高雄市明誠㆗㈻ 高㆓普通科 數㈻平時測驗

高雄市明誠㆗㈻ 高㆓普通科 數㈻平時測驗 ㈰期：92.03.05 班級

範

圍 座號

姓

㈴

得 分 一. 單㆒選擇題 (每題 6 分)

1、( D ) 坐標平面上有一雙曲線，已知共軛軸為 x + 1 = 0，有一頂點為(−4,−1)，有一焦點為(4,−1)，

則雙曲線的共軛軸長為(A)2 7 (B)4 2 (C)6 (D)8 (E)10

解析：共軛軸x = −1，頂點為(−4,−1) ∴ 貫軸為 y = −1，中心為(−1,−1)，a = 3 焦點(4,−1) ∴ c = 5，b = 4 ∴ 共軛軸長為 8

2、( D ) 設 A(−2,1)，B(4,2)，P 點滿足 PA− PB =8，則P 點所形成之軌跡圖形為(A)二射線 (B) 雙曲線 (C)一射線 (D)沒有圖形 (E)雙曲線的一支

解析：AB= 36+1= 37 <8，故沒有圖形 3、( C ) 雙曲線 1

4

2

2 − x =

k

y 上任一點到二漸近線距離之乘積為

5

12，則k =(A)3 (B)7 (C)6 (D)5 (E)1

解析：雙曲線上任一點到二漸近線距離之乘積為 _{2 2}

2 2

b a

b a

+ ∴

5 12 4

4 = + k

k ∴ k = 6

4、( C ) 設雙曲線 (x+2)² +(y−1)² − (x−4)² +(y−9)² =6，則共軛軸長為(A)6 (B)10 (C)8 (D)2 7 (E)2 34

解析：雙曲線兩焦點F(−2,1)，F ′(4,9)，FF′=10>6 ∴ a = 3, c = 5, b = 4，共軛軸長為 8 5、( A ) 一雙曲線的二頂點為(0,3)，(0,−1)，一漸近線之斜率為

3

4，則其方程式為

(A) 1

9 4 16

) 1 (

4 y− ² − x² =

(B) 1

16 ) 1 ( 4 9

4x² − y− ² =

(C) 1

16 4 9

) 1 (

4 y− ² − x² =

(D) 1

3 4

) 1

(y− ² − x² =

(E) 1

9 ) 1 ( 4 16

4 ² − ² =

− y x

解析：雙曲線的中心為(0,1)，a = 2，且貫軸平行 y 軸 ∴ 3

= 4 b

a b = 2 3

∴ 雙曲線為 1

4 4 9

) 1

(y− ² − x² =

㆓. 填充題 (每題 10 分)

1、雙曲線 (x−2)² +(y+1)² − (x−8)² +(y−7)² =8之中心坐標為________，正焦弦長為 ________，兩頂點坐標為_________和_________，漸近線與貫軸長之夾角為θ ，則

θ

sin =__________。

答案：(5,3), 2 9, (

5 37,

5 31), (

5 13,

5

− ), 1 5 3

解析：F(2,−1)，F ′(8,7)，中心(5,3)，a = 4, c = 5, b = 3，正焦弦長 2 9

頂點坐標 ) 5 ,4 5 (3 4 ) 3 , 5

( ± × =(

5 37,

5 31)和(

5 13,

5

− ) 1 貫軸與漸近線之夾角θ ，其

4 tan = = 3

a

θ b ∴sinθ= 5 3

2、已知雙曲線之貫軸長等於共軛軸長時，稱為等軸雙曲線，若有一等軸雙曲線之中心為(1,1)又經 過點(3,1)，已知其一漸近線方程式為 x − 3y + 2 = 0 則另一條漸近線為___________，又此等軸 雙曲線的方程式為_______________。

答案：3x + y − 4 = 0, (3x + y − 4)(x − 3y + 2) = 12

解析：等軸雙曲線漸近線互相垂直，又中心為(1,1) 故另一條漸近線為 3x + y − 4 = 0 雙曲線方程式為(3x + y − 4)(x − 3y + 2) = k，代入(3,1) ∴ k =12

∴ (3x + y − 4)(x − 3y + 2) = 12

3、設方程式 1

4 1

2 ²

2

2 =

+ −

− t y t

x 的圖形為雙曲線，則t 的範圍為___________，又若此雙曲線之貫軸

為x 軸，則 t 的範圍為_______________。

答案：t< −2 或 2

1< t < 2, 2

1< t < 2

解析：∵ 圖形為雙曲線 ∴ (2t− t1)( ² −4)<0 ∴ t < −2 或 2

1< t < 2

若貫軸為 x 軸，則 2t –1 > 0, t² −4< 0 ∴ 2

1< t < 2

4、一雙曲線的中心為(1,−2)，一頂點為(−1,−2)，一漸近線為 2x + y = 0，則求此雙曲線之方程式為 _______。

答案：中心(1,−2)，a = 2，漸近線斜率為−2 ∴ a

b= 2 ∴ b = 4 橫雙曲線 1 16

) 2 ( 4

) 1

( ^{2 2}

+ =

− − y x

5、設雙曲線方程式為 ，則其中心坐標為_________，其漸近線方程式

為_____________，又其共軛雙曲線方程式為__________。

0 4 36 8 9

4x² − y² + x+ y+ =

答案：(−1,2), 2x + 3y − 4 = 0 和 2x − 3y + 8 = 0, 4(x+1)² −9(y−2)² =36

解析：4(x+1)² −9(y−2)² =−36 ∴ 中心為(-1,2) 其共軛雙曲線為4(x+1)² −9(y−2)² =36 其漸近線為2(x+1)±3(y−2)=0即2x + 3y − 4 = 0 和 2x − 3y + 8 = 0

6、與雙曲線 1

16 9

2

2 − y =

x 共焦點且通過點(4,0)的雙曲線方程式為___________。

答案： 1

9 16

2

2 − y =

x

解析：與雙曲線 1

16 9

2

2 − y =

x 共焦點之雙曲線為 1

16 9

2

2 =

− −

+ t

y t

x ，代入(4,0)得 t = 7

∴ 雙曲線為 1 9 16

2

2 − y =

x

7、一雙曲線過一點 P(10,25)，而兩漸近線為 2x + y + 5 = 0，2x− y+7=0，則此雙曲線之方程式為 _______________________。

答案：(2x + y + 5)(2x − y + 7) = 100

解析：設雙曲線為(2x + y + 5)(2x − y + 7) = k，代入(10,25) ⇒ (2x + y + 5)(2x − y + 7) = 100

8、已知雙曲線的焦點為(1,4)，又漸近線為 4x + 3y = 1 和 4x − 3y = 7，則雙曲線方程式為 _________________。

答案： 1

16 ) 1 ( 9

) 1

(x− ² − y+ ² =

解析：∵  ，中心為(1,−1)，又焦點 ( ，所求為開口上下之雙曲線，∴漸近線斜率





=

−

= +

7 3 4

1 3 4

y x

y

x 1,4)

3

±4

=

±

= b

m a ；設a=4k,b=3k ⇒c= a² +b² =5k ∵焦點為(1,4)，中心為(1,−1)

∴ c = 5 ∴ k=1 ∴ a = 4, b = 3 ∴雙曲線為 1 16

) 1 ( 9

) 1

( − ² + + ² =

− x y

9、設雙曲線之中心為(2,−1)，貫軸長為共軛軸長的 3 倍，且頂點在 y = −1 上，圖形通過(−3, 3 1)，則 雙曲線方程式為______，又正焦弦長為______。

答案： 1

1 ) 1 ( 9

) 2

(x− ² − y+ ² =

，3 2

解析：雙曲線中心(2,−1) 又 a = 3b，頂點在 y = −1 上 ∴ 雙曲線為 ( 1) 1 9

) 2 (

2 2 2

2 − + =

−

b y b

x ，

代入(−3, 3

1) 則 b =± （但 b > 0），a = 3 ∴ 雙曲線為1 1 1

) 1 ( 9

) 2

(x− ² − y+ ² =

， 正焦弦長

3 2

10、設雙曲線x² −y² +2x+6y−10=0與x² −y² +2x+6y+k =0互為共軛雙曲線，則k = ______。

答案：−6

解析：(x+1)² −(y−3)² =2其共軛雙曲線為(x+1)² −(y−3)² =−2 ⇒ x² −y² +2x+6y−6=0 ∴ k = −6

11、設圓 C ，圓 ，現在有一動圓與圓 與圓 同時外切或同

時內切，則此動圓之圓心軌跡方程式為______。

9 )

1 (

: ^{2 2}

1 x+ +y = C₂ :(x−5)² +y² =1 C₁ C₂

答案： 1

8 1

) 2

(x− ² − y² =

解析：設動圓C 半徑為 r，圓心為 P，F′(−1,0)，F(5,0) ⇒ 若動圓 C 與兩圓同時外切⇒ PF = r+1, PF′ r= +3

∴ PF′ PF− =2，若動圓C 與兩圓同時內切，則PF = r−1，PF′ r= −3 ∴ PF− FP ′=2 ⇒ PF− FP ′ =2 又FF′=6 ∴ c = 3，a = 1，中心(2,0) b =2 2

∴ 圓心軌跡為 1

8 1

) 2

(x− ² − y² =