科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9906
「行列式」從何而來？
單維彰‧99 年 5 月 18 日
基於和上個月同樣的動機—為高中數學課程的幾個線性代數相關課題初步地整 理一些歷史背景，期望引起同仁對於這方面資料較為匱乏的關心，以致有更豐富 且適合高中課堂使用的歷史相關讀物產生—我在本欄繼續這一系列的報導。
當我們由後期的觀點來看數學史或科學史，特別是受限於篇幅和深度的時 候，經常營造出一種假象，好像歷代（甚至不同種族、不同地域的）學者們都朝 著一個共同而明確的目標前進，有如接力賽似地一棒傳一棒，而造就出今天教科 書裡的內容。而真相並非如此。只要能夠多用一點篇幅，並且多引入一些數學內 容，就能表現出更多的真相。
但是歷史也確實有其神秘之處；有時候，某些不凡的靈魂彷彿真的能夠跨越 地理的障礙，又好像某些思維在某個時期確實充斥於「空氣中」，許多未能彼此 溝通的人同時接受了訊息，而創造出極為類似的成果。上個月指出複數的幾何意 義，是一個例子。Crowe 在其 “A History of Vector Analysis” 裡面，列出至少六 名彼此極可能不曾聯絡也不知道對方思想的人，在十九世紀的最初 30 年，不約 而同地思考這個問題，並提出幾乎一致（但是深度與廣度不一）的見解。這許多 條的線索，經過後世的融合、簡化與詮釋，形成今天教科書所呈現的面貌。
行列式、向量和矩陣（在高中課程中其實是方陣），各有自己的發源，有它 們自己的動機和應用。其中最早發生的是行列式，原初的動機是探討線性聯立方 程組的解，最早出現在十七世紀的西歐和日本；而行列式與向量和矩陣那另外兩 條線索的揉合，則發生於十九世紀的中期。至於它們三者被整合在「線性代數」
的架構之內，則已經是距今 (2010) 一百年左右的近期發展了。
在高中課程的範圍內，我們只介紹了二階和三階行列式，又稱為 和3 3 行列式（讀作二乘二而不是二乘以二），那是分別將四個或九個數映射成一個數 的計算規則。若將四個或九個數排列成正方形，則其行列式計算規則如下：
2 2
a c
ad bc b d 和
a g u
b h v ahw bku cgv uhc vka wgb c k w
一般而言，若 n 是正整數，則 n 階行列式就是將 個數映射成一個數的計算規 則；某一個數的一階行列式就是那個數本身。以上記號是今日的標準：將 個 數排列成正方形，在其左右兩側畫上直線（看起來也就是「絕對值」符號）。絕 對值記號的「借用」以及把數排列成正方形的寫法，是英國人凱萊 (Cayley, 1821—95) 在 1841 年提出的。知道這件歷史，再得知凱萊也是矩陣理論的開路 先鋒之一，就不會太驚訝了；凱萊在 1858 年發表了第一篇有系統地定義矩陣並
n2
n2
探討其代數性質的論文。
雖然前人並沒有把數排列成正方形，也沒有方陣的名字和觀念，卻其實已經 考慮了所謂的矩陣乘法。早些時候，行列式有兩個意義：它既指那 個數，又 指它們依規則算出來的那一個數。所以，柯西 (Cauchy, 1789—1857) 在 1812 年 發表的「行列式乘法性質」，乍看是一句沒意義的話：『行列式的乘積相等』，其 實就是我們今天所說的
n2
|A B|| | | AB|，其中 A 和 B 是階數相等的方陣，而 |AB| 的 計算規則，就是先做 A 和 B 的矩陣乘法，再算其行列式。我們甚至可以說，柯 西的行列式乘法性質「啟發」了後來矩陣乘法的規則。矩陣的乘法發生在矩陣誕 生之前，數學史是不是很有趣？
中文翻譯「行列式」的時候，凱萊的符號已經通行，所以那些數寫成了方陣 形式，而橫排的數稱為列，直排的稱為行。西方稱之為 determinant，是「決定性 因素」的意思。在大勢底定以前，同樣的觀念和算法有過很多不同的名字，我們 不必做語源的考據。而 determinant 之勝出，高斯 (Gauss, 1777—1855) 那本天才 洋溢的《算術研究》肯定是個決定性因素：高斯在書裡用了那個字 (1801)，並 且使用了 2 階和 3 階情況的「行列式乘法性質」；柯西推廣並證明了 n 階的情況。
中文「行列式」強烈暗示它是關於行和列的計算規則，這個非常優異的名字 同時指出了算法。就好像中文「微積分」明白指出那是一套包括微分和積分的算 法，比原文 Calculus 有意義多了。所以中學課程通常將行列式放在矩陣的章節之 中。但是我們現在知道，行列式的發生，原本是某種性質的決定性因素，而且早 在它被寫成行和列以前。
行列式是 n 元一次聯立方程式有唯一解的決定性因素，也就是課本裡的克拉 瑪定律。克拉瑪 (Cramer, 1704—52) 在 1750 年發表了這個決定 (齊次線性) 聯 立方程組有唯一解、有無窮多組解、無解的一般性方法。那篇論文的主題在探討
「平面上通過若干點的代數曲線」，其實就是插值多項式啦；從已知點坐標求插 值多項式係數的一般性方法，就是解聯立方程組。所謂的克拉瑪定律，寫在那篇 論文的附錄，並無證明。在課本裡被當作應用的克拉瑪定律，其實是行列式的歷 史源頭。
在克拉瑪之後，行列式逐漸成為西歐學術圈內的共同知識。雖然圈內人普遍 將克拉瑪定律視為行列式的源頭，卻把開創行列式這門學問的榮譽，歸給了范德 蒙 (Vandermonde, 1735—96)。這是因為後者在 1770 年代的工作，將行列式從聯 立方程式抽離出來，當作獨立的數學研究對象。范德蒙指出高中課本裡面列舉的 那些行列式計算性質，並指出利用餘因子化簡的算法；但是他並沒有使用凱萊的 方陣表達形式。這就是為什麼明明克拉瑪已經知道，解插值多項式問題的係數矩 陣都具有以下形式 (x , 1 x , 2 x 和 3 x 是相異的已知數)： 4
2 3
1 1 1
2 3
2 2 2
2 3
3 3 3
2 3
4 4 4
1 1 1 1
x x x
x x x
x x x
x x x
數學圈卻把這種形式的矩陣稱為范德蒙矩陣。
但是在克拉瑪論文的一百年後 (1850)，西歐的學術圈有了新的「發現」。那 一年，德國（漢諾威）出版了萊布尼茲 (Leibniz, 1646—1716) 書信全集，裡面 有一封 1683 年寫給羅必達（一個大家熟知的極限法則以他命名）的信，也提出 了所謂的克拉瑪定律，並且明確地寫出三階行列式的計算規則。更令人驚訝的 是，萊布尼茲在信中使用了雙足標：他寫10 11 x12y ，但那些係數不是十、0
世，會不會都讀過卡丹諾 (Cardano, 1501—76) 的《大術》？因為後來又發現，
那本書裡隱藏了以二階行列式解二元一次聯立方程式的法則；卡丹諾只差一點點
式的知
。
十一、十二的意思，從後文看出來是a 、10 a 、11 a 的意思。 12
當西歐和日本的交流更為密切之後，他們又「發現」居然就在萊布尼茲寫信 給羅必達的幾乎同時，在日本被尊為「算聖」的關孝和 (Seki Takakazu,
1642—1708) 也撰寫了完全一樣的技術，他不但等同於發現了克拉瑪定律，也幾 乎寫出了凱萊的方陣形式。我們相信萊布尼茲和關孝和不曾聯絡，而他們的前
就要發現克拉瑪定律了。
當現代的學術圈發現卡丹諾、萊布尼茲和關孝和的早期思想時，行列
識已經完備了。所以，這些發現類似於「考古」的發掘，對於我們今日所知的知 識架構，並沒有發生影響。
有些網路文件把行列式的「最早」發現歸功於中國漢朝的《九章》，我相信 那是溢美之言。九章的確解了三元一次線性聯立方程式，但是所用的方法等價於 高斯消去法，並不是行列式
