單元 35: 定積分與和的極限
(課本 §5.6)
問. 定積分
Z b a
f (x)dx 的值為多少?
(1) 當被積函數 f (x) 的反導函數 (或不定積分) F (x), 亦即,
F0(x) = f (x) 可求得時, 由微積分基本定理知,
Z b
a f (x)dx = F (x) b
a = F (b) − F (a)
(2) 若 f (x) 的反導函數 F (x) 不易求得時, 如何計算 定積分的值?
可採用中點法則 (midpoint point rule) 近似法, 估 計定積分
Z b
a f (x)dx
的值, 如下述.
(1) 將閉區間 [a, b] n 等分, 得每一子區間的寬度
∆x = b − a n (2) 求每一子區間的中點, 得
中點: x1, . . . , xn
(3) 以 n 個高分別為 f (xi) 且寬為 ∆x 的長方條面積 和近似定積分
Z b
a f (x)dx 亦即,
Z b
a f (x)dx ≈ ∆xf (x1) + · · · + ∆xf (xn)
= b − a
n [f (x1) + · · · + f (xn)]
為何如此? (1) 圖示: 僅考慮函數 f 為非負的特例. 將 閉區間 [a, b] n 等分, 並以每個子區間中點的 f 值為高, 形成 n 個長方條, 如圖示.
因此, 由定積分的面積觀點, f 所圍成區域的面積近似於 n 個長方條的面積和, 亦即,
Z b
a f (x)dx ≈ ∆x[f (x1) + · · · + f (xn)]
且當分的愈細時, 亦即, 子區間數 n 愈大時, 估計愈準確, 得證.
(2) 事實: 若函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 上連續, 則定 積分
Z b
a f (x)dx = lim
n→∞[f (x1) + · · · + f (xn)]∆x 其中對於 i = 1, . . . , n, xi 為第 i 個子區間中的任一點, 不一定為中點, 當然取 xi 為中點, 一定成立, 並稱等號右 邊極限內的和為黎曼和 (Riemann sum), 亦即, 定積 分為黎曼和的極限.
因此, 由此事實知,
Z b
a f (x)dx ≈ ∆x[f (x1) + · · · + f (xn)]
得證.
例 1. 令 R 為
y = −x2 + 5
在 [0, 2] 上所圍出的區域. 試以 n = 5 的中點法則估 計 R 的面積, 並與真正的面積比較.
<解> 首先, 將區間 [0, 2] 5 等分, 得子區間的寬
∆x = 2 − 0
5 = 2 5 以及 5 個子區間, 如圖示.
接著, 由圖示, 得
中點: 1 5, 3
5, 1, 7 5, 9
5
最後, 根據非負函數定積分的面積觀點, 以及中點法則, 得
R 的面積 =
Z 2
0 (−x2 + 5)dx
≈ 2 5
f
1 5
+ f
3 5
+ f (1)+
f
7 5
+ f
9 5
= 2 5
("
−
1 5
2
+ 5
#
+
"
−
3 5
2
+ 5
#
+[−(1)2 + 5] +
"
−
7 5
2
+ 5
#
+
"
−
9 5
2
+ 2
#)
= 920
125 = 7.36
而根據微積分基本定理, 真正的面積 =
Z 2
0 (−x2 + 5)dx
= −1
3x3 + 5x
2 0
= −8
3 + 10 = 22 3
≈ 7.33 與估計值 7.36 相近.
例 2. 試以 n = 10 的中點法則估計
Z 3 1
q
x2 + 1dx
<解> 這是一個至目前所學, 無法以微積分基本定理求出 真正值的定積分, 因為需先以反三角函數的積分法求出不 定積分, 再根據微積分積本定理求出定積分的值, 而超出 本書範圍, 故需以中點法則估計.
首先, 10 等分 [1, 3], 得子區間的寬
∆x = 3 − 1
10 = 2
10 = 1 5 以及 10 個子區間, 如圖示.
接著, 由圖示, 得 中點: 1 + 1
10 = 11
10, 13
10, 15
10, . . . , 27
10, 29 10 最後, 根據中點法則, 得
Z 3 1
q
x2 + 1dx
≈ 1 5
f
11 10
+ f
13 10
+ · · · + f
29 10
= 1 5
q
(1.1)2 + 1 +
q
(1.3)2 + 1 + · · · +
q
(2.9)2 + 1
≈ 4.504
