一、乘法公式與多項式

一、乘法公式與多項式

1-1 多項式的乘法

【二項式相乘公式】

如下圖，一個長為a+b，寬為c+ 的長方形，其面積為(d ) ， 也等於四個長方形的面積和，即

( a b c+ + )d ac+ad+bc+bd。

c

a b

d

ac bc

ad bd

(a b c+ )( +d )的乘積而得到下列的公式：

我們也可利用分配律來展開

(a b c+ )( +d)=ac+ad+bc bd+ 【公式 1】

在應用上，a、b、c 及 d 可為數字或任何文字符號。

【範例 1】利用公式 1 展開下列各式：

(1) (1+a)(1+b) (2) (x+2)(x+3) (3) (2x+y)(3x−y)

【解】 (1) (1+a)(1+b) =1 1 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ b a 1 a b 1 a+ + +b ab

=

(2) (x+2)(x+3)= x x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅x 3 2 x 2 3

2 5 6

x + x+

=

(3) (2x+ y)(3x− y) = (2x+y)[3x+ −( y)]

2x⋅3x+2x⋅ − + ⋅( y) y 3x+ ⋅ −y ( y)

=

2 2

6x −2xy+3xy−y

=

2 2

6x +xy−y

=

在上例的第(2)題中，x²+5x+6的x²項(或稱二次項)係數為 1，x項(或稱 一次項)係數為 5，常數項為 6，其中最高次項為二次，所以稱x²+5x+6為x

2 2

6x +xy−y

的二次多項式，並簡稱為一元二次式。在第(3)題中， 有x、y

兩個變數，其中 6x²、xy和 y− ²都是二次項。因此，它的最高次項為二次，

所以稱它為x和y的二次多項式，並簡稱為二元二次式。

【類題練習 1】展開下列各式：

(1) (5x+2)(2x−3) (2) (− +2x 3 )(3y x−4 )y

二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程，例如：

求 123×279+ 127×121+123×121 127+ ×279 的值。

我們觀察到 123×279 與 123^×121 有公因數 123；127^×121 與 127^×279 有公 因數 127，所以

123×279 127+ ×121+ 123×121+ 127×279

+ + +

123×279 123×121 127×279 127×121

=

+ + +

123×(279 121) 127×(279 121)

=

(279+ 121)×(123+ 127)

=

=

=

) )

) 400×250

100000。

【範例 2】展開下列各式：

(1) (x−1)(x⁵+x⁴ +x³+x² + +x 1 (2) (x+1)(x⁴ −x³ +x² − +x 1

【解】 利用分配律：

(1) (x−1)(x⁵+x⁴ +x³+x² + +x 1

6 5 4 3 2 5 4 3 2

1

x x x x x x x x x x x

= + + + + + − − − − − −

6 1

=x −

(2) (x+1)(x⁴ −x³ +x²− + )x 1

5 4 3 2 4 3 2

1

x x x x x x x x x

= − + − + + − + − +

5 1

=x +

x5 x³ x²

【範例 3】 分別求(3x²−5x+ −1)( 2x³+4x² − +x 3)的展開式中， 、 、 x 的係數。

和

【解】 利用分配律做展開運算時，只需要觀察兩式中，兩項次數的和 等於所要求次數，則其係數乘積的總和即為所求，因此

x5

的係數為 3 ( 2)× − = −6； x3

的係數為 3 ( 1) ( 5) 4 1 ( 2)× − + − × + × − = − −3 20 2− = −25； x2

的係數為 3 3 ( 5) ( 1) 1 4× + − × − + × = + + =9 5 4 18； x

的係數為 ( 5) 3 1 ( 1)− × + × − = − − = −15 1 16。

【類題練習 2】分別求 的展開式

中，

4 3 2 3 2

(3x +x −2x −5x+ −1)( 2x +4x − +x 3)

7 x

x 、x⁶、x⁴、 的係數。

【重點整理】

1. 【二項式相乘公式】

)=

(a b c+ )( +d ac+ad+bc+bd，其中 a、b、c 及 d 可為數字或任何文 字符號。

2. 兩多項式相乘，若求部分項的係數時，只需將兩多項式中次數和相等 的兩項係數相乘後，再求其和即可。

【家庭作業】

基礎題

1. 展開下列各式：

○¹ (1 2 )(2 3 )+ a − b ○² (− +x 5 )(2y x−y)

○³ (x−1)(x−2)(x− )3 ○⁴ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) x8

2. 分別求 (x⁵ +2x³−5x+1)(3x⁵−x⁴+2x³−3x² −7x+5)的展開式中， 、

7 x

x 、x⁵、x³、 及常數項的係數。

進階題

3. 回答下列各題：

○¹ 若(x³ +ax+2)(2x−a)的展開式中，x³的係數為 9，求 a 的值。

○² 若x(x+1)=3，求(x−1)²(x+2)² +3(x−3)(x+4)+5的值。

○³ 若 a、b、c 是整數，且2x² +3x+5=a(x−1)² +b(x−1)+c， 求 a、b、c 的值。

4. 試證明下列兩式成立：

○¹ (x−1)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻² +"+x² + + =x 1) xⁿ −1 +1

○² (x+1)(xⁿ⁻¹−xⁿ⁻²+xⁿ⁻³ − +" x²− + =x 1) xⁿ ，其中 n 是奇數。

1-2 平方公式

多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外，還可運用於因式 分解。我們首先來複習已經學過的平方公式，然後再延伸到立方公式。

【完全平方公式】

b

a

A D

C B

b a a

b

我們觀察到上圖中，邊長為(a+b)的大正方形是由邊長分別為 a、b 的兩個 正方形 A、B，和 C、D 兩個長方形所組合而成，其中 C 的面積為 ab、D 的面積為 ba，所以，大正方形的面積等於 A、B、C、D 四個區域的面積總 和，也就是說

(a+b)2 =

=

=

2

2 2

a + b + ab + ba

乘法交換律：

2 2

a + b + 2ab _ba＝ab a + 2ab + b2 ²。

因此，我們得到和的平方公式：

(a+b)2 =a²+2ab b+ 【公式 2】

事實上，將公式 1 中的 c、d 分別以 a、b 代入，也可以得到 (a b a b+ )( + )=a a⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ a b b a b b

2 2

2

a + ab b+ 。

=

【範例 1】利用公式 2 展開下列各式：

(1) (x+1)² (2) (2x+3 )y ²

【解】 (1) (x+1)² = x²+ ⋅ ⋅ +2 x 1 1²

2 2 1 x + x+

=

(2) (2x+3 )y ²=(2 )x ² + ⋅2 (2 ) (3 )x ⋅ y +(3 )y ²

2 2

4x +12xy+9y

=

有了和的平方公式，是否也有差的平方公式呢？如果在下面的左圖 中，我們剪下一個邊長為a−b的正方形，如下圖：

b

b a

a

(

)

2

b b

b a

a-b a a

由上面各圖形之間面積的關係，我們知道(a−b)² =a²+b²−2ab。

−b、a、−b 代入，即可得 同樣的，若將公式 1 中的 b、c、d 分別以

(a b a b− )( − )=a a⋅ + ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − a ( b) ( b a) ( b) ( b)

2 2

2

a − ab b+ ，

= 因而得到差的平方公式：

(a−b)2 =a² −2ab b+ 【公式 3】 ²

−b，也可得到公式 3。

其實，只要將公式 2 中的 b 改為

【範例 2】利用公式 3 展開下列各式：

( 2

(1) x−a) (2) (2x−3 )y ² (x−a)2 x² − ⋅ ⋅ +2 x a a²

【解】 (1) =

2 2

2

x − ax+a

=

(2) (2x−3 )y ² =(2 )x ² − ⋅2 (2 ) (3 )x ⋅ y +(3 )y ²

=4x²−12xy+9y²

我們也常用和或差的平方公式來簡化數的計算，例如：在求 109²時，

可將 109 寫成 100 9，再利用公式 2 即可求得： +

2=

109 (100 9)+ ² =100²+ ×2 100 9 9× + ²

+ +

10000 1800 81

=

11881

=

接著來看三項和的平方公式。由下圖，

a b

a

b

c

c

a² ca

ca

b²

c² bc

bc ab

ab

我們觀察到，邊長為(a+b+c)的大正方形是由邊長分別為 a、b、c 的三個正 方形，和六個面積分別為 ab、bc、ac 的長方形所組合而成，所以，大正方 形的面積等於這九個區域的面積總和，也就是說

2 2 2 2

(a b c+ + ) = + + +a b c 2ab+2bc+ 2ca

此外，我們知道 a b c+ + = (a+b)+c，所以利用公式(2)即可得到：

(a b c+ + )2=[(a b+ +) c]²

2 2

(a b+ ) + ⋅ + ⋅ + 2 (a b c c)

=

2 2

2 2 2

a + ab b+ + ac+ bc c+ ²

=

2 2 2

2 2 2

a + + +b c ab+ bc+ c a

=

因此，得到三項和的完全平方公式：

(a b c+ + )2 =a²+ + +b² c² 2ab+2bc+ c 【公式 4】 2a

【範例 3】利用公式 4 展開下列各式：

(1) (x+ +y 3)² (2) (a+2b−3 )c ² x+ +y

【解】 (1) ( 3) =² x²+y²+ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 3² 2 x y 2 y 3 2 3 x

2 2

9 2 6 6 x +y + + xy+ y+ x

=

=x² +2xy+y² +6x+6y+ 9 (2) (a+2b−3 )c ²=[a+(2 ) ( 3 )]b + − c ²

2 2 2

(2 ) ( 3 ) 2 (2 ) 2(2 )( 3 ) 2( 3 ) a + b + − c + a b + b − c + − c a

=

=a²+4b²+9c²+4ab−12bc− a6c

【類題練習 1】試利用公式 4 展開下列各式：

(2x− −y 3 )z 2 ( 3− +x 4y−5 )z ² (1) (2)

【平方差公式】

−b

事實上，將公式 1 中的 c、d 分別以 a、 取代，即可得：

(a+b a)( −b)=a a⋅ + ⋅ − + ⋅ +a ( b) b a b⋅ −( b)

2 2

a −b

= 因而得到平方差公式：

(a+b a)( −b)=a² −b² 【公式 5】

【範例 4】利用公式 5 展開下列各式：

(a b c a b c+ − )( − + ) (1) (3x+4 )(3y x−4 )y (2)

【解】 (1) (3x+4 )(3y x−4 )y =(3 )x ² −(4 )y ²

2 2

9x −16y

=

(2) 由 a b c a+ − = + −(b c) 和 a−b+c= a−(b−c)，可以得到：

(a b c a b c+ − )( − + ) = [a+ −(b c)][a− −(b c)]

2 2

( ) a − −b c

=

2 2 2

( 2 a − b − bc+c

= )

2 2

2

a − +b bc c− ²

=

如同完全平方公式，我們也常利用平方差公式來簡化數的計算。例 如：求788²−212²的值時，我們可得到下列算式：

788²−212² =(788+212)(788−212) 1000×576

=

576000

=

又如求 107×93 的值時，我們觀察到 107= 100+7、93= 100 7，所以可得 到下列算式：

−

− +

107×93 (100 7)(100 7) =

= 100²−7²

−49

10000 = 9951

=

【類題練習 2】求下列各式的展開式：

(1) (x+3y+1)(x−3y−1) (2) (x+y) (² x− y)²

【重點整理】

1. 常用的平方公式有:

(a b c+ )( +d)=ac+ad+bc bd+

【乘法分配律】

【和的平方公式】 (a+b)² =a² +2ab+b²

(a b c+ + )² =a²+ + +b² c² 2ab+2bc+2ac

【差的平方公式】 (a−b)² =a²−2ab+b2

【平方差公式】 (a+b a)( −b)=a² −b²

2. 做乘法運算時，有時候可以用平方公式來簡化運算過程。

【家庭作業】

基礎題

1. 展開下列各式：

○¹ (4x+3)² ○² ( 5− +x 2 )y ² 2 3 2

( )

3a+2b

○³ ○⁴ (x+3y+5)²

2 2

( 3 )( 3

5 5

○⁵ (2x− −y 3)² ○⁶ x− y x+ y) (x 2)(x 2)(x2 4

○⁷ (x+1)(x−1)(x+2)(x−2) ○⁸ − + + ) 2. 回答下列各題：

2 2

176 138 −38

19 1

(19 ) (20 ) 20 × 20

○¹ 求 ₂ 。 ○² 求 。

○³ 求2001 2003 1998 2006× − × 。

○⁴ 已知(6825.5)² =6825² +x

2

)

，求 x 的值。

進階題

3. 展開下列各式：

○¹ (2a+3)²(2a−3)² ○² (a²+2ab+4b²)(a² −2ab+4b )

○³ (a− −b c a)( + +b c ○⁴ (a+2)⁴ 4. 回答下列各題：

○¹ 求1994 2006 1999× − ²的值。

2 2

2 2

285 115 285 230 285 115

−

+ × +

○² 求 的值。

5. 回答下列各題：

1 2

(x ) + x

○¹ 利用乘法公式展開 。 1 3

x+ =x ² 1₂ x + x

○² 若 ，求 的值。

1-3 立方公式

在國中時期，同學們較少接觸到立方的乘法運算，事實上，在多項式 的乘法和因式分解的過程中，立方公式也經常被引用。

【完全立方公式】

如下圖，一個邊長為( a b+ )的正立方體可切割成 2 個邊長分別為 a、b

的正立方體，3 個體積為 的長方體和 3 個體積為 的長方體，即

。

a b2 ab²

3 3 2 2

(a+b) =a +3a b+3ab +b³

3

) )

b a b a b

a b

b b

b a

b a

b b

a a

b

a

b a a

a

a b

a

b a

a

b

至於(a−b)³=a³−3a b² +3ab²−b 圖形的切割，請同學自行試驗。

事實上，展開(a+b ³時，可先將(a+b ³寫成 ( ) ，再利用二 項和的平方公式與分配律展開即可，也就是說：

( )2

a+b a+b

)

b3

(a+b)3=(a+b a)( +b)²

2 2

(a+b a)( +2ab+b

=

=a³+2a b² +ab²+a b² +2ab² +

=a³+3a b² +3ab²+b³ 由此，我們可得到和的完全立方公式：

(a+b)3 =a³+3a b² +3ab²+b³ 【公式 6】

同樣的，展開(a− )b ³的乘積，並經化簡後即可得到差的完全立方公式：

3

(a−b)3 =a³−3a b² +3ab²−b 【公式 7】

−b 代入，同樣可得公式 7。

其實，只要將公式 6 中的 b 以

【範例 1】展開下列各式：

(1) (x+2)³ (2) (3x+2 )y ³ 23

8

(3) (4a−5 )b ³

【解】 (1) (x+2)³= x³+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅3 x² 2 3 x 2²+

3 2

6 12 x + x + x+

=

(2) (3x+2 )y ³=(3 )x ³+3(3 ) (2 )x ² y +3(3 )(2 )x y ² +(2 )y ³

=27x³+54x y² +36xy²+8y³

(3) (4a−5 )b ³ (4 )a ³ −3(4 ) (5 )a ² b +3(4 )(5 )a b ²−(5 )b ³ b3

=

=64a³−240a b² +300ab²−125

【類題練習 1】展開下列各式：

3 1 3

(2 2

2 5 3

(4 )

a −2b (1) x+ y) (2)

【立方和與立方差】

(a+b a)( 2 −ab b+ ²)即可得到：

我們可利用分配律來展開

2 2

(a+b a)( −ab+ )b = a³−a b² +ab² +a b ab² − ² +b³

3 3

a +b

= 因此，得到立方和公式：

(a+b a)( ²−ab+ )b² = a³ +b³ 【公式 8】

【範例 2】利用公式 8 展開下列各式：

(1) (x+2)(x² −2x+4) (2) (2a+5 )(4b a² −10ab+25b²)

【解】 (1) 由(x+2)(x² −2x+4) =(x+2)(x²− ⋅ + )x 2 2²

)( 2 x+ x − x+

，與公式 8 比較 可知，以 x 取代 a，以 2 取代 b，可得

( 2 ² 4) = x³+2³

= x³+8。 (2) (2a+5 )(4b a² −10ab+25b²)

2 2

(2a+5 )[(2 )b a −(2 )(5 )a b +(5 ) ]b

=

3 3

(2 )a +(5 )b

=

=8a³+125b³

同樣的，我們可以展開 並經合併化簡後，而得到

立方差公式：

(a−b a)( 2 +ab+b²)

a−b a²+ab+b²

( )( ) =a³ −b³ 【公式 9】

−b 代入，即可得公式 9。

其實，只要把公式 8 中的 b 以

【範例 3】利用公式 9 展開下列各式：

2 2

( )(

3 2 9 6 4 a−b a +ab+b ) (1) (2x−1)(4x² +2x+1) (2)

【解】 (1) (2x−1)(4x² +2x+1) =(2x−1)[(2 )x ² +(2 ) 1 1 ]x ⋅ + ²

3 3

(2 )x − 1

=

=8x³−1

2 2

( )( )

3 2 9 6 4

a−b a +ab+b =( )[( )² ( ) ]² 3 2 3 3 2 2

a b a a b b

− + ⋅ +

(2)

3 3

( ) ( )

3 2

a b

= −

3 3

27a −b8

=

2

2 5

【類題練習 2】(1) 試展開 (5 )(25 )。

2 2 4

b ab b

a− a + +

2) (2) 試展開(x−3 )(y x+2 )(y x²−2xy+4y²)(x²+3xy+9y 。 (3) 已知x³ =2，求(x−3)(x²+3x+ 的值。 9)

【重點整理】

1. 常用的立方公式有:

3 3 2 2

(a+b) =a +3a b+3ab +b³

【和的立方公式】

3 3 2 2

(a−b) =a −3a b+3ab −b³

【差的立方公式】

2 2 3

(a+b a)( −ab b+ )=a +b³ 【立方和公式】

2 2 3

(a−b a)( +ab+b )=a −b³

【立方差公式】

【家庭作業】

基礎題

1. 展開下列各式：

○¹ (− −x 2)³ ○² (2a−3 )b ³

○³

2 2

( )(

3x+ 2y x9 − xy6 + y4 ) (2 )(4 ^{2 2})

2 4

b b

a− a +ab+

○⁴

○⁵ (a−3)(a+3)(a² +3a+9)(a² −3a+ )9 2. 利用乘法公式回答下列各題：

○¹ 已知x³ =2，求(x² −1)(x⁴ +x² +1)的值。

3 3

1 2

(5 ) (4 ) 3 + 3

○² 求 。

進階題

3. 回答下列各題：

○¹ 展開(a−1)(a+1)(a²− +a 1)(a² + + 。 a 1)

○² 設a³ =8，求 (a−1)(a+1)(a²− +a 1)(a² + +a 1)的值。

2

○³ 設a² =5，求(a−1)(a+1)(a² − +a 1)(a² + +a 1)的值。

4. 回答下列各題：

a2+b a³+b³

○¹ 已知 a+b 3 且 ab 2，求(1) = = (2) 的值。

○² 已知a− b=−1且a² + b² =5，求(1) ab (2) a³ −b³的值。