) x ( P ) x ( P ) x ( x)P ( P 15 3 2 1

第 十三 周

第25章 量子力学基础

§25.1，§25.2，§25.3，§25.4，

§25.5，§25.6(一般了解)

作业：P451 25-1，25-4，25-6，

* 25-7，25-10，25-11

* 25-15，25-16，

二、德布罗意波的实验验证

1926年，戴维孙、革末将电子枪射出的电 子束投射到镍单晶体表面，得到电子衍射的实 验现象，经计算证明德布罗意公式的正确性。

K U

D

B

M

G θ

θ

电子晶体衍射实验示意图

阴极K电子经U加速后，通过光阑D成

为一束很细的平行电子射线。以掠射角

θ

图中当电势差为特定值时，电流才有极大值。

K U

D

B

M

G θ

θ

电子晶体衍射实验示意图 I

U^1/2

0 5 10 15 20 25

电子衍射实验中电流强度与电势差的关系

与 X 射线相仿，只有当入射波的波 长

λ

电子射线才能在反射方向出现强度的极大值。

按照德布罗意公式

0

h

λ

v

电子经电场加速：

2 0

1

2 m v = eU

) ,

3 , 2 , 1 (

sin

2 d θ = k λ k = "

A B C θ θ

d

m0

v =

将此速度代入德布罗意公式：

0

1 2

h

em U λ =

d，

θ

所以： em U

k h k

d 1

sin 2 2

0

=

=

λ

θ

1927年，英国物理学家汤姆逊，

使用电子束垂直穿过金属箔，在透射方向用照 相底片接收，获得同心圆衍射图象。这进一步 为电子具有波动性提供了有力证据。

电 子 束 金 属 箔 衍 射

1931年鲁斯卡设计了第一台电子显微镜。

§20-2 不确定性关系 一、坐标和动量的不确定关系

在经典力学中，运动物体具有完全确定的位 置、动量、能量和角动量。对于微观粒子，虽然 分别确定其位置或动量在精确度上并不存在限制

，但在实验中同时确定其位置和动量时，它们的 精确度是有限的。

1927年海森伯提出微观粒子位置和动量两者 不确定量之间的关系满足：

, ,

2 2 2

x y z

x p y p z p

Δ Δ ≥ = Δ Δ ≥ = Δ Δ ≥ =

= = h / 2 π

下面以电子单缝衍射为例，说明此关系。

Δ_x

p Δp_x y

A B x

θ₁

Δx的不确定量为缝宽d，

而动量的x分量p_x的不确 定量？考虑出现在中央 衍射主极大区域的电子

，sin

θ

λ

θ

θ

应用德布罗意关系λ=h/p，d=Δx，得：

sin 1 x

h h

p p p

x x x

λ λ

θ λ

Δ = = = ⋅ =

Δ Δ Δ

若考虑次级衍射，则 Δp_x 更大，故得：

x p

h Δ Δ ≥

严格推导应为：

不确定关系式表明，微观粒子的位置和动量不 可能同时准确的确定。对位置的限制越小（单 缝越窄，Δx越小）、x越准确，则动量的不确定 量Δp 就越大（电子衍射现象就越显著）。

π

2 / ,

2

/ h

p

x Δ

≥ =

Δ = =

解：子弹位置的不确定量Δx=0.5cm，由于Δp_x=mΔv_x， 由不确定关系得子弹射出枪口时横向速度的不确定量：

m/s

30 2

34

10 05

. 10 1

5 . 0 01 . 0 2

10 05

. 1 2

−

−

− = ×

×

×

×

= ×

≥ Δ

Δ ^x m x v =

与子弹每秒几百米的速度相比，此横向速度可忽略，

即子弹速度是确定的。

设子弹的质量为0.01kg，枪口的直径为0.5cm，试 求子弹射出枪口时横向速度的不确定量。

例题2：

显像管中电子的速度一般为1×10⁷m/s ，电子枪的 枪口直径设为0.01cm，试求电子射出电子枪后横向速 度的不确定量。

解：电子横向位置的不确定量Δx=0.01cm，由不确定 关系式得：

58m/s .

10 0 10

11 . 9 2

10 05

. 1

2 ^{31 4}

34 =

×

×

×

= ×

≥ ₋ ⁻ ₋

x

x mΔ

Δv ⁼

由于Δv_x<<v，电子的速度是相当确定的，波动性不产 生实际影响，此电子运动问题仍然属于经典力学问题。

试求原子中电子速度的不确定量。取原子的线度 约10^-10m。

例题4：

解：原子中电子位置的不确定量 Δr = 10^-10 m ，由不确 定关系式得：

5m/s

10 31

34

10 8

. 10 5

10 11

. 9 2

10 05

. 1

2 = ×

×

×

×

= ×

≥ ₋ ⁻ ₋

r mΔ Δv ⁼

由波尔理论可估算出氢原子中电子的轨道运动速度约 为10⁶m/s。速度的不确定量与速度本身大小基本相同

，波动性十分显著。

二、能量和时间的不确定关系

海森伯不确定关系的另一个表达形式是能 量和时间这对物理量的测量，两者的不确定关 系：

E t 2

Δ Δ ≥ =

用上述关系可以解释各原子激发态的能级宽度 ΔE与它在激发态的平均寿命Δt之间的关系。原子 在激发态的典型的平均寿命Δt=10^-8s，则原子激 发态的能级宽度：

10

E 2

t Δ ≥ ≈

Δ

= eV

除基态外，原子在激发态平均寿命越长，能级 宽度就越小。

§20-3 波函数及其统计解释 一、波函数的引入

由于物质具有波动性，为描述微观粒子的 运动状态，薛定谔提出用一个函数

Ψ _(r,t)

在经典物理中，电磁波或机械波的表达式：

( , ) cos 2 ( x ) Y x t A π ν t

= − λ

写成复数形式：

2 ( )

( , )

i t x

Y x t = Ae

对于沿x轴方向运动的自由微观粒子，其动量 p 和能量E都恒定。由德布罗意关系：λ=h/p，

ν

2 ( )

2 ( ) /

0 0

( , )

i t x

i Et px h

x t e

e

Ψ = Ψ = Ψ

此式即为描述一维自由粒子物质波的波函数。

二、波函数的统计解释

用光波与物质波比较来阐明波函数的物理意义：

从波动学的观点：光衍射图样亮处，振幅的平 方大，暗处振幅平方小。

从微观粒子的观点：衍射图样亮处，

单位时间内到达该处的光子数多。相当于光子 到达该处的概率大。说明光子在某处出现的概 率与光波振幅的平方成正比。

电子的衍射与光的衍射类似：对电子来说，在 某一时刻，空间某一地点，粒子出现的概率正 比于该时刻、该地点的波函数振幅的平方。这 便是玻恩提出的波函数的统计解释。

下图(a) (b) (c) (d)分别为N=7、N=100、N=3000

、 N=70000个电子形成的双缝干射图样。

波函数振幅的平方可用波函数

Ψ

Ψ

Ψ

（a） （b） （c） （d）

电子的双缝干衍射图样

t 时刻，在空间某处(x,y,z)附近的无限 小体积元dV内粒子出现的概率为：

( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , ) dW x y z t x y z t dV

x y z t

x y z t dV

= Ψ

= Ψ Ψ

) 2

, , ,

(x y z t

Ψ 称为在(x,y,z)处的概率密度。

) , , ,

( x y z t

Ψ

⑴ 是单值函数，即粒子在空间某 点出现的概率不能是多值。

( , , , )x y z t Ψ

( , , , )x y z t Ψ

⑵ 是连续函数。波函 数在空间的一阶偏导也连续。

⑶ Ψ ( , , , ) x y z t 是有限函数。

⑷归一化条件：

1 dxdydz

ΨΨ

=

∫∫∫

§20-4 薛定谔方程

1926年奥地利物理学家薛定谔(Erwin Schrödinger) 提出一个描述低速运动的微观粒子所遵循的方 程，称为薛定谔方程。

薛定谔，奥地利人，是量 子力学的重要奠基人之一，同 时在固体的比热、统计热力学、

原子光谱及镭的放射性等方面 的研究都有很大成就。

薛定谔对分子生物学的发展也 做过工作。由于他的影响，不 少物理学家参与了生物学的研 究工作，使物理学和生物学相 结合，形成了现代分子生物学 的最显著的特点之一。

薛定谔对量子理论的发展贡献

卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔 薛定谔 1887–1961

一维空间运动的自由粒子的波函数为：

( ) /

( , ) x t

e

Ψ = Ψ

上式对时间t和x做一阶及二阶偏导：

i E t

∂Ψ = − Ψ

∂ = ①

2 2

2 2

p x

∂ Ψ = − Ψ

∂ = ②

自由粒子的能量和动量的非相对论关系为：

将①②两式联立：

m p

E =

/ 2

2 2

2

( , ) ( , )

2 i x t x t

t m x

∂ ∂ Ψ

Ψ = −

∂ ∂

= =

此式即为一维运动的自由粒子波函数所满足的微 分方程。

若粒子在势场U(x,t)中运动，粒子的总能量与动 量的关系为：

2

( , ) 2

E p U x t

= m +

2 2

( , ) [

( , )] ( , )

i x t 2 U x t x t

t m x

∂ ∂

Ψ = − + Ψ

∂ ∂

= =

粒子在三维空间运动，上式可推广为：

上式为势场中运动的微观粒子所满足的微分方程

，称为薛定谔方程。以上介绍的是薛定谔方程建 立的思路，并非推导。薛定谔方程是量子力学的

基本方程，其正确性只能由实验检验。

2 2 2 2

2 2 2

( , ) [ ( ) ( , )] ( , )

i r t 2 U r t r t

t m x y z

∂ ∂ ∂ ∂

Ψ = − + + + Ψ

∂ ∂ ∂ ∂

= =

二、定态薛定谔方程

一般来说，只要知道粒子质量和它在势场 中的势能函数

U

E

当势能U与时间无关，而只是坐标的函数时

，可将波函数分离变量：

( , ) ( )

i Et

x t ψ x e

Ψ =

将上式对x和t求偏导：

2 2

2 2

i E t

i E t

d e

x d x

d e

x d x

i E e t

ψ ψ

ψ

−

−

⎧ ∂ Ψ =

⎪ ∂

⎪⎪ ∂ Ψ

⎨ ∂ =

⎪⎪ ∂ Ψ

⎪ ∂ = −

⎩

=

=

=

=

将上述结果代入薛定谔方程，得：

2

2 2

( ) 2

[ ( )] ( ) 0

d x m

E U x x dx

ψ

ψ

=

此式称为一维定态薛定谔方程。推广到三维为：

粒子处在定态时的一个重要特征是，它在各处 出现的概率不随时间变化：

由定态薛定谔方程求得的波函数必须满足单值

、有限、连续三个标准条件，其解才有意义。

2

2 2

( , ) ( ) ( )

i Et

r t

ψ

ψ

Ψ = ⁼ =

2 2 2

2 2 2 2

2m [ ( )] ( ) 0 E U r r

x y z

ψ ψ ψ ψ

∂ + ∂ + ∂ + − =

∂ ∂ ∂

G G

=

§20-5 一维无限深势阱中的粒子

势阱：金属中的电子、原子中的电子、原 子核中的质子和中子等粒子，其运动有一共同 特点，它们都在保守力场的作用下，被限制在 一定的范围内，即处于束缚态。为使计算简化

，提出一个理想的势阱模型：

无限深势阱。

一维无限深势阱的势能分布为：

0, 0

( ) , 0

x a

U x x x a

< <

= ⎨⎧⎩∞ ≤ 或 ≥

∞ ∞ U(x)

o a

x

2

2 2

( ) 2

[ ] ( ) 0

d x m

E x

dx

ψ

ψ

=

在阱外（x≤0 和 x≥a），定态薛 定谔方程为：

对于E为有限值的粒子，要使方程成立，唯有

ψ

在阱内（0<x<a），定态薛定谔方程为：

2

2 2

( ) 2

( ) 0

d x mE

dx x

ψ

ψ

=

令： k = ₂

=

定态薛定谔方程可改写为：

2

2 2

( ) ( ) 0

d x

k x dx

ψ + ψ =

此方程的通解为：

( ) x A sin kx B cos kx

ψ ^{= +}

由于粒子只能在势阱中，且必须满足连续条件

，则在势阱壁上由：

(0) 0 ( ) a 0

ψ = ψ =

0 )

0 ( =

ψ

由 得：B=0

0

) ( a =

ψ

由 得：sinka=0，即：

, / 1, 2, 3...

ka = n π 或 k = n π a n =

代入通解，得薛定谔方程的解为：

( ) sin n x

x A

a

ψ

π

由归一化条件：

2 2

( ) [ sin ] 1

a a

n x

x dx A π dx

ψ = =

∫ ∫

由此得： A ²

= a

( ) 2 sin

n

x n x

a a

ψ = π

定态波函数为：

一维无限深势阱中粒子的运动特征：

⒈能量的量子化

2

2 2

= k = mE

由 和 ^{k = nπ / a} 可解得：

2 2 2

2

E

n

ma

= π = n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅⋅

n 称为量子数。

势阱中粒子的能量只能取一系列分立的值。在 量子力学中，能量的量子化是薛定谔方程的必 然结果。

o n=1 n=2 n=3 n=4

E₁ E₂=4E₁ E₃=9E₁ E₄=16E₁

a 势阱中的能级

⒉粒子的最小能量

2 2

1 2

E 2

m a

=

π

此能量称为零点能。零点 能是一切量子系统特有的 现象，即使绝对零度，运 动也依然存在。

⒊粒子在势阱的不同位置中出现的概率

对无限深势阱，定态薛定谔方程的解有驻 波形式，驻波的波长：

2

n

a λ = n

与两端固定的弦线上的驻 波相似。粒子的概率密度：

( ) ( ) 2

P x = ψ x

按经典物理，粒子在势阱内出现的

概率应处处相同；但按量子力学结论，粒子出 现的概率在势阱内有一定分布。但当n 趋于无限 大时，P(x)振荡过密，实验只观测到P(x) 均匀分 布，这时经典和量子力学的结果趋同。

一维无限深

ψ(x)

ψ(x)

ψ(x) ψ(x)0

0 0

n=1 n=2 n=3 n=15

a a a

x x x

(x)P 2(x)P 3(x)P 15(x)

n=15

n=3

n=2

n=1 a a a

x x x

设想一电子在无限深势阱中运动，如果势阱宽度 分别为1.0×10^-2m和10^-10m，试讨论这两种情况下相 邻能级的能量差。

解：根据势阱的能级公式：

2 2 2 2

2 2 2

8

2 n

ma h n ma

E_n =

π

得到两相邻能级的能量差：

2 2

1 (2 1) 8

ma n h

E E

E = _n − _n = +

Δ ₊

例题5：

(eV)

2 15 2

2 2 31

2 34

10 77

. ) 3

10 ( 10

11 . 9 8

) 10

63 . 6

( n n

E_{n − −} ⁻

− = ×

×

×

×

= ×

15(eV) 10

77 . 3 ) 1 2

( + × ⁻

= n

Δ

此能级间隔非常小，可把电子能量看成连续的。

当 a=10^-10 m 时：

(eV) 77

.

3 n

E

= ×

77(eV) .

3 ) 1 2

( +

= n

Δ

此时，电子的能量量子化已明显地表现出来了。

当 a=0.01m 时：

当n>>1时，能级的相对间隔近似为：

2 2 2 2

2

2 8 2

8

n n

n h

E ma

E h n

n ma

Δ ≈ =

n n

E ΔE

随n的增加反比地减小。当n→∞时，

ΔE_n比E_n要小得多，可认为能量是连续的。

n→∞时，量子物理将趋于经典物理。

求一维无限深势阱中粒子概率密度最大值的位置。

例题6：

解：一维无限深势阱中粒子概率密度为：

...

3 , 2 , 1 2 sin

)

( ² = ² x n =

a n x a

n

ψ π

将上式对x求一次导数，并令其为零：

2

0 2

( ) 4

sin cos 0

n

x

d x n n n

x x

dx a a a

ψ π π π

= = =

。 的最大值不应为零，故 sin 0 )

( ² x ≠

a x n

n

ψ π

由此解得最大值的位置为：

例如：

0 ,

1 =

= N

n ^{最大值位置： x a}

2

= 1

, 1 , 0 ,

2 =

n = N ^{最大值位置：x a a}

4 , 3 4

= 1

, 2 , 1 , 0 ,

3 =

n = N ^{最大值位置： x a a a}

6 , 5 6 , 3 6

= 1

于是： π _{= N}(2 ₊1)π2 a x

n

a x

a x = 0, 0 < <

只有： cos

1 ,...,

2 , 1 , 2 0

) 1 2

( + = −

= N n

n N a

x

粒子在宽为a的一维无限深势阱中运动，其某一 能态的波函数如图所示。求常数A及粒子出现的概率 密度为极大值的位置。

例题7：

A

ψ(x)

o a x

解：由题意可知，其概率 密度|ψ^{(x)|2 的分布曲线如} 下图所示：

A

|ψ(x)|²

o a x

即：

由图可知，此波函数的表达 式为：

3 ) sin(

)

( a

A x

x π

ψ =

其中A可由归一化条件求得：

1 )

(

2 =

∫

1 3 )

(

0 sin

2

2 =

∫

2a/3) 空间周期为

(

得： A a2

= _{，而概率密度，}

6 )]

cos(

1 1 [ 3 )

( 2 sin

)

( ^{2 2}

a x a

a x

x a π π

ψ = = −

当： 6

(2 1) , (2 1)

6

x a

k x k

a

π = + π = + 时，

) 2

ψ ( x 有极大值。由于 0 < x < a，所以

6 , 5 , 2 6

a a

x = a 处概率密度为极大值。

例题8：

一粒子沿x方向运动，其波函数为：

试求：(1)归一化常数C；(2)发现粒子概率密度最大 的位置；(3)在x=0到x=1之间粒子出现的概率。

( ) 1 ( )

x C1 x

ϕ = ix −∞ < < ∞ +

解（1）由归一化条件

2

1

V

ϕ V =

∫ ^d

因为粒子运动是一维的，有

1 1

2 =

∫

C ix d

即：

[

]

1

1 _{2 2}

2

2 = ⋅ = ⋅ =

+

∞

∞

−

∞

∞

∫

π

= 1 C

（2）概率密度

π π

ϕ (1 )

1 1

1 ) 1

( ₂

2 2

x x ix

= +

⋅ +

=

所以 2 2

2

) 1

(

2 ) 1

(

x x x

x

− +

= π ϕ

d d

令：上式为零，得 x=0

因此，发现粒子概率密度最大的位置为x=0处。

（3）在区间[0，1]内粒子出现的概率

% 4 25

) 1 0 arctan 1

(arctan 1

) 1

( ) 1

( ¹

0 2

1 0

2

=

=

−

=

= +

=

∫ ∫

π

ϕ π

x x x

W d d

§20-6 势垒 隧道效应 *

一、势垒和隧道效应 _U(x)

U₀

E

o a

Ⅰ Ⅱ Ⅲ x

入射

反射 透射

一粒子在下图所示的势场 中运动，势能分布为：

0, 0

( ) 0, 0,

U x a

U x x x a

⎧ ≤ ≤

= ⎨⎩ < >

这种势能分布称为势垒。

当粒子的能量E>U₀时，无论是经典还是量子 理论，粒子都可以穿过区域Ⅱ到达Ⅲ。当粒子 的能量E<U 时，从经典理论看，粒子不可能

粒子仍可以穿过Ⅱ区到达Ⅲ区。

设粒子质量m，有一定的能量E，从区域Ⅰ向

Ⅱ运动，因U₀与时间无关，所以是定态问题：

在区域Ⅰ，设波函数为ψ₁(x)，薛定谔方程为：

2 2

1 2 1

( ) ( )

2

d x

E x

m dx

ψ ψ

− = =

在区域Ⅱ，设波函数为ψ₂(x)，薛定谔方程为：

2 2

2

0 2 2

2

( ) ( ) ( )

2

d x

U x E x

m dx

ψ ψ ψ

− = + =

在区域Ⅲ，设波函数为ψ₃(x)，薛定谔方程为：

2 2

3 2 3

( ) ( )

2

d x

E x

m dx

ψ ψ

− = =

考虑E<U₀的情况，令：

2 2 0

1 2 2 2

2 ( )

2mE , m U E

k k −

= =

= =

这样定义的k₁、k₂为实数，代入方程：

2 1 2

1 1

2 0

d ψ + k ψ = d² ₂² ₂² ₂ 0

ψ − k ψ = d² ₂³ ₁² ₃ 0 ψ + k ψ =

上述方程的解为：

1 1

1

( ) x A e

A e

ψ = +

2 2

2 ( )x B e1 ^{k x} B e2 ^{k x}

ψ

1 1

3( )x C e1 ^{ik x} C e2 ^{ik x}

ψ

以上一、三式中，第一项表示沿x正向传播的 平面波，第二项表示沿x负向传播的反射波。

粒子在Ⅲ区不会有反射，故C₂=0，再由波函数 的单值、连续的条件，有：

1 2

1(0) 2(0), (d )_x 0 (d )_x 0

dx dx

ψ ψ

ψ =ψ ₌ = ₌

3 2

2( ) 3( ), (d )_{x a} (d )_{x a}

a a

dx dx

ψ ψ

ψ =ψ ₌ = ₌

求解结果是五个常数都不为零，可见粒子可能 穿透比其动能更高的势垒，此现象称为隧道效 应。

o a

Ⅰ Ⅱ Ⅲ x

通常用贯穿系数表示 粒子穿透势垒的概率

，定义为透射波与入 射波的“强度”之比：

0 2

2 2

2 ( )

1 2

2 1

m U E a

C k a

T e e

A

− − −

= ∝ ⁼ =