Ch 2.2

Ch 2.2 最大公因數與最小公倍數 重點 1：公因數與最大公因數

1.定義：若某一個整數 A 同時是幾個整數的因數時，則稱 A 為這幾個整數的公因數公因數公因數公因數；

而在所有的公因數中最大的數，稱為這幾個數的最大公因數最大公因數最大公因數最大公因數 2.表示法：

若 a，b 為兩個整數，則以符號 (a，b) 表示 a 與 b 的最大公因數最大公因數最大公因數最大公因數 註：利用短除法、質因數分解求二個數等的最大公因數

3.互質：當兩個整數的最大公因數為 1 時，稱這兩個整數互質互質互質互質。

即：若(a，b)＝1，則稱 a 與 b 互質

註：同理：若(a，b，c)＝1，則稱 a、b 與 c 三個數互質 4.性質：

(1)最大公因數一定是正數

(2)所有的公因數一定是最大公因數的因數

(3)若(a，b)＝1，表示 a 與 b 互質，但是 a 與 b 這兩個數不一定不一定不一定不一定都是質數 如(12，35)＝1，但是 12，35 不是質數

(4)若(a，b)＝d，則 a 與 b 都是 d 的因數，或稱 d 是 a 與 b 的倍數

(5)求 a、b 與 c 三個數的最大公因數時，可利用性質(a，b，c)＝((a，b)，c)

例 1.1：(1)試分別列出 12 與 18 的因數 (2)承(1)，列出 12 與 18 的公因數

(3)承(2)，以(12，18)表示 12 與 18 的最大公因數 解：(1)12 的因數有：

18 的因數有：

(2) 12 與 18 的公因數有：

(3) (12，18)＝

Ex1.1：(1)試分別列出 24 與 32 的因數 (2)承(1)，列出 24 與 32 的公因數

(3)承(2)，以(24，32)表示 24 與 32 的最大公因數

例 1.2：利用短除法，求 36 與 84 的最大公因數

Ex1.2：利用短除法，求 126 與 180 的最大公因數

例 1.3：(1)試分別求出 54、72 與 84 的因數，並求出其最大公因數(54，72，84) (2)利用短除法與性質，求 54、72 與 84 的最大公因數

Ex1.3：利用短除法與性質，求 144、252 與 360 的最大公因數

例 1.4：(1)試分別列出 12 與 35 的因數 (2)承(1)，列出 12 與 35 的公因數

(3)承(2)，以(12，35)表示 12 與 35 的最大公因數，說明 12 與 35 是否互質？

解：(1)12 的因數有：

35 的因數有：

(2) 12 與 35 的公因數有：

(3) (12，35)＝

Ex1.4：試判斷下列各組數是否互質？

(1) 1、9 (2) 7、356 (3) 12、33 (4) 11、979

重點 2：標準分解式與最大公因數

1.定義：任何一合數 A 都可以寫成 A＝

p

× p

× p

× L

p

p

2.利用除法來判別因數：

設 a、b 為整數，若將 b 除以 a，(即 a

b)，將其 b 與 a 約分，得結果為整數，則稱 a 為 b 的因數

反之，若無法約分化簡為整數，則稱 a 不為 b 的因數 3.利用標準分解式的指數來判別因數：

當 A 和 B 兩個整數寫成標準分解式時，若滿足：

(1) A 的質因數都是 B 的質因數，且

(2) A 的每個質因數的次數小於或等於 B 相同質因數的次數 則 A 是 B 的因數

4.利用標準分解式求最大公因數：

當幾個整數做標準分解式時，可以從共同質因數中取次數較小者相乘，即為它們的最大公因數 註：當幾個數做質因數分解，發現這幾個數沒有共同的質因數，則這幾個數的最大公因數就是 1

意即這幾個數互質

例 2.1：試利用除法，判斷下列各數中，哪些是2 ׳ 3 的因數？ ² (1)2 ⁴ (2)2 ײ 3 ² (3) 2×3 ³ (4) 2×5

Ex2.1：試利用除法，判斷下列各數中，哪些是2 ×⁴ 5 的因數？ ² (1)2 ⁴ (2) 2×5 ² (3) 2×5 ³ (4)2 ×5 ⁵

例 2.2：試利用觀察指數方法，判斷下列各數中，哪些是2 ׳ 3 的因數？ ² (1)2 ⁴ (2)2 ײ 3 ² (3) 2×3 ³ (4) 2×5

Ex2.2：試利用觀察指數方法，判斷下列各數中，哪些是2 ×⁴ 5 的因數？ ² (1)2 ⁴ (2) 2×5 ² (3) 2×5 ³ (4)2 ×5 ⁵

例 2.3：利用標準分解式，求下列各組數的最大公因數：

(1) a＝2 ×⁴ 3 ，b＝² 2 ×3×5 ³ (2) a＝2 ×⁴ 3 ，b＝² 2 ×3×5，c＝³ 2 ײ 3 ×5 ²

Ex2.3：利用標準分解式，求下列各組數的最大公因數：

(1) (2 ׳ 3 ×5，2ײ 3 ) ³ (2) (2×5×11，3×5 ×11，² 3 ×5ײ 11 ) ²

例 2.3：求下列各組數的最大公因數：

(1) a＝2 ׳ 5 ，b＝² 3 ×7 ² (2) a＝2 ׳ 11 ，b＝² 3 ×5，c＝³ 2 ײ 3 ×⁴ 5 ²

Ex2.3：求下列各組數的最大公因數：

(1)(3 ײ 7 ，³ 2 ×5) ⁵ (2) (2 ×⁵ 5 ，³ 3 ×7，³ 2 ײ 7 ) ⁴

重點 3：公倍數與最小公倍數

1.定義：若某一個整數 A 同時是幾個整數的倍數時，則稱 A 為這幾個整數的公公公公倍倍倍倍數數數數；

而在所有的公倍數中最小的數，稱為這幾個數的最最最最小小小小公公公公倍倍倍倍數數數數 2.表示法：

若 a，b 為兩個整數，則以符號 [a，b] 表示 a 與 b 的最最最最小小小小公公公公倍倍倍倍數數數數 註：利用短除法、質因數分解求二個數等的最小公倍數

3.互質兩數的最小公倍數求法：

若 a 與 b 互質，即(a，b)＝1，則[a，b]＝ab 註：若(a，b，c)＝1，則[a，b，c]＝abc 不一定成立 4.性質：

(1)最小公倍數一定是正數

(2)所有的公倍數一定是最小公倍數的倍數

即若[a，b]＝d，則 a 與 b 都是 d 的倍數，或稱 d 是 a 與 b 的因數

(3)求a、b 與 c 三個數的最小公倍數時，可利用性質[a，b，c]＝[[a，b]，c]

例 3.1：(1)試分別列出 10 個 4 與 6 的倍數 (2)承(1)，列出 10 個 4 與 6 的公倍數

(3)承(2)，以[4，6]表示 4 與 6 的最小公倍數 解：(1) 4 的倍數有：

6 的倍數有：

(2) 4 與 6 的公倍數有：

(3) [4，6]＝

Ex3.1：(1)試分別列出 6、9 與 12 的倍數 (2)承(1)，列出 6、9 與 12 的公倍數

(3)承(2)，以[6，9，12]表示 6、9 與 12 的最小公倍數 解：(1) 6 的倍數有：

9 的倍數有：

12 的倍數有：

(2) 6、9 與 12 的公倍數有：

(3) [6，9，12]＝

例 3.2：試利用短除法，求 36 與 84 的最小公倍數。

Ex3.2：試利用短除法，求下列各組數的最小公倍數：

(1) 120、108 (2) 45、105 (3) 21、130

例 3.2：試利用短除法、運算性質方法，求 54、72 與 84 的最小公倍數。

Ex3.2：試利用短除法、運算性質方法，求下列各組數的最小公倍數：

(1) 36、42、54 (2) 22、38、95

重點 4：標準分解式與最小公倍數 1.透過標準分解式的指數來判別倍數：

當 A、B 兩個整數寫成標準分解式時，若滿足：

(1) B 的質因數包含了 A 中所有的質因數

(2) B 的質因數次數大於或等於 A 中相同質因數的次數 則 B 是 A 的倍數

2.利用標準分解式求最小公倍數：

當幾個整數做標準分解式時，先列出所有質因數，再取次數最高者相乘，即為它們的最小公倍數

例 4.1：下列四個數中，哪些是2 ×5 的倍數？ ³

(1)2 ⁴ (2)2 ׳ 5 ² (3)2 ײ 5 ×7 ² (4)2 ×5×7 ³

Ex4.1：下列四個數中，哪些是3 ×5 的倍數？ ²

(1) 3×5 ² (2)3 ײ 5 ² (3)3 ³ (4)3 ×5 ³

例 4.2：利用短除法，求下列各組數的最小公倍數：

(1) a＝120，b＝108 (2) a＝15，b＝60，c＝1125

Ex4.2：利用短除法，求下列各組數的最小公倍數：

(1) a＝36，b＝48 (2) a＝16，b＝9 (2) a＝60，b＝28，c＝375

例 4.3：利用標準分解式，求下列各組數的最小公倍數：

(1) a＝2 ׳ 3 ×5，b＝3ײ 5 ×7 ² (2) a＝2 ׳ 3 ×5，b＝3ײ 5 ×7，c＝² 3 ×5×7 ²

Ex4.3：利用標準分解式，求下列各組數的最小公倍數：

(1) a＝36，b＝48 (2) a＝16，b＝9 (2) a＝60，b＝28，c＝375

重點 5：應用問題

利用下列求幾個數的最大公因數與最小公倍數的方法，應用於解決數學問題上。

1.利用短除法求最大公因數、最小公倍數：

(1)求最大公因數：做到所有數沒有共同質因數，即可停止。

(2)求最小公倍數：做到任兩數都沒有共同質因數，才可停止。

2.利用標準分解式求最大公因數、最小公倍數：

(1)求最大公因數：從幾個數的標準分解式，找每個共同質因數中次數最小者相乘。

(2)求最小公倍數：從幾個數的標準分解式，找所有質因數中次數最高者相乘。

例 5.1：分裝問題

水果店老闆想將 36 個梨子和 48 個蘋果分裝成梨子禮盒和蘋果禮盒出售，梨子禮盒和蘋果禮 盒內的水果個數要一樣多，且全部分裝完，如果要選用最大的禮盒來裝，則一盒可以放幾個 水果？

Ex5.1：某班有男生 20 人、女生 12 人，現將其分成若干組進行烹飪比賽，每組包含男生及女生，且 每組男生人數一樣多、女生人數也一樣多，請問：

(1)最多可分成幾組？ (2)此時每組男、女生各多少人？

例 5.2：間隔問題

有一塊長 315 公尺、寬 135 公尺的長方形土地，想在其周圍種樹，相鄰兩棵樹之間的距離要 相等，且四個頂點都種，則相鄰兩棵樹之間的距離最大是幾公尺？此時總共要種幾棵樹？

Ex5.2：有一個三角形花圃，其三邊長分別為 72 公尺、60 公尺、48 公尺，想在花圃周圍設立路燈，

相鄰兩路燈之間的距離要相等，且三個頂點都要設立，則相鄰兩路燈之間的距離最大是幾公 尺？此時路燈最少要幾支？

例 5.3：同時問題

小翊每 10 天到公園跑步一次，小妍每 14 天到公園跑步一次。某天兩人都到公園跑步，那麼 最少要再幾天，兩人才會再度在同一天到公園跑步？

Ex5.3：小妍從遊戲(健康農場)中發現，高麗菜每 45 小時可收成一次，小白菜每 30 小時可收成一次，

空心菜每 18 小時可收成一次。某次小妍收成好三種蔬菜，那麼最少要再幾小時，小妍才可以 再度一起收成？

Ex5.31：王太太有三個女兒，大女兒每 45 天回娘家一次，二女兒每 30 天回娘家一次，小女兒每 18 天回娘家一次，某天三個女兒都回娘家，則最少要再幾天，三個女兒才會再同一天回娘家？

Ex5.32：到國際機場的車有 A、B 兩種車型，A 車每 45 分鐘發車一次，B 車每 1 小時發車一次，兩 車同時由上午 6 點發車，下一次同時發車是什麼時候？

Ex5.33：某便利商店頂樓裝有紅、藍、綠三色霓虹燈，其中紅燈每 35 秒閃一次、藍燈每 40 秒閃一次、

綠燈每 25 秒閃一次。若這三色霓虹燈於晚上 7 點同時閃一次，下一次同時閃一次的時間是 幾點幾分幾秒？又請問當晚 8 點過後(不含 8 點)，哪一盞顏色的燈會先閃？

例 5.4：堆疊問題

一長方體積木，其長、寬、高分別為 5 公分、2 公分、6 公分，若想堆疊出一個實心立方體，

試求所堆疊的正方體中，體積最小是多少立方公分？又共需多少塊長方體積木？

Ex5.4：如果一張長 36 公分，寬 24 公分的長方形紙張，恰好可以分割成大小相同的正方形，則：

(1)所分割的正方形紙張，其邊長最長是多少公分？

(2)承(1)，共分割成幾張大小相同的正方形紙張？