高雄市明誠㆗㈻ 高㆓普通科組 數㈻平時測驗
㈰期：91.09.13 班級範
圍 1-1 ㈲向線段與向量
座號
姓
㈴
得 分
㆒、選擇題：(共 35 分)
1(A )若︱b︱＝2︱a︱≠0，且（a＋b）⊥（a－（2／5）b），則 a與 b的夾角為 (A)60- (B)120- (C)30- (D)150- (E)以上皆非。
2(AE )下圖為兩組兩兩平行的直線組合，且相鄰兩線等距離，已知 a，b長度均為1，其夾 角為60-，則下列何者為真？ (A)PQ＝5 a＋2 b (B)RS＝a＋2 b (C)a．b＝3／2 (D)｜PQ｜＝29 (E)PQ．RS＝－3。
3(ABC )正六邊形ABCDEF，AB＝a，BC＝b，則 (A)BE＝2 b－2 a (B)BD＝2 b－a (C)BF
＝b－2 a (D)BF＝2 a－b (E)BD＝a－2 b。
4(E )正六邊形ABCDEF的邊長為2，設AB＝a，BC＝b，由此正六邊形的頂點為始點或終 點，可決定多少不同的向量？（不包含零向量） (A)6 (B)12 (C)18 (D)36 (E)30
。
5(B )正八邊形的八個頂點可決定多少個向量？ (A)32 (B)33 (C)34 (D)以上皆非。（
包括 0，相等向量視為同一向量）
6(B )如下圖，ABCDEF為一正六邊形，則下列向量內積中，何者最大？ (A)AB．AB (B)AB．AC (C)AB．AD (D)AB．AE (E)AB．AF。
解析：設此正六邊形的邊長為a，則│AD│＝2a，│AC│＝ 3 a
(A)AB．AB＝│AB││AB│cos0-＝a×a×1＝a2
(B)AB．AC＝│AB││AC│cos30-＝a× 3 a× 3 2 ＝ 3
2 a2 (C)AB．AD＝│AB││AD│cos60-＝a×2a× 1
2 ＝a2 (D)AB．AE＝│AB││AE│cos90-＝0
(E)AB．AF＝│AB││AF│cos120-＝a×a×（－ 1
2 ）＝－
1 2 a2 故選(B)
7(ACDE)正 ABC△ 邊長為2，AH為BC邊上之高，則 (A)AB．AH＝3 (B)AB．BC＝2 (C)AB
．AC＝2 (D)BH．AH＝0 (E)BA．HB＝－1。
㆓、填充題：(共 85 分)
1設ABCD為一平行四邊形，AB，BC，CD之中點分別為E，F，G，且 DF交 EG於K，DF交 AG 於H，若AB＝a，BC＝b，則GK＝【 －1
4 b 】，AH＝【 2 5 a＋
4
5 b 】。（以a，b表之
）
解析：如下圖
(1)GK＝ 1 2 CF＝
1
4 CB＝－
1 4 b (2)∵△AHD〜△GHK
∴ AH
HG ＝ AD GK ＝ 4
1 故AH＝ 4
5 AG＝
4
5 （AE＋EG）＝
4 5 （
1
2 a＋b）＝
2 5 a＋
4 5 b
2正六邊形ABCDEF，AB＝a，AF＝b，則以 a，b表 AD＝【 2 a＋2 b 】。
5︱AB︱＝2，︱AC︱＝3，且 BAC∠ ＝60-，則︱AB＋AC︱＝【 19 】。
6設a，b為平面上兩向量，且a⊥b，︱a︱＝3，｜b｜＝2，若 a＋（t－1）b與
－a＋（t＋1）b互相垂直，則實數t＝【 ± 13
2 】。
7設︱a︱＝︱b︱＝2，且a．b＝－2，若（a＋b）⊥（a＋t b），則t＝【 －1 】。
8△ABC之三邊長為a＝BC＝5，b＝CA＝7，c＝AB＝3，試求：
(1)AB．AC＝【 33
2 】。
(2)BA．BC＝【 － 15
2 】。
(3)CA．CB＝【 65
2 】。
9若︱%︱＝2，且%＋^＝0，則 %．^＝【 －4 】。
0︱a︱＝1，︱b︱＝3，︱c︱＝3，若a＋b＋c＝0，求 a．c＝【 －1
2 】。
q正△ABC中，AB＝2，M為BC的中點，則（BC－AM）．（AC＋AM）＝【 －4 】。
w平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝8，則AC．BD＝【 39 】，BD．CA＝【 －39 】
。
e設︱a︱＝1，︱b︱＝2，︱2 a－b︱＝23，則 a，b之夾角為【 2π
3 】。
r設︱a︱＝︱b︱＝1，a與 b之夾角為60-，則 a＋b與 －a＋2 b的夾角為【 60- 】。
t若︱a︱＝2，︱b︱＝1，且 a與 b之夾角為60-，則︱2 a＋b︱＝【 21 】，︱a－2 b
︱＝【 2 】。
y設︱a︱＝2，︱b︱＝3，且a，b之夾角為π／3，則 a．b＝【 3 】。
u△ABC中，若︱AB︱＝2，︱AC︱＝3， ABC△ 之面積為3 3／2，則AB．AC＝【 ±3 】
。
㆔、證明題：(共 10 分)
1對於任意兩向量a與b，試證∣a∣＋∣b∣≧∣a＋b∣，等號在a與b中有零向量或a與b同向時 成立。
【證明】
(1)設a與b中至少有一個為零向量，則∣a∣＋∣b∣＝∣a＋b∣
(2)設a與b都不是零向量
1a與b同向，則∣a∣＋∣b∣＝∣a＋b∣
2a與b反向，則∣a∣＋∣b∣＞∣a＋b∣
3a與b不平行，則以a與b為兩邊作一平行四邊形，則a＋b為其對角線所成向量，依三 角形兩邊之和大於等三邊的觀念知
∣a∣＋∣b∣＞∣a＋b∣
由以上所述，知∣a∣＋∣b∣≧∣a＋b∣恆成立，且a與b中至少有一個為零向量或a與b 同向時，∣a∣＋∣b∣＝∣a＋b∣成立
