第十五章 解三角函數

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15.1 ˬ֎בᇴ

修建山上供水系統時，沿著水平 面 成α 角 的 斜 坡 鋪 設 水 管 。 如 圖 15-1，當水管從坡底 O 處向上鋪設到 P 處。P 離水平面的高為 MP，繼續 向上鋪設到 P′ 處， P′ 離水平面的高 為 M P′ ′ ，鋪設的水管越長，管口離 水平面也越高。容易看出，△OPM ～△ OP M′ ′ ，因此， MP M P OP OP ′ ′ = ′ 。這就是說，當角α 的大小一定 時，管口離水平面的高與管長之比是一個定值。 想一想：當角α 是 30°時，上面所說的比值是多少？ 上面的實例啟發我們進一步研究與角有關的一些比。 設有一個角α ，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為 x 軸之正半軸 Ox，建立直角座標系(圖 15-2)。在角α 的終邊上任 取一點 P(x, y)，它與原點 O(0, 0) 的距離是 2 2 r = x + y (r 總是正 的)。可以得到比值 y r 、 x r 、 y x 、 x y 。 設 P′ ( ,x′ y′)是角α 的終邊上另一 點， P′ 到原點 O(0, 0) 的距離是 2 2 r′= x′ + y′ 。又可以得到比值 y r ′ ′ 、 x r ′ ′ 、 y x ′ ′ 、 x y ′ ′ 。 α P M O P′ M ′ h 圖 15-1 α P(x, y) M O ( , ) P x y′ ′ ′ M ′ x 圖 15-2 y r x y

過 P 與P′ 分別畫 x 軸的垂線 MP 與 M P′ ′，那麼可得知△OPM ～△ OP M′ ′ ，且 x 與 x′ 、y 與 y′的符號相同，所以 y y r r ′ = ′ 、 x x r r ′ = ′ 、 y y x x ′ = ′ 、 x x y y ′ = ′ 。 由此可知，對於確定的角α ，這四個比值都是由角α 的大小唯一 確定的，與點 P 在角α 的終邊上之位置無關，所以這四個比值都 是自變量α 的函數。我們把 y r 叫做角α 的正弦，記作 sinα ，即 sin y r α = ； x r 叫做角α 的餘弦，記作 cosα ，即 cos x r α = ； y x 叫做角α 的正切，記作 tanα ，即 tan y x α = ； x y 叫做角α 的餘切，記作 cot

α

，即 cot x y α = ；

角α 的正弦 sinα 、角α 的餘弦 cosα 、角α 的正切 tan

α

、角 α 的餘切 cot

α

都叫做角α 的三角函數。 注意：「 sinα 」是一個完整的符號，它表示角α 的正弦，不能理 解成 sin i 。其它三角函數的符號也是這樣。

α

【ּ 1】 已知角α 的終邊經過點 P(3, 4)，求 角α 的四個三角函數值(圖 15-3)。

ś

ྋ !! ∵ x = 、3 y = 4 ∴ r = x2 + y2 = 32 +42 = 5 ∴ sin 4 5 y r α = = 、 cos 3 5 x r α = = 、 tan 4 3 y x α = = 、cot 3 4 x y α = = 。 O 圖 15-3 x y P (3, 4) α

【ּ 2】 求證： (1) tan sin cos α α α = ； (2) 2 2 sin

α

+cos

α

= 。1 3 ᙋ! ! (1) 根據三角函數的定義： sin tan cos y y r x _x r α _α α = = = 即tan sin cos α α α = 。 (2) 2 2 _{2 2} 2 2 2 sin cos y x y x r r r α + α =⎛ ⎞_{⎜ ⎟} +⎛ ⎞_{⎜ ⎟} = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 ∵ y2 + x2 = r2 ∴ 2 2 2 2 sin cos r 1 r α + α = =

ቚ ௫!

1. (口答) sin

β

是角

β

的哪種三角函數，表示怎樣的比？ tan

β

呢？ cos

β

呢？ cot

β

呢？ 2. 已知角α 的終邊分別經過下列各點，求角α 的四個三角函數 值： (1) (4, 3)； (2) (5, 12)； (3) (2, 2)； (4) (2, 3)。

15.2 30°ă45°ă60°֎۞ˬ֎בᇴࣃ

我們知道，對於給定的角α ，它的四個三角函數值是唯一確 定的，對於某些特殊角，我們可以用下面之方法求出它的三角函 數值。 3 2 sin α 表示(sin )α 2，其它三角函數的冪也這樣表示。

(1) 如圖 15-4，α = ° ，我們在角30 α 的終邊上取點 P。設點

P 的縱座標是 a，過點 P 畫 x 軸的垂線 MP。在直角三角形 OPM

中，∠POM = 30°、MP = a，則 OP = 2a。(為什麼？)由勾股定理，

2 2 (2 ) 3 OM = a −a = a， 也就是說，點 P 的座標是( 3a , a)、r = 2a，所以 1 sin 30 2 2 3 3 cos 30 2 2 3 tan 30 3 3 3 cot 30 3 y a r a x a r a y a x a x a y a ° = = = ° = = = ° = = = ° = = = (2) 如圖 15-5，α = 45°，我們在角α 的終邊上取點 P。設點 P 的縱座標是 a，則點 P 的橫座標也是 a。(為什麼？)由勾股定理， 2 r = a。所以 2 sin 45 2 2 2 cos 45 2 2 tan 45 1 cot 45 1 y a r a x a r a y a x a x a y a ° = = = ° = = = ° = = = ° = = = (3) 如圖 15-6，α = ° ，我們在角60 α 的終邊上取點 P。設點 P 的橫座標是 a，則r =OP = 2a。(為什麼？)由勾股定理，點 P 的縱座標 2 2 (2 ) 3 y = a −a = a。所以 30° P M O a 圖 15-4 2a x y 3a 45° P M O a 圖 15-5 a x y 2a

3 3 sin 60 2 2 1 cos 60 2 2 3 tan 60 3 3 cot 60 3 3 y a r a x a r a y a x a x a y a ° = = = ° = = = ° = = = ° = = = 以上這些特殊的三角函數值，今後經常要用到。為了便於記 憶，列表如下： 【ּ】 求下列各式的值：

(1) 2 sin 30° +3cos 60° +tan 45° ； (2) sin 452 ° +cot 60 cos 30° ° ；

(3) 1cos 30 2 cos 45 sin 60 cos 60 2 ° + 2 ° + ° °。 60° P M O a 圖 15-6 2a x y 3a 30° 45° 60° 正 弦 1 2 2 2 3 2 餘 弦 3 2 2 2 1 2 正 切 3 3 1 3 餘 切 ₃ 1 3 3 角 值 三角函數 數 函 角 三

ś

ྋ !! (1) 2 sin 30 3cos 60 tan 45 2 1 3 1 1 31 2 2 2 ° + ° + ° = × + × + = ； (2) 2 2 2 3 3

sin 45 cot 60 cos 30

3 2 2 ⎛ ⎞ ° + ° ° =_{⎜ ⎟} + × ⎝ ⎠ 1 1 2 2 1 = + =

(3) 1cos 30 2 cos 45 sin 60 cos 60 2 ° + 2 ° + ° ° 1 3 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 1 3 2 = × + × + × + = + =

ቚ ௫!

1. ( 口答 ) sin 30° 與 cos 60° 的值各是多少？ tan 45° 與 cot 45° 呢 ？ sin 45° 與 cos 45° 呢 ？ sin 60° 與 cos30° 呢 ？ tan 60° 與

cot 30° 呢？ tan 30° 與 cot 60° 呢？ 2. 求下列各式的值：

(1) sin 30° −3 tan 30° +2 cos 30° ； (2) 2 cos 30° +tan 60° −6 cot 60° ； (3) 5 cot 30° −2 cos 60° +2 sin 60° ； (4) cos 452 ° +sin 452 ° ； (5) sin 60 cot 45 tan 60 2 tan 45 ° − ° ° − ° 。 3. 在直角座標系中，以原點為頂點，x 軸的正半邊為始邊，在 第一象限內畫出 40°的角。量出它的終邊上一點之座標及這 個點到原點的距離，然後計算 40°角的四個三角函數值(精確 到 0.01)。

15.3 ϡ̍඀ࢍზጡՐˬ֎בᇴࣃ*

(本節可忽略不學) 上節我們求出了 30°、45°、60°這些特殊角的三角函數值， 但是對求任意角的三角函數值則是有困難的。從前，人們利用查 三角函數表來求出其含有四個有效數字的近似值。在現代，我們 可利用工程用計算器非常方便地求出任意銳角的正弦、餘弦、正 切的值。 一般 WINDOWS 作業系統之電腦都附有小算盤的計算器程 式，開啟此程式後，可在選單中的「檢視」功能表選擇「工程型」， 此即為一般所使用的工程用計算器。網路上也有許多線上工程用 計算器程式，例如在搜尋引擎 Google 上輸入「計算機」，即會顯 示出一個 Google 設計的線上工程計算器可供使用，也會有許多 其它網頁的線上工程計算器可選擇，但輸入順序與本節介紹的工 程計算器可能略有不同，請自行閱讀各網頁使用說明。 本節內所使用之按鍵 為第二功能鍵，在部分工程用 計算器上為 鍵，而在工程型小算盤中為 鍵。另外， 在角度的顯示上，工程用計算器是利用按鍵 來作為將數值 與角度轉換之功能鍵，而工程型小算盤是利用按鍵 與 ，且工程型小算盤將數值轉換成一般所使用的「度-分-秒」角度 單位後，小數點前為「度」，小數點後二位為「分」，小數點第三 位後為「秒」。 1. 正弦與餘弦 【ּ 1】 用工程用計算器求 sin10 36′° (精確到小數後第四位)。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵： 、

□

1 、

□

0 、 、

□

3 、

□

6 、 、

□

= ， 螢幕上顯示結果為 0.18395135…，即所求為 0.1840。 sin _{DMS DMS} 2ndF Shift Inv deg dms DMS

而若是使用工程型小算盤，依序按鍵：

□

1 、

□

0 、

□

˙ 、

□

3 、

□

6 、 、 、 ， 螢幕上顯示結果為 0.18395135…，即所求為 0.1840。 ඍĈ0.1840。 ො：工程型小算盤計算三角函數時是先輸入角度再輸入函數。

ቚ ௫!

利用工程計算器求下列銳角的正弦值與餘弦值(精確到小數點後 第四位)： (1) sin 28 30′° ； (2) cos 35′ ； (3) sin 60 48′° ； (4) cos 62 48′° 。 【ּ 2】 已知 sinα = 0.3688，用工程計算器求銳角α (精確到1′ )。

ś

ྋ !! 依序按鍵： 、 、

□

0 、

□

˙ 、

□

3 、

□

6 、

□

8 、

□

8 、

□

= ， 螢幕上顯示結果為 21.6416292…(十進制度數表示)，接 著依序再按鍵： 、 則螢幕上顯示結果為 21 38 29.87° ′ ′′，即α ≈ 21 38° ′。 而若是使用工程型小算盤，依序按鍵：

□

0 、

□

˙ 、

□

3 、

□

6 、

□

8 、

□

8 、 、 ， 螢幕上顯示結果為 21.6416292…(十進制度數表示)，接 著再按鍵： 則螢幕上顯示結果為 21.382986511…，此時小數點前為 「度」，小數點後二位為「分」，小數點第三位後為「秒」， 即α =21 38 29.86511° ′ ′′≈ 21 38° ′。 ඍĈ 21 38′° 。! ො： 工程型小算盤計算反三角函數時是先輸入數值再輸入函數。! sin 2ndF 2ndF DMS

Inv deg sin

Inv sin-1

ቚ ௫!

用工程計算器求下列正弦值或餘弦值對應的銳角α (精確到1′ )： (1) sinα = 0.8268，則α = ？ (2) sinα = 0.1436，則α = ？ (3) cosα = 0.3279，則α = ？ (4) cosα = 0.9356，則α = ？ 2. 正切與餘切 我們也可以用工程計算器求任意一個銳角的正切值，其使用 方法與求正弦值或餘弦值類似，只是按的鍵改為 鍵。而因 正切值與餘切值互為倒數，故求餘切值只需先求出正切值，再求 倒數即可。 【ּ 1】 用工程用計算器求 tan 53 49′° (精確到小數後第四位)。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵： 、

□

5 、

□

3 、 、

□

4 、

□

9 、 、

□

= ， 而若是使用工程型小算盤，依序按鍵：

□

5 、

□

3 、

□

˙ 、

□

4 、

□

9 、 、 、 ， 螢幕上顯示結果為 1.36716099…，即所求為 1.3672。 ඍĈ1.3672。 【ּ 2】 用工程用計算器求 cot14 32′° (精確到小數後第四位)。

ś

ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵：

□

1 、

□

÷ 、 、

□

1 、

□

4 、 、

□

3 、

□

2 、 、

□

= ，螢幕上顯示結果為 3.85745373…，即所求為 3.8575。 而若是使用工程型小算盤，依序按鍵：

□

1 、

□

/ 、

□

1 、

□

4 、

□

˙ 、

□

3 、

□

2 、 、 、 、

□

= ，螢幕上顯示結果為 3.85745373…，即所求 為 3.8575。 ඍĈ3.8575。 tan DMS DMS tan tan _{DMS DMS}

Inv deg tan

Inv deg tan

ቚ ௫!

利用工程計算器求下列銳角的正切值與餘切值(精確到小數點後 第四位)：

(1) tan13 12′° ；(2) tan 40 55′° ；(3) tan 54 28′° ；(4) tan 89 43′° ； (5) cot 72 18′° ；(6) cot 56 56′° ；(7) cot 32 32′° ；(8) cot15 15′° 。 【ּ 3】 已知 tanα =1.4036，用工程計算器求銳角α (精確到1′ )。

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ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵： 、 、

□

1 、

□

˙ 、

□

4 、

□

0 、

□

3 、

□

6 、

□

= ， 螢幕上顯示結果為 54.5318877…(十進制度數表示)，接著 依序再按鍵： 、 則螢幕上顯示結果為 54 31 54° ′ ′′，即α ≈ °54 32′。 而若是使用工程型小算盤，依序按鍵：

□

1 、

□

˙ 、

□

4 、

□

0 、

□

3 、

□

6 、 、 、

□

= ， 螢幕上顯示結果為 54.53188…(十進制度數表示)，接著 再按鍵： 則螢幕上顯示結果為 54.31547960…，即α ≈ °54 32′。 ඍĈ 54 32′° 。 【ּ 4】 已知 cotα =0.8637，用工程計算器求銳角α (精確到1′ )。

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ྋ !! 在工程用計算器上依序按鍵： 、 、

□

1 、

□

÷ 、

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0 、

□

˙ 、

□

8 、

□

6 、

□

3 、

□

7 、

□

= ，螢幕上顯示結果為 49.18282777…(十進制度 數表示)，接著依序再按鍵： 、 則螢幕上顯示結果為 49 10 58° ′ ′′，即α ≈ 49 11° ′。 2ndF 2ndF tan DMS 2ndF 2ndF tan DMS Inv tan-1 dms

而若是使用工程型小算盤，依序按鍵：

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1 、

□

/ 、

□

0 、

□

˙ 、

□

8 、

□

6 、

□

3 、

□

7 、

□

= 、 、 ，螢幕上顯示結果為 49.18282777…(十進制度數 表示)，接著再按鍵： 則螢幕上顯示結果為 49.10581799…，即α ≈ 49 11° ′。 ඍĈ 49 11′° 。 !

ቚ ௫!

利用工程計算器求下列正切值或餘切值所對應的銳角α (精確到 1′ )： (1) tanα =0.9131，則α = ？ (2) tanα =0.3314，則α = ？ (3) tanα = 2.220，則α = ？ (4) tanα =31.80，則α = ？ (5) cotα =1.6003，則α = ？ (6) cotα =3.590，則α = ？ (7) cotα = 0.0781，則α = ？ (8) cotα =180.9，則α = ？

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! 1. 已知角α 的終邊分別經過下列各點，求角α 的四個三角函數 值： (1) (1, 2)； _{(2) (1, 2 )； (3) (2, 5)； (4) ( 2 , 3 )。} 2. 求下列各式的值：

(1) 3 tan 30° +cot 45° −2 tan 45° +2 sin 60° ； (2) 2 cos 30° −4 cot 30° +3 tan 60° ；

(3) cos 45 sin 30 cos 45 sin 30 ° − ° ° + °； Inv tan-1 dms

(4) sin 452 ° +cos 602 ° ； (5) 3cot 60₂ 2 cos 30 1 ° ° − ； (6) cos 60 1 1 sin 60 tan 30 ° ₊ + ° ° 。 3. 利用工程計算器求下列三角函數值：

(1) sin 28 18′° 、 sin 57 43′° 、 sin 68 33′° 、 sin 72 58′° ； (2) cos 65 2′° 、 cos10 36′° 、 cos 44 15′° 、 cos 32 4′° 。 4. 回答下列問題：

(1) sin 20° +sin 40° 是不是等於 sin 60° ？ (2) cos10° +cos 20°是不是等於 cos30°？

5. 已知下列三角函數值，利用工程計算器求銳角：

(1) sinα = 0.6841、 cosα = 0.3241、 sinα =0.5136； (2) cosβ =0.2839、 sinβ =0.0526、 cosβ =0.5412。 6. 利用工程計算器求下列三角函數值：

(1) tan 9 19′° 、 tan 64 10′° 、 tan 75 39′° 、 tan 79 51′° ； (2) cot 8 28′° 、 cot16 25′° 、 cot 48 27′° 、 cot 88 44′° ； (3) sin 89 32′° 、 cos 38 43′° 、 tan 5′ 、 cot14 27′° 。 7. 已知下列三角函數值，利用工程計算器求銳角：

(1) tanα =0.7817 、 cotα =1.1106、 tanα =1.0736； (2) cot

β

=3.267、 tan

β

= 2.378、 cot

β

=57.82； (3) sinx =0.86276、cos 2 3 x = 、 tanx =53.10。

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15.4 ۡ֎ˬ֎ԛ˯ᙝᄃ֎ม۞ᙯܼ

在生產實踐與科學研究中，經常須要求出線段的長度或角之 大小，這種問題常常可以歸結為求一個三角形的邊長或角之大 小。由三角形中已知的邊與角，計算未知的邊或角，叫做解三角 形。現在先來研究解直角三角形的問題。為此，我們用三角函數 來表示直角三角形上邊與角的關係。 如圖 15-7，直角三角形 ABC 中，C 是直角，斜邊是 c；銳角 A 的對邊是 a、 鄰邊是 b；銳角 B 的對邊是 b、鄰邊是 a 4。如圖 15-8 (1)或(2)，建立直角座標 系。 根據三角函數的定義，可得： (1) sin A a c = 、 cosA b c = 、 tan A a b = 、 cot A b a = ； (2) sinB b c = 、 cosB a c = 、 tan B b a = 、 cotB a b = 。 4 在本章中，直角三角形 ABC 的邊與角的符號都這樣表示。 圖 15-7 A a c b C B 圖 15-8 O a (2) x y B c b C A (a, b) O a (1) x y A c b C B (b, a)

如果用α 表示直角三角形的一個銳角，那麼(1)與(2)可以概括 為(圖 15-9)： 這四個式子給出了直角三角形上邊與角之間的關係。今後在 解直角三角形時。可以不必藉助於直角座標系，直接應用這些關 係式。 由於B = ° − ，從(1)與(2)還可得到 90 A 因為 90° − 與 A 的三角函數之間有上述關係，所以在求三角函數A 值的表中，正弦與餘弦可以合用一個表，正切與餘切可以合用一 個表。 【ּ】 在直角三角形 ABC 中，已知a =12、 5 b= 。求角 A、角 B 的四個三角函數 值(圖 15-10)。

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ྋ ! 由勾股定理，得 2 2 2 2 12 5 13 c = a +b = + = ∴ sin 12 13 a A c = = 、cos 5 13 b A c = = 、 12 tan 5 a A b = = 、cot 5 12 b A a = = 、 5 sin cos 13 B = A= 、cos sin 12 13 B = A= 、 5 tan cot 12 B = A= 、cot tan 12 5 B = A= 。 圖 15-9 對 邊 斜邊 鄰邊 α

sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan

° − = ° − = ° − = ° − = ， ， A A A A A A A A 圖 15-10 A a c b C B sin cos tan cot = = = = 的對邊 的鄰邊 ， 斜邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 ， 的鄰邊 的對邊 α α α α α α α α α α

15.5 ྋۡ֎ˬ֎ԛ

我們知道，直角三角形 ABC 的六個元素(三條邊與三個角)， 除直角 C 外，其餘五個元素之間有如下的關係： (1) 三邊之間的關係 2 2 2 a +b = (勾股定理) c (2) 銳角之間的關係 90 A+ = ° B (3) 邊角之間的關係 sin cos tan cot α α α α α α α α α α = = = = 的對邊 的鄰邊 ， 斜邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 ， 的鄰邊 的對邊 式中的α 表示銳角 A 或銳角 B。

ቚ ௫

1. (口答) 分別說出圖中角 A、角 B 的四個三角函數值： 2. 在直角三角形 ABC 中： (1) 已知a = 、2 b = ，求角 A 的四個三角函數值； 1 (2) 已知a = 、3 b = ，求角 B 的四個三角函數值； 4 (3) 已知b= 、2 c = 29，求角 A、角 B 的四個三角函數值。 3. 把下列各式寫成角 A 或角 B 的三角函數的形式： (1) cos(90° − A)； (2) tan(90° −B)； (3) sin(90° −B)； (4) cot(90° − A)。 (第 1 題) 10 8 6 5 9 2 14 A C B A C B

利用這些關係，知道其中的兩個元素(至少有一個是邊)，就 可以求出其餘的三個未知元素。就是說，解直角三角形的問題， 只須知道直角三角形除直角外的兩個元素(至少有一個是邊)就可 解決。 【ּ 1】 如圖 15-11，在直角三角形 ABC 中， 已知b =35、c = 45，求 A、B (精確 到1° )與 a (保留兩個有效數字)。

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ྋ !! (1) cos 35 0.7778 45 b A c = = ≈ ， 用 工 程計算器計算得 A≈ ° ； 39 (2) B = ° − ≈ ° − ° = ° ； 90 A 90 39 51 (3) a = c2 −b2 2 2 45 35 800 = − = 用工程計算器計算得a = 28.28≈ 28。 在例 1 中，由於已知邊 b、c，所以求角 A 時，我們選取含有 角 A 與邊 b、c 的關係式 cosA b c = 。 【ּ 2】 在直角三角形 ABC 中，已知a = 、15 A= °35 27′，求 b、 c 與 B(邊長保留兩個有效數字)。

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ྋ !! (1) ∵ cot A b a = ∴ b= acot A= ×15 cot 35 27° ′= ×15 1.4045 ≈ 21 (2) ∵ sin A a c = ； ∴ 15 15 26 sin sin 35 27 0.5800 a c A = = = ≈ ′ ° (3) B = ° − °90 35 27′= °54 33′ B 圖 15-11 C A 45 35 α

在例 2，已知 a 與 A，求 b 時，雖也可選用關係式tan A a b = ， 但計算時須用除法 tan a b A = ，所以我們選用關係式 cot A b a = 。

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1. 在直角三角形 ABC 中： (1) 已知 c、A，寫出求 a 與 b 的關係式； (2) 已知 b、A，寫出求 a 的關係式；已知 a、A，寫出求 b 的關係式；

(3) 已知 a、b，怎樣求 A？已知 a、c，怎樣求 A？已知 b、c， 怎樣求 A？ 2. 根據下列條件解直角三角形： (1) c =10、 A= ° ； (2) 30 b =15、B = 45°； (3) a =51、c = 70； (4) a = 22、b=12。 (第(3)、(4)題要求角度精確到1° ，邊長保留兩個有效數字。)

15.6 ᑕϡᓝּ

解直角三角形的應用非常廣泛，下面舉一些例子。 【ּ 1】 廠房屋頂人字架(等腰三角形)的跨度為 10 m，角 A 為 26°(圖 15-12)。求中柱 BC (C 為底邊中點)與上弦 AB 的 長(精確到 0.01 m)。 B 圖 15-12 C A 上弦 26° 中 柱 跨度

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ྋ !! 由題意可知，△ABC 為直角三角形，其中C = °、A = 90 26°、 AC = m。 5 ∵ tan A BC AC = ∴ BC = AC i tan A= ×5 tan 26° = ×5 0.4877 ≈ 2.44m ∵ cos A AC AB = ∴ 5 cos cos 26 AC AB A = = ° 利用工程計算器計算可得 5 5.56 0.8988 AB ≈ ≈ m。 ඍĈBC 約為 2.44 m、AB 約為 5.56 m。! 【ּ 2】 燕尾槽的橫斷面是等腰梯形。圖 15-13 是一燕尾槽的橫 斷面，其中燕尾角 B 是 55°、外口寬 AD 是 180 mm、燕 尾槽的深度是 70 mm。求它的裏口寬 BC (精確到 1 mm)。

分析： 連結 AD，並分別作 AE、DF 垂直於 BC，則 AD = EF、

BE = FC。又BC = BE+ EF +FC = 2BE+ AD。由於 AD 已知，只要求出 BE，這個問題就解決了。

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ྋ !! 作 AE ⊥ BC 、 DF ⊥ BC 。在直角三角形 ABE 中， ∵ cotB BE AE = ∴ BE = AE icotB = 70 cot 55× ° = 70 0.7002× ≈ 49.0mm ∴ BC = 2BE+ AD ≈ ×2 49.0 180+ = 278mm ඍĈ燕尾槽的裏口寬 BC 約為 278 mm。 圖 15-13 F A D E C B

【ּ 3】 如圖 15-14，在山坡上種樹，要求株距(兩樹間的水平距 離)是 5.5 m。測得斜坡的傾斜角是 24°，求斜坡上相鄰 兩樹間的傾斜距離是多少 m (精確到 1 mm)。 分析： 如 圖 15-14(2) ， ∠ =A 24° 水 平 距 離 AC = 5.5 m 、 BC ⊥ AC 、△ABC 是直角三角形。只要解△ABC 求出 AB，問題就解決了。

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ྋ !! 在△ABC 中，∠ = ° C 90 ∵ cos A AC AB = ∴ 5.5 6.0 cos 0.9135 AC AB A = = ≈ m ඍĈ斜坡上相鄰兩樹間的傾斜距離約是 6.0 m。! 在築壩、開渠、挖河與修路時， 設計圖紙上都要註明斜坡的傾斜程 度。通常把坡面的鉛直高度 h 與水平 寬度 l 的比叫做坡度(或叫做坡比) (圖 15-15)，用字母 i 表示，即 h i l = 。 坡度一般寫成 1：m 的形式，如 i = 1：5 (即 1 5 i = )。 A C B 圖 15-14 5.5 m 24° (1) (2) h l i = h：l 圖 15-15

如果把坡面與水平面的夾角記作α (叫做坡角)，那麼 tan h i l α = = 。 顯然，坡度越大(於是α 角越大)，坡面就越陡。 【ּ 4】 水庫大壩的橫斷面是一個梯形(圖 15-16)，壩頂寬 6 m、 壩高 23 m、斜坡 AB 的坡度 i = 1：3、斜坡 CD 的坡度 i′ = 1：2.5。求斜坡 AB 的坡角α 、壩底寬 AD、斜坡 AB 的 長 (精確到 0.01 m)。

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ྋ !! 在圖 15-16 中，作 BE ⊥ AD、CF ⊥ AD。在直角三角形 ABE 與 CDF 中， ∵ BE AE = 1：3、 CF FD = 1：2.5 ∴ 3AE = BE = ×3 23= 69m FD = 2.5CF = 2.5 23× =57.5m ∴ AD = AE + EF + FD =69 6 57.5 132.5+ + = m 因為斜坡 AB 的坡度 tan 1 3 i = α = ，利用工程計算器計算 可得α ≈ °18 26′。 ∵ BE sin AB = α ∴ 23 72.73 72.7 sin sin18 26 BE AB α = = = ≈ ′ ° m ඍĈ斜坡 AB 的坡角α 約為18 26′° 、壩底寬 AD 約為 132.5 m、 斜坡 AB 的長約為 72.7 m。! 圖 15-16 1：3 B C A F α E 6 23 D 1：2.5

在例 4 中，也可由 BE AE =1：3，得 BE AB =1： 10 ，求得 10 10 23 72.7 AB = i BE = × ≈ m。

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1. 如圖，某廠庫間的人字屋架為等腰三角形，跨度 AB = 12 m、 22 A ∠ = ° ，求中柱 CD 與上弦 AC 的長(精確到 0.01 m)。 2. 如圖，在離地面高 5 m 處引拉線固定電線桿，拉線與地面成 60° 角，求拉線 AC 的長、拉線下端點 A 離桿底 D 多遠 (精 確到 0.01 m)。 3. 如圖，沿 AC 方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山 的另一邊同時施工。從 AC 上的一點 B 取∠ABD =140° 、BD = 520 m、∠ = °，那麼開挖點 E 離 D 多遠 (精確到 0.1 m)，D 50 才能使 A、C、E 成一直線？ 4. 如圖，一鐵路路基的橫段面為等腰梯形 ABCD，根據圖示數 據計算出路基下底寬 AD (精確到 0.1 m)與坡角α A D (第 1 題) C B A C B (第 2 題) D 5 m (第 3 題) 50° D E B A C 140° (第 4 題) 9.8 m 5.8 m B i = 1：1.6 A _D C α

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! 1. 分別寫出下圖中角 A、角 B 的四個三角函數值： 2. 在直角三角形 ABC 中(C = °)： 90 (1) 已知a = 、9 c =15，求角 A 的四個三角函數值； (2) 已知b = 21、c = 29，求角 A 的四個三角函數值； (3) 已知a = 、2 b = ，求角 A 與角 B 的四個三角函數值。 6 3. 判斷邊長為 8 cm、15 cm、17 cm 的三角形式不是直角三角形， 如果是直角三角形，求最小邊所對角的四個三角函數值。 4. 在直角三角形 ABC 中(C = °)： 90 (1) a c 是角 A 的什麼三角函數值，是角 B 的什麼三角函數值？ (2) b c 是角 A 的什麼三角函數值，是角 B 的什麼三角函數值？ (3) a b 是角 A 的什麼三角函數值，是角 B 的什麼三角函數值？ 5. 根據下列條件解直角三角形(不用工程計算器)： (1) c =10、 A= 45°； (2) 6a = 、B = ° ； 30 (3) a =50、c =50 2 ； (4) a =8 5、b=8 15 。 C (第 1 題) (1) (2) A (3) B C A B C A B 73 55 10 16 8 73

6. 根據下列條件利用工程計算器解直角三角形： (1) 8.035c = 、 A= °38 19′； (2) b =7.234、 A= °7 20′； (3) a = 25.64、b =32.48。 7. 已知等腰三角形的頂角為 78 4′° 。底邊上的高是 28.5 cm，求腰 長與面積(保留三個有效數字)。 8. 如圖，在離鐵塔 150 m 的 A 處，用測角儀器測得塔頂的仰角5 為 30 12′° 。已知測角儀器高 AD = 1.5 m，求鐵塔高 BE(精確到 0.1 m)。 9. 在加工如圖的墊模時，須計算斜角α 。根據圖示尺寸求α 。 10. 如圖，一攔水壩的橫斷面為梯形 ABCD，根據圖示數據求坡角 α 與β 、壩底寬 AD 與斜坡 AB 的長(精確到 0.1 m)。 5 在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方 的叫做俯角。 (第 8 題) 150 m A E D B 30 12′° (第 9 題) 83 α 124 150 140 A E i =1：2.5 B 4.2 m C D 7.5 m (第 10 題) 2.8 m α β

11. 如圖，利用土堤修築一條渠道：在堤中間挖去深為 0.6 m 的一 塊(圖中的(三)是挖去部分之橫斷面)，把挖出來的土填在兩旁 (圖中的(一)、(二)是填土部分之橫斷面)即成一渠道。已知渠 道內坡度為 1：1.5，渠道底寬 BC 為 0.5 m，求： (1) 橫斷面(等腰梯形)ABCD 的面積； (2) 修一條長 100 m 的渠道要挖出多少方土？

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15.7 ̼น֎ˬ֎בᇴࠎዟ֎ˬ֎בᇴ

在生產實踐與科學研究中，也常遇到解斜三角形(銳角三角形 或鈍角三角形)的問題。為了研究斜三角形上邊與角間的關係，我 們先討論 90° ≤ <α 180° 時，角α 的三角函數之情況。 當α = ° 時，角90 α 的終邊與 y 軸的正半 軸 Oy 重合(圖 15-17)，這時角α 的終邊上任 一點 P (x, y)，有x = 、 y r OP0 = = ，所以 sin 90 1 cos 90 0 tan 90 cot 90 0 y x r r x y ° = = ° = = ° = ° = = ， 不存在， 當 90° < <α 180° 時，角α 的終邊在第二象限(圖 15-18)，這時 角α 的終邊上任一點 P (x, y)，有x < 、0 y > 、0 r =OP > 。故 0 (第 11 題) A i =1：1.5 B (二) C D (三) (一) 圖 15-17 O x y r P (x, y) 90°

sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 y x r r y x x y α α α α = > = < = < = < ， ， 我們知道銳角三角函數的值都是正的。 (為什麼？)但是，對於鈍角三角函數來說，除 正弦的值仍是正的以外，餘弦、正切、餘切 的值都是負的。 【ּ 1】 已知角α 的終邊經過點 P( 3− , 4)，求角α 的四個三角函 數值(圖 15-19)。

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ྋ ! ∵ x = − 、3 y = 4 ∴ r = ( 3)− 2 +42 = 25 = 5 ∴ sin 4 5 y r α = = cos 3 5 x r α = = − tan 4 3 y x α = = − cot 3 4 x y α = = − 對於給定的一個鈍角，怎樣求出它的三角函數值呢？ 銳角的三角函數值可以查表求得，如果我們能夠把鈍角的三 角函數轉化為銳角的三角函數，那麼求鈍角的三角函數值之問題 就解決了。 容易知道，任意一個鈍角都可以表示成180° − 的形式，其α 中α 為銳角。例如，120° =180° − °。我們來研究鈍角18060 ° − 與α 銳角α 的三角函數之間之關係。 圖 15-18 O x y r P (x, y) α y x M O 圖 15-19 x y P( 3− , 4) α

如圖 15-20，在鈍角180° − 的終邊α 上任取一點 P(x, y)，設 OP = 。在銳角r α 的 終 邊 上 取 一 點 P (₁ x y ) ， 使₁, ₁ 1 OP = 。那麼，因為OP 與r OP 與 y 軸₁ 成相等的角，且OP = OP₁所以點 P 與點 1 P 關於 y 軸對稱。於是，這兩個點的座 標有下面的關係： 1 x = − 、x y = y₁ ∴ sin(180 ) y y1 sin r r α α ° − = = = _{cos(180 )} x x1 _cos r r α − α ° − = = = − 1 1 tan(180 ) y y tan x x α α ° − = = = − − 1 1 cot(180 ) x x cot y y α − α ° − = = = − 當α 為銳角時，有 這些公式今後經常用到，要記住。 【ּ 2】 求下列三角函數值： (1) sin120° ； (2) cos158 14′° ； (3) tan135° ； (4) cot150 18′° 。

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ྋ ! (1) sin120 sin(180 60 ) sin 60 3 2 ° = ° − ° = ° = ； (2) cos158 14° ′ =cos(180° − °21 46 )′ cos 21 46 0.9287 ′ = − ° = − ° − = ° − = − ° − = − ° − = − sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot

， ， α α α α α α α α 圖 15-20 O x y r P (x, y) α r P (1 x y1, 1) 180° −α

(3) tan135° = tan(180° − ° = −45 ) tan 45° = − ； 1 (4) cot150 18° ′= cot(180° − °29 42 )′ cot 29 42 1.753 ′ = − ° = − 【ּ 3】 (1) 已知sin 5 6 α = 、 0° < <α 180° ，求α ； (2) 已知 cosα = −0.8728、 0° < <α 180° ，求α 。

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ྋ !! !(1) 已知sin 5 0.8333 6 α = ≈ 、0° < <α 180°，所以α 可以 是銳角，也可以是鈍角。利用工程計算器計算可得 sin 56 27° ′= 0.8333， ∴ α₁ = °56 27′ 又 ∵ sin(180° − °56 27 )′ =sin 56 27° ′= 0.8333 ∴ α₂ =180° − °56 27′ =123 33° ′ 本題有兩解： 1 56 27 α = ° ′、α₂ =123 33° ′。 (2) 已知 cosα 為負值，且 0° < <α 180°，所以α 是鈍角。 設α =180° − ，θθ 為銳角，於是

cos

α

=cos(180° −

θ

)= −cos

θ

= −0.8728，

可得 cosθ = 0.8728。利用工程計算器計算後可得知 θ = 29 13° ′，所以 α =180° − °29 13′ =150 47° ′。

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1. 已知角α 的終邊分別經過下列各點，求角α 的四個三角函數 值： (1) (− , 2)； (2) ( 12 − , 3 )； (3) ( 2− , 5 )； (4) (0, 3)。 2. 求下列三角函數值：

(1) sin135° 、 cos120° 、 tan150° 、 cot150° ；

(2) sin118 8′° 、 cos100 24′° 、 tan 95 12′° 、 cot151 42′° ； (3) cos123 26′° 、 sin 90 10′° 、 cot134 43′° 、 tan172 21′° ；

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3. 已知 0° < <θ 180° ，求下列各式中的θ 值： (1) sin 1 2 θ = ； (2) sinθ =0.6517； (3) _cos 3 2 θ = − ；

(4) cosθ = −0.3541 (5) tanθ = −3.566_{； (6) cot} 3 3 θ = − 。

15.8 ዶؽؠந

在本節與下節，我們來證明兩個重要定理—餘弦定理與正弦 定理，並說明怎樣利用這兩個定理來解斜三角形。 以三角形 ABC 的頂點 A 為 原點，射線 AC 為 x 軸的正半 軸 ， 建 立 直 角 座 標 系 ， 如 圖 15-21。這時，頂點 B 可看作角 A 終邊上的一個點，它到原點 的距離 r = 。設點 B 的座標為c (x, y)，由三角函數的定義可 知，不論角 A 是銳角、鈍角還 是直角，都有 x cosA c = 、 sin y A c = ，所以x =ccosA、y =csin A， 即點 B 的座標是( cosc A , csin A )。又點 C 的座標是(b, 0)，根據 兩點間的距離公式，可得 2 2 ( cos ) ( sin ) a = BC = b c− A + −c A 兩邊平方，得 2 2 2 ( cos ) ( sin ) a = −b c A + −c A 化簡等式右邊： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( cos ) ( sin ) 2 cos cos sin (sin cos ) 2 cos

2 cos b c A c A b bc A c A c A b c A A bc A b c bc A − + − = − + + = + + − = + − 圖 15-21 O x y c B (x, y) y x _{A b C (b, 0)} a

於是 a2 =b2 + −c2 2bccos A (1) 如果以△ABC 的頂點 B 或頂點為原點，如圖 15-22 建立直角 座標系，同樣可證明 b2 =c2 +a2 −2cacosB (2) c2 = a2 +b2 −2abcosC (3) 由此，我們得到關於任意三角形的三條邊與一個角度間關係 的重要定理： 餘弦定理： 三角形任何一邊的平方等於其它兩邊平方的和減 去這兩邊與它們夾角的餘弦之積的兩倍。 如果三角形 ABC 中有一個角是直角，例如，C = °，這時90 cosC = ，由餘弦定理可得0 c2 = a2 + ，這就是勾股定理。由此b2 可見，餘弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是餘弦定理的特 例。 由(1)、(2)、(3)式可得： + − = + − = 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 b c a A bc c a b B ca 圖 15-22 O x y b C (x, y) B c A (c, 0) a O x y b A (x, y) C _{a B (a, 0)} c = + − = + − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C

+ − = 2 2 2 cos 2 a b c C ab 利用餘弦定理可以解決以下兩類解斜三角形的問題： (1) 已知三邊，求三個角； (2) 已知兩邊與它們的夾角，求第三邊與其它兩個角。 【ּ】 在△ABC 中，已知a = 、7 b =10、c = ，求 A、B 與 C 6 (精確到1° )。

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ྋ ! (1) 2 2 2 2 2 2 10 6 7 87 cos 0.7250 2 2 10 6 120 b c a A bc + − + − = = = = × × ，用 工程用計算器計算，得 A≈ 44°； (2) 2 2 2 2 2 2 7 10 6 113 cos 0.8071 2 2 7 10 140 a b c C ab + − + − = = = ≈ × × ，用 工程用計算器計算，得C ≈ °； 36 (3) B =180° −(A C+ ) ≈180° −(44° + ° =36 ) 100°。 注意：例題中我們先利用餘弦定理求出兩個銳角 A 與 C，然後利 用「三角形內角和定理」求角 B，B =100°，是一個鈍角。 如果用餘弦定理求角 B，由於角 B 是鈍角，cos B 應該取負 值。一般已知三角形的三邊求角時，根據「三角形內大邊 所對的角較大」，我們只要先求較小的邊所對的角，這時 所求的角必為銳角(想一想這是為什麼)。

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1. 在三角形 ABC 中： (1) 已知b = 、8 c = 、3 A = ° ，求 a； 60 (2) 已知a = 20、b= 29 、c = 21，求 B； (3) 已知a =3 3、c = 、2 B =150° ，求 b； (4) 已知a = 、2 b = 2 、c = 3 1+ ，求 A。 2. 根據下列條件解三角形： (1) a =31、b= 42 、c = 27； (2) a = 、9 b =10、c =15。

15.9 ϒؽؠந

如圖 15-23，以△ABC 的頂點 A 為原點，邊 AC 所在的射線為 x 軸 的正半軸建立直角座標系。由上節 我們知道，頂點 B 的座標是( cosc A , sin c A )。容易知道，AC 邊上的高 BE 就是 B 點的縱座標 sinc A，於是 △ABC 的面積 1 1 sin 2 2 S_△ = × AC BE× = bc A。 同樣可得(參看圖 15-22)： 1 sin 2 S_△ = ca B、 1 sin 2 S_△ = ab C 。 由此，我們得到關於任意三角形面積的公式： 也就是說三角形的面積等於任意兩邊與它們夾角的正弦的 積的一半。 將等式 1 1 1

sin sin sin 2bc A= 2ca B = 2ab C 各除以 1

2abc ，可得

sin A sinB sinC a = b = c 。 由此，我們得到關於任意三角形邊與角間的關係的另一個重 要定理： 正弦定理： 在一個三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等 圖 15-23 O x y c B ( cos , sinc A c A ) E _{A b C} a

= 1 sin = 1 sin = 1 sin

2 2 2

△

S bc A ca B ab C

= = sin sin sin

a b c

如果三角形 ABC 中有一個角是直角，例如，C = °，這時90 sinC = ，由正弦定理可得 sin1 A a c = 、 sinB b c = ，這與 15.4 節直 角三角形內邊與角的關係是一致的。 利用正弦定理與三角形內角和定理，可以解決以下兩類解斜 三角形的問題： (1) 已知兩角與任一邊，求其它兩邊與一角； (2) 已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一 步求出其它的邊與角)。 【ּ 1】 在△ABC 中，已知c = 、10 A= 45°、C = °，求 b 與 S30 _△ (結果保留兩個有效數字)。

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ྋ ! (1) ∵ sin sin b c B = C ，B =180° −(A C+ ) ∴ sin[180 ( )] sin c A C b C ° − + = 10sin[180 (45 30 )] sin 30 10sin 75 1 2 19.3 ° − ° + ° = ° ° = ≈ (2) 1 sin 1 19.3 10 sin 45 68 2 2 S_△ = bc A≈ × × × ° ≈ 。 【ּ 2】 在△ABC 中，已知a = 20、b= 28、A= 40°，求 B(精確 到1° )與 c (結果保留兩個有效數字)。

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ྋ ! (1) sin sin 28sin 40 0.8999 20 b A B a ° = = ≈ ，利用工程計算 器計算可得銳角B₁ = ° 。 64 又因sin(180° −B₁) =sin B₁，鈍角 B₂ =180° − 也符B₁ 合題設條件，可得B₂ =180° − ° =64 116° 。

(2) 當B₁ = ° 時， 64 1 1 sin[180 ( ) sin 20 sin[180 (40 64 )] sin 40 20 sin 76 sin 40 30 a A B c A ° − + = ° − ° + ° = ° ° = ° ≈ i i 當B₂ =116° 時， 1 2 sin[180 ( ) sin 20 sin[180 (40 116 )] sin 40 20 sin 24 sin 40 13 a A B c A ° − + = ° − ° + ° = ° ° = ° ≈ i i 想一想：例 2 用餘弦定理怎樣求解？ 在圖 15-24 中，我們先畫出 40 PAQ ∠ = °，接著在 AQ 上取出 28 AC = =b mm，以 C 為圓心、 20 a = mm 為半徑畫弧。可以看 到，所畫的弧與 AP 相交於兩點 1 B 、 B ，因而可以作出兩三角₂ 形，△ AB C 與△₁ AB C 都符合題₂ 設條件，這就表示例 2 有兩解。 【ּ 3】 在△ABC 中，已知a = 60、b=50、A= °，求 B(精確38 到1° )與 c (結果保留兩個有效數字)。 圖 15-24 b Q P C A a a 1 B 2 B 1 c 2 c

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ྋ ! (1) 已知 b< ，所以 B Aa < ，B 也為銳角。 sin 50 sin 38 sin 0.5131 60 b A B a ° = = ≈ ，利用工程計算 器計算可得銳角B = ° 。 31 (2) ₁ sin sin a C c A = sin[180 ( ) sin sin( ) sin 60 sin(38 31 ) sin 38 60 sin 69 sin 38 91 a A B A a A B A ° − + = + = ° + ° = ° ° = ° ≈ i i 【ּ 4】 在△ABC 中，已知a =18、b =20 、 A=150° ，解這個 三角形。

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ྋ ! 這裡 A 為鈍角，a 應是最長邊，但 b a> ，所以本題無解。 對於例 3 與例 4，按照圖 15-24 的方法，試畫三角形，結果 怎樣？ 一般地，已知兩邊與其中一邊的對角解三角形，有兩解、一 解、無解三種情況。圖 15-25(a)、(b)說明了在△ABC 中，已知 a、 b 與 A 時解三角形的各種情況。 (1) A 為銳角： b C A a b C A a B sin a< b A 無解 sin a =b A 一解

(2) A 為直角或鈍角：

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1. 在三角形 ABC 中： (1) 已知c = 3、 A= 45°、B = ° ，求 b、 S60 _△； (2) 已知b =12、 A= ° 、30 B =120° ，求 a。 (結果保留兩個有效數字) 2. 根據下列條件解三角形(如果有解，角度精確到1°，邊長保留 兩個有效數字)： (1) a =15、b=10、 A= ° ； 60 (2) b = 40、c = 20、C =25° ； (3) b = 、11 a = 25、B = ° 。 30

15.10 ᑕϡᓝּ

下面舉例說明解斜三角形在實際中的一些應用。 圖 15-24 (a) b C A a a 1 B 2 B b C A _B a sin b A< <a b 兩解 a ≥b 一解 b C A a a ≤b 無解 a > b 一解 b C A a B 圖 15-24 (b)

【ּ 1】 自動卸貨汽車的車廂採用液壓機構。設計時須要計算油 泵頂桿 BC 的長度(圖 15-26)。已知車廂的最大仰角為 60° ，油泵頂點 B 與車廂支點 A 之間的距離為 1.95 m、 AB 與水平線之間的夾角為 6 20′° 、AC 長為 1.4 m，計算 BC 的長(保留三個有效數字)。 分析： 此題就是在△ABC 中，已知 AB =1.95m、AC =1.40m、 60 6 20 66 20 BAC ′ ′ ∠ = ° + ° = ° ，求出 BC 的長。由於已知 △ABC 的兩邊與一夾角，所以可根據餘弦定理求出 BC。

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ྋ !! 由餘弦定理： 2 2 2 2 2 2 cos 1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos 66 20 BC = AB + AC − AB AC A ′ = + − × × ° i 用工程計算器計算得BC ≈1.89m。 ඍĈ頂桿 BC 約長 1.89 m。! 【ּ 2】 為了在一條河上建一座橋，施 工 前 在 兩 岸 打 上 兩 個 橋 位 樁 A、B(圖 15-27)。要精確測量出 A、B 兩點間的距離，測量人員 在 岸 邊 訂 出 基 線 BC ， 測 得 78.35 BC = m、角B =69 43° ′、 角C = 41 12° 。計算 AB 的長(精′ 確到 0.01 m) 圖 15-26 C A 60° B 6 20′° 圖 15-27 A C B

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ྋ !! 在△ABC 中，已知a = 78.35、B =69 43° ′、C = 41 12° ′。 180 ( ) 180 (69 43 41 12 ) 69 5 A= ° − B C+ = ° − ° ′+ ° ′ = ° ′ 由正弦定理，可得 sin 78.35 sin 41 12 sin sin 69 5 a C c A ′ × ° = = ′ ° 。 用工程計算器計算得c ≈55.26m。 ඍĈ橋位樁 A、B 間的距離約為 55.26 m。 【ּ 3】 圖 15-28 是曲柄連桿機構的示意圖。當曲柄 CB 繞 C 點 旋轉時，通過連桿 AB 的傳遞，使活塞做直線往復運動。 當曲柄在CB 位置時，曲柄與連桿成一直線，連桿的端₀ 點 A 在 A 處。設連桿 AB 長 340 mm、曲柄 CB 長 85 mm，₀ 求曲柄自CB 按順時針方向旋轉 80₀ ° 時，活塞的移動距 離(即連桿的端點 A 移動的距離 A A )(精確到 1 mm)。 ₀ 分析： 因為 A A₀ = A C₀ − AC ，又知 A C₀ = AB+ BC =340 85+ = 425 mm，所以只要求出 AC 的長，問題就解決了。而在 △ABC 中，已知兩邊與其中一邊的對角，可以由正弦定 理求出 AC。

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ྋ !! 在△ABC 中，由正弦定理可得： sin 85 sin 80 sin 0.2462 340 BC C A AB × ° = = ≈ ， 用工程計算器計算得 A≈ °14 15′； 圖 15-26 C A 80° B 0 A B0 A C 80° B 0 A B0 (1) (2)

再由正弦定理，可得： sin 340 sin 85 45 sin sin 80 AB B AC C ′ × ° = = ° ， 用工程計算器計算得 AC ≈344.3mm； 因此， 0 0 ( ) (340 85) 344.3 80.7 81 mm A A A C AC AB BC AC = − = + − = + − = ≈ ඍĈ曲柄自CB 轉 80₀ ° 時，活塞的移動距離約為 81 mm。

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1. 如圖，為了測量兩點 A、B(這兩點之間不能互相看到，也不 能直達)間的距離，在地面上選擇適當的點 C，測得 AC = 213.4 m、BC = 252.1 m、∠ACB = °50 13′。計算 AB 的長。 2. 如圖，某零件要鑽三個孔 A、B、C，已知孔心距 AB = 112.5 mm、BC = 75.4 mm、AC = 114.2 mm，如果 A、B 兩孔已加 工完畢，刀桿在 B 孔處，刀桿要沿著 BA 方向與垂直於 BA 方向各移動多少 mm(即求 x 與 y，精確到 0.1 mm)，才能鑽出 C 孔？ (第 1 題) B A C (第 2 題) A C B y x

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3. 如圖，要測底部不能到達的煙囪高 AB 從與煙囪底部在同一 水平直線上的 C、D 兩處，測得煙囪的仰角分別是α = °35 12′ 與

β

=49 28° ′，C、D 間的距離是 11.12 m。已知測角儀器高 1.52 m，求煙囪的高。 4. 圖為曲柄連桿機構示意圖。當曲柄 OA 在水平位置 OB 時， 連桿端點 P 在 Q 的位置。當 OA 自 OB 按順時針方向旋轉α 角時，P 與 Q 之間的距離是 x。已知 OA = 25 cm、AP = 125 cm，求在下列條件下的 x 值： (1) α = ° ； (2) 50 α = ° ； 90 (3) α =135° ； (4) OA⊥ AP； (第 3 題) B D C A C α β 1 C D1 1 A (第 4 題) P Q x B A O α

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1. 求下列三角函數值：

(1) sin158 54′° 、 cos172 36′° 、 tan105 6′° 、 cot 91 42′° ； (2) sin136 27′° 、 cos118 38′° 、 tan155 56′° 、 cot142 19′° 。 2. 把下列各式寫成銳角α 或β 的三角函數的形式：

(1) sin (180° −

α

)； (2) cos (180° −

β

)； (3) tan (90° −α)； (4) cot (180° −β)。 3. 設 A、B、C 為一個三角形的三個內角，求證：

(1) sin (A+ B) =sinC ； (2) cos (B C+ ) = −cosA。

4. 求適合下列各式的三角形內角 A： (1) sin 2 2 A= 、cos 1 2 A= − 、 tan A= − 、 cot1 A= − 3 ； (2) sin A =0.2529、 cos A= −0.9756、 tan A= −1.998。 5. 在△ABC 中： (1) 已知a = 49、b = 26、C =107° ，求 c、B； (2) 已知a =84 、b =56、c =74，求 A； (3) 已知c =68、 A= ° 、34 B = ° ，求 a 與 S56 _△。 (本題要求角度精確到1° ，邊長、面積保留兩個有效數字) 6. 根據下列條件，解三角形(角度精確到1° ，邊長保留兩個有效 數字)： (1) b= 26 、c =15、C = 23° ； (2) b=54、c =39、C =115° 。 7. 從四邊形操場 ABCD 內的 O 點， 測 得 OA=39.8 m 、 OB = 36.7 m、OC = 42.3m、OD = 44.1m、 88 AOB ∠ = ° 、 ∠BOC = ° 、76 102 30 COD ′ ∠ = ° ，求這個操場的 面積(保留兩個有效數字)。 (第 7 題) 102 30′° 76° 88° A D C B

8. 已知平行四邊形兩條鄰邊的長分別是 4 6 cm 與 4 3 cm，它們 的夾角是 45°，求這個平行四邊形的兩條對角線的長與它的面 積。 9. 如圖，已知平行四邊形 ABCD 的對角線 AC = 57 cm，它與兩 條鄰邊 AB 與 AD 的夾角分別是α = 27°與β = °，求 AB 與35 AD (精確到 1 cm)。 10. 為了開鑿隧道，要測量隧道口 D、E 間的距離。為此在山的一 側選取適當的點 C(如圖)，測得 CA = 482.8 m、CB = 631.5 m、 56 18 ACB ′ ∠ = ° ，及 A、B 兩點到隧道口的距離 AD = 80.12 m、 BE = 40.24 m(A、D、E、B 在一直線上)。計算隧道 DE 的長。 11. 如圖，一艘船以 32.2 km/小時的速度向正北航行。在 A 處看燈 塔 S 在船的北偏東 20°，半小時後航行到 B 處，在 B 處看燈塔 S 在船的北偏東 65°。求燈塔 S 與 B 處的距離(精確到 0.1 km)。 12. 如圖，在山頂鐵塔上 B 處測得地面上點 A 的俯角α = °54 40′， 在塔底 C 處測得點 A 的俯角β = ° 。已知鐵塔 BC 部分高50 1′ 27.3 m，求山高 CD(精確到 1 m)。 (第 9 題) β α A D _C B (第 10 題) A D C B E (第 12 題) A C B α β (第 11 題) 65° 20° A S B 北 東 南 西

13. 如圖，貨輪在海上以 35 km/小時的 速度沿著方位角(從指北方向順時 針轉到目標方向線的水平角)為 148° 的方向航行。為了確定船位， 在 B 點觀測燈塔 A 的方位角是 126° ，航行半小時後到達 C 點， 觀測燈塔 A 的方位角是 78°。求貨 輪到達 C 點時與燈塔 A 的距離(精 確到 1 km)。

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一、本章主要內容是三角函數的初步概念與解三角形的方 法。 二、設角α 的頂點在原點 O，始邊與 x 軸的正半軸重合，終 邊上任一點 P 的座標是(x, y)， OP = 。角r α 的三角函數是： 角α 的正弦 sin y r α = 、角α 的餘弦 cos x r α = 、 角α 的正切 tan y x α = 、角α 的餘切 cot x y α = 。 三角函數間有下列關係：

(1) sin(90° −

α

)= cos

α

， cos(90° −

α

) =sin

α

tan(90° −

α

)= cot

α

， cot(90° −

α

)= tan

α

(2) sin(180° −

α

) =sin

α

， cos(180° −

α

) = −cos

α

tan(180° −

α

)= −tan

α

， cot(180° −

α

)= −cot

α

(第 13 題) 78° 126° A C B 北 北 148°

三、特殊角的三角函數值： 非特殊銳角的三角函數值可以查三角函數表或利用工程計 算器計求得。求鈍角的三角函數值，可以根據角180° − 與角α α 間 的三角函數關係式，把它轉化為求銳角的三角函數值。 若已知銳角或鈍角的三角函數值，可得此銳角或鈍角的值。 四、設直角三角形的一個銳角是α 。 sin cos tan cot α α α α α α α α α α = = = = 的對邊 的鄰邊 ， 斜邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 ， 的鄰邊 的對邊 利用這些關係式以及勾股定理與兩銳角互餘的關係，可以解 直角三角形，關鍵在於適當選用恰含一個未知量的關係式。 五、任意三角形 ABC 中，邊與角間有如下的關係： (1) 餘弦定理： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C ⎧ = + − ⎪ _{= + −} ⎨ ⎪ _{= + −} ⎩ 30° 45° 60° 90° sinα 1 2 2 2 3 2 1 cosα 3 2 2 2 1 2 0 tanα 3 3 1 3 不存在 cotα 3 1 3 3 0 α 值 三角函數 數 函 角 三

(2) 正弦定理：

sin sin sin

a b c A = B = C 解任意三角形的問題可以分為下列四種類型： (1) 已知三邊； (2) 已知兩邊與它們的夾角； (3) 已知兩角與一邊； (4) 已知兩邊與其中一邊的對角 一般地，(1)、(2)兩種類型可用餘弦定理與三角形內角和定理 來解；(3)、(4)兩種類型可用正弦定理與三角形內角和定理來解。 第(1)、(2)、(3) 種三種類型的問題，或者只有一解，或者無解。 第(4)種類型的問題，可有兩解、一解或無解。 根據三角形中已知的邊與角(至少包含一條邊)的大小，可以 計算出未知的邊與角的大小。這樣從數量上進一步闡明了三角形 中各元素間的關係，使我們對三角形的認識又深入了一步。

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1. 已知角α 的終邊分別經過下列各點，求角α 的的四個三角函 數值。 (1) ( 8− , 6)； (2) (5, 7 )； (3) (− 2 , 3 )； (4) (0,2 3 ) 2. 在直角三角形 ABC 中，角 C 為直角，CD 是斜邊 AB 上的高。 分別寫出等於角 A 的正弦、餘弦、正切的線段的比。這樣的 比有多少個？ 3. 求下列各式的值：

(1) tan 1502 ° +2 sin 60° +tan 45 sin 90° ° −tan 60° +cos 302 ° ； (2) cos 60 sin 1352 3tan 302 cos 302 sin 30

4 ° − ° + ° + ° − ° ； (3) sin 90 tan 45 sin120 ° ° − ° ； (4)

tan 30 cos135 sin 60 cot120 sin150

° ° °

° ° 。 4. 求下列三角函數值：

(1) sin162 21′° 、 cos103 16′° 、 tan 93 53′° 、 cot145 3′° ； (2) sin109 43′° 、 cos167 4′° 、 tan151 32′° 、 cot100 32′° 。

5. 求適合下列各式的三角形的內角α ( 0° < <α 180° )：

(1) sin 3 2

α = 、 cosα = −0.6581、 tanα =35.43；

(2) sinα =sin15° 、 cosα = −cos 45° 、 cot− α =cot115°。 6. 設 A、B、C 是一個三角形的三個內角，求證： (1) sin cos 2 2 A+B ₌ C ； (2) tan cot 2 2 B C+ ₌ A 。 7. 沿著水庫攔水壩的背水坡將壩面加寬 2.0 m，坡度由原來的 1：2 改成 1：2.5。已知原背水坡長 BD = 13.4 m、壩長 90 m， 求完成這一工程需多少方土(保留兩個有效數字)。 8. 直角三角形 ABC 中，已知 A = °32 20′， 角 A 的平分線 AT = 14.7 cm。求直角邊 BC 與斜邊 AB 的長(保留三個有效數字)。 9. 某型號飛機的機翼如圖，根據圖示尺寸 計算 AC、BD 與 AB 的長度(保留三個有 效數字)。 10. 縫紉機挑線桿的形狀 如圖，在加工時須要計 算 A、C 兩孔中心的距 離。若 BC = 60.5 mm、 AB = 15.8 mm 、 80 ABC ∠ = ° ， 求 AC (保留三個有效數字)。 11. 已知梯形 ABCD 的上底 DC = 15.3 cm、下底 AB = 24.2 cm、 一腰 AD = 12.0 cm、另一腰 BC = 11.7 cm，求這梯形的各角 與面積(保留三個有效數字)。 (第 7 題) A D C B E F 2.0 1：2.5 _1：2 (第 9 題) 30° 45° A C B D 5 m 3.4 m (第 10 題) 15.8 80° A 60.5 B C

12. 已知△ABC 的面積為 12 cm2，邊長 a = 6 cm、b = 8 cm，求這 兩邊的夾角 C，並畫圖說明解的情況。 13. 在△ABC 中，AD 為角 A 的平分線，用正弦定理證明： BD AB DC = AC 14. 如圖，A、B 兩點間有小山與小河， 為求 AB 的長，選擇一點 D，使 AD 可直接丈量且 B、D 兩點可以互相看 到，再在 AD 上選一點 C，使 B、C 兩點可以互相看到。已測得： 149.46 AC = m、CD =52.61m、 108 15 ADB ′ ∠ = ° 、∠ACB =120 25° ′。 求 AB。 15. 某漁船在航行中不幸遇險，發出呼 救信號。有一艘軍艦在 A 處獲悉 後 ， 立 即 測 出 該 漁 船 在 方 位 角 為 45°、距離為 10 km 的 C 處，並測 得漁船正沿方位角為105° 的方向， 以 9 km/小時的速度向小島 B 靠攏。 這一艘軍艦立即以 21 km/小時的速 度前去營救。求出軍艦的航向與靠近漁船所需的時間(提示： 設軍艦收到信號後 x 小時在 B 處靠攏漁船)。 16. 用餘弦定理證明：平行四邊形兩對角線平方的和等於四邊平方 的和。 17. 根據三角形的面積公式(海倫公式(Heron’s Formula)) ( )( )( ) S_△ = s s−a s b s c− − (其中 1( ) 2 s = a b c+ + ，a、b、c 是三角形三邊的長)，計算下 列各題中的三角形面積 S_△。 (1) a = 20、b =13、c = 21； (2) a =17、b = 21、c =10。 (第 14 題) D _C A B (第 15 題) A C B 105° ？ 北 北 45°