勾股定理證明-A054
【作輔助圖】
從C點作AB的垂線，交AB於 D 點，如圖所示。
A B
C
D
【求證過程】
在直角三角形ABC內作輔助線，先說明圖中所有的三角形皆相似，利用相似形「對 應邊成比例」的性質推得邊長關係，再利用CD為 AD 和 BD 的比例中項，將圖中兩個 直角三角形各兩股邊長的平方相加得到等式關係，再相加並整理而推得勾股定理。
1. 首先證明三角形ACD、三角形CBD與三角形ABC皆相似：
因為ADC ACB 90 且DAC CAB，可推得ACD~ABC(AA 相似)，
同理，CDB ACB 90 且CBD ABC，可推得CBD ABC，所以
~ ~ .
ACD CBD ABC
2. 由上述的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形ACD與三角形CBD相似可知：AD CD: CD BD: ，整理得
2 .
CD AD BD
再由三角形ACD與三角形ABC相似可知：AC AD: AB AC: ，整理得
2 .
AC AD AB
再由三角形CBD與三角形ABC相似可知：BC BD: AB BC: ，整理得
2 .
BC BD AB
3. 利用CD為 AD 和 BD 的比例中項，試圖將圖中的兩個直角三角形各兩股邊長的平方 相加整理，最後推出勾股定理的關係式：
由第 2 點可知：CD2 AD BD ，則
2 2 2 2
, AD CD AD AD BD AD ADBD AD AB AC
2 2 2 2
, BD CD BD AD BD BD BDAD BD AB BC 將上述兩式相加
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
( )
, AD CD BD BC AC AD AD BD BD BC AC AD BD BC AC AB BC AC
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：此證明是魯米斯( E.S. Loomis )在 1934 年 3 月 2 日收到的資料，寄件者是 J.
Adams 來自於荷蘭海牙，但沒有提供原創作。
2. 心得：此證明與 A001 最簡短的證明一開始概念一樣，僅在直角的點上作垂線，切 出兩個直角三角形，利用母子直角三角形中的比例線段找出兩股邊長的等式 關係，此時，A001 證明是將兩股邊長的平方相加就可得證畢氏定理；而此證 明 A054 是先將圖中的兩個小直角三角形各兩股邊長的平方相加得到兩個等 式後，再相加直角三角形ABC的兩股邊長平方和而得證。我想此證明意味著 由小窺大，由圖中小直角三角形滿足勾股定理，推得大直角三角形也成立。
3. 評量：
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