高雄市明誠㆗㈻ 高㆓普通科 數㈻平時測驗

高雄市明誠㆗㈻ 高㆓普通科 數㈻平時測驗 ㈰期：91.10.30 班級

範 圍

2-3 空間向量的座標

表示法 座號

姓

㈴

得 分

㆒、選擇題：

1.(CD )在下列五組中，何者可能是空間向量的方向角？

(A)－（π／4），π／3，π／3 (B)π／6，π／4，π／3 (C)30-，90-，60- (D)45-

，60-，60- (E)π／4，π／3，4π／3。(複選)

2.(AB )a＝（－3，0，0），則a之方向角為 (A)π (B)π／2 (C)π／3 (D)π／4 (E)（2／3

）π。(複選)

3.(DE )設A（2，6，3），B（2，2，－1），點C在直線AB上，且AC：BC＝3：1，則點C之 坐標為 (A)（2，0，3） (B)（－2，3，0）

(C)（0，2，3） (D)（2，3，0） (E)（2，0，－3）。(複選) 4.(B )設OA＝（1，2，2），OB＝（1，1，0），則OA與OB之夾角為

(A)30- (B)45- (C)60- (D)120-。

5.(C )若a＝（2，－1，1）與b＝（1，1，2），則a．b＝ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

6.(A )ABCD－EFGH為正立方體，則HB與EG之交角為 (A)90- (B)45- (C)135- (D)180-

。

7.(C )設x，y，z為實數，且3x－2y＋2z＝47，則x²＋4y²＋z²之最小值為 (A)3 (B)5 (C)8 (D)11。

8.(D )如下圖為長方體，長，寬，高各為5，3，4單位長，AB＝3，AD＝5，BH與CE的夾角 為θ，則cosθ＝ (A)4／5 (B)3／5 (C)1 (D)0。

㆓、填充題：

1.設A（2，1，－2），若AB的方向角為π／4，2π／3，π／3，且│AB│＝6，則點B的坐標為【

（2＋3 2 ，－2，1） 】。

2.設P（a，b，c）為空間中之點，且OP之方向角為α，β，γ，則：

(1)cos²α＋cos²β＋cos²γ＝【 1 】。 (2)sin²α＋sin²β＋sin²γ＝【 2 】。

(3)cos2α＋cos2β＋cos2γ＝【 －1 】。

解析：(1)設P點坐標為（a，b，c）"OP＝（a，b，c）

"∣OP∣＝ a²＋b²＋c²

OP＝（∣OP∣cosα，∣OP∣cosβ，∣OPcosγ）

＝（a，b，c）

"cosα＝ a

∣OP∣，cosβ＝ b

∣OP∣，cosγ＝ c

∣OP∣

"cos²α＋cos²β＋cos²γ＝ a²

∣OP∣²＋ b²

∣OP∣²＋ c²

∣OP∣²

＝ a²＋b²＋c²

∣OP∣² ＝ a²＋b²＋c² a²＋b²＋c² ＝1 (2)sin²α＋sin²β＋sin²γ

＝（1－cos²α）＋（1－cos²β）＋（1－cos²γ）

＝3－（cos²α＋cos²β＋cos²γ）

＝2

(3)cos2α＋cos2β＋cos2γ

＝（2cos²α－1）＋（2cos²β－1）＋（2cos²γ－1）

＝2（cos²α＋cos²β＋cos²γ）－3＝－1

3.設A（2，1，－2），B（2＋32，－2，1）為空間中之兩點，試求：

(1)AB＝【 （3 2 ，－3，3） 】。 (2)│AB│＝【 6 】。

(3)AB之方向餘弦為【 2 2 ，－1

2 ，1

2 】。

(4)AB之方向角為【 π 4 ，

2π 3 ，

π

3 】。

4.兩向量a＝（1，－2，3），b＝（－1，1，－1），當t＝【 2 】，｜a＋t b｜有最小值，

其值為【 2 】。

5.設A（1，2，3），B（4，3，－1），C（2，－1，5），若ABCD為平行四邊形，則D的坐 標為【 （－1，－2，9） 】。

6.空間中有一質點作等速直線運動，設t表時間，當t＝0時，它的位置在（－1，0，3），當t

＝1時，它的位置在（3，－1，5），則當t＝3時，該質點的位置在【 （11，－3，9） 】

。

7.設A（a，－3，2），B（2，－2，b），C（6，－1，4）三點共線，則a＝【 －2 】，b

＝【 3 】。

8.若A（3，－1，2），B（5，3，－4），點P在直線AB上，且2 AP＝3 AB，則點P之坐標為【

（6，5，－7）或（0，－7，11） 】。

9.設A（4，1，3），B（6，3，4），C（4，5，6），在 ABC△ 中，若：

(1)∠A之角平分線交BC於D，則D點之坐標為【 （ 21 4 ， 15

4 ， 19

4 ） 】。

(2) A∠ 之外角平分線交BC於E，則E點之坐標為【 （9，0，1） 】。

10.設a＝（1，2，3），b＝（k，k－2，k），若a－b與a互相垂直，則k之值為【 3 】。

11.設X＝（2，3，5），Y＝（－4，a，－10b），若X//Y，則a＝【 －6 】，b＝【 1 】

。

12. 設a＝（4，－1，3），b＝（－2，1，－2），一單位向量u滿足u⊥a且u⊥b，則u＝【 （ 1

3 ，－

2 3 ，－

2

3 ）或（－

1 3 ，

2 3 ，

2

3 ） 】。

13.已知空間中三點A（1，2，3），B（2，4，5），C（3，4，3），若AB與AC之夾角為θ，

則：

(1)sinθ＝ (A)1／2 (B)1／3 (C)1／2 (D)1／3 (E)2／3。答：【 (A) 】。

(2) ABC△ 之面積為 (A)3／2 (B)3／3 (C)3 (D)3 (E)3／2。答：【 (D) 】。

14.設a＝（2，－1，1），b＝（－2，3，1），試求：

(1)（a＋b）．（a－b）＝【 －8 】。

(2)（2 a－3 b）．（a＋2 b）＝【 －78 】。

15.△ABC中之三頂點為A（2，－3，4），B（3，－4，4），C（2，－2，3），則 A∠ 之弧度 量為【 2π

3 】。

16. a＝（－2，4，0），b＝（1，2，－1），則a在b上的正射影向量為【 （1，2，－1） 】

。

17.設A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），令 ACB∠ 之弳度量為θ，則sinθ＝【 2 6 5

】，△ABC之面積為【 6 】。

18.設A（1，－2，0），B（－1，0，1），C（1，2，－3），則 ABC△ 之面積為【 5 2 】

。

19.設x＞0，y＞0，z＞0，a＝（x，y，z），b＝（1／x，2／y，3／z），且x＋y＋z＝

12，試求：

(1)（1／x）＋（4／y）＋（9／z）的最小值為【 3 】。

(2)此時的a為【 （ 2 ，2， 6 ） 】。

20.空間中有兩向量a＝（1，2，3），b＝（x，y，z），已知x²＋y²＋z²＝56，

則a．b的最大值為【 28 】，此時b＝【 （2，4，6） 】。

21.空間中有兩點A（5，－3，3），B（3，1，1），若直線AB交xy平面於P，交yz平面於Q，

則P之坐標為【 （2，3，0） 】，則Q之坐標為【 （0，7，－2） 】。

22.設P（2，－1，－4），A（1，0，3），則點P對於點A的對稱點Q的坐標為【 （0，1，100

） 】。

23.空間中，設O為原點，OA＝（2，1，0），OB＝（0，2，1），OC＝（1，0，2），則：

(1)∠ABC＝【 60 】度。 (2)△ABC之面積為【 3 3

2 】。

24. 設A（1，2，3），B（2，1，2），C（－1，3，4），A在直線BC上之投影為P，若BP＝t BC，則t＝【 7

17 】。

25.空間中兩向量│a│＝5，│b│＝2，a與b之夾角為60-，則：

(1)│a－b│＝【 19 】。

(2)a＋b與a－b所圍三角形的面積為【 5 3 】。

26.如下圖為一平行六面體，則H之坐標為【 （7，－2，4） 】。

27.設 OAB△ 中，OA＝a＝（a1，a2，a3），OB＝b＝（b1，b2，b3），試證△OAB面積為

＝ 。

【證明】

設兩向量a與b的夾角為θ

△OAB面積為1

2 │a││b│sinθ ∵cosθ＝ a．b | a | | b |

∴sinθ＝ 1－cos²θ＝ 1－ (a．b)²

| a | ² | b | ² ＝ |a|²|b|²－(ab)²

|a| |b| ＝ 故得△OAB面積為 1

2 |a|² |b|²－(a．b)² 又a＝（a1，a²，a³），b＝（b1，b²，b³）

∴│a│²│b│²－（a．b）²

＝（a¹²＋a²²＋a²²）（b¹²＋b²²＋b³²）－（a¹b¹＋a²b²＋a³b³）²

＝a¹²b²²＋a¹²b³²＋a²²b¹²＋a²²b³²＋a³²b¹²＋a³²b²²－2a¹a²b¹b²－ 2a b¹b³－2a²a³b²b³

＝（a¹b²－a²b¹）²＋（a²b³－a³b²）²＋（a³b¹－a¹b³）²

1a³

故得△OAB面積為 1

2 (a¹b₂－a₂b₁)²＋(a₂b₃－a₃b₂－a₃b₂)²＋(a₃b₁－a₁b₃)²