° = ≈ (2) 1 sin 1 19.3 10 sin 45 68 2 2 S = bc A≈ × × × ° ≈ 。 【ּ 2】 在△ABC 中,已知a = 20、b= 28、A= 40°,求 B(精確 到1° )與 c (結果保留兩個有效數字)。

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ྋ ! (1) sin sin 28sin 40 0.8999 20 b A B a ° = = ≈ ,利用工程計算 器計算可得銳角B1 = ° 。 64 又因sin(180° −B1) =sin B1,鈍角 B2 =180° − 也符B1 合題設條件,可得B2 =180° − ° =64 116° 。

(34)

(2) 當B1 = ° 時, 64 1 1 sin[180 ( ) sin 20 sin[180 (40 64 )] sin 40 20 sin 76 sin 40 30 a A B c A ° − + = ° − ° + ° = ° ° = ° ≈ i i 當B2 =116° 時, 1 2 sin[180 ( ) sin 20 sin[180 (40 116 )] sin 40 20 sin 24 sin 40 13 a A B c A ° − + = ° − ° + ° = ° ° = ° ≈ i i 想一想:例 2 用餘弦定理怎樣求解? 在圖 15-24 中,我們先畫出 40 PAQ ∠ = °,接著在 AQ 上取出 28 AC = =b mm,以 C 為圓心、 20 a = mm 為半徑畫弧。可以看 到,所畫的弧與 AP 相交於兩點 1 B 、 B ,因而可以作出兩三角2 形,△ AB C 與△1 AB C 都符合題2 設條件,這就表示例 2 有兩解。 【ּ 3】 在△ABC 中,已知a = 60、b=50、A= °,求 B(精確38 到1° )與 c (結果保留兩個有效數字)。 圖 15-24 b Q P C A a a 1 B 2 B 1 c 2 c

(35)

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ྋ ! (1) 已知 b< ,所以 B Aa < ,B 也為銳角。 sin 50 sin 38 sin 0.5131 60 b A B a ° = = ≈ ,利用工程計算 器計算可得銳角B = ° 。 31 (2) 1 sin sin a C c A = sin[180 ( ) sin sin( ) sin 60 sin(38 31 ) sin 38 60 sin 69 sin 38 91 a A B A a A B A ° − + = + = ° + ° = ° ° = ° ≈ i i 【ּ 4】 在△ABC 中,已知a =18、b =20 、 A=150° ,解這個 三角形。

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ྋ ! 這裡 A 為鈍角,a 應是最長邊,但 b a> ,所以本題無解。 對於例 3 與例 4,按照圖 15-24 的方法,試畫三角形,結果 怎樣? 一般地,已知兩邊與其中一邊的對角解三角形,有兩解、一 解、無解三種情況。圖 15-25(a)、(b)說明了在△ABC 中,已知 a、 b 與 A 時解三角形的各種情況。 (1) A 為銳角: b C A a b C A a B sin a< b A 無解 sin a =b A 一解

(36)

(2) A 為直角或鈍角:

ቚ ௫!

1. 在三角形 ABC 中: (1) 已知c = 3、 A= 45°、B = ° ,求 b、 S60 ; (2) 已知b =12、 A= ° 、30 B =120° ,求 a。 (結果保留兩個有效數字) 2. 根據下列條件解三角形(如果有解,角度精確到1°,邊長保留 兩個有效數字): (1) a =15、b=10、 A= ° ; 60 (2) b = 40、c = 20、C =25° ; (3) b = 、11 a = 25、B = ° 。 30

15.10 ᑕϡᓝּ

下面舉例說明解斜三角形在實際中的一些應用。 圖 15-24 (a) b C A a a 1 B 2 B b C A B a sin b A< <a b 兩解 ab 一解 b C A a ab 無解 a > b 一解 b C A a B 圖 15-24 (b)

(37)

【ּ 1】 自動卸貨汽車的車廂採用液壓機構。設計時須要計算油 泵頂桿 BC 的長度(圖 15-26)。已知車廂的最大仰角為 60° ,油泵頂點 B 與車廂支點 A 之間的距離為 1.95 m、 AB 與水平線之間的夾角為 6 20′° 、AC 長為 1.4 m,計算 BC 的長(保留三個有效數字)。 分析: 此題就是在△ABC 中,已知 AB =1.95m、AC =1.40m、 60 6 20 66 20 BAC ′ ′ ∠ = ° + ° = ° ,求出 BC 的長。由於已知 △ABC 的兩邊與一夾角,所以可根據餘弦定理求出 BC。

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ྋ !! 由餘弦定理: 2 2 2 2 2 2 cos 1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos 66 20 BC = AB + ACAB AC A ′ = + − × × ° i 用工程計算器計算得BC ≈1.89m。 ඍĈ頂桿 BC 約長 1.89 m。! 【ּ 2】 為了在一條河上建一座橋,施 工 前 在 兩 岸 打 上 兩 個 橋 位 樁 A、B(圖 15-27)。要精確測量出 A、B 兩點間的距離,測量人員 在 岸 邊 訂 出 基 線 BC , 測 得 78.35 BC = m、角B =69 43° ′、 角C = 41 12° 。計算 AB 的長(精′ 確到 0.01 m) 圖 15-26 C A 60° B 6 20′° 圖 15-27 A C B

(38)

ś

ྋ !! 在△ABC 中,已知a = 78.35、B =69 43° ′、C = 41 12° ′。 180 ( ) 180 (69 43 41 12 ) 69 5 A= ° − B C+ = ° − ° ′+ ° ′ = ° ′ 由正弦定理,可得 sin 78.35 sin 41 12 sin sin 69 5 a C c A ′ × ° = = ′ ° 。 用工程計算器計算得c ≈55.26m。 ඍĈ橋位樁 A、B 間的距離約為 55.26 m。 【ּ 3】 圖 15-28 是曲柄連桿機構的示意圖。當曲柄 CB 繞 C 點 旋轉時,通過連桿 AB 的傳遞,使活塞做直線往復運動。 當曲柄在CB 位置時,曲柄與連桿成一直線,連桿的端0 點 A 在 A 處。設連桿 AB 長 340 mm、曲柄 CB 長 85 mm,0 求曲柄自CB 按順時針方向旋轉 800 ° 時,活塞的移動距 離(即連桿的端點 A 移動的距離 A A )(精確到 1 mm)。 0 分析: 因為 A A0 = A C0AC ,又知 A C0 = AB+ BC =340 85+ = 425 mm,所以只要求出 AC 的長,問題就解決了。而在 △ABC 中,已知兩邊與其中一邊的對角,可以由正弦定 理求出 AC。

ś

ྋ !! 在△ABC 中,由正弦定理可得: sin 85 sin 80 sin 0.2462 340 BC C A AB × ° = = ≈ , 用工程計算器計算得 A≈ °14 15′; 圖 15-26 C A 80° B 0 A B0 A C 80° B 0 A B0 (1) (2)

(39)

再由正弦定理,可得: sin 340 sin 85 45 sin sin 80 AB B AC C ′ × ° = = ° , 用工程計算器計算得 AC ≈344.3mm; 因此, 0 0 ( ) (340 85) 344.3 80.7 81 mm A A A C AC AB BC AC = − = + − = + − = ≈ ඍĈ曲柄自CB 轉 800 ° 時,活塞的移動距離約為 81 mm。

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1. 如圖,為了測量兩點 A、B(這兩點之間不能互相看到,也不 能直達)間的距離,在地面上選擇適當的點 C,測得 AC = 213.4 m、BC = 252.1 m、ACB = °50 13′。計算 AB 的長。 2. 如圖,某零件要鑽三個孔 A、B、C,已知孔心距 AB = 112.5 mm、BC = 75.4 mm、AC = 114.2 mm,如果 A、B 兩孔已加 工完畢,刀桿在 B 孔處,刀桿要沿著 BA 方向與垂直於 BA 方向各移動多少 mm(即求 x 與 y,精確到 0.1 mm),才能鑽出 C 孔? (第 1 題) B A C (第 2 題) A C B y x

(40)

ቚ ௫

3. 如圖,要測底部不能到達的煙囪高 AB 從與煙囪底部在同一 水平直線上的 C、D 兩處,測得煙囪的仰角分別是α = °35 12′ 與

β

=49 28° ′,C、D 間的距離是 11.12 m。已知測角儀器高 1.52 m,求煙囪的高。 4. 圖為曲柄連桿機構示意圖。當曲柄 OA 在水平位置 OB 時, 連桿端點 P 在 Q 的位置。當 OA 自 OB 按順時針方向旋轉α 角時,P 與 Q 之間的距離是 x。已知 OA = 25 cm、AP = 125 cm,求在下列條件下的 x 值: (1) α = ° ; (2) 50 α = ° ; 90 (3) α =135° ; (4) OAAP; (第 3 題) B D C A C α β 1 C D1 1 A (第 4 題) P Q x B A O α

(41)

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1. 求下列三角函數值:

(1) sin158 54′° 、 cos172 36′° 、 tan105 6′° 、 cot 91 42′° ; (2) sin136 27′° 、 cos118 38′° 、 tan155 56′° 、 cot142 19′° 。 2. 把下列各式寫成銳角α 或β 的三角函數的形式:

(1) sin (180° −

α

); (2) cos (180° −

β

); (3) tan (90° −α); (4) cot (180° −β)。 3. 設 A、B、C 為一個三角形的三個內角,求證:

(1) sin (A+ B) =sinC ; (2) cos (B C+ ) = −cosA

4. 求適合下列各式的三角形內角 A: (1) sin 2 2 A= 、cos 1 2 A= − 、 tan A= − 、 cot1 A= − 3 ; (2) sin A =0.2529、 cos A= −0.9756、 tan A= −1.998。 5. 在△ABC 中: (1) 已知a = 49、b = 26、C =107° ,求 c、B; (2) 已知a =84 、b =56、c =74,求 A; (3) 已知c =68、 A= ° 、34 B = ° ,求 a 與 S56 。 (本題要求角度精確到1° ,邊長、面積保留兩個有效數字) 6. 根據下列條件,解三角形(角度精確到1° ,邊長保留兩個有效 數字): (1) b= 26 、c =15、C = 23° ; (2) b=54、c =39、C =115° 。 7. 從四邊形操場 ABCD 內的 O 點, 測 得 OA=39.8 m 、 OB = 36.7 m、OC = 42.3m、OD = 44.1m、 88 AOB ∠ = ° 、 ∠BOC = ° 、76 102 30 COD ′ ∠ = ° ,求這個操場的 面積(保留兩個有效數字)。 (第 7 題) 102 30′° 76° 88° A D C B

(42)

8. 已知平行四邊形兩條鄰邊的長分別是 4 6 cm 與 4 3 cm,它們 的夾角是 45°,求這個平行四邊形的兩條對角線的長與它的面 積。 9. 如圖,已知平行四邊形 ABCD 的對角線 AC = 57 cm,它與兩 條鄰邊 AB 與 AD 的夾角分別是α = 27°與β = °,求 AB 與35 AD (精確到 1 cm)。 10. 為了開鑿隧道,要測量隧道口 D、E 間的距離。為此在山的一 側選取適當的點 C(如圖),測得 CA = 482.8 m、CB = 631.5 m、 56 18 ACB ′ ∠ = ° ,及 A、B 兩點到隧道口的距離 AD = 80.12 m、 BE = 40.24 m(A、D、E、B 在一直線上)。計算隧道 DE 的長。 11. 如圖,一艘船以 32.2 km/小時的速度向正北航行。在 A 處看燈 塔 S 在船的北偏東 20°,半小時後航行到 B 處,在 B 處看燈塔 S 在船的北偏東 65°。求燈塔 S 與 B 處的距離(精確到 0.1 km)。 12. 如圖,在山頂鐵塔上 B 處測得地面上點 A 的俯角α = °54 40′, 在塔底 C 處測得點 A 的俯角β = ° 。已知鐵塔 BC 部分高50 1′ 27.3 m,求山高 CD(精確到 1 m)。 (第 9 題) β α A D C B (第 10 題) A D C B E (第 12 題) A C B α β (第 11 題) 65° 20° A S B 北 東 南 西

(43)

13. 如圖,貨輪在海上以 35 km/小時的 速度沿著方位角(從指北方向順時 針轉到目標方向線的水平角)為 148° 的方向航行。為了確定船位, 在 B 點觀測燈塔 A 的方位角是 126° ,航行半小時後到達 C 點, 觀測燈塔 A 的方位角是 78°。求貨 輪到達 C 點時與燈塔 A 的距離(精 確到 1 km)。

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一、本章主要內容是三角函數的初步概念與解三角形的方 法。 二、設角α 的頂點在原點 O,始邊與 x 軸的正半軸重合,終 邊上任一點 P 的座標是(x, y), OP = 。角r α 的三角函數是: 角α 的正弦 sin y r α = 、角α 的餘弦 cos x r α = 、 角α 的正切 tan y x α = 、角α 的餘切 cot x y α = 。 三角函數間有下列關係:

(1) sin(90° −

α

)= cos

α

, cos(90° −

α

) =sin

α

tan(90° −

α

)= cot

α

, cot(90° −

α

)= tan

α

(2) sin(180° −

α

) =sin

α

, cos(180° −

α

) = −cos

α

tan(180° −

α

)= −tan

α

, cot(180° −

α

)= −cot

α

(第 13 題) 78° 126° A C B 北 北 148°

(44)

三、特殊角的三角函數值: 非特殊銳角的三角函數值可以查三角函數表或利用工程計 算器計求得。求鈍角的三角函數值,可以根據角180° − 與角α α 間 的三角函數關係式,把它轉化為求銳角的三角函數值。 若已知銳角或鈍角的三角函數值,可得此銳角或鈍角的值。 四、設直角三角形的一個銳角是α 。 sin cos tan cot α α α α α α α α α α = = = = 的對邊 的鄰邊 , 斜邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 , 的鄰邊 的對邊 利用這些關係式以及勾股定理與兩銳角互餘的關係,可以解 直角三角形,關鍵在於適當選用恰含一個未知量的關係式。 五、任意三角形 ABC 中,邊與角間有如下的關係: (1) 餘弦定理: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C ⎧ = + − ⎪ = + ⎨ ⎪ = + ⎩ 30° 45° 60° 90° sinα 1 2 2 2 3 2 1 cosα 3 2 2 2 1 2 0 tanα 3 3 1 3 不存在 cotα 3 1 3 3 0 α 值 三角函數 數 函 角 三

(45)

(2) 正弦定理:

sin sin sin

a b c A = B = C 解任意三角形的問題可以分為下列四種類型: (1) 已知三邊; (2) 已知兩邊與它們的夾角; (3) 已知兩角與一邊; (4) 已知兩邊與其中一邊的對角 一般地,(1)、(2)兩種類型可用餘弦定理與三角形內角和定理 來解;(3)、(4)兩種類型可用正弦定理與三角形內角和定理來解。 第(1)、(2)、(3) 種三種類型的問題,或者只有一解,或者無解。 第(4)種類型的問題,可有兩解、一解或無解。 根據三角形中已知的邊與角(至少包含一條邊)的大小,可以 計算出未知的邊與角的大小。這樣從數量上進一步闡明了三角形 中各元素間的關係,使我們對三角形的認識又深入了一步。

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1. 已知角α 的終邊分別經過下列各點,求角α 的的四個三角函 數值。 (1) ( 8− , 6); (2) (5, 7 ); (3) (− 2 , 3 ); (4) (0,2 3 ) 2. 在直角三角形 ABC 中,角 C 為直角,CD 是斜邊 AB 上的高。 分別寫出等於角 A 的正弦、餘弦、正切的線段的比。這樣的 比有多少個? 3. 求下列各式的值:

(1) tan 1502 ° +2 sin 60° +tan 45 sin 90° ° −tan 60° +cos 302 ° ; (2) cos 60 sin 1352 3tan 302 cos 302 sin 30

4 ° − ° + ° + ° − ° ; (3) sin 90 tan 45 sin120 ° ° − ° ; (4)

tan 30 cos135 sin 60 cot120 sin150

° ° °

° ° 。 4. 求下列三角函數值:

(1) sin162 21′° 、 cos103 16′° 、 tan 93 53′° 、 cot145 3′° ; (2) sin109 43′° 、 cos167 4′° 、 tan151 32′° 、 cot100 32′° 。

(46)

5. 求適合下列各式的三角形的內角α ( 0° < <α 180° ):

(1) sin 3 2

α = 、 cosα = −0.6581、 tanα =35.43;

(2) sinα =sin15° 、 cosα = −cos 45° 、 cot− α =cot115°。 6. 設 A、B、C 是一個三角形的三個內角,求證: (1) sin cos 2 2 A+B = C ; (2) tan cot 2 2 B C+ = A 。 7. 沿著水庫攔水壩的背水坡將壩面加寬 2.0 m,坡度由原來的 1:2 改成 1:2.5。已知原背水坡長 BD = 13.4 m、壩長 90 m, 求完成這一工程需多少方土(保留兩個有效數字)。 8. 直角三角形 ABC 中,已知 A = °32 20′, 角 A 的平分線 AT = 14.7 cm。求直角邊 BC 與斜邊 AB 的長(保留三個有效數字)。 9. 某型號飛機的機翼如圖,根據圖示尺寸 計算 AC、BD 與 AB 的長度(保留三個有 效數字)。 10. 縫紉機挑線桿的形狀 如圖,在加工時須要計 算 A、C 兩孔中心的距 離。若 BC = 60.5 mm、 AB = 15.8 mm 、 80 ABC= ° , 求 AC (保留三個有效數字)。 11. 已知梯形 ABCD 的上底 DC = 15.3 cm、下底 AB = 24.2 cm、 一腰 AD = 12.0 cm、另一腰 BC = 11.7 cm,求這梯形的各角 與面積(保留三個有效數字)。 (第 7 題) A D C B E F 2.0 1:2.5 1:2 (第 9 題) 30° 45° A C B D 5 m 3.4 m (第 10 題) 15.8 80° A 60.5 B C

(47)

12. 已知△ABC 的面積為 12 cm2,邊長 a = 6 cm、b = 8 cm,求這 兩邊的夾角 C,並畫圖說明解的情況。 13. 在△ABC 中,AD 為角 A 的平分線,用正弦定理證明: BD AB DC = AC 14. 如圖,A、B 兩點間有小山與小河, 為求 AB 的長,選擇一點 D,使 AD 可直接丈量且 B、D 兩點可以互相看 到,再在 AD 上選一點 C,使 B、C 兩點可以互相看到。已測得: 149.46 AC = m、CD =52.61m、 108 15 ADB ′ ∠ = ° 、∠ACB =120 25° ′。 求 AB。 15. 某漁船在航行中不幸遇險,發出呼 救信號。有一艘軍艦在 A 處獲悉 後 , 立 即 測 出 該 漁 船 在 方 位 角 為 45°、距離為 10 km 的 C 處,並測 得漁船正沿方位角為105° 的方向, 以 9 km/小時的速度向小島 B 靠攏。 這一艘軍艦立即以 21 km/小時的速 度前去營救。求出軍艦的航向與靠近漁船所需的時間(提示: 設軍艦收到信號後 x 小時在 B 處靠攏漁船)。 16. 用餘弦定理證明:平行四邊形兩對角線平方的和等於四邊平方 的和。 17. 根據三角形的面積公式(海倫公式(Heron’s Formula)) ( )( )( ) S = s sa s b s c− − (其中 1( ) 2 s = a b c+ + ,a、b、c 是三角形三邊的長),計算下 列各題中的三角形面積 S。 (1) a = 20、b =13、c = 21; (2) a =17、b = 21、c =10。 (第 14 題) D C A B (第 15 題) A C B 105° ? 北 北 45°

參考文獻

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