勾股定理證明-G206
【作輔助圖】
1. 分別以 AB 為邊長向內作正方形 ABKH . 2. 過 H 點作垂直 AC 的直線，交 AC 於 G 點。
3. 過 H 點作垂直 HG 的直線，在此直線上取一點 E 點，使得 HE AC b. 4. 直線 EK 與直線 AC 相交於 F 點，直線 AC 交 KB 於 O 點。
5. 直線 BC 與 HE 相交於 M 點，直線 BC 與 HK 相交於 N 點。
6. 過K 點作垂直直線 BC 的直線，交直線 AC 於 L 點。
A B
H
C
K E
G
F M
L
O N
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的 AB 為邊長向內作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積所 切割出的所有區塊面積總和等於正方形 EKLM 的面積加上正方形 EFGH 的面積，最後 推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 HAG 與三角形 HKE 皆和三角形 ABC 全等：
在 HAG 中，因為HAG CAB90 CBA CAB，所以 HAG CBA，又 90
HGA ACB
, HA c AB，可推得
HAG ABC
(AAS 全等).
因為EHK KHG90 GHA KHG，所以 EHK GHA。因為 EHK GHA CAB
, HE AC, HK c AB，所以 HKE ABC
(SAS 全等).
故
. HAG ABC HKE
2. 證明四邊形 EFGH 是面積為b 的正方形： 2
因為 HKE ABC，所以HEK ACB90，又EHG90, FGH 90，可 推得
四邊形EFGH的四個內角都是直角。
因為 HAG ABC，所以 HG ACb，又 HE AC b，故 EFGH b2
四邊形 是面積為 的正方形。
3. 證明四邊形 EKLM 是面積為a 的正方形： 2
因為四邊形 EFGH 是正方形，所以CGH MHG90。又因為ACB90，所 以MCG90，可推得
四邊形MCGH是四個內角都是直角的長方形。
因為四邊形 MCGH 是長方形，所以EML90，又MEK 90, KLM 90，可 推得
四邊形EKLM的四個內角都是直角。
BKL中，因為LBK CBA90，所以LBK90 CBA CAB，又 90
BLK ACB
, BK c AB，可推得 BKL ABC
(AAS 全等).
因為 BKL ABC，所以 KLBC a，又 HKE ABC，可推得 EK CBa， 因此
EKLM a2
四邊形 是面積為 的正方形。
4. 證明三角形 HNM 與三角形 KOF 全等：
因為MHN EHK 90 EKH FKO, HMN 90 KFO, MH EHEM b a FK，所以
HNM KOF
(ASA 全等).
5. 證明三角形 BFC 與三角形 KNL 全等：
因為 HKE ABC，所以 EKH CBA。因為
90 90
CBF CBA EKH LKN
, KLN 90 BCF，四邊形 EKLM 是面積為a 的正方形，所以 BC2 a KL，因此
BFC KNL
(ASA 全等).
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
(
ABKH ABC HAG KOGH BFC
HKE HKE KOGH KNL
EKNM HNM HKE
KOGH K
正方形 面積 面積 面積 面積 面積
面積 面積 面積 面積 面積 面積) 面積
四邊形
四邊形
四邊形
四邊形 面積
(
(
( )
NL
EKNM KOF HKE
KOGH KNL
EKNM KNL KOF
HK
面積
面積 面積) 面積 面積
四邊形
四 面積
面積 面積 面積
邊形 四邊形
E KOGH
EKLM EFGH
四邊形
面積 面積)
面
正方形 積 正方形 面積，
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Hopkins, G. I. (1891). Plane Geometry (p. 92). New York:D. C. Heath.
2. 心得：此證明是將正方形 ABKH 切割成四邊形 KOGH 以及三個三角形，再利用全等 關係以及面積相等的關係，將這些面積轉換成正方形 EKLM 的面積加上正 方形 EFGH 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ●
4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
