重點 2：整數指數與指數律 1.意義：設 a 為實數，n 為正整數，則： (1)正整數指數：a ＝n L 個 n a a a a

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Ch3.1 指數 一年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：正整數指數與指數律

1.意義：當 n 為正整數時，對於每一個實數 a，以記號「a 」表示ⁿ a 自乘 n 次的乘積，即a ＝ⁿ

4 4 3 4

4 2

1 L

個 n

a a

a

a

× × × ×

a 讀做：a 的 n 次方，其中 a 稱為底數n 底數底數底數，n 稱為指數指數指數(或次數、次方) 指數 註：a 又讀做² a 的平方，a 又讀做³ a 的立方

2.正整數指數律：

設 a，b 為實數，m，n 為正整數，則：

(1)a ×^m a ＝ⁿ a^m+n (2)a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n (3)(a )^{m n}＝a^mn (4)a ×ⁿ b ＝ⁿ (a )b ⁿ

註：(2)設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n

例 1.1：試利用指數律，化簡下列各式：

(1)2 ׳ 2 ＝______ ⁵ (2) (2³)⁵＝______ (3) 2 ׳ 7 ＝______ ³ (4) ₂

5

2

2 ＝______

例1.2：試求下列各式的值：

(1)(− 2)⁷×(− 2)³ (2) _{5 5}

4 3

5 2

) 10 (

×

重點 2：整數指數與指數律

1.意義：設 a 為實數，n 為正整數，則：

(1)正整數指數：a ＝ⁿ

4 4 3 4

4 2

1 L

個 n

a a

a

a

× × × ×

(2)零指數：規定，若 a≠0，則a ＝1 ⁰ (3)正整數指數：若 a≠0，a⁻ⁿ＝ _n

a 1

註：0 與⁰ 0⁻ⁿ無意義，但是當 n≠0 時，0 ＝0 ⁿ 2.整數指數律：

設 a，b 為實數，m，n 為整數，則：

(1)a ×^m a ＝ⁿ a^m+n (2)a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n (3)(a )^{m n}＝a^mn (4)a ×ⁿ b ＝ⁿ (a )b ⁿ

註：(2)設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n

例 2.1：下列指數哪些是有意義的？

(1)0⁰ (2)(

−

例 2.2：試求下列各式之 x 值：

(1)2⁻⁵＝ _x 2

1 ，則 x＝____ (2)7 ＝1，則 x＝____ ^x (3)3 ＝^x 81

1 ，則 x＝____

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例 2.3：試求下列各式的值：

(1) 3³×3⁻⁴ (2)

(

⁺

)

⁻

⁺

) 3 (

) 3

(

例 2.4：試求下列各式的值：

(1)(3⁻²)⁻¹＋3⁻²×3 ＋³ (3⁻¹⁰)⁰ (2)( 3

+

−

例 2.5：考慮某種細菌的繁殖狀況，每經過一天，細菌在單位面積中的數量成長為一天前的 a 倍。現在以某一日為基準日，

試問：

(1)基準日五天後，細菌數量為基準日的多少倍？寫成指數形式 (2)基準日三天前，細菌數量為基準日的多少倍？寫成指數形式

重點 3：有理數指數

1.意義：設 a 是正實數，n 是正整數，m 是整數，則：

(1) aⁿ

1

＝ⁿ a (2) ⁿ

m

a ＝(ⁿ a )^m＝ⁿ

a

設 a，b 為實數，m，n 為有理數，則：

(1) a ×^m a ＝ⁿ a^m+n (2)a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n (3)(a )^{m n}＝a^mn (3) a ×ⁿ b ＝ⁿ (a )b ⁿ

註：(2)設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n

3.常用運算性質：設 a，b 是正實數，m，n，k 是正整數，則 (1) ⁿ a ⁿ b ＝ⁿ

a b

n

b a ＝ⁿ

b

a

a

a

a

例 3.1：試求下列各題之值：

(1) ³ 5 ＝5 ，則^x x＝____ (2) ⁵ 2 ＝³ 2 ，則 x＝____ ^x (3) ³

1

2⁻ ＝ _x 2

1 ＝_y 2

1 ，則數對(x，y)＝______ (4) ⁴

3

2⁻ ＝ _x 2

1 ＝ _y 2a

1 ，則數對(x，y，a)＝________

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例 3.2：試求下列各式的值：

(1) ⁴

1

2 × ⁸

1

4 × ⁸

1

9 × ¹⁶

1

81 (2)(0.25)^1.5× ³

2

8 ) (27 ⁻

例 3.3：試利用具有x 功能鍵的計算機或電腦小算盤，求^y 3^2.17的近似值

解：在小算盤視窗上方的「檢視(V)」中選取「公程型(S)」，並依序鍵入 3，x ，2.17，＝，即可得 10.848086… ^y

重點 4：實數指數與指數律

1.意義：設 a 是正實數，n 是實數，則a 可依據指數定義 ⁿ 2.實數數指數律：

設 a，b 為正實數，m，n 為實數，則：

(1) a ×^m a ＝ⁿ a^m+n (2)a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n (3)(a )^{m n}＝a^mn (3) a ×ⁿ b ＝ⁿ (a )b ⁿ

註：(2)設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m−n

例 4.1：試求下列各式的值：

(1)

4

2 2

8

( 2

× 3

)

例 4.2：某放射性物質重 128 克，半衰期為 2 年(即每 2 年重量衰變為原來的1

2)，試問：

(1)5 年後剩下多少克？ (2)該放射性物質剩下 1 克時，需多少年？

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重點 5：指數與乘法公式求值 1.意義：利用乘法公式，求指數值 2.常用乘法公式：設 x＞0，則：

(1)x ＋² x ＝⁻² (x

+

(2)x ＋³ x ＝⁻³ (x

+

+

+

例 5.1：設a

≠

(1)

[

^⋅

]

(

⁺

)

(

⁺

)(

⁻

⁺

)

例 5.2：設a

+

(1)a²

+

+

+

例 5.3：設 a＞0，x 為實數，a^2x＝5，則 _{x x}

x x

a a

a a

−

−

+ +

3

＝

例 5.4：已知 2^x

=

(1)4^x−1 (2)9 8

⋅

例 5.5：根據聯合國統計，西元 1987 年世界人口總數達 50 億。假設每年人口數都增加為原來的 r 倍，則：

(1)西元 1999 年的人口數為多少？(以 r 表示)

(2)已知西元 1999 年人口數已增至 60 億，求西元 2011 年的世界人口數約為多少人？