數學教學中加強師生思維的共振

數學教學中加強師生思維的共振

何昌俊

課堂教學是以教師為主導, 學生為主體, 訓練為主線的三大循環系統。 優良的訓練主 線體現主導與主體思維的共振。 即教師要做 到體察“民情”(學生)。 因為教師具有雙重任 務, 一方面主導是“教”的任務, 成為學生學 習的導向人; 另一方面, 教師以學生的年齡特 徵、 數學結構、 主觀感知等問題, 以及想什 麼? 做什麼? 如何“活動”為前提, 以學生 的思維角度去考慮新內容, 擔任“學”的任務, 和學生一道成為新知識、 新能力的探索者。 所 以, 在課堂上, 教師要把主導與主體集於一身, 靈活轉換, 使之二者思維共振, 產生共振效應, 使學生的知識與能力和諧地發展。 師生的思 維共振的能力是教師能力的重要標誌之一。

筆者就師生思維共振問題作初步探討。

一 . 想學生之所想

想學生之所想, 能激起學生與教師思維 共振, 縮短師生心理上之間的距離。 當學生聽 課時, 由於主、 客觀原困, 未能暴露自己的想 法時, 則需教師洞察學生的心理, 及時探測和 巧妙地點出他們之所想, 使之師生之間心理 得到溝通。

比如: 在講二次根式的加減法 2√

x −1 3

√y + 1 2

√x +√ y −√

x

= (2 +1

2 − 1)√

x + (1 − 1 3)√

y

=3 2

√x + 2 3

√y。

學生易聯想到多項式運算中的“合併同 類項”。 教師利用這一良機, 啟發學生將上述 運算命名為“合併同類二次根式”。 再如: 講 分式基本性質, 利用分數基本性質。 講複數 除法運算時, 利用根式分母有理化, 命名為分 母實數化等等。 寥寥數語, 揭示知識的內在聯 繫, 同時也進行了如何探索新知識的方法的 訓練。

再如: 解方程組







36 −y

x

+

_x+6 ^y

= 2

² ₃

y

x

+

³⁶ _x+6 ^−y

= 2

¹ ₃

運算過程比較繁瑣, 此時我扮演起學生的角 色, 以不耐煩的口氣說: “唉! 運算這麼麻煩, 乾脆都別做了!” 這時, 學生反而堅定信心 做下去。 即產生了“自己人效應–要使對方接 受你的觀點、 態度、 你就必須同對方保持“同 體”的關係。”

85

二 . 思學生之所難

教師若是就題論題, 就知識論知識, 學 生成了“觀眾”, 那麼教師主導, 學生主體就沒 協同好, 訓練主線也無最佳體現。 也就達不到 教師、 學生思維的共振。 因此, 教師要深入學 生、 了解學生、 扮演學生的角色, 成為學生的 化身, 才能體察學生的困難之所在, 才能化難 為易。

如講函數自變量的取值範圍, y =

1 x+3

+√

−x+√

x + 4。 把函數分解為下列三 個函數 y

1

=

_x+3 ¹

且 x 6= −3; y

²

=√

−x, 且 x ≤ 0; y

³

=√

x + 4 且 x ≥ −4。 然後 在同一數軸上表示出來

... ..

...

−4 −3 0

此時真相大白 (隨之培養學生數形結合思 想)。 自變量取值範圍為 −4 ≤ x ≤ 0 且 x 6= −3。

再如講不等式組







x > a

x > b (a < b)

時, 可取公共部分。 為加深理解, 讓一高一矮 兩名學生過教室門口, 問學生:“要是不低頭通 過, 教室門框應該多高?” 學生易知:“比高的 學生還要高!” 這一簡單可又難講的道理。

再如講如何證明幾何問題時, 可以利 用最古老的人們最熟悉的三角形面積為橋樑, 去證明, 思路直觀又避免一些較難想的輔助 線, 學生一旦掌握利用三角形面積公式去證

明幾何題的思想 (用不同形式表示同一個 三角形的面積, 得到一個等式, 再進一步 推出其結論), 對證明幾何題就不會望而生 畏, 會更親切! (如 1993 年廣東省中考 題) 已知: 如圖 1, △ABC 內接於圓 O, BN、CM 是圓的切線, 切點分別為 B、C, AE//BN, AD//CM。

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A

C

B E D

M N

圖 1

求證: 1. AD

²

= BE · CD, 2. BE : CD = AB

²

: AC

²

。 略證:

1. S

_△ABE

S

_△ADC

=

1

2

BE · AB · sin

^∠

ABE

1

2

AD · AC · sin

^∠

CAD

=

1

2

AB · AE · sin

^∠

BAE

1

2

AC · CD · sin

^∠

ACD

⇒ BE

AD = AE

CD; (1)

∠

AED =

∠

ADE ⇒ AE =AD (2) 由 (1) 及 (2)

⇒ AD

²

= BE · CD。

2. S

_△ABE

S

_△ADC

=

1

2

AE · BE · sin

^∠

AEB

1

2

AD · DC · sin

^∠

ADC

=

1

2

AB · AE · sin

^∠

BAE

1

2

AC · CD · sin

^∠

ACD

=

1

2

AB · BE · sin

^∠

ABE

1

2

AC · AD · sin

^∠

DAC

⇒







AE DC

=

^AB _AC

BE DA

=

^AB _AC

且 AE = AD

⇒ BE : CD = AB

²

: AC

²

。

.

... .

..

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.. ...

... . ...

A

B C

D E

圖 2

(1986 年上海市競賽題) 如圖 2, 在

△ABC 中, D、E 是 BC 邊上兩點, 且

∠

BAD =

∠

CAE。

求證:

^BD _CD ^·BE _·CE

=

^AB

2

AC

²。

略證: 由 △ABD 與 △AEC, △ABE 與 △ADC 等高, 則

S

_△ABD

S

_△AEC

= BD EC

=

1

2

AB · AD · sin

^∠

BAD

1

2

AE · AC · sin

^∠

EAC

⇒ AB · AD

AC · AE = BD

CE (3) S

_△ABE

S

_△ADC

= BE CD

=

1

2

AB · AE sin

^∠

BAE

1

2

AC · AD sin

^∠

DAC

⇒ AB · AE

AC · AD = BE

CD (4) 由 (3), (4)

⇒ BD · BE

CD · CE = AB

²

AC

²

。

蝴蝶定理: 設圓內的絃 MN 之中點為 P , 過 P 任作兩絃 AB、CD, 連 AC、BD 分別交 MN 與 E、F 。

求證: P E = P F 。 如圖 3。

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O

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·

...

·

...

.. .. .. .. .. .. ..

.

·

·

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A

B C

D

M N

P

E F

S

1

S

2

S

3

S

4

圖 3

略證: 由於

^S _S

¹₄ ·

^S S

⁴2 ·

^S S

²3 ·

^S S

³1 = 1, 則

AE ·AP

DP ·DF · DP ·P F

P E ·P C · CE ·CP

BP ·BF · BP ·P F AP ·P E

= 1

⇒ P F ²

P E ² · AE · EC DF · F B = 1

⇒ P F ²

P E ² · M E · EN F N · M F = 1

⇒ P F ²

P E ² · (M P − P E)(P E + MP ) (M P − P F )(P M + P F ) = 1

⇒ P M ² · P F ² P M ² · P E ²

= 1

⇒ P E = P F

。

這樣, 具有直觀性, 通用性和簡潔性。 猶如列

方程解應題一樣, 是一種天塹變通途的思維 方式。

三 . 析學生之所疑

對學生的疑, 若不及時排除, 必造成學生 心理上的不和諧, 成為學習的障礙。 學生的疑 往往是朦朧的難以言表的, 這便說明教師析 學生之所疑的重要性。 如已知 m > n > 1, 0 < a < 1, 下列不等式中正確的是 ( )。

(A)m

^a

< n

^a

, (B) log

_a

m > log

_a

n, (C) a

^m

> a

ⁿ

, (D) log

_m

a < log

_n

a。

該選支形式各不相同, 涉及到冪函數, 對 數函數, 指數函數的性質, 顯然錯綜複雜。 學 生要進行觀察、 比較、 探索、 篩選、 辨析、 歸 納、 判斷得出結論。 這種心理活動處於緊張激 動之中, 有的僅一念之差, 而使全局皆錯。 這 種局面在學生心理上會產生一種恐懼感, 造 成大腦皮層抑制而使思維不能展開, 覺得無 從下手, 若消除這種障礙, 教師要排學生之所 疑。 根據冪、 對、 指數函數的性質, 借助圖象 或用特殊值法 (賦值法), 將會使問題順利解 決。 只須取 m = 4, n = 2, a =

¹ ₂

代入選 支, 故選 (C)。 此時學生疑竇頓消, 感到這種 方法竟是如此平易近人。

四 . 嘗學生之所錯

教師預測學生易出錯之處, 可故意嘗學 生之所錯, 可避免以後的錯。

例如: 設 AD、BE、CF 是 △ABC 的 三條高。 求證: AD · BC = BE · CA = CF · AB。 學生幾乎是只考慮銳角三角形一 種情形。 教師也可順其所錯, 同學生共同嘗 誤。 然後經過一番探討之後, 還有鈍角三角

形、 直角三角形兩種情形。 這樣學生頭腦中會 留下深刻印象, 從而培養了學生思維的完備 性。

再如畫函數 y = (x − 5)

²

+ 6 的圖象。

教師認真在黑板右上角, 畫出直角坐標 系, 則拋物線頂點坐標 (5,6) 擠到黑板右上 角, 拋物線頂點右半部分已“無容身之地”了, 此時處窘迫之境地。 這樣能使學生會深刻領 會到畫圖象布局合理的重要性。 增強了學生 預見之意識。

“預測之錯”乃是教師在教學中不可缺少 的方法之一。

五 . 享學生之所樂

課堂是師生共同表演的舞台, 成熟的教 師主導的導向, 應從學生思維角度出發, 使學 生情不自禁的參與這種表演中來, 使他們感 到喜滋不盡, 樂滋有餘, 始終樂在其中。

比如講向量加法時。 對於 △ABC 在平 面幾何中有 AB + BC > AC, 而向量加法, 卻是 −→AB + −−→BC = −→AC。 教師可說:“啊呀! 怎 麼搞的? 三角形的兩邊之和怎麼等於第三邊 呢?” 這一詰問, 學生情趣被激起, 在興奮歡 樂中對知識的內涵得以進一步認識。

再如學習立體幾何大障礙是識圖和作 圖, 如把空間圖形畫在平面所產生的“失 真”現象, 學生會產生視覺誤差, 教師可巧妙 利用視覺誤差讓學生感到妙趣橫生。 教師可 說:“電視螢光屏上走動的人, 你能摸到人的 五官嗎? ” 再如“相機照出的相片”等。 學生 會大笑。 從心理上縮短了立體與平面的直觀 圖的距離。

六 . 憶學生之所忘

留心的教師常常有這樣一種心理體驗, 即在用到某些知識點或某些方法或某種數學 思想解決問題時, 忽然間明明熟悉的卻變得 模糊起來。 這是典型思維共振現象。 這種現象 提醒了我們, 學生的遺忘一定比教師更嚴重。

教師必須以學生的身份出現和他們一起去回 憶、 聯想、 推導、 論證, 從而戰勝遺忘, 達到 更好的鞏固知識之目的。

如三角公式“積化和差”不好記, 易忘, 可和同學們一起從兩個角和、 差三角公式去 推導, 使知識形成過程再現, 加強了記憶。

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A

B C

D

P

...

圖 4

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O

...

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A

C

P (B, D)

...

圖 5

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O

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A

C

B D

P

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圖 6

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...

O

...

A(B)

C

...

D P

.. .. . .. .. .. . .. .

圖 7

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...

O

... .

A(B)

C(D)

P

圖 8

再如圓冪定理, 可運用運動觀點去揭示 知識之間的內在聯繫, 使之記憶加深。 如圖4, P 是圓 O 內一點, 過 P 作兩條絃 AB、CD, 則 P A · P B = P C · P D。 當 P 點運動到

圓周上, P 、B、D 三點重合如圖 5, 上式成立。

當 P 點運動到圓外, 如圖 6, 則 P A · P B = P C · P D。 當 P BA 繞 P 點順時針旋轉到 A、B 重合, 如圖7, 則 P A

²

= P C · P D。 當 P DC 繞 P 點逆時針旋轉到 C、D 重合, 如 圖 8, 則 P A = P C。 這樣通過運動把圓冪定 理聯繫和統一起來。

七 . 消學生之所惡

教師本身應具有靈活的思維能力和較強 的教學機智, 應具有靈活應變能力, 同時也要 發現學生活躍的思維的火花。 教師在教學中 若出現“偏差”, 應勇於承認, 坦誠對待。 而不 要固執己見, 強詞奪理, 這也正是學生所厭惡 的, 應誠懇的面對這一 (偏差) 現實。 當學生 對某一問題有獨到見解時, 教師應給以承認, 給以高度評價。 這一閃光點也許會成為學生 學好數學, 甚至成為數學家的動力。

八 . 除學生之所擾

學生解題時, 有時會因不嚴密的初試“成 功”引起過度興奮干擾, 形成輕視心理, 不進 一步探查, 造成失誤。

如方程 (m

²

−1)x

²

+2(m−1)x+2 = 0 有實數根, 則 m 的取值範圍為 ( )。 (A)

−3 ≤ m ≤ 1, (B) −3 < m ≤ 1, (C)

−3 ≤ m < 1, (D) −3 ≤ m < 1, 且 m 6= −1。 錯解: 不考慮一次方程情形, 選 (D)。 但 (C) 正確。

有時還會受以前做過或見過的相似題的 干擾, 產生思維定勢而失誤。

如圓維曲線的一個焦點為 F (

^p ₂

, 0), 對 應準線為 x = −

^p 2

, 則曲線是 ( )。 (A) 橢圓, (B) 拋物線, (C) 雙曲線, (D) 不確定。

稍不細心就會選 (B), 這是受拋物線的 焦點與相應準線的標準形式的負遷移而引起 思維定勢而產生失誤, 正確的選 (D)。

因此, 教師要站在學生角度去審視問題, 對干擾要及時排除。

總之, 古人云:“先天下之憂而憂, 後天 下之樂而樂。” 作為當代教師, 應該具備這個 品質, 做到體察“民情”(學生), 處處想學生之 所想, 幫學生之需, 才能真正做到師生思維共 振。 只有這樣, 才能做好教學工作。

—本文作者任職於黑龍江省七台河市第二中 學—