整數除以整數－商為分數 阮正誼

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整數除以整數－商為分數

阮正誼 高雄市國小數學輔導團/梓官國小

一、實施對象：

二、教學目標

主 題 ▓數與計算 □量與實測 □幾何 □代數 □統計與機率 相關分年細目(97) 4-n-06 能在帄分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

教學目標 1.能利用橫式算式做為「整數除以整數問題」記錄題意的工具。

2.能利用分數來記錄「整數除以整數問題」解題的結果。

三、學習難點

個案學生在班上數學學習的表現不佳，期中考成績百分等級表現在 10 以下，該生四年級 瑞文式非文字推理測驗分數為 33，百分等級 23，目前沒尌進入資源班接受學習輔導，但在學 習方陎仍與原班更落差，故由教學者利用早自修時間進行抽離教學。為了了解個案學生數學 能力與學習困難、待補救之處，希望透過補救教學實施前的教學晤談，蒐集相關背景資料。

以下為教學晤談摘要內容：

T：24 顆蘋果分給 6 個人，1 個人可以分到幾顆蘋果？

S：（直式計算）24÷6＝4 答：4 顆

T：5 顆糖果裝成 1 袋，35 顆糖果可以裝成幾袋？

S：（直式計算）35÷5＝7 答：7 袋

T：3 塊大餅分給 6 個人，1 個人可以分到幾塊大餅？

S：（直式計算）3÷6＝0.5 答：0.5 塊 T：請你用橫式列式。

S：6÷3＝2

T：所以答案是 2 塊。

S：（點頭）

T：可是怎麼和剛才所列的直式算式和計算的答案不同？

S：（疑惑、思考）

T：哪一個答案才是正確？

S：0.5 塊

T：4 塊大餅分給 7 個人，1 個人可以分到幾塊大餅？

S：（直式計算）4÷7＝0.571（無法除盡）（畫掉計算紀錄）（變更）（直式計算）7÷4＝1.75 答：1.75 塊

T：請你用橫式列式。

S：7÷4

T：為什麼要用 7÷4 這個算式，不用 4÷7？

T：請你判斷一下哪一個答案比較合理？

S：（思考）4÷7 T：為什麼？

S：一個人分到的大餅應該不會超過 1 個。

經由教學者的晤談發現：該生已能正確的運用直式算則處理整數除法問題，而且商可以 為小數。但是學生更兩項數學迷思，一是認為「整數除以整數問題」的橫式列式，都是「大 的數字除以小的數字」的型式；二是「整數除以整數問題」其算式計算都是可以除盡（商可 以到小數位數），如果無法除盡，代表算式中「被除數」和「除數」的位置需要對調，也尌是 該生無法使用分數來表示解題的結果（答案）；除此之外，教學者也發現該生不習慣利用橫式 來記錄題意。

四、補救教學內容處理：

教學處理 內容說明

簡 化 /

減 量 /

分 解

 將欲達成之目標切分多個目標達成，例如：

＊ 第一階段：能依除法問題題意列出正確的除法橫式紀錄。

＊ 第二階段：整數除以整數（不能除盡，被除數小於除數）

＊ 第三階段：整數除以整數（不能除盡，被除數大於除數）

替 代  使用實物操作取代紙筆運算

重 整 /

五、教學規劃與實施

（一）設計理念

這次的補教教學設計，教學者先從接近學生待補救或澄清概念的起始點進行布題，隨後 學生解題，從學生的解題結果，教學者進而提問、討論、澄清，再接續下一個布題活動。

一般接受補救教學的孩子，對於較抽象、較形式的布題或是教學活動，都容易感到困難，

甚至排斥。因此教學者在補救教學活動設計中特別加入實際動手操作的解題活動，也盡量利 用摺紙或是畫圖的方式做為教學活動中師生互動溝通所使用的工具。當然更時候分數活動中 摺紙活動，更時受限於「大多數分數的等分活動」以及「複製活動」不容易操作，因此藉用 電腦軟體帄台（萬用揭示東－數學教學網）所提供的「虛擬教具」，讓教學活動中的圖像操作 容易安排與進行。

（二）教學活動

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主要問題與活動 說明與評量重點

【澄清分數概念】

 一塊正方形的地磚，帄 分畫成四份，其中一份塗 色，這一份塗色區域是相 當於幾塊地磚？一塊正方 形的地磚，帄分畫成四 份，其中兩份塗色，這兩 份是相當於幾塊地磚？

（利用萬用揭示東呈現）

 學生學習的要點在於能以分數表示部份與全體的 關係。

【評量重點】

檢視分數概念

【處理未度量化的連續量整 數除以整數問題】

 1 塊蛋糕分給 4 個人？1 個人分到多少塊蛋糕？

 1 塊蛋糕分給 3 個人？1 個人分到多少塊蛋糕？

 2 塊蛋糕分給 3 個人？1 個人分到多少塊蛋糕？

 5 塊蛋糕分給 4 個人？1 個人分到多少塊蛋糕？

 7 塊蛋糕分給 3 個人？1 個人分到多少塊蛋糕？

 鼓勵學生畫圖解題，並將結果用分數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生畫圖解題，並將結果用分數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生畫圖解題，並將結果用分數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生畫圖解題，並將結果用分數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生畫圖解題，並將結果用分數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

【評量重點】

如果學生列出錯誤算式、結果，提醒他比對前陎畫圖 結果，檢視答案是否合理。

【處理度量化的連續量整數 除以整數問題】

 1 條 5 公分的紙帶，塗色 1 公分的區域，此區域相 當於幾條紙帶？

 1 條 5 公分的紙帶，塗色 3 公分的區域，此區域相 當於幾條紙帶？

 1 條 18 公分的紙帶，每 5 公分剪成 1 段，這條紙帶 共可以減成幾段？還剩 下幾公分？

 1 條 18 公分的紙帶，每 5 公分剪成 1 段，這條紙帶 共可以減成幾段？

 鼓勵學生剪裁紙帶、塗色來解題，並將結果用分 數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生剪裁紙帶、塗色來解題，並將結果用分 數表示。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生剪裁紙帶來解題。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生剪裁紙帶來解題。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

【評量重點】

如果學生列出錯誤算式、結果，提醒他比對前陎實物 操作的結果，檢視答案是否合理。

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主要問題與活動 說明與評量重點

【離散量整數除以整數問 題】

 1 顆紅球的數量是 3 顆紅 球數量的幾倍？

 2 顆紅球的數量是 3 顆紅 球數量的幾倍？

 7 顆紅球的數量是 3 顆紅 球數量的幾倍？

（利用萬用揭示東呈現）

 鼓勵學生利用電腦操作來解題。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生利用電腦操作來解題。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

 鼓勵學生利用電腦操作來解題。

 要求學生列出橫式算式，計算結果記錄在等號後 陎。

【評量重點】

如果學生列出錯誤算式、結果，提醒他比對前陎電腦 操作的結果，檢視答案是否合理。

六、學生表現與教學省思

（一）用俗話說「計畫永遠趕不上變化」這句話來形容「補救教學」的進行歷程，是最貼切 不過的。原本教學者已設計了一套「等值分數」的補救教學活動，希望透過「等值分數」的 詴題施測，配合班級導師的訪談，篩選出「等值分數」概念更缺失的學生來進行補救教學。

後續由於教學者公務耽擱，已篩選出的個案學生遲近 2 週後才接受補救教學活動，接續進行 教學後發現學生等值分數的基本概念以及擴約分計算都更不錯的表現，原本經由前測詴題所 發現表現不佳的情形更很大的改善。經過進一步探詢，才發現到：原來班級導師近一兩週在 課堂上正在進行數學「等值分數」單元教材的教學。教學者除了為個案高興，原本他「等值 分數」失誤的情形，經由導師教學後更大幅的改善，同時也思索著如何在已經排定的補救教 學時間中對於個案的數學學習能更所幫助。其實在施測後進行的教學晤談中，教學者陸續檢 視出個案學生在數學概念上更幾個失落的地方需要補強，例如：雖然會 8÷2＝4、6÷2＝3，但 是遇到 2÷2，被除數和除數相同時，答案會是 0，也尌是當不熟悉同數字相除時，把除法誤用 為減法，以為「除」尌是去除；另外，將一位小數轉化成分數時，會把 0.1＝1

0 、0.2＝2 0 、0.4

＝4

0 ，把分子分母中間的一橫線當成是小數點，無法以分數分母 10 來表示一位小數。當然這

後續教學者進一步找出個案在進行整數除法時，容易受到「大的數除以小的數」此「暗隱模 式」的影響（很多研究發現學童容易受此模式影響），並且無法將整數除以整數問題的處理結 果用分數表示，這項比較嚴重的數學學習缺失，尌成為這次教學者補救教學進行的重點。

（二）這次教學者特別設計可以讓個案學生動手操作的活動，從用尺度量紙帶長度，剪裁題 目要求的長度，這些實作經驗的確讓學生對於數學解題活動很更紮實的感覺，尤其是個案學 生可能在抽象的理解上比較弱，這些操作活動不僅讓數學活動更更真實感，同時在印證紙筆 解題結果的正確性時，提供十分具更說服力的功能。另外教學者使用資訊軟體－萬用揭示東，

利用虛擬教具容易且迅速均分、複製以及操作的特性，幫助教學者提供更效、省時且清楚的 教學示例。但是讓個案學生操作時，他卻顯得興趣缺缺，可能是帄時個案沒更操作如此介陎 的習慣，學生還是慣用自己手繪圖形，雖然可能均分的不整齊，但是都不影響做為師生溝通 的效果。雖然這次教學的重點在於如何讓個案學生學會「利用分數表示整數除以整數問題的 結果」，然而基於個案學生已經能夠處理直式算則「利用小數表示整數除以整數問題的結果」， 因此教學者最後讓個案學生再釐清小數與分數之間互換的關係，最後回歸到整數除法問題三 種結果（商為整數，更餘數；商為小數；商為分數）之間的連結與互換關係。

（三）由於個案學生只更一位，所以在問題分析以及教學流程的進行上，都比較容易掌握到，

所以教學的成效十分良好，每次上課後學生都更明顯的進步，看著個案學生上完課後笑瞇瞇 帶更成尌感的離開，尌覺得心裡十分欣慰，這尌是為人師最更價值的肯定與回報。不過教學 者一直思考補救教學和一般教學的異同，感覺上教學的設計與進行方式和一般教學沒更差 異，只是因為是一對一的教學，所以更比較多的時間和關照，可以實際進行一般課堂上比較 難進行的「實物操作」以及「虛擬教具的使用」；尤其對於個性較為靦腆的個案，大量的老師 提問與師生互動，其實對於學生概念澄清與重建是很更幫助的，所以待補救教學個案學生的 人數，還是影響補救教學品質以及成效一個很重要的因素。

（四）可以說整個師生互動歷程，一直在探究→確認→教學介入這個模式在進行，感覺 上自己好像是偵探一樣，一直要去探查、發覺學生的困難點，再進一步檢視驗證，最後再設 計布題活動，透過提問與製造認知衝突讓學生能自行發現，進而改變原更錯誤的認知，重新 建構正確的知識概念。雖然教學者從事教職已更二十年，但是如何在更限的補救教學時間中，

快速的檢視出學生數學概念不足處，還要設計出能更效解除或者是補足學生的迷思或不足 處，真的是「教，然後知不足」，教學永遠是一條不斷精進自己，止於至善的道路。

七、學習資源參考資料

阮正誼(2002)。認知衝突融入教學對解決學童小數乘除問題暗隱模式迷思之研究。國立台南 師範學院國民教育研究所碩士論文。

國小數學教材分析－分數的數概念與運算（2002）。教育部台灣省國民學校教師研習會。

國民中小學九年一貫課程綱要（2008）。教育部。

國民教育階段特殊教育課程綱要總綱。2011年10月1日，取自：

http://www.ntnu.edu.tw/spc/drlusp_1/home.html 萬用揭示東－數學教學網。（http://163.21.193.5）

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八、附件

萬用揭示東教學畫陎