勾股定理證明-A016

(1)

勾股定理證明-A016

【作輔助圖】

從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於D點，如圖所示。

B C

D A

【求證過程】

在直角三角形 ABC 內作輔助線，讓裡面形成兩個直角三角形，先說明圖中的三角 形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出圖上的邊長關係，最後利用數學三一律，說明其中兩個是不符合的，來推出勾股定理的關係式。

1. 首先證明三角形ABC 與三角形 ACD 、三角形 CBD 皆相似：

因為ACB ADC 90 且 CAB  DAC，可推得ABC~ACD(AA 相似)，同理，可推得ABC~CBD，所以

~ ~ .

ABC ACD CBD

  

2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由三角形 ABC 與三角形 CBD 相似可知：AC BC: CD BD: ，整理得

BC CD, AC BD

 

又可知：CD BD:  AD CD: ，整理得

2

CD . AD BD

(2)

3. 最後利用數學三一律，說明其中兩個皆會矛盾，來推出勾股定理的關係式：

在直角三角形中，假設斜邊平方小於兩股平方和，即在直角三角形 ABC 中，

2 2 2

AB  AC BC ，在直角三角形 BCD 中，BC² BD² CD ²，將AB² AC ² BC ² 整理可得

 

   

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

. AB AC BC

BC CD

AD BD BC

BD

CD BC CD

BD BC

BD BD

CD BD BC CD BC BD

BD BD BD

CD BD BC CD BD

BD BD

CD BD BC

 

  

   

 

  

  

 

 

      

 

 

  



 

推得與假設的BC² BD² CD²矛盾。

同理可證，假設在直角三角形中，假設AB²  AC²BC²，也會推得矛盾，所以由數學三一律可知：

在直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和，即在直角三角形 ABC 中，

2 2 2

, AC BC  AB

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the

(3)

Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 171.

2. 心得：

此證明是利用數學的三一律來證明勾股定理，而中間過程所需的等式，則是利用三角形相似的性質所推出，雖然利用三一律來證明學生較不熟悉，但自己閱讀不難理解。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：A016 原本有兩個證明，但第一個證明因為有錯誤，所以沒有呈現。