4-2 矩陣的運算矩陣的運算矩陣的運算矩陣的運算 例題例題例題例題

高中數學(4)A 習作 4-2 矩陣的運算 91

4-2 矩陣的運算 矩陣的運算 矩陣的運算 矩陣的運算

例題 例題 例題

例題 1 矩陣基本概念矩陣基本概念矩陣基本概念矩陣基本概念

已知矩陣 A＝

2 3 1 4 7 5 8 6 9

 

 

 

 

 

，試寫出：

(1) 矩陣 A 的階數 (2) A 的第（2，3）元 解

解 解

解 (1) A 是 3×3 階矩陣，也是三階方陣 (2) A 的第（2，3）元為 5

例題例題

例題例題 2 以算式定義矩陣的元以算式定義矩陣的元以算式定義矩陣的元以算式定義矩陣的元

已知矩陣 A＝〔a_ij〕_{3 × 2}，其中 a_ij＝3i＋j，試求矩陣 A 解

解 解

解 A＝〔aij〕3 × 2 是一個 3 列 2 行的矩陣，有 6 個元 其中第 i 列，第 j 行的元（aij）定義為 aij＝3i＋j 所以 a₁₁＝3×1＋1＝4，a₁₂＝3×1＋2＝5

a21＝3×2＋1＝7，a22＝3×2＋2＝8 a₃₁＝3×3＋1＝10，a₃₂＝3×3＋2＝11 故得 A＝

4 5 7 8 10 11

 

 

 

 

 

例題例題

例題例題 3 矩陣的相等矩陣的相等矩陣的相等矩陣的相等

已知矩陣 A＝

3 2 4 a b c

 

 

 

 

 

，B＝

6 1 5 s

t u

 

 

 

 

 

，且 A＝B，試求 a、b、c、s、t、u

解解

解解 A＝B，故對應位置的元相等

a＝6，b＝1，c＝5，s＝3，t＝2，u＝4

例題 例題 例題

例題 4 矩陣的加減法矩陣的加減法矩陣的加減法矩陣的加減法

已知矩陣 A＝ 2 5 1 4 3 6

 

 − 

 ，B＝ 1 2 3 1 0 4

−

 

 

 ，試求：

(1) A＋B (2) A－B

解解

解解 (1) A＋B＝ 1 7 4 5 3 10

 

 − 

 

(2) A－B＝ 3 3 2

3 3 2

−

 

 − 

 

高中數學(4)A 習作 4-2 矩陣的運算 92

例題例題

例題例題 5 矩陣的係數積矩陣的係數積矩陣的係數積矩陣的係數積

已知矩陣 A＝ 4 3 2 7

−

 

 

 ，B＝ 2 6 3 5

−

 

− 

 ，C＝ 1 1 2 3

 

 

 ，試求：

(1) 2A－B (2) 3A＋B－C

解 解 解

解 (1) 2A－B＝ 8 6 2 6 10 12

4 14 3 5 7 9

− − −

     

− =

  −   

     

(2) 3A＋B－C＝ 12 9 2 6 1 1 9 4

6 21 3 5 2 3 1 23

− − −

       

+ − =

  −     

       

例題 例題 例題

例題 6 矩陣方矩陣方矩陣方矩陣方程式程式程式程式

已知矩陣 A＝ 7 8 0 4

 

 

 ，B＝ 3 4 2 2

 

 

 ，且 2X＋A＝3B，試求矩陣 X

解解

解解 2X＝3B－A＝ 9 12 7 8 2 4

6 6 0 4 6 2

     

− =

     

     

X＝ 1 2 3 1

 

 

 

例題 例題 例題

例題 7 矩陣的乘法矩陣的乘法矩陣的乘法矩陣的乘法

已知矩陣 A＝ 1 2 3 5

 

 

 ，B＝ 2 4 4 3 7 6

 

 

 ，C＝ 1 2 2 3

−

 

 

 ，試求：

(1) AB (2) AC

解 解 解

解 (1) AB＝ 1 2 2 4 4 8 18 16 3 5 3 7 6 21 47 42

     

   = 

     

(2) AC＝ 1 2 1 2 3 8

3 5 2 3 7 21

−

     

   = 

     

例題例題

例題例題 8 二階方陣的乘法反方陣二階方陣的乘法反方陣二階方陣的乘法反方陣二階方陣的乘法反方陣

已知二階方陣 A＝ 8 5 3 2

 

 

 ，試問：

(1) A 是否有乘法反方陣 A⁻¹ (2) 若 A⁻¹ 存在，試求 A⁻¹

解 解 解

解 (1) detA＝ 8 5

1 0 3 2 = ≠

∴ A 有乘法反方陣

(2) A⁻¹＝1 2 5 2 5

3 8 3 8

1

− −

   

− =− 

   

高中數學(4)A 習作 4-2 矩陣的運算 93

例題例題

例題例題 9 用二階反方陣求解二元一次方程組用二階反方陣求解二元一次方程組用二階反方陣求解二元一次方程組用二階反方陣求解二元一次方程組

已知二元一次方程組 2 3 3 4 x y x y

+ =



 − = ，試求：

(1) 將方程組寫成 AX＝B 的形式 (2) 用 A 的反方陣 A⁻¹ 解方程組 解

解 解

解 (1) 令 A＝ 2 3 1 1

 

 − 

 ，X＝ x y

 

 

 ，B＝ 3 4

  

 

即 2 3 3

1 1 4

x y

     

 −   = 

     

(2) A⁻¹＝

1 3

1 3 1 3

1 1 5 5

1 2 1 2 1 2

det 5

5 5

A

 

 

− − − −

   

= = 

−  − − 

     − 

承(1)，X＝A⁻¹B
X＝

1 3

3 3

5 5

1 2 4 1

5 5

 

     

=

      − 

 − 

 

 

故 x＝3，y＝−1

例題例題

例題例題 10 矩陣方程式矩陣方程式矩陣方程式矩陣方程式

試解矩陣方程式 ^{3 2 2 1 7 5}

2 1 3 0 2 3

x y z w

−

       

+ =

    −   

       

解 解 解

解 3 2 7 5 2 1

2 1 2 3 3 0

x y z w

−

       

= −

      − 

        9 4

5 3

 

= 

  3 2 1 9 4

2 1 5 3

x y z w

    − 

 =   

     

1 2 9 4

1

2 3 5 3

1

−

   

=− −    

1 2 9 4

2 3 5 3

−

   

= −    

1 2 3 1

 

= − 