以統計軟體與JAVA程式探索哥德巴赫猜想

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(1)國立屏東教育大學應用數學系碩士班碩士論文 Department of Applied Mathematics National Pingtung University of Education Master’s Thesis. 以統計軟體與 JAVA 程式探索哥德巴赫猜想 Exploring Goldbach Conjecture by Statistical Software and JAVA. 指導教授：詹勳國博士 Advisor: Dr. Hsungrow Chan 研究生：黃凱焌 Student: KAI-JYUN HUANG. 中. 華民國. 一百零貳年. June, 2013. 六月.

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(3) 誌謝要感謝的人太多了，那就謝天吧。. 黃凱焌僅致於屏東教育大學應用數學所中華民國一百零二年六月. I.

(4) 摘要本研究使用電腦程式與統計軟體探討哥德巴赫猜想：大於 2 的偶數都可以拆解成二個質數和。第一章敘述研究動機與目的，以及哥德巴赫猜想的歷史與發展。第二章運用 JAVA 程式，運算並顯示哥德巴赫的分拆數，並且舉例驗證。第三章運用統計軟體 SPSS19 的程式，以統計學分析的角度與觀點分析哥德巴赫的分拆數跟偶數是否有存在相關的性質，並且以統計的方法來加以驗證。第四章運用同樣的程式碼討論不同電腦硬體配備的運算時間，討論是否有顯著差異，與同樣硬體配備但不同作業系統的情況下，運算時間是否有所差異。. 關鍵詞:歌德巴赫. II.

(5) Abstract This study used computer programs and statistical software to discuss Goldbach conjecture: each even number greater than 2 can be broken down into two prime numbers and their sum must be equal to the even number. The first chapter described the motivation and purpose, as well as the history of Goldbach conjecture and its developments. The second chapter used JAVA program to operate the number of ways to write an even number as the sum of two primes. The third chapter used SPSS19 to analyze the relations between the numbers of ways to write an even number as the sum of two primes and the even number. The fourth chapter used the same code to discuss the computing time with various computer hardware and whether there are significant differences. At last, we discussed differences of computing times with the same hardware but with different operating systems.. Keywords: Goldbach. III.

(6) 目錄第一章緒論第一節研究動機與目的......................................................................................1 第二節哥德巴赫猜想之歷史..............................................................................2 第三節研究目地..................................................................................................4 第二章 JAVA 相關內容第一節判定一任意自然數是否為質數..............................................................5 第二節偶數的分拆數..........................................................................................7 第三節４～１０００可分解之歌德巴赫猜想之組數......................................9 第三章用統計軟體分析歌德巴赫第一節以統計的觀念切入的歌德巴赫分拆數................................................12 第二節統計相關軟體處理分拆數....................................................................14 第三節結論........................................................................................................21 第四章計算機效能與演算法的運用第一節硬體的討論............................................................................................22 第二節軟體的討論............................................................................................26 第三節結論........................................................................................................29 參考文獻......................................................................................................................30. IV.

(7) 表目錄表一-100 的布朗法的分拆................. ….....................................................................3 表二-描述性統計量....................................................................................................14 表三-相關....................................................................................................................14 表四-模式摘要............................................................................................................15 表五-Anovab................................ ...............................................................................15 表六-係數 a................................... ..............................................................................15 表七-描述性統計量....................................................................................................16 表八-相關....................................................................................................................17 表九-模式摘要............................................................................................................17 表十-Anovab................................................................................................................17 表十一-係數 a..............................................................................................................18 表十二-描述性統計量................................................................................................18 表十三-相關................................................................................................................19 表十四-模式摘要........................................................................................................19 表十五-Anovab.............................................................................................................19 表十六-係數 a...............................................................................................................20 表十七-計算機軟硬體明細表.....................................................................................23 表十八-計算機 C 配備如下.........................................................................................27 表十九-比較表.............................................................................................................29. V.

(8) 圖次: 圖一-4~100 分拆數跟偶數散佈圖................................................................................1 圖二-輸出結果...............................................................................................................6 圖二-之一輸出結果圖二之一輸出結果.......................................................................6 圖三-JAVA 程式在 ECPLCE 上的顯示........................................................................8 圖四-顯示的輸出結果...................................................................................................8 圖五-4~1000 偶數跟分拆數分布圖.............................................................................10 圖六-分拆數個位數的對應數字圖.............................................................................11 圖七-偶數跟分拆數的散佈圖 4~ 1000000 取自網路維基百科..................................12 圖八-偶數跟分拆數的散佈圖 4~ 500000....................................................................13 圖九-顯示計算機 A 計算一億的哥德巴赫猜想的分拆數所需的毫秒.....................24 圖十-顯示計算機 B 計算一億的哥德巴赫猜想的分拆數所需的毫秒.....................24 圖十一-顯示計算機 C-1 計算一億的哥德巴赫猜想的分拆數所需的毫秒..............28. VI.

(9) 第一章. 緒論. 本章共三節，第一節為研究動機，第二節為哥德巴赫猜想之歷史，第三節為研究目地。. 第一節研究動機大學四年級修數學史時，認識了數學史上的世紀數學難題：哥德巴赫猜想主張每個大於等於 4 的偶數都是哥德巴赫數，也就是可以拆解成兩個質數和的數。雖然小學五年級的學生就可以了解哥德巴赫猜想的內容，但它卻是數學中存在最久未解決的問題之一。研究者希望能找到哥德巴赫猜想與其他函數有關的關係，或著尋找它是否有規律性，並運用電腦作為工具來了解跟分析偶數的質數分解，希望透過這個研究達到此目的。另外一件有趣的事是分解的組數，偶數分解成二個質數和並不是唯一，例如： 54 共有５組分解，分別是(7+47)、(11+43)、(13+41)、(17+37)、(23+31)，定義:偶數的歌德巴赫拆解的組數稱為分拆數。. 圖一 4~100 分拆數跟偶數散佈圖研究者將試著尋找哥德巴赫分拆數的離散分布是否有一定的規律與模式。 1.

(10) 第二節哥德巴赫猜想之歷史這個猜想最早出現在１７４２年普魯士人克里斯蒂安•哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德•歐拉的通信中。用現代的數學語言表示，哥德巴赫猜想可以陳述為：「任一大於 2 的偶數，都可表示成兩個質數之和」。例如： 4=2+2. 6=3+3. 10=5+5. 40=17+23. 經過電腦運算分解，至 2012 年 2 月為止，數學家已經電腦數值驗證 3.5 1018 以內的偶數，在所有的驗證中，沒有發現偶數哥德巴赫猜想的反例。哥德巴赫猜想另一個較弱的版本（也稱為弱哥德巴赫猜想）：大於 5 的奇數都可以表示成三個質數之和。這個猜想可以從哥德巴赫猜想推出。1937 年，蘇聯數學家維諾格拉多夫證明了每個充分大的奇數，都可以表示成三個質數之和，基本上證明了弱哥德巴赫猜想。以下文字來自於自由百科全書維基百科中，研究者將補充一些例子加強說明。 1919 年挪威數學家布朗使用推廣的「篩法」證明了：所有充分大的偶數都能表示成兩個數之和，並且兩個數的質因數個數都不超過 9 個，也就是：如果能將其中的「9 個」縮減到「1 個」，就證明了哥德巴赫猜想。布朗證明的命題可以被記作｛９,９｝，以此類推，哥德巴赫猜想就是｛１,１｝。布朗用到的推廣篩法基於以下理念：給定一個需要篩選的集合，一個用來作為篩選標準的「篩孔」，即一系列質數的集合 P  { p1 , p2 ,...}，在一個限定的範圍 z ，記 P( z )   pk  z pk ，如此可以定義篩函數： S ( A, P, z )  1{( a ,P ( z )) 1} (a) ，表示 aA. 集合 A 所有與 P(z ) 互質的數的個數，也就是篩去了 P 內小於 z 的質數的所有倍數之後還剩下的數字的個數。布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中「質數」的要求，將它改為所謂的「殆質數」，即「由不太多的質因數相乘得到的合數」，布朗在 1919 年證明了，每個充分大的偶數都可以寫成兩個數之和，並且這兩個數每個都是不超過 9 個質因數的乘積。以下為 100 的布朗法分拆： 2.

(11) 表一 100 的布朗法的分拆組數偶數. 偶數的分拆. 分拆尤拉數. 分拆尤拉數. 布朗法分析結果. 100. 50+50. 50=2*5. 50=2*5. {2,2}. 100. 40+60. 40=2*5. 60=2*3*5. {2,3}. 100. 5+95. 5=5. 95=5*19. {1,2}. 100. 2+98. 2=2. 98=2*7. {1,2}. 100. 3+97. 3=3. 97=97. {1,1}. 100. 11+89. 11=11. 89=89. {1,1}. 換句話說布朗法 1919 證明了所有充分大的偶數都可以表示成 2 個數之合 (a  b) ，也就是 a 跟 b 的質因數拆解最多只能有 9 個，假使 a 跟 b 的因數分解最多只有一個的話(也就是質數加質數)，這就證明了哥德巴赫猜想，如表格一中最下面的兩例子。二十世紀中葉，數學家們沿著布朗的思路，得到了不少改進後的成果。以下是相關的數學家與進展：１９２４年德國馬海爾證明了｛７,７｝１９３２年英國艾斯特曼證明了｛６,６｝１９３８年蘇聯布赫希塔布｛５,５｝１９４０年蘇聯布赫希塔布｛４,４｝１９５６年中國王元｛３,４｝｛３,３｝和「a+b」（a+b<6）以及｛２,３｝１９６２年中國潘承洞｛１,５｝｛１,４｝１９６５年義大利龐比尼與蘇聯維諾格拉朵夫｛１,３｝使用布朗方法的最好結果是陳景潤得到的。他在 1973 年發表了｛１,２｝的證明，其中對篩法（英語：Sieve theory）作出了重大的改進，提出了一種新的加權篩法。因此｛１,２｝也被稱作是陳氏定理。現今數學家們普遍認為，陳景潤使用的方法已經將篩法發揮到了極致，以篩法來證明最終的｛１,１｝的可能性已經很低了。布朗方法似乎在最後的一步停止了下來。如今數學界的主流意見認為：證明關於偶數的哥德巴赫猜想，還需要新的思路或者新的數學工具，或者在現有的方法上進行重大的改進，也有認為僅僅基於現有的方法上的改進無法證明哥德巴赫猜想。. 3.

(12) 第三節研究目的研究者了解哥德巴赫猜想所遇到的瓶頸，所以計劃運用電腦程式探索哥德巴赫猜想，以 JAVA 程式探討４到 500000 的偶數是否有其他函數有關的關係？有其規則性或著是用統計的方向去思考，哥德巴赫分拆數離散分布的問題。同時希望能減少哥德巴赫猜想對於電腦運算所需求的時間，改良程式的演算法，或是由電腦的軟，硬體方面著手，了解目前的作業系統和硬體是否能提升運算時間、效率，並且記錄研究的過程。. 4.

(13) 第二章. JAVA 相關內容. 本章共三小節，第一節為判定一任意自然數是否為質數，第二節為偶數的分拆數，第三節為４～１０００哥德巴赫猜想之分拆數。. 第一節判定一任意自然數是否為質數一.以下是 java 程式，輸入使用者自訂任一自然數ｎ，則利用數學在判別質數基本方法來處理，本程式運用的是計算機用來計算質數的布林邏輯概念來處理此問題，任一自然數除以小於自己數字只會有 1 或自己本身為其因數。以下是 java 程式內容 importjavax.swing.JOptionPane; //引入JOptionPane類別，用於視窗化的輸入與輸出。 publicclass判別任意輸入一自然數是否為質數 { publicstaticvoid main (String[] 參數){ String 字串; //用於儲存使用者輸入的字串 int n; //用於儲存整數n 字串=JOptionPane.showInputDialog("輸入一個任意自然數"); //視窗化的的顯示文字 n=Integer.parseInt(字串); // 把Ｎ設定為使用者所輸入之自然數 boolean有因數=false;// 質數基本定義之判別方式，任一自然數除以小於自己自然數，是否有因數來判別是否為質數 for(inti=2;i<n;i++) if(n%i == 0) {有因數=true; break;} String 顯示字串; if (有因數) 顯示字串=n+"不是質數"; else顯示字串=n+"是質數"; JOptionPane.showMessageDialog(null,顯示字串); System.exit(0); } } 一般使用紙筆計算時，只要檢查小於或等於根號 N 內的所有質數是否為因數就可以。. 5.

(14) 二.顯示輸出結果以輸入５７為例. 圖二輸出結果輸出結果：57 不是質數。以輸入 29 為例. 圖二之一輸出結果輸出結果：29 是質數。. 6.

(15) 第二節偶數的分拆數一.以下是 java 程式，輸入使用者自訂任大於等於２之偶數ｎ，用哥德巴赫的基本概念去處理，本程式運用的邏輯概念是，任一大於２之偶數可拆解兩個質數的和，故兩質數和最高上限為此偶數，且兩質數其中之一不會超過此偶數的一半。以下是 java 程式內容 importjava.math.BigInteger; //引入Ｊava.math.BigInteger類別，用於判別是否為質數輸出。 importjavax.swing.JOptionPane; //引入JOptionPane類別，用於視窗化的輸入與輸出。 publicclass拆解偶數為2質數之和 { publicstaticvoid main(String[] args) { String 字串;// 用於儲存使用者輸入的字串。 int n; int sum=0; //宣告一ＩＮＴ用以來儲存整數 n 跟以ＳＵＭ來記錄迴圈次數組數字串=JOptionPane.showInputDialog("輸入一個任意偶數"); //視窗化的顯示文字 n=Integer.parseInt(字串);// 把Ｎ設定為使用者所輸入之偶數 for(inti=2;i<=n/2;i++)//哥德巴赫基本定義之判別方式，以任一大於２之偶數可拆解兩個質數的和，故兩質數和最高上限為此偶數，且兩質數其一不會超過此偶數的一半。 { if(isPrime(i)&&isPrime(n-i)){ System.out.println("A="+i+",B="+(n-i)); sum++; }} System.out.println("共有"+sum+"組"); } staticboolean isPrime(int N)// 質數的判別式（使用ＪＡＶＡ內建質數程式來判別） { BigInteger bi = BigInteger.valueOf(N); returnbi.isProbablePrime(10); }}. 7.

(16) 二.顯示輸出結果. 圖三 JAVA 程式在 ECPLCE 上的顯示以輸入５４為例. 圖四顯示的輸出結果共有５組分別是 A. 7. 11. 13. 17. 23. B. 47. 43. 41. 37. 31. 8.

(17) 第三節４～１０００可分解之哥德巴赫猜想之組數一.以下是 java 程式，輸入使用者自訂任大一於等於２之偶數ｎ，用迴圈的方法加哥德巴赫的基本概念去處理，跑 2~ｎ之間的偶數的分拆數。 importjava.math.BigInteger; //引入Ｊava.math.BigInteger類別，用於判別是否為質數輸出。 importjavax.swing.JOptionPane; //引入 JOptionPane 類別，用於視窗化的輸入與輸出。 public class 拆解偶數為 2 質數之和 { public static void main(String[] args) { String 字串; //用於儲存使用者輸入的字串 int n; //用於儲存整數 n int sum2=0,count=0;//用於表示ＳＵＭ２跟ＣＯＵＮＴ從０開始計算 int[] a;a=new int[10000000];//參數宣告字串=JOptionPane.showInputDialog("輸入一個任意偶數");//視窗化的的顯示文字 n=Integer.parseInt(字串); for (int j=2;j<=n;j++) //判斷輸入是否為偶，是的話跑２～輸入偶數之間所有的分拆數 {if(j%2== 0) {a[sum2]=j; sum2++; }} for(int x=0;x<sum2;x++) //行把產生出來偶數分別帶入哥德巴赫猜想分解的邏輯概念裡並把拆解的組數累加起來 {for(inti=2;i<=a[x]/2;i++){ if(isPrime(i)&&isPrime(a[x]-i)) {count++;}} System.out.println("共有"+count+"組");// 顯示組數 count=0;}}//把拆解的組數歸０，再跑一次迴圈如跑完４後１組把組數歸０後再跑６那一組直到跑到輸入的ｎ為止 staticbooleanisPrime(int N){ BigInteger bi = BigInteger.valueOf(N); returnbi.isProbablePrime(10);}} //用於質數的判別式（使用ＪＡＶＡ內建質數程式來判別）. 9.

(18) 4 到 1000 的偶數的分拆數最大的為 990，共有 52 組不同的分拆質數組合，偶數 4、6、8、12 分拆數都是 1，是最少的分拆質數組合，大於１２以後的偶數，的哥德巴赫的分拆數一定大於一。一般假設，當偶數越大時，所包含之質數的範圍越大，包含的質數越大時，所可以配對成偶數的機率變大，所以組數會隨之越變越大（如圖五）。. 圖五 4~1000 偶數跟分拆數分布圖大於 68 以後的偶數，的哥德巴赫的分拆數一定大於二，大於４８８後的哥德巴赫的分拆數，已經沒有個位數的組數。（如圖六）。. 10.

(19) 圖六分拆數個位數的對應數字圖. 11.

(20) 第三章用統計軟體分析哥德巴赫本章共三小節，第一節為統計的觀念切入的哥德巴赫分拆數，第二節為統計相關軟體處理哥德巴赫偶數的分拆數，第三節為結論。. 第一節以統計的觀念切入的哥德巴赫分拆數本節動機來自於，當研究者直覺看到圖一的一個想法，如果把偶數當成受測者，哥德巴赫的拆解當成問卷，組數當成問卷分數時，那會不會出現有趣的結果呢？那研究者是否能用統計的角度去分析看看這個世紀末的難題呢？. 圖七偶數跟分拆數的散佈圖 4~ 1000000 取自 (網路維基百科) 在統計學上，涉及兩個連續變項的關係多以線性關係的形式進行分析，線性關係是將兩個變項的關係以直線方程式的原理來估計相關聯的強度，例如積差相關就是用來反映兩個連續變項具有線性關係強度的指標；積差相關係數越大，表示線性關聯越強，反之則相反，可能兩變項間沒有關聯性或是呈現非線性關係。迴歸分析則是運用於變項間的關係來進行解釋跟預測的統計技術，在線性關係的假設成立之下，迴歸分析是以直線方程式來進行統計的決策與運用，又稱線性迴歸，一般來說兩變項間先以相關係數去檢驗線性關聯的強度，若達相關統計水準 r  0.7 ，便可以用迴歸來進行進一步的預測與解釋，簡單線性迴歸的假設公式為 Yij  bX ij   ij 。. 12.

(21) 研究者將用統計軟體 SPSS17 為工具，假設簡單回歸分析存在，分析相關的資料 4~370000，如圖六是用 SPSS17 處理偶數跟分拆數的散佈圖 4~500000 的散佈圖。. 圖八偶數跟分拆數的散佈圖 4~ 500000 所以研究者將以 4~100000，4~370000 及 4~450000 為例來分析，討論是否能以簡單線性迴歸去處理哥德巴赫猜想這個世紀的難題當偶數越大時，偶數跟哥德巴赫的分拆數的離散分布圖的關聯性是否越強。. 13.

(22) 第二節統計相關軟體處理分拆數一、以 4~100000 以下為使用 SPSS17 作為分析工具，輸入 4~100000，以簡單迴歸分析處理。 (一)變異數相關分析由表二可知，偶數的平均數為50002，分拆數的平均數為507.35。表二描述性統計量平均數偶數分拆數. 標準差. 個數. 50002.00 28867.225 507.35 332.604. 49999 49999. 由表三可知 Pearson`s 分析可得知，偶數跟哥德巴赫的分拆數這兩個變項之間相關高達.75>.70( P  .00 )(高度相關)，表示偶數跟哥德巴赫的分拆數存在高度相關。表三相關偶數偶數. Pearson 相關. 分拆數 1. 顯著性 (雙尾). 分拆數. .750** .000. 個數. 49999. 49999. Pearson 相關. .750**. 1. 顯著性 (雙尾). .000. 個數. 49999. 49999. **. 在顯著水準為0.01時 (雙尾)，相關顯著。. (二)簡單線性迴歸分析由表四可知自變項對依變項的整體解釋力，分拆數可以解釋成依變項56.3% 的變異，調整後 R 2 為56.2%。. 14.

(23) 表四模式摘要模式. R. 1. .750a. 調過後的 R 平方. R 平方 .563. 估計的標準誤. .562. 19093.917. a. 預測變數：(常數), 分拆數由表五可知 F (1.49997)  64283.635 p  .00  .05 ，顯示該解釋力具有統計的意義。表五 Anova 模式 1. 平方和. df. b. 平均平方和. 迴歸. 2.344E1 3. 1. 殘差. 1.823E1 3. 49997. 總數. 4.166E1 3. 49998. F. 顯著性. 2.344E13 64283.635. .000a. 3.646E8. a. 預測變數：(常數), 分拆數 b. 依變數：偶數由表六可知 (t  253.542，p  .00) ，顯示該解釋力具有統計的意義。表六係數a 未標準化係數模式 1. (常數). B 之估計值. 標準誤差. 16976.462. 155.751. 65.094. .257. 分拆. 標準化係數 Beta 分配 .750. B 的 95.0% 信賴區間 t. 顯著性. 下界. 108.997. .000 16671.188 17281.736. 253.542. .000. 64.591. 數 a. 依變數：偶數以偶數跟 4~100000 哥德巴赫分拆數，為一簡單迴歸分析，於相同的數學基礎，簡單迴歸與相關分析主要的結果相同。Pearson 相關係數與  皆為.75，這幾個檢定質均相同，達顯著水準。 15. 上界 65.597.

(24) R2 則提供迴歸變異量，顯示以偶數去預測哥德巴赫的分拆數據有 56.2%的解釋力， F (1.49997)  64283.635 ， p  .00  .05 顯示該解釋力具有統計的意義。係數估計結果指出，偶數能有效預測哥德巴赫猜想的分拆數，  係數高達.75>.70 (t  253.542，p  .00) 。以上證據顯示偶數越大，哥德巴赫的分拆數越大，簡單線性迴歸的直線方程式的斜率為 56.2%。. 二、以 4~370000 以下為使用 SPSS17 作為分析工具，輸入 4~370000，以簡單迴歸分析處理。 (一)變異數相關分析由表七可知，偶數的平均數為212557，分拆數的平均數為1466.38 (這邊無意義)。表七描述性統計量平均數偶數分拆. 標準差. 212557.00 122718.398 1466.38 974.429. 個數 212554 184999. 數由表八可知 Pearson`s 分析可得知，偶數跟哥德巴赫的分拆數這兩個變項之間相關高達.756>.70( P  .00 )(高度相關)，表示偶數跟哥德巴赫的分拆數存在高度相關。表八相關偶數偶數. Pearson 相關. 分拆數 1. 顯著性 (雙尾). .000. 個數分拆數. .756**. Pearson 相關顯著性 (雙尾). 212554. 184999. .756**. 1. .000. 個數. 184999 16. 184999.

(25) 表八相關偶數偶數. Pearson 相關. 分拆數 1. 顯著性 (雙尾). .000. 個數分拆數. .756**. Pearson 相關. 212554. 184999. **. 1. .756. 顯著性 (雙尾). .000. 個數. 184999. 184999. (二)簡單線性迴歸分析由表九可知自變項對依變項的整體解釋力。分拆數可以解釋成依變項57.1% 的變異，調整後 R 2 為57.1%。表九模式摘要模式 1. R. 調過後的 R 估計的標準平方誤. R 平方. .756. a. .571. .571. 638.237. a. 預測變數：(常數), 偶數由表十可知 F (1.184997)  242667.454 p  .00  .05 ，顯示該解釋力具有統計的意義。表十 Anovab 模式 1. 平方和. 平均平方和. df. 迴歸. 1.003E1 1. 1. 殘差. 7.536E1 0. 184997 407346.715. 總數. 1.757E1 1. 184998. F. 1.003E11 246227.454. 顯著性 .000a. a. 預測變數：(常數), 偶數 b. 依變數：分拆數由表十一可知， (t  496.213，p  .00) 顯示該解釋力具有統計的意義。 17.

(26) 表十一係數a 標準化係數. 未標準化係數 B 之估計值. 模式 1. (常數). 標準誤差. Beta 分配. 191.013. 2.968. .007. .000. 偶數. .756. B 的 95.0% 信賴區間 t. 顯著性. 下界. 上界. 64.362. .000. 185.197. 196.830. 496.213. .000. .007. .007. a. 依變數：分拆數以偶數跟 4~370000 哥德巴赫分拆數，為一簡單迴歸分析，於相同的數學基礎，簡單迴歸與相關分析主要的結果相同。Pearson 相關係數與  皆為.756>0.7，這幾個檢定質均相同，達顯著水準。. R 2 則提供迴歸變異量， 57.1% 的解釋力， F (1.184997)  242667.454 ， p  .00  .05 顯示該解釋力具有統計的意義。係數估計結果指出，偶數能有效預. 測哥德巴赫猜想的分拆數，  係數高達.756>.70. (t  496.213，p  .00)。. 以上證據顯示偶數越大，哥德巴赫的分拆數越大，簡單線性迴歸的直線方程式的斜率為 57.1%。. (三)、以 4~450000 以下為使用 SPSS17 作為分析工具，輸入 4~450000，以簡單迴歸分析處理。由報表十二可知，偶數的平均數為225002，分拆數的平均數為1722.61 (這邊無意義) 表十二描述性統計量平均數偶數分拆. 標準差. 225002.00 129903.522 1722.61 1146.479. 個數 224999 224999. 數由表十三可知 Pearson`s 分析可得知，偶數跟哥德巴赫的分拆數這兩個變項之間相關高達.756>.70( P  .00 )(高度相關)，表示偶數跟哥德巴赫的分拆數存在高度相關。 18.

(27) 表十三相關偶數偶數. Pearson 相關. 分拆數 .756**. 1. 顯著性 (雙尾). .000. 個數. 224999. 224999. 2.簡單線性迴歸分析由表十四可知自變項對依變項的整體解釋力。分拆數可以解釋成依變項 57.2%的變異，調整後 R 2 為57.2%。表十四模式摘要模式. R. 1. .756a. 調過後的 R 估計的標準平方誤. R 平方 .572. .572. 750.110. a. 預測變數：(常數), 偶數. 由表十五可知 F (1.224997)  300609.885 p  .00  .05 ，顯示該解釋力具有統計的意義。. 表十五 Anovab 模式 1. 平方和迴歸. 1.691E1 1. 殘差. 1.266E1. 平均平方和. df 1. 1.691E11 300609.885. 224997 562665.306. 1 總數. 2.957E1 1. F. 224998. a. 預測變數：(常數), 偶數 b. 依變數：分拆數 19. 顯著性 .000a.

(28) 由表十六可知， (t  548.279，p  .00) 顯示該解釋力具有統計的意義。表十六係數a 未標準化係數 B 之估計值. 模式 1. (常數). 標準誤差. 220.841. 3.163. .007. .000. 偶數. 標準化係數 Beta 分配 .756. B 的 95.0% 信賴區間 t. 顯著性. 下界. 上界. 69.825. .000. 214.642. 227.040. 548.279. .000. .007. .007. a. 依變數：分拆數. 以偶數跟 4~450000 哥德巴赫分拆數，為一簡單迴歸分析，於相同的數學基礎，簡單回歸與相關分析主要的結果相同。Pearson 相關係數與  皆為.756>0.7，這幾個檢定質均相同，達顯著水準。. R 2 則提供回歸變異量，顯示以偶數去預測哥德巴赫的分拆數據有 57.2% 的解釋力，F (1.224997)  300609.885， p  .00  .05 顯示該解釋力具有統計的意義。係數估計結果指出，偶數能有效預測哥德巴赫猜想的分拆數， 係數高達.756>.70 (t  496.213，p  .00). 以上證據顯示偶數越大，哥德巴赫的分拆數越大，簡單線性迴歸的直線方程式的斜率為 57.2%。. 20.

(29) 第三節結論研究者由第二小節分別對 4~100000，4~370000 及 4~450000 為例，做偶數與其對應的哥德巴赫分拆數的離散分布圖的簡單線性迴歸分析。我們可由報表得知，當以 4~100000 為例，由 Pearson`s 分析可得知，偶數跟哥德巴赫的拆解數這兩個變項之間相關高達.75>.70，且簡單線性迴歸的直線方程式的斜率為 56.2%，表示其是具有高度正相關的關聯性。以 4~370000 為例，由 Pearson`s 分析可得知，偶數跟哥德巴赫的拆解數這兩個變項之間相關高達.756>.70，以上證據顯示偶數越大，哥德巴赫的分拆數越大，且簡單線性迴歸的直線方程式的斜率為 57.1%，以 4~450000 為例，由 Pearson`s 分析可得知，偶數跟哥德巴赫的拆解數這兩個變項之間相關高達.756>.70，且簡單線性迴歸的直線方程式的斜率為 57.2%。以上可以表示，當偶數越大時與其對應的哥德巴赫分拆數的離散分布圖的簡單線性迴歸分析的解釋能力是有所提升的，如由 56.2%  57.1%  57.2% 的提升是可以見得結論，這邊當然要解釋一下 4 ~ 370000 跟 4 ~ 450000 的兩個變項之間相關係數同為.756，可能 SPSS 軟體本身的取到小數點第三位後四捨五入有關連，因為簡單線性迴歸分析的解釋能力是有所提升的 57.1%  57.2% ，理當與他相關的兩個變項之間相關係數應該也是有所差異的，但因 370000跟450000的變異量並沒有100000 ~ 370000來的大，所以產生了類似這樣. 的結論。經由以上分析，我們可以得知在簡單線性迴歸分析的假設前提成立的情況下，偶數越大分拆數必也會隨之越來越大，研究者大膽猜測分拆數不會產 0 這種組合，但畢竟這都是以已經有驗證符合哥德巴赫猜想的的數值跟數據去分析，並不能代表在∞遠處是成立的，畢竟目前尚未有人能提出完整的哥德巴赫猜想的公式，所以也不能運用機率來推論無窮的方式去處理。. 21.

(30) 第四章. 計算機效能與演算法的運用. 本章共三節，第一節為硬體的討論，第二節為軟體的討論，第三節為結論。. 第一節硬體的討論本節將以同樣的版本跟程式碼去討論不同電腦硬體配備所需的運算時間，是否有顯著的差異？一、以下是 java 程式，輸入使用者自訂任大於２之偶數ｎ，用哥德巴赫的基本定理去處理。本程式的運用邏輯概念是，任一大於２之偶數可拆解兩個質數的和，故兩質數和最高上限為此偶數，且兩質數其一不會超過此偶數的一半，並計算其所需的運算時間。以下是 java 程式內容 importjava.math.BigInteger; //引入Ｊava.math.BigInteger類別，用於判別是否為質數輸出。 importjavax.swing.JOptionPane; //引入JOptionPane類別，用於視窗化的輸入與輸出。 publicclass EP1 { publicstaticvoid main(String[] args) { String 字串;// 用於儲存使用者輸入的字串。 int n; int sum=0; //宣告一ＩＮＴ以用來儲存整數n跟以ＳＵＭ來記錄迴圈次數組數字串=JOptionPane.showInputDialog("輸入一個任意偶數"); //視窗化的的顯示文字 n=Integer.parseInt(字串); // 把Ｎ設定為使用者所輸入之偶數 longpreTime = System.currentTimeMillis(); //取得程式開始的系統時間 for(inti=2;i<=n/2;i++) //哥德巴赫基本定義之判別方式，以任一大於２之偶數可拆解承認兩個質數的和，固兩質數和最高上限為此偶數，且兩質數分別不會超過此偶數的一半。 { 22.

(31) if(isPrime(i)&&isPrime(n-i)){ System.out.println("A="+i+",B="+(n-i)); sum++; }} long aftTime = System.currentTimeMillis(); //取得程式跑完後的系統時間 long allTime = aftTime - preTime ; //計算出程式執行所需的時間 System.out.println("程式執行所需時間："+"毫秒" + allTime); //顯示程式花費的時間 System.out.println("共有"+sum+"組");} staticboolean isPrime(int N) // 質數的判別式（使用ＪＡＶＡ內建質數程式來判別） { BigInteger bi = BigInteger.valueOf(N); returnbi.isProbablePrime(10); }} 表十七計算機軟硬體明細表計算機 A. 計算機 B. CPU. 美商 INTEL 的 I7 920. 美商 INTEL E7200. 記憶體大小. 金士頓 24GB DDR3 1366. 創建 DDR2 800 2GB. 硬碟. 美商 OCZ 的 60GB SSD 碟硬碟 7200 轉 8MB 快取. 顯示卡. 技嘉 560Ti-OC. 主機板. X58 ASUS P6T-D. 作業系統. W7 U64 SP1 專業版版. 二、顯示輸出結果： (一)計算機 A. 23. 內顯 WIN-XP SP3 U86 專業版.

(32) 圖九顯示計算機 A 計算一億的哥德巴赫猜想的分拆數所需的毫秒運算一億的哥德巴赫猜想的分拆數需要 98798 毫秒，共有 291400 組。 (二)顯示輸出結果：計算機 B. 圖十顯示計算機 B 計算一億的哥德巴赫猜想的分拆數所需的毫秒 24.

(33) 運算一億的哥德巴赫猜想的分拆數需要237094毫秒，共有291400組。我們可以明顯看到237094/98798=2.39≒2.4倍的計算時間，這表示硬體配備的更換與否是對於科學計算的數值分析計算時間是有絕對幫助的，這邊當然也要考慮計算機A跟B是否因為本身作業系統OS位元數不同有關，所以支援的記憶體上線不同，我們知道記憶體的運算速度是大於cpu的計算，所以當OS支援的記憶體越大，計算程式的速度理論上是應該有所提升的，如計算機A是64bit，可支援的記憶體上限就高達24GB記憶體，比計算機B是32bit的3.25gb高出了7.4倍左右，這還不考慮記憶體本身的GHz等其他因素，以上問題再將在第二小節，會有進一步的討論。. 25.

(34) 第二節軟體的討論由於計算時間跟 FOR 迴圈的設計有關，演算法固定的情況下，使用不同的高階語言計算並沒有差異，所以研究者改以不同的作業系統來處理同樣的哥德巴赫分拆數，看運算效能是否會因作業系統本身的編排方式而有其差別，如：LINUX 系統是否能比 WINDOWS 作業系統在數值分析上提高更多的效能跟計算速度，不同的 OS 計算速度的差異是否真實存在，研究者將以同項配備的計算機 C，分成 C-1、Ｃ－２，分別安裝 WINDOWS 跟 LINUX 作業系統 32 位元交互比較。以下是 java 程式內容： importjava.math.BigInteger; //引入Ｊava.math.BigInteger類別，用於判別是否為質數輸出。 importjavax.swing.JOptionPane; //引入JOptionPane類別，用於視窗化的輸入與輸出。 publicclass EP1 { publicstaticvoid main(String[] args) { String 字串;// 用於儲存使用者輸入的字串。 int n; int sum=0; //宣告一ＩＮＴ以用來儲存整數n跟以ＳＵＭ來記錄迴圈次數組數字串=JOptionPane.showInputDialog("輸入一個任意偶數"); //視窗化的的顯示文字 n=Integer.parseInt(字串); // 把Ｎ設定為使用者所輸入之偶數 longpreTime = System.currentTimeMillis(); //取得程式開始的系統時間 for(inti=2;i<=n/2;i++) //哥德巴赫基本定義之判別方式，以任一大於２之偶數可拆解承認兩個質數的和，固兩質數和最高上限為此偶數，且兩質數分別不會超過此偶數的一半。 { if(isPrime(i)&&isPrime(n-i)){ System.out.println("A="+i+",B="+(n-i)); sum++; }} long aftTime = System.currentTimeMillis(); //取得程式跑完後的系統時間 long allTime = aftTime - preTime ; 26.

(35) //計算出程式執行所需的時間 System.out.println("程式執行所需時間："+"毫秒" + allTime); //顯示程式花費的時間 System.out.println("共有"+sum+"組");} staticboolean isPrime(int N) // 質數的判別式（使用ＪＡＶＡ內建質數程式來判別） { BigInteger bi = BigInteger.valueOf(N); returnbi.isProbablePrime(10); }} 計算機 C 配備如下，統一以計算機 C 作為標準，它們不同的差別在於是用 WINDOWS 作業系統還是 LINUX 作業系統，同為 32 位元的作業系統。表十八計算機 C 配備如下計算機 C-1. 計算機Ｃ－２. CPU. 美商 i7-2600 3.4GHZ. 美商 i7-2600 3.4GHZ. 記憶體大小. 創建 DDR3 1366 4GB. 創建 DDR3 1366 4GB. 硬碟. 硬碟 7200 轉 16MB 快取硬碟 7200 轉 16MB 快取. 顯示卡. 內顯. 內顯. 主機板. P8H61. P8H61. 作業系統. W7 SP1 32BIT 專業版版 UBUNTU 13.04 32BIT 版. 一、顯示運算解結果 (一)計算機Ｃ－１. 27.

(36) 圖十一顯示計算機 C-1 計算一億的哥德巴赫猜想的分拆數所需的毫秒運算一億的哥德巴赫猜想的分拆數需要 167759 毫秒，共有 291400 組。 (二)計算機Ｃ－２運算一億的哥德巴赫猜想的分拆數需要119540毫秒，共有291400組。計算Ｃ－１跟Ｃ－２的差別得到167759/119540=1.403倍。實測結果，如SUM公司的在JAVA官網表示在同樣系統硬體配備下，LINUX的效能比WINDOWS的系統更快的達到目標。因此，測試用的 WINDOW7 專業版 SP1 32 位元跟 LINUX Ubuntu 32 位元 13.04 版差了 1.403 倍的運算速度。. 28.

(37) 第三節. 結論. 研究者以計算機 A 所需時間為一單位來做為比較基礎，從表 20 可以明顯得到：在相同的配備下 LINUX 系統原比 WINDOWS 系統能提供更多的運算效能，所以當預算不足時或是無特需求時，在科學計算上的選擇來說 LINUX 作業系統是相較實用的，但也觀察到一個有趣的現象，如Ｃ－２安裝 32 位元的 LINUX 的運算速度並沒有比計算機 A 安裝 64 位元的 WINDOWS 慢(32 位元記憶體最多支援到 3.25GB RAM)，這可以推論到，當如果是以用 64 位元的 LINUX 來執行相關的程式，時間是能在大幅度縮減的，因記憶體的運算速度是大於 cpu 的計算速度，所以當作業系統能使用的記憶體越大，計算程式的速度在理論上是因該在有所提升的。表十九比較表需毫秒為. 效能比以計算機A時間為一單位. 計算機A. 98798. 1. 計算機B. 237094. 2.4. 計算機C-1. 167759. 1.70. 計算機Ｃ－２. 119540. 1.21. 29.

(38) 參考文獻王建興，王舜正(2008)。Thinking in JAVA 4/e 中文版。台北市：碁峯資訊。邱皓政(2010)。SPSS 量化研究與統計分析。台北市：五南書局。. 維基百科，自由的百科全書(2012)。2012：06：30，取自： http：//zh.wikipedia.org/wiki/哥德巴赫. 30.

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