第一節 研究設計

第參章 研究方法

本章共分為五個部份，第一節為「研究設計」 ；第二節為「研究對象」 ；第三 節為「研究資源與工具」 ；第四節是「分析架構描敘」 ；第五節是「研究步驟與過 程」 ；第六節是「本研究限制」 。

第一節 研究設計

本研究的主要研究內容為「數量樣式的學習」 ，擬藉著暫綱數學科能力指標

「A-3-7 能察覺數量樣式與數量樣式之間的關係」的詮釋，來探討學生學習前的 起點行為與學習後的終點行為之間的關聯，並比較「研究者設計的教材」與「學 校原訂教材」兩種教材設計的教材成效，就研究目的而言，本研究屬於「應用研 究」(Applied Research)。

本研究選定兩個國一班級，隨機指定其中一班為實驗班，使用研究者設計的 教材；另一班為對照班，使用學校原訂教材，進行教學實驗。在研究方法方面，

本研究採用準實驗研究法當中的「前測-後測控制組設計」(pretest-posttest control group design)，其設計模式如【圖 3-1-1】 ：

實驗組 O

X O

O

控制組 O

C O

O

【圖 3-1-1】實驗設計圖

在起點行為的研究方面，在教學開始之前，兩班均施以「認知起點行為前測

卷」與「數學態度前測卷」(O

、O

)，將這兩項資料做為起點行為的依據；教學

活動之後，兩班均施以相同的「認知終點行為後測卷」(O

、O

)，檢視數學概念

學習成就，經過一個月之後，兩班再施以「認知終點行為延後測卷」(O

、O

)，

檢視數學概念保留成效，這兩項即是學生終點行為的依據。由得到的資料，去探 討起點行為與認知終點行為之間的關聯。

在教材研究方面，研究者與指導老師及多位現職國中小老師共同詮釋 A-3-7，設計出一套教材與教學模式，由研究者本身擔任教學者，將研究者設計 的教材(X)和學校原訂的課本內容(C)(兩者均以學習單方式呈現)分別在兩個國一 班級進行教學，最後比較教學後的兩次認知測驗(即認知後測與認知延後測)結 果，評估兩套教材對學生學習的影響。本研究之設計模式與各變項關係如【圖 3-1-2】所示：

自變項(起點行為) 居中變項(教材內容) 依變項(終點行為) 研究者設計的教材

1.認知上的起點行為 2.情意上的起點行為

學校原訂課本內容

1.數學概念學習成就 2.數學概念保留成效

控制變項 兩班智力測驗成績、教學者

【圖 3-1-2】研究設計關係圖

第二節 研究對象

本研究的對象是兩個國一班級，由於研究者本身並非現職教師，研究對象乃 是一位資深國中教師所提供。

研究對象是台北縣某國中的兩個班級，兩個班級均是特教班，一個是美術 班、一個是音樂班。美術班全班共有 30 人，男生 12 人，女生 18 人；音樂班全 班共有 37 人，男生 19 人，女生 18 人。美術班作為實驗班，使用研究者設計的 教材；音樂班作為對照班，使用學校原定教材。

兩班學生入學時均做過智力測驗，智力測驗內容可分為語文與數學兩大部 份，研究者以 T 檢定(T-test)檢視兩班智力測驗成績平均值，發現不論在語文、數 學或總分(即語文測驗加上數學測驗成績)方面，兩班差異均未達到α＝0.05 的顯 著水準，故由統計上來看兩班在智力上並未達到顯著差異。 【表 3-2-1】是兩班智 力測驗各項平均值與檢定結果：

【表 3-2-1】研究對象智力測驗比較 班別

測驗別 實驗班(701) 對照班(720) t 值 p 值 語文測驗

平均數 30.17 29.35 0.479 0.634

標準差 7.67 6.27

數學測驗

平均數 26.70 24.86 1.066 0.290

標準差 6.60 7.32

總分

平均數 56.87 54.22 0.965 0.338

標準差 11.30 11.09

第三節 研究資源與工具

一、研究資源

(一) 研究者設計的教材

研究者根據設定的五個子能力指標，研發出一套教材，並以學習單的方式呈現，

學習單內容詳見《附錄 3-1 研究者設計教材學習單》 ，教學模式詳見《附錄 3-2 研 究者設計教材教案》 。

(二) 學校原訂教材

該校國一使用的教材是南一版國民中學(陳版)第一冊(南一書局，民 92a)，與 本研究相關的教學內容是第 3 章樣式與規律。該章內容共涵蓋 A-3-7、A-3-8、

N-3-2、N-3-11、N-3-19 五個能力指標，與 A-3-7 直接相關的內容有 3-1-□

奇數 與偶數、3-2-□

有規律的數列(南一書局，民 92b)。故本研究鎖定這兩個部份，並 將這兩個部份的內容以學習單的形式呈現，和研究者設計的教材做比較。學習單 詳細內容請見《附錄 3-3 學校原訂教材學習單》。

(三) 「研究者設計的教材」與「學校原訂教材」的差異

研究者設計的教材與學校原訂教材兩者之間的差異，可以從兩個方面做比 較：

1.奇偶樣式的教材設計

兩種教材設計在奇偶樣式的教學上，最大的差別是在察覺奇數樣式與偶數樣 式之間的加減運算關係方面，研究者設計的教材以「圖像表徵」的方式進行說明 (見【表 3-3-1】)，學校原訂教材以「數字表徵」的方式進行說明(見【表 3-3-2】)；

【表 3-3-1】「圖像表徵」說明「奇偶加減運算規則」

圖像表徵(以「偶＋偶→偶」為例)

偶數的圖形排列形如 ，任意兩個偶數相加必形如 ，故兩 個偶數相加必是偶數。

… … ……

【表 3-3-2】「數字表徵」說明「奇偶加減運算規則」

(節錄自南一版國中數學第一冊 p. 93-94) 數字表徵(以「偶＋偶→偶」為例)

．偶數的樣式：2

(

＝0，1，2，…)

．奇數的樣式：2

＋1 (

＝0，1，2，…)………p. 93 除了先算出兩個數的「和與差」再觀察其結果是偶數或奇數外，也可以用「樣 式」來檢視。………p. 94 28＝2×14，16＝2×8，都是偶數

2.等差樣式的教材設計

在等差樣式的教材處理，研究者設計的教材使用「數量關係方法」進行教學 (見【表 3-3-3】)，學校訂教材則是使用「傳統等差方法」處理等差樣式的教材(見

【表 3-3-4】)，

【表 3-3-3】「數量關係方法」舉隅 第一步：

發現等差數列公差是 4

第二步：

…

… 20 16 12 8 4 4

5 4 3 2 1

4 的倍數數列和自然數有「倍數關係」

倍數關係「×4」

28=2×14

＋ 16=2×8_______

44=2×(14+8)=2×22

偶數的樣式

第三步：

…

… 17 13 9 5 1

20 16 12 8 4 4

等差 的倍數

將 4 的倍數數列加入，4 的倍數數列和等差數列有「差不變關係」 。

第四步：

3 100 4 17

13 9 5 1

100 4 20

16 12 8 4 4

100 5

4 3 2 1

−

×

…

×

…

… 等差

的倍數 自然數

由之前建立的「倍數關係」與「差不變關係」，很快地就可以找出等差 數列「1、5、9、13、17…」的第 100 個數即是 4×100－3

差不變關係「－3」

乘 4 再減 3

【表 3-3-4】「傳統等差方法」舉隅(取自南一版國中數學第一冊 p. 107) 有一數列 1、5、9、13、17、…，先找出規律，再做下列各題：

(1)第 50 項是多少？

(2)第 n 項是多少？

解：(1)此數列是首項為 1 的等差數列，公差為 4。

第一項 1 ＝ 1 ＝ 4×0＋1 ， 第二項 5 ＝ 1+4 ＝ 4×1＋1 ， 第三項 9 ＝ 1+4+4 ＝ 4×2＋1 ， 第四項 13 ＝ 1+4+4+4 ＝ 4×3＋１ ， ………，

所以第 50 項是 4×49＋1＝149。

(2)第 n 項是 4(n－1)＋1

(四) 自編銜接教材

根據暫綱的安排，能力指標「A-3-1 能用 x、y、…的式子表徵生活中的未知 量及變量。」為第三階段 6 年級的學習目標，而 A-3-7 設定為 7 年級的學習目標，

故學生理論上應該有「符號代表數」的先備知識。

但本研究進行時適逢課程改革之際，進行教學實驗的國一學生在國小時使用 的課本是根據八十二年版的國小課程標準(教育部，民 82)編輯的課程，雖然台北 縣政府已進行新舊課程銜接計劃與數學檢測(台北縣政府，民 92a，民 92b)，但 因為沒有強制性，所以並不是每一位學生都具備 A-3-1 的能力，故本研究在正式 教學進行前花了半節課的時間進行 A-3-1 銜接補救教學。銜教教材內容請見《附 錄 3-4 A-3-1 銜接教材》。

(五) 研究者設計的教材與各版本教科書詮釋 A-3-7

各家版本教科書詮釋能力指標「A-3-7」有不同方式與題材，【表 3-3-5】整 理出各家版本教科書內容，

【表 3-3-5】各版本詮釋 A-3-7 方式與題材雙向細目表

奇偶數的規律 數列或形數的規律 連續自然數排 列的規律

奇偶 數的 樣式

奇偶 數的 加減 規則

奇偶 數的 乘法 規則

等差樣 式或線 性幾何 樣式

三角 形數

正方 形數

座位 排列

日曆 中的 數字 方陣

其他

仁林

南一

康軒

翰林

研究者

書 科 教

材 題

二、研究工具

本研究的研究工具依使用的時間點區分可分為前測、後測、延後測三大部 份。前測在教學前 1 個禮拜內進行，目的是在蒐集學生學習前的認知起點行為和 情意起點特質；後測在教學後 1 個禮拜內進行，目的是在蒐集學生的數學概念學 習成就；延後測在後測之後約 1 個月進行，目的在檢視學生的數學概念保留成 效。後測與延後測的結果即為學生的終點行為。如果依類型來分，本研究工具又 可分為認知和情意兩大部份。

以下就研究工具的類型(分成認知相關測驗卷與情意相關問卷)及其給分標 準進行更詳細的說明：

(一) 認知相關測驗卷：

1. 認知起點行為前測卷(以下簡稱「認知前測」)：題目詳見《附錄 3-5 認知起 點行為前測卷》

研究者根據設定的三項先備能力指標(見第一章 第三節 理論架構，p. 18)做 為配題的架構，參酌洪明賢的研究工具(洪明賢，民 92)、歷年基本學力測驗題目、

各版本數學領域銜接手冊，經過適當修改之後，再加上研究者設計的題目，作為

本次研究認知前測的題目。 【表 3-3-6】是認知前測的配題細目：

【表 3-3-6】認知前測配題細目

能力指標 內容 前測卷題目

題數

A-2-3

能透過具體觀察及探索，察覺簡易數量

樣式，並能描述樣式的一些特性

A-2-3-1 能察覺倍數等差樣式 A09

、A13

A-2-3-2 能察覺非倍數等差樣式 A10

、A12

A-2-3-3 能察覺等比樣式 A11

5

A-3-5

能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間

的關係

A-3-5-1 能察覺倍數關係 A14

A-3-5-2 能察覺差不變關係 A15

、A04

A-3-5-3 能察覺和不變關係 A16

4

A-3-1

能用 x、y、…的式子表徵生活中的未知

量及變量

A-3-1-1 能以文字符號表徵生活情境中所觀察

得到的數量 A07

A-3-1-2 能知道含有文字符號的式子能代表哪

種實際情境中的數量 A01

A-3-1-3 能了解文字符號的表示方式 A02

A-3-1-4 給定文字符號的數值時，能計算出文字

式所代表的數值 A08

4

總題數 13

在認知前測的題目當中，「A03」、「A05」、「A06」三題，經其他老師作專家 效度檢驗之後，認定不適宜作起點行為分析之用，故不列入考慮。

2. 認知終點行為後測卷(以下簡稱「認知後測」)：題目詳見《附錄 3-6 認知終 點行為後測卷》

研究者根據設定的 5 項 A-3-7 子能力指標做為配題的架構(見 p.15~16，第一 章 第三節 理論架構)，參酌北縣國教輔導團題庫(民 92)、國外研究者設計的教 材(Austin & Biafore, 1995)，經過適當編修，再加上研究者設計的題目，完成認

1 題號右上角的標號分別代表這些題目的參考出處：(a)洪明賢的研究工具、(b)歷年基本學力測 驗題目、(c)各版本數學領域銜接手冊、(d)研究者設計題目。

知後測。 【表 3-3-7】是認知後測的配題細目：

【表 3-3-7】認知後測配題細目

能力指標 內容 後測卷題目

題數

A-3-7

能察覺數量樣式與數量樣式之

間的關係

A-3-7-1 能察覺與奇偶數樣式相關的數 量關係

B02

B03

2 A-3-7-2 能察覺奇數樣式與偶數樣式之

間的運算關係

B06

、B07

、B08

、

B10

、B14

5 A-3-7-3

能察覺自然數列(序數)與倍數 等差樣式之間的數量關係，並 寫出其特定項與一般項

B15

、B16

2

A-3-7-4

能察覺自然數列(序數)與非倍 數等差樣式之間的數量關係，

並寫出非倍數等差樣式的特定 項與一般項

B17

、B18

、 B20

、B21

、

B24

、B25

6

A-3-7-5 能察覺以連續自然數排列所形

成的數個等差樣式間的關係 B04

、B22

、B23

3

總題數 18

同樣地，「B01」、「B05」、「B09」、「B11」、「B12」、「B13」六題經專家效度檢驗 後，亦不列入作為終點行為分析之用。「B19」則是本研究在分析過程中使用試 題反應理論(item response theory, 簡稱 IRT)進行題目適用性分析時剔除的題目，

有關 IRT 的題目適用性分析請見《附錄 3-10 題目適用性分析》。

3. 認知終點行為延後測卷(以下簡稱「認知延後測」)：題目詳見《附錄 3-7 認 知終點行為延後測卷》

「認知延後測」與「認知後測」的題型與題目的結構並沒有做變動，但為了 避免學生出現記憶答案的現象，只在題目的數字或順序做了調整。 【表 3-3-8】是

2 題號右上角的標號分別代表這些題目的參考出處：(x)北縣國教輔導團題庫、(y)國外研究者設 計的教材、(z)各版本教科書、(w)研究者設計題目。

認知延後測的配題細目：

【表 3-3-8】認知延後測配題細目

能力指標 內容 延後測卷題目 題數

A-3-7

能察覺數量樣式與數量樣式之

間的關係

A-3-7-1 能察覺與奇偶數樣式相關的數

量關係 C11、C04 2

A-3-7-2 能察覺奇數樣式與偶數樣式之 間的運算關係

C02、C03、C04、

C06、C10 5 A-3-7-3

能察覺自然數列(序數)與倍數 等差樣式之間的數量關係，並 寫出其特定項與一般項

C15、C16 2

A-3-7-4

能察覺自然數列(序數)與非倍 數等差樣式之間的數量關係，

並寫出非倍數等差樣式的特定 項與一般項

C17、C18、

C20、C21、

C24、C25

6

A-3-7-5 能察覺以連續自然數排列所形

成的數個等差樣式間的關係 C13、C22、C23、 3

總題數 18

(二) 認知測驗卷的給分標準：

本研究的認知測驗卷有前測、後測、延後測共三份。給分方式按每一題(格) 給分

，如果學生能答對該題就給 1 分、答錯給 0 分，當中參考學生在測驗卷上 的計算過程，如果解題策略合理且答案正確就給 1 分；如果學生使用合理解題策 略但答案錯誤或答案正確但使用不合理解題策略，則參考學生在測驗卷上的紀錄 與訪談結果給予 1 分、0.5 分或 0 分，以下是幾點原則：

1. 有關計算錯誤或筆誤

研究者觀察學生在測驗卷上的計算過程，如果學生錯誤的答案乃源自於計算

3 在後測與延後測的配合題(後測第二大題、延後測第一大題)每一個選項算一題；後測與延後測 的第三大題第 1 小題，兩格合併算一題。全對給 1 分，只對其中一格給 0.5 分，空白或全錯給 0 分。

錯誤或筆誤，研究者會再進行訪談，如果學生在訪談中能顯示出正確的解題策 略，並正確地做出類似題或自行偵測出錯誤，則該題就給 1 分；但訪談中如果學 生能顯示出正確的解題策略，卻仍出現計算錯誤或筆誤，為了有別於完全不理解 的學生，則該題給 0.5 分。

2. 使用錯誤的解題策略，但仍得出正確答案

雖然學生答案正確，但其解題過程明確顯示出錯誤的解題策略，則該題給 0 分。例如在後測第三大題第 3 題第(3)小題，部份學生判定 3 可以整除 51，故答 案寫第三排，雖然答案正確，但其解題策略並不合理，則該題給 0 分。

3. 前測有關文字符號的表示法

因為課程銜接的問題，研究者考量到有些學生在前測時沒有完整的 A-3-1 的 能力，可能誤用文字符號的表示方式(例如把 a×3 表示成 a3)，因此如果學生顯示 出正確的解題策略但沒有使用數學上約定的表示方式，則該題就給 1 分；但如果 學生能顯示出正確的解題策略，但使用錯誤的表示方式(例如把 a×3 表示成 )，

則該題就給 0.5 分。

a3

4. 後測與延後測有關文字符號的化簡運算

研究者已在正式教學實驗前進行 A-3-1 補救教學，但其中只進行「以文字符 號表徵生活中的未知量與變量」及「以數字代入文字符號求值」的部份，並不包 括「文字符號的化簡運算」 ，故學生最後的答案可能出現錯誤的化簡結果(例：6n

－(n－1)＝6n－1)，但為了有別於完全不理解的學生，研究者對學生進行訪談，

如果學生能解釋如何列式，則該題就給 1 分；但如果學生不能解釋如何列式，則 該題給 0.5 分。

認知測驗卷在前測、後測與延後測的詳細給分標準請見《附錄 3-8 三次認知 測驗卷給分標準一覽》 。

(三) 情意相關問卷：

1. 數學態度前測卷(以下簡稱「態度前測」)：題目詳見《附錄 3-9 數學態度前

測卷》

本研究使用之態度前測取自曹宗萍與周文忠(民 87)的研究工具，原量表分為 六個分量表，分別為：(1)學習數學的信心、(2)數學有用性、(3)數學探究動機、

(4)對數學成功的態度、(5)重要他人的數學態度、(6)數學焦慮，共 55 題。本研究 主要探討學生起點行為對終點行為的影響，研究者將這六項數學態度均視為情意 上的起點特質，並沒有特別偏重哪一項數學態度所代表的意義，所以每項數學態 度均從原分量表中選取 6 個題目(共 36 題)，形成本研究的態度前測。此外為了 使題目更貼近本研究對象的實際情況，我們在題目上稍做文字上的修改。

2. 數學態度後測卷、數學態度延後測卷(以下簡稱「態度後測」 、 「態度延後測」)：

題目同《附錄 3-9 數學態度前測卷》

「態度後測」 、 「態度延後測」與「態度前測」的題目完全相同，並沒有做任何修 改。

(四) 情意問卷的給分標準：

「態度前測」 、 「態度後測」與「態度延後測」均採李克特量表方式呈現，學 生必須從「非常同意」 、 「同意」 、 「不一定」 、 「不同意」 、 「非常不同意」五個選項 中勾選一個最符合自已意見的選項。本研究工具分為正向題和反向題的題目，正 向題計分方式依照上述順序給予 5、4、3、2、1 的分數，反向題則給予 1、2、3、

4、5 的分數。六個分量表分開計分，各分量表題目累計之分數為該分量表之得 分，每個分量表最高 36 分、最低 6 分，如果學生在該分量表得分愈高表示該生 在該項數學態度愈積極，反之則代表該生在該項的數學態度愈消極。 【表 3-3-9】

為情意問卷的題目分佈：

【表 3-3-9】數學態度題目分佈

數學態度 正向題 反向題

學習數學的信心 1、2、3、5 4、6 數學有用性 8、11、12 7、9、10 數學探究動機 13、15、17、18 14、16 對數學成功的態度 19、20、21、24 22、23 重要他人的數學態度 25、26、27、29、30 28

數學焦慮 31、32、35 33、34、36

總題數 36

(五) 教學紀錄與訪談 1. 教學紀錄

本研究在兩班的上課過程均以數位攝影機錄影，紀錄教學者(即研究者本身) 的教學過程，此外還收集學生上課使用過的學習單、補充學習單作為研究的參考。

2. 訪談

為了能更深入了解學生的想法，研究者根據學生的作答情形，對學生進行訪 談，並以錄音方式紀錄訪談過程。訪談方式以半結構訪談進行，訪談內容有兩大 重點，

(1)為了解學生的解題策略：本研究的題目，其解法通常有好幾種，而且每一種 解法可能都具代表性，如果研究者無法由學生在試卷上的作答過程判斷出解題策 略，即會進行訪談。

(2)判別學生的筆誤或計算錯誤：有時由學生的作答可以明顯看出正確的解題策

略(例如，第一步的列式正確)，但卻出現錯誤的答案，研究者即會對該生進行訪

談，作為評分的依據。

第四節 分析架構敘述

一、前測能力層次與後測能力類型界定 (配合第四章第一節「不同認知起點行為 與認知終點行為之關聯」)

在本研究，使用學生在「認知前測」 、 「認知延後測」的表現來描敘學生的認 知起點行為與認知終點行為，在此我們參考 CSMS 小組(Murray, 1981)的處理方 式，研究者將每項能力指標(或子能力指標)最高分的百分之六十設定為通過標準 (CSMS 原規定達三分之二以上含三分之二)。當給分完成之後，學生在每一項能 力指標(或數學內容)上均可獲得一個分數，如果該分數大於或等於通過標準，則 認定該生具有該項指標對應的能力。 【表 3-4-1】是三次認知測驗各項能力指標(或 數學內容)的最高分與通過標準：

【表 3-4-1】認知測驗卷通過標準一覽表

測驗 能力指標(數學內容) 最高分 通過標準(含)

A-2-3 5 3

A-3-5 4 2.4

前 測

A-3-1 4 2.4

A-3-7-1 奇偶樣式

A-3-7-2 7 4.2

A-3-7-3 A-3-7-4 後測

與

延後測 等差樣式

A-3-7-5

11 6.6

1. 前測能力層次的界定

本研究在認知前測設定的先備能力指標共有三項，橫跨暫綱所規劃的兩個九 年一貫學習階段(第二階段 ~ 第三階段)，A-2-3 在第二階段，A-3-5、A-3-1 在第

4 延後測與後測的題目結構相同，僅作數字或情境上的調整，故每項能力指標的最高分與通過標 準均相同。

三階段。故依據九年一貫的學習階段，將學生起點行為分成四個層次。以下【表 3-4-2】是前測能力層次界定的標準：

【表 3-4-2】前測能力層次界定標準 前 測 能

力層次

界定標準

九年一 貫學習 階段

層次 1

如果學生尚未擁有 A-2-3、A-3-5、A-3-1 三項能力，則界定 該生能力在層次一。對應九年一貫的學習階段，則認定該 生察覺數量樣式的能力尚在第一階段。

階段一

層次 2

如果學生已有 A-2-3 該項能力，則界定該生能力在層次二。

對應九年一貫的學習階段，則認定該生的察覺數量樣式的 能力尚在第二階段，僅有察覺簡易數量樣式的能力，但尚 不能察量簡易數量關係(A-3-5)或以文字符號表徵數量關係 (A-3-1)。

階段二

層次 3

如果學生已有 A-2-3 的能力，且擁有 A-3-5 或 A-3-1 其中一 項能力，則界定該生能力在層次三。對應九年一貫的學習 階段，則認定該生察覺數量樣式的能力已進入第三階段 6 年級的水準，但尚未完全發展完成。

階段三 (6 年級 能力尚 未完成)

層次 4

如果學生已有 A-2-3、A-3-5、A-3-1 三項能力，則界定該生 能力在層次四。對應九年一貫的學習階段，則認定該生數 量樣式的能力已到達第三階段 6 年級，且發展完成。

階段三 (6 年級 能力已 完成)

由於能力指標「A-2-3」與「A-3-1、A-3-5」在九年一貫的學習階段有順序

的關係，所以我們定義的前測能力層次，是根據此一學習階段的順序界定，凡通

過較後面階段的學生，也應能夠通過較前面階段，錯誤樣本(例如具備A-3-5 的能

力但卻不具備A-2-3 的能力；或具備A-3-1 的能力但卻不具備A-2-3 的能力)不能 超過百分之七

。此外，這樣的層次界定有個特色，我們將認知前測視為標準參 照測驗(criterion-referenced test)，而這些能力層次即是在標準參照觀點之下的能 力層次，由學生的能力層次我們就可以知道學生的基本能力為何。

2.後測能力類型分類

認知後測包含兩個數學內容，這兩個數學內容不作層次上的區別，僅根據學 生能力的有無來作能力類型上的區別，

【表 3-4-3】後測能力類型界定標準

能力類型 界定標準

能察覺奇偶樣式當中的 關係

該生能答對奇偶樣式六成以上的題目。代表該生能夠 察覺奇偶樣式或能察覺奇偶樣式之間的運算關係。

能察覺等差樣式當中的 關係

該生能答對等差樣式六成以上的題目。代表該生能夠 察覺等差樣式當中的倍數等差樣式、非倍數等差樣 式、或能察覺連續自然數排列中的等差樣式。

這兩種能力類型並不互斥，每一位學生可能同時具備以上兩種能力，也可能 只擁有一種能力，也可能完全不具備任一種能力。

二、前測態度界定(配合第四章第二節「不同情意起點特質與終點行為之關聯」) 在本研究，使用學生在「態度前測」的表現來描敘學生的情意起點特質。根 據學生在「態度前測」的得分高低，我們將態度前測得分 72、108、144 分(該問 卷共包含 36 題，故該得分即代表每人每題平均得分 2、3、4 分的情況)定為決斷

5 錯誤樣本的判定亦是參考CSMS小組的作法(Murray, 1981)。

分數，將學生的數學態度分成「低數學態度」 、 「中下數學態度」 、 「中上數學態度」 、

「高數學態度」 。

【表 3-4-4】前測態度分組標準

前測態度 分組標準

低數學態度 態度前測得分在 36~71 分 中下數學態度 態度前測得分在 72~107 分 中上數學態度 態度前測得分在 108~143 分 高數學態度 態度前測得分在 144~180 分

高數學態度的學生，他們在數學學習態度的表現上最為積極，其次分別為中上數 學態度、中下數學態度，而低數學態度的學生，他們在數學學習態度的表現上最 為消極。

三、分析「不同教材設計與終點行為之間的關聯」(配合第四章第三節)

在本研究，使用學生在「認知前測」 、 「認知後測」 、 「認知延後測」的表現來 描敘學生的認知行為，雖然這三次認知測驗考的均是與數量樣式相關的數學知識 或能力，但因為認知前測與認知後測的評量目的不同(認知前測是學習前的認知 行為；認知後測是學習後的認知行為)，故原始分數不能直接比較。本研究使用 試題反應理論(item response theory, 簡稱 IRT)當中的 Rasch 模式，將三次認知測 驗的題目作連結(linking)，算出每個題目的難度參數，建立能力量尺(ability scale)，再以此量尺去算出每個學生在三次認知測驗的數學能力值，分別是「前 測 IRT 值」 、 「後測 IRT 值」 、 「延後測 IRT 值」 ，統稱為「IRT 值」 。在此，我們利 用 WINSTEPS 軟體來幫助進行三次測驗能力值等化(equating)的工作。

試題的「單向性」(unidimensionality)是 Rasch 模式中重要的基本假設，所謂

單向性是指測驗只測一個特質或能力的意思(王寶墉，民 84)。根據 Hambleton &

Swaminathan(1985)的說法，只要測驗資料有一個「主控」因素或成分就可算符 合，而這個主控因素便是特質或能力。在本研究，這個主控因素即是「學習數量 樣式的相關能力」 。

以下是找出每位學生 IRT 值的方法：

(一)步驟 1：將認知前測與認知後測的題目連結，建立能力量尺

「所謂的連結是將不同測驗的項目參數以共同量尺的單位表示」(王寶墉，

民 84，p. 232)。在本研究，使用 IRT 的第一個步驟就是將認知測驗的題目做連 結，建立每個試題的難度參數。

本研究使用的方法是「校準團體設計」(anchor group design)，也就是在兩個 主要的研究班級之外，另外找了 12 個班級作為校準團體，包括台北市某國中 4 個班級、台北縣某國中 6 個班級、及台中縣某國中 2 個班級，選取這三個學校的 主要考量是它們與教學實驗學校使用的是同一版本的課本。為了建立能力量尺，

需將三次認知測驗卷均施測於這 12 個班級，但由於校準團體時間上配合的問 題，僅容許進行認知前測與認知後測兩份測驗卷。研究者考慮到認知延後測與認 知後測的題目結果相同，故假設兩次測驗的難度及校準團體在這兩次測驗的答題 情況均相同，以建立本研究所需的能力量尺。當中的學生需做過兩份認知測驗卷 始為有效樣本，以下是各校準團體的班級數與有效人數：

【表 3-4-5】校準團體人數一覽表

校準團體 有效人數

台北市某國中 4 個班級 110 人 台北縣某國中 6 個班級 210 人 台中縣某國中 2 個班級 74 人 總計校準團體 12 個班級 總計 394 人

校準團體在兩份認知測驗卷的給分標準同兩個主要研究班級的給分標準，全

對給 1 分，部份答對給 0.5 分，全錯給 0 分。接著將校準團體的答題表現進行 IRT 分析，檢驗題目的適用性，如有不適用的題目則需挑出，直到所有題目均適用為 止。本研究使用 WINSTEPS 這個軟體進行 IRT 分析，有關題目適用性的標準則 參考其使用手冊的說明(見【表 3-4-6】)(Linacre, 1991, p. 202)，

【表 3-4-6】題目適用性標準 MNSQ(INFIT)或MNSQ(OUTFIT)

的標準 說明

大於 2.0 不適用的題目

1.5 – 2.0 不利於建立能力量尺，但不會降低量尺的使 用效能。

0.5 – 1.5 適用於建立能力量尺。

小於 0.5 較不利於建立能力量尺，但亦不會降低量尺 的使用效能。

Linacre(1991)曾提到，通常我們只會注意 MNSQ 過大時的情形，對過小的 MNSQ 只有在縮減試題題數時才會特別注意。由於本研究使用 IRT 的目的在建 立能力量尺，將三次認知測驗的分數等化，並非建立經濟型的測驗題庫，故採用 較寬鬆的標準，只有 MNSQ 大於 2.0 的題目才刪除，0.0 - 2.0 均為可接受試題。

本研究不適用的題目有 1 題(即試題代碼 B19)，最後有效題目共 31 題(包含認知 前測 13 題，認知後測 18 題)，題目試用性分析結果請見《附錄 3-10 題目適用性 分析》 。

完成題目適用性分析之後即可得到連結之後的題目難度參數，因為本研究假 設認知延後測與認知後測難度相同，故認知延後測則直接套用認知後測的難度參 數。該參數是以每個題目的相對難度表示，其平均值為 0，難度參數愈大，則代 表該題目愈難， 【表 3-4-7】列出 31 題可接受的題目及其難度參數，該表依題目 的難度順序列出：

6兩個MNSQ均需列入考慮，只要其中一個不符合標準，即為不適用題目。

【表 3-4-7】認知前測與認知後測題目難度參數一覽表

題號 難度參數 題號 難度參數 題號 難度參數 題號 難度參數 B25 2.40 A01 0.67 B24 -0.15 A11 -0.98 B18 2.03 A15 0.63 A02 -0.18 A12 -0.98 B17 1.70 A07 0.50 B03 -0.31 B02 -1.34 B21 1.65 B15 0.31 A14 -0.36 B07 -1.37 B16 1.20 A08 0.20 B04 -0.41 A13 -1.52 A16 1.12 B06 0.14 B10 -0.76 A10 -1.89 B20 0.89 B08 0.04 B22 -0.86 A09 -2.15 B14 0.77 A04 -0.14 B23 -0.86

兩份試卷合併的內部一致性係數(Cronbach α)為 0.89，信度係數(person reliability)為 0.88。在得到每道題目的難度參數，即已建立本研究所需要的能力 量尺。

(二)步驟 2：將能力量尺套用到兩個研究班級，將在三次認知測驗的分數等化為

「IRT 值」

「所謂等化是指二個或二個以上的測驗測量同一心理建構或特質時，用統計 的方法建立不同測驗所得分數間的關係」(王寶墉，民 84，p. 232)。在這裡的作 法則是透過電腦軟體WINSTEPS，將能力量尺套用到兩個主要研究班級的學生身 上，將每位學生在三次認知測驗的得分轉換成「前測IRT值」 、 「後測IRT值」 、 「延 後測IRT值」

(見《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗IRT值與IRT層次一 覽》)，這些能力值便是等化過的數值，可直接進行比較，如果該生IRT值愈高，

代表該生在該測驗的檢定之下，所表現出來的數學能力愈好，而且這些不同認知 測驗的IRT值可以互相比較，如果某位學生的後測IRT值高於前測IRT值，代表這

7 在此簡單敘述如何得到三次認知測驗的IRT值。以「前測IRT值」為例，在尋找每位學生的前測 IRT值時，把他們在認知後測與認知延後測的作答均視為無效作答，只考慮認知前認的作答結果 與能力量尺的對應關係，找出「前測IRT值」；同理，在取得「後測IRT值」與「延後測IRT值」

時，以類似的方法處理。

位學生在認知後測展現出來的數學能力已經比認知前測時的數學能力進步了。

另外， 【表 3-4-8】列出在三次認知測驗卷當中，全對與全錯可能得到的 IRT 值，需注意的是學生所得 IRT 值僅限於在這些有限試題上所能測得的表現。例 如：由《附錄 3-11》可知 701-13 這位學生得到的正好是前測 IRT 值最高的 2.52，

但由於題目有限，無法測出學生更高的能力，換句話說該生的實際力值有可能高 於 2.52，

【表 3-4-8】 三次認知測驗卷最高與最低的 IRT 值 得分情況 測驗

認知前測 認知後測 認知延後測

全對時所得最高的 IRT 值 2.52 3.78 3.78 全錯時所得最低的 IRT 值 -3.47 -2.95 -2.95

(三)步驟 3：以校準團體作為常模，界定「IRT 層次」

從 IRT 值我們可以看出每個學生數學能力的相對高低，除此之外，本研究再 以校準團體作為常模(norm)，根據校準團體全體 IRT 值的高低分布情形，以四等 分的原則，定出「高能力層欠」 、 「中上能力層次」 、 「中下能力層次」 、 「低能力層 次」 ，找出決斷分數(cutoff score)，界定兩個主要研究班級學生的「IRT 層次」。

對應三次認知測驗，每位學生也會有三個 IRT 層次，分別為「前測 IRT 層次」 、 「後 測 IRT 層次」、「延後測 IRT 層次」。而這些「IRT 層次」即是在常模參照觀點之 下，所定下的能力層次。

首先說明如何找出認知前測 IRT 層次的界定標準。其方法是，將能力量尺再 度套用到原校準團體上，分別得到校準團體所有學生的前測 IRT 值，依據該能力 值的高低，將校準團體分成理想的四等分，接著找出決斷分數。但在本研究中，

由於校準團體前測 IRT 值並不完全均勻分布，無法達成該理想比例，故只能選擇

最接近的分組方式，分組的結果如【表 3-4-9】所示，而本研究所需的決斷分數

即如【表 3-4-9】第四欄「前測 IRT 層次界定標準」所示。

【表 3-4-9】校準團體認知前測 IRT 層次分組結果與標準 校準團體

前測 IRT 層次

人數 百分比

前測 IRT 層次界定標準 (決斷分數) 低能力 99 25.31% 前測 IRT 值≦-0.19 中下能力 81 20.52% -0.19<前測 IRT 值≦0.49 中上能力 102 25.89% 0.49<前測 IRT 值≦1.19

高能力 112 28.43% 1.19<前測 IRT 值

為了檢定該分組方式與理想的四等分是否有差異，我們使用適合度考驗(test of goodness of fit)做檢測，得到其卡方值χ

= 5.086，發現並沒有達到 0.05 的顯 著水準(p=0.166>0.05)，所以我們可以接受這樣的分組方式近似於四等分。得到

「前測IRT層次界定標準」(即【表 3-4-9】第四欄)之後，即可將該標準套用到兩 個主要研究班級，界定出每個學生的「前測IRT層次」。其結果同樣載於《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗IRT值與IRT層次一覽》 。

以同樣的方法，再將能力量尺套用到原校準團體，得到校準團體所有學生的 後測IRT值，依據該能力值的高低，以最接近四等分的方法將之分組，分組的結 果與所得的「後測IRT層次界定標準」如【表 3-4-10】所示。同樣的，該分組方 式與理想的四等分經適合度考驗之後並沒有達到 0.05 的顯著水準(χ

= 3.340，p

= 0.342>0.05)，故該分組方式亦是接近四等分；另外，經過百分比同質性考驗(test of homogeneity of proportions)也發現，認知後測與認知前測的兩種分組方式(即認 知前測以 112 人、102 人、81 人、99 人，認測以 103 人、92 人、111 人、88 人 分組)，亦沒有達到顯著水準(χ

= 6.227，p = 0.101>0.05)。

【表 3-4-10】校準團體認知後測 IRT 層次分組結果與標準

校準團體 後測 IRT 層次

人數 百分比

後測 IRT 層次界定標準(決 斷分數)

低能力 88 22.34% 前測 IRT 值≦-0.13 中下能力 111 28.17% -0.13<後測 IRT 值≦0.42 中上能力 92 23.35% 0.42<後測 IRT 值≦1.31

高能力 103 26.14% 1.31<後測 IRT 值

得到「後測 IRT 層次界定標準」(即【表 3-4-10】第四欄)之後，再將該標準

套用到兩個主要研究班級，即可界定出每個學生的「後測 IRT 層次」。「延後測

IRT 層次界定標準」使用與後測相同的標準。每位學生的「後測 IRT 層次」與「延

後測 IRT 層次」均列在《附錄 3-11 實驗班與對照班三次認知測驗 IRT 值與 IRT

層次一覽》 。

第五節 研究步驟與過程

本研究的實施步驟分成以下七個部份：準備階段、前測、教學實驗、後測、

延後測、訪談工作、資料分析。

一、準備階段

(一) 蒐集文獻、閱讀文獻。

(二) 解讀 A-3-7、詮釋 A-3-7、設計教材。該部份由研究者與指導老師、多 位中小學老師一起進行。

(三) 編製測驗卷。包括認知相關測驗卷與情意相關測驗卷兩大部份。

(四) 尋找合適的研究對象，並與合作的教師討論教材、測驗卷內容。

(五) 收蒐研究對象的相關資料。包括學生入學時智力測驗成績、數學科平時 考與段考成績。

二、前測

在教學實驗進行前，分別對兩班進行前測，包括「認知前測」與「態度前測」

兩份。兩班施測時間均是民國 92 年 11 月 5 日下午第 7 節，計時 45 分鐘。該時 段是全校彈性課程時間，實驗班由合作教師監考；對照班由研究者監考。在施測 前，兩班均告知作答注意事項

，並強調先寫認知卷，再寫態度卷。

三、教學實驗

在正式進行教學實驗前，研究者便進入兩個研究班級，觀察學生上課情形，

讓兩班學生認識未來的”代課老師”。

兩班進行教學實驗開始時間均為民國 91 年 11 月 10 日。實驗班使用研究者 設計教材，共歷時五節(民國 91 年 11 月 10 日~17 日)；對照班使用學教原訂教材，

8 注意事項包括兩點：不要使用計算紙，將計算過程直接寫在空白處；不要使用修正液或橡 皮擦，如果要請直接用筆劃掉，把想要的答案寫在一旁。

共歷時六節(民國 91 年 11 月 10 日~18 日)。兩班均由研究者擔任教學者，合作教 師則在教室後協助研究者進行教學，並在課餘時間給予研究者教學上的建議。由 於本研究進行時正值課程改革之際，會有課程銜接上的問題，故兩班在正式進入 A-3-7 教學前，均進行銜接課程補充教學。

四、後測

後測在教學結束後 2 天後進行，兩班均施以「認知後測」與「態度後測」兩 份試卷。實驗班施測時間是民國 92 年 11 月 19 日下午第 7 節，該時段是全校彈 性課程時間，由研究者監考；對照班施測時間是民國 92 年 11 月 20 日下午第 7 節，該時段是該班數學課，亦由研究者監考。兩班考試時間均為 45 分鐘，在施 測前兩班同樣會告知作答注意事項，並強調先寫認知卷，再寫態度卷。

五、延後測

延後測在後測之後約 1 個月進行，約為兩個研究班級第二次段考後兩個禮 拜，第二次段考範圍正好包含 A-3-7 的內容。兩班在延後測均施以「認知延後 測」 、 「態度延後測」 。實驗班施測時間是民國 92 年 12 月 24 日早自修時間，由實 驗班導師代為監考；對照班施測時間是民國 92 年 12 月 24 日下午第七節，該時 段為全校彈性課程時間，由研究者監考。實驗班因為早自修時間的限制，時間最 多只有 40 分鐘，而對照班為課堂時間，最多可以有 45 分鐘，但據研究者的觀察，

對照班學生大部份都能在 40 分鐘內作答完畢，而且實驗班導師也認為沒有作答 時間不足的反應，故研究者評估時間因素對兩班作答的影響不大。

六、訪談工作

在前測、後測、延後測結束之後，即對學生進行訪談。前測訪談因為時間上

的限制，且研究者身兼教學者，所以延續到教學後第二天為止，唯研究者在訪談

時會強調請學生回憶前測時的作法，儘量減少教學上的影響；後測訪談在後測結

束後一個禮拜內結束；延後測研究者評估只需少量的訪談，在延後測後隔天即完 成。訪談時均會以錄音方式紀錄，作為分析資料時的參考。

七、資料處理與分析

在前測、後測、延後測之後即開始對資料作初步的整理，待整個教學實驗之 後開始對資料作進一步的整理，接下來使用各種統計方法及研究者設計的工具對 學生的能力進行分析，研究學生起點行為與終點行為之間的關係，並探討自編教 材的教學成效。 【圖 3-5-1】為本研究的流程圖：

準備階段

前測及前測訪談

教學實驗

後測及後測訪談

延後測及訪談

資料處理與分析 參與兩班學生上課

撰寫研究報告

閱 讀 文獻與補強工作

【圖 3-5-1】研究流程圖

第六節 研究限制

本研究的限制有二：

一、本研究的對象主要是台北縣某國中的兩個國一班級，雖然有額外十二個班級 可建立量尺，但資料細部的分析仍以參與教學實驗的兩個班級為主，故樣本缺乏 母群體的代表性，結果的引用上只能推論到與研究對象背景相同的學生。

二、因為教學時數與學生能力的限制，我們設定的數量樣式內容僅以「奇偶樣式」

與「等差樣式」為主，同時我們的教學設計亦是針對這兩個數學內容為主，其他

的數量樣式(例如：二次(階)的數量樣式、等比數列)則不在本研究的討論範圍。