行列式 例題

行列式

例題 1

試求

7 1 3 4 －1 1

5 3 －2 ＝ ‧

■解： 7 1 3 4 －1 1 5 3 －2

＝14＋5＋36＋15＋8－21＝57

例題 2

試求

14 21 35 22 121 55

6 2 15 ＝ ‧

■解： 14 21 35 22 121 55 6 2 15

＝7×11×

2 3 5 2 11 5 6 2 15

＝77×2×5×

1 3 1 1 11 1 3 2 3

＝770×（33＋9＋2－33－9－2）＝770×0＝0 例題 3

設矩陣 A＝

1 1 4 －1 2 2

3 2 －4 ，B＝

1 2 3 －2 1 2

2 3 －4 ，則：

( )1 det（2A－3B）＝ ‧ ( )2 det（AB）＝ ‧

■解：

( )1 2A－3B＝2

1 1 4 －1 2 2 3 2 －4

－3

1 2 3 －2 1 2 2 3 －4

＝

2 2 8 －2 4 4 6 4 －8

－

3 6 9 －6 3 6 6 9 －12

＝

－1 －4 －1 4 1 －2 0 －5 4

det（2A－3B）＝

 

 

 

 

＝－4＋0＋20－0＋64＋10＝90

( )2 det A＝

 

 

 

 

3 2 －4 ＝－8＋6－8－24－4－4＝－42

det B＝

 

 

 

 

2 3 －4 ＝－4＋8－18－6－6－16＝－42

∴det（AB）＝det A．det B＝（－42）（－42）＝1764 例題 4

試問下列各行列式之值，何者為 0 ？

( )A

375 5 0 148 8 0 207 7 0

( ) B

11 20 2009 12 21 2010 13 22 2011

( )C

1 1 1 a b c

b＋c c＋a a＋b ( )D







 0 a b －a 0 c －b －c 0

( )E

a－b b－c c－a b－c c－a a－b c－a a－b b－c ‧

■^解： ( )A ○：有一行為 0

( ) B ○：

11 20 2009 12 21 2010 13 22 2011

^×（－1）

×（－1）＝

11 20 2009 1 1 1 2 2 2

＝0

( )C ○：

1 1 1 a b c b＋c c＋a a＋b

_×1＝

1 1 1 a b c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c

＝（a＋b＋c）×

1 1 1 a b c

1 1 1 ＝（a＋b＋c）×0＝0

( )D ○：

 

 

 

 

＝0－abc＋abc－0－0－0＝0

( )E ○：

a－b b－c c－a b－c c－a a－b c－a a－b b－c

^×1

×1＝

0 0 0 b－c c－a a－b c－a a－b b－c

＝0 故選 ( )A ( ) B ( )C ( )D ( )E

例題 5

1 1 1 x 15 －28 x ² 15² （－28）²

＜0 之解為 _‧

■解： 1 1 1 x 15 －28

x ² 15² （－28）² ＝（x－15）（15＋28）（－28－x）＜0

（x－15）（x＋28）＞0 x＞15 或 x＜－28 例題 6

設 f（x）＝

3－x 4 5 3 4－x 5

3 4 5－x ，則：

( )1 f（x）≦0 之解為 ‧

( )2 以 x－1 除 f（x）之餘式為 ‧

■解：

f（x）＝

3－x 4 5 3 4－x 5 3 4 5－x

＝

12－x 4 5 12－x 4－x 5 12－x 4 5－x

×1 ×1

＝（12－x）×

1 4 5 1 4－x 5 1 4 5－x

^×（－1）

×（－1）＝（12－x）×

1 4 5 0 －x 0 0 0 －x

＝（12－x）×x ²

( )1 f（x）≦0 （12－x）×x ²≦0 x ²（x－12）≧0 x＝0 或 x≧12 ( )2 以 x－1 除 f（x）之餘式為 f（1）＝（12－1）×1²＝11

例題 7

設 A（1，3），B（－2，7），C（k，8），若△ABC 之面積為 11，則 k＝ ‧

■解：

△ ABC 之面積＝ 1 2×

 

 

 

 

^×（－1）

×（－1） 的絕對值

＝ 1 2×

1 3 1 －3 4 0

k－1 5 0 的絕對值

＝ 1 2×

 

 

k－1 5 的絕對值

＝ 1

2×│－15－4（k－1）│＝11

│－4k－11│＝22 －4k－11＝22 或－4k－11＝－22 k＝－ 33

或 k＝ 11

例題 8

設 A（1，3），B（a＋1，－1），C（3，0）三點共線，則 a＝ ‧

■解：∵A，B，C 三點共線 △ ABC 之面積為 0

 

 

 

 

＝0 －1＋9＋0＋3－3（a＋1）＝0

11－3a－3＝0 3a＝8 a＝ 8 3 例題 9

若三直線 L1：4x＋y＝4，L²：k x＋y＝0，L³：2x－3k y＝4 不能圍成三角形，則 k 之可 能值為 ‧

■^解：不能圍成三角形的原因： ( )1 有平行線存在； ( )2 三線共點 ( )1 當有平行線存在時

○^１ 若 L1//L2

4 k＝ 1

1 k＝4

○^２ 若 L1//L3

4 2 ＝ 1

－3k －12k＝2 k＝－ 1 6

○^３ 若 L2//L3

k 2 ＝ 1

－3k －3k ²＝2 k 無解 ( )2 三線共點

 

 

 

 

2 －3k 4 ＝16－12k ²－8－4k＝0 12k ²＋4k－8＝0

3k ²＋k－2＝0 （k＋1）（3k－2）＝0 k＝－1 或 2 3 由 ( )1 、 ( )2 可知 k＝4，－ 1

6 ，－1，2 3

例題 10

設 A（x1，y¹），B（x²，y²），C（x³，y³），且△ ABC 之面積為 10，則

A'（3x1－4y1，5y¹－6x1），B'（3x²－4y2，5y²－6x2），C'（3x³－4y3，5y³－6x3）所圍成 之三角形面積為 ‧

■解：

已知 1 2







x1 y1 1



x2 y2 1 x3 y3 1

的絕對值＝10

×2 ×（－ 4 3）

而 1 2

   

 

 

的絕對值＝ 1 2

   

 

 

的絕對值

＝ 1 2

   

 

 

的絕對值＝ 1

2×（－9）







x1 y1 1



x2 y2 1 x3 y3 1

的絕對值＝90

例題 11

已知空間中四點 A（1，1，1），B（3，4，5），C（1，2，k），D（4，5，k）‧若四面體 ABCD 之體積為 3，則 k＝ ‧

■解：AB ＝（2，3，4）， AC ＝（0，1，k－1），AD ＝（3，4，k－1）

∵四面體 ABCD 之體積為 3

∴ 1 6×

 

 

 

 

3 4 k－1 的絕對值＝3

│2（k－1）＋9（k－1）－12－8（k－1）│＝18

│3k－15│＝18 3k－15＝18 或－18 k＝11 或－1 例題 12

空間中四點 A（0，0，0），B（1，1，1），C（2，1，0），D（k，k，2）共平面，則 k＝ ‧

■解：∵A，B，C，D 四點共平面

∴ AB ， AC ，AD 所張平行六面體體積為 0

又 AB ＝（1，1，1）， AC ＝（2，1，0），AD＝（k，k，2）







1 1 1



2 1 0 k k 2

＝2＋0＋2k－k－4＝0 k－2＝0 k＝2