自我評量
本節應用問題的解題步驟，與一年級所學相 同，但因一元二次方程式常有兩個相異的解，所 以最後寫答案時，要特別注意檢查是否都符合題 意，或是有不合理的情形。
1
面積問題 配合習作 P49 基礎題 1有一長方形，長為 ( 3x － 5 ) 公分，寬為 ( x
＋ 2 ) 公分，面積為 42 平方公分，試求其長 與寬。
解解
3x ＋ 13
x － 4－ 12x ＋ 13x
＝ x 由題意可知
（ 3x － 5 ）（ x ＋ 2 ）＝ 42 3x2 ＋ 6x － 5x － 10 ＝ 42
3x2 ＋ x － 52 ＝ 0
（ 3x ＋ 13 ）（ x － 4 ）＝ 0 3x ＋ 13 ＝ 0 或 x － 4 ＝ 0 x ＝－ 或 x ＝ 4133
因為長方形的長與寬分別為 3x － 5 、 x ＋ 2 ，
當 x ＝－ 會使其邊長為負，所以不合
。
所以 x ＝ 4
長＝ 3x － 5 ＝ 3 × 4 － 5 ＝ 7 寬＝ x ＋ 2 ＝ 4 ＋ 2 ＝ 6
長方形的長為 7 公分，寬為 6 公分。
133 解解
1. 如右圖，梯形的上底為 7 公分、下底為 x 公分、高為（ x ＋ 2 ）公分，且其面積為 88 平方公分，求此梯形的下底。
＝ 88
x
2＋ 9x ＋ 14 ＝ 176 x
2＋ 9x － 162 ＝ 0
（ x － 9 ）（ x ＋ 18 ）＝ 0
x ＝ 9 或 x ＝－ 18 （不合）
梯形下底為 9 公分。
2 ) ( 2 ) 7
( x x
2. 如右圖，三角形的底為（ x ＋ 2 ）公分，
高為（ 5x － 8 ）公分，且其面積為 4 平 方公分，求此三角形的底。
＝ 4 （ x ＋ 2 ）（ 5x － 8 ）＝ 8
5x
2＋ 2x － 16 ＝ 8 5x
2＋ 2x － 24 ＝ 0
（ x － 2 ）（ 5x ＋ 12 ）＝ 0
x ＝ 2 或 x ＝－ （不合）
三角形的底為 2 ＋ 2 ＝ 4 （公 分）。
2 (5 8 ) )
2
(x x
125
2
分裝問題某水果商買進蘋果一箱
，如果每 x 個裝一盒時
，恰可裝滿 x 盒；
如
果每（ x ＋ 1 ）個裝一 盒時，可裝滿（ x ＋ 2
）盒還多出 6 個，試問 水果商買進幾個蘋果？
23
配合習作 P49 基礎題 2
解解 由題意可知
x ‧ x ＝（ x ＋ 1 ）（ x ＋ 2 ）＋ 6 x2 ＝ x2 ＋ 3x ＋ 8
3x2 ＝ 2x2 ＋ 6x ＋ 16 x2 － 6x － 16 ＝ 0
（ x － 8 ）（ x ＋ 2 ）＝ 0 x － 8 ＝ 0 或 x ＋ 2 ＝ 0
x ＝ 8 或 x ＝－ 2 （不合）
蘋果一箱共有 x ‧ x ＝ 8 × 32 × 8 ＝ 96
所以水果商買進蘋果 96 個。
23 23
23
某雜貨店老闆買進雞蛋一箱，每 x 個裝一盒
，恰可裝滿 x 盒，若賣掉 2 盒後，還剩雞 蛋 120 個，試問雜貨店老闆買進幾個雞蛋？
x‧ （ x － 2 ）＝ 120 x
2－ 2x ＝ 120
（ x － 1 ）
2＝ 120 ＋ 1
2＝ 121 x － 1 ＝ ±11
由 x － 1 ＝ 11 得 x ＝ 12
由 x － 1 ＝－ 11 得 x ＝－ 10 （不合）
雜貨店老闆買進雞蛋 12 × 12 ＝ 144 （
個）。
3
道路面積問題老趙有一塊長方形土地，已 知長比寬多 2 公尺，他在土 地的中間挖了一個長方形的 水池，水池四周剩餘的土地 均為 1 公尺寬（如右圖）。
若水池的面積與剩餘土地的 面積相等，試問原長方形土 地的長與寬各是多少公尺？
配合習作 P49 、 50 基礎題 3 、 4
解解 設原長方形土地的寬為 x 公尺。
由題意可知
x （ x － 2 ）＝ x （ x ＋ 2 ）－ x
（ x － 2 ）
x2 － 2x ＝ x2 ＋ 2x － x2 ＋ 2x x2 － 6x ＝ 0
x （ x － 6 ）＝ 0
x ＝ 0 或 x － 6 ＝ 0
x ＝ 0 （不合）或 x ＝ 6
所以原長方形土地的長為 8 公尺，
寬為 6 公尺。
如右圖，在長 24 公尺、
寬 12 公尺的長方形草地 內部開闢一條等寬的十字 形道路，已知道路與草地
的長寬平行，若剩下的草地面積為 189 平方 公尺，則十字形道路的寬應是多少公尺？
x － 3 x － 33 － 33x － 3x ＝－
36x 設道路的寬為 x 公尺，則 24×12 － 24x － 12x ＋ x
2＝ 189
x
2－ 36x ＋ 99 ＝ 0
（ x － 3 ）（ x － 33 ）＝ 0 x ＝ 3 或 x ＝ 33 （不合）
道路的寬為 3 公尺。
4
收費問題翰翰旅行社招攬墾丁三天兩夜旅遊，預定人數 為 30 人，每人收費 5000 元，但人數若超過 30 人，每增加 1 人，則每人可減收 100 元。已知 旅行社共收到 160000 元，試問共有多少人參加
？
配合習作 P50 基礎題 5
解解
增加 x 人，
因此參加人數為 ( 30 ＋ x) 人
；
每人可減收 100x 元，
因此每人的收費為
（ 5000 － 100x ） 元。
假設增加 x 人。
依題意可列出一元二次方程式
（ 30 ＋ x ）（ 5000 － 100x ）＝ 160000 150000 － 3000x ＋ 5000x － 100x2 ＝ 16000 0
－ 100x2 ＋ 2000x － 10000 ＝ 0
解解 將等式左右兩邊同除以－ 100 可得 x2 － 20x ＋ 100 ＝ 0
（ x － 10 ） 2 ＝ 0 x － 10 ＝ 0
x ＝ 10 （ 重根）
所以參加人數為 30 ＋ 10 ＝ 40 （ 人）。
某社團辦活動預定人數為 20 人，每人收費 10 0 元，但人數若少於 20 人，每減少 1 人，則 每人要加收 10 元。已知該社團共收到 2240 元
，試問共有多少人參加？
假設減少 x 人，則
( 100 ＋ 10x ) ( 20 － x ) ＝ 2240
2000 － 100x ＋ 200x － 10x
2＝ 2240 x
2－ 10x ＋ 24 ＝ 0
( x － 4 ) ( x － 6 ) ＝ 0
x － 4 ＝ 0 或 x － 6 ＝ 0 x ＝ 4 或 x ＝ 6
參加人數共有 20 － 4 ＝ 16( 人 ) 或 20 － 6 ＝ 1
4( 人 ) 。
5
黃金分割比如右圖， C 點在
上，且
、
、
三線段的長度滿足
：
＝
：
的比例關係。
若知
＝ 1 ，
＝ x ，則：
(1) 用 x 列出此比例關係。
(2) 解出 x 。
(3) 求 、
兩線段長度的比值。
AB AB AC BC
AB AC AC BC
BC AC
AC BC
解解
(1) 因為 ＝
＋
＝ x ＋ 1 ，所以此 比例關係為
（ x ＋ 1 ） ： x ＝ x ： 1 (2) x2 ＝ x ＋ 1
x2 － x － 1 ＝ 0
令 a ＝ 1 ， b ＝－ 1 ， c ＝－ 1 ，得
b2 － 4ac ＝ ( － 1) 2 － 4 × 1 × ( － 1) ＝ 5 ＞ 0 AB AC BC
內項乘積＝外項乘積
解解 所以 x ＝
＝ ＝
因為 1 ＜ ， ＜ 0 ，
當 x ＝ 會使 的長度為負，
所以不合。
因此 x ＝ 。
(3) ＝ ＝ x ＝ ，
所以
、 兩線段長度的比值為 。
AC BC
AC 1
21 ) 5 (
12 5 5 12 5
2 5 1
2 5 1
BCAC
x1
2 5 1
2 5 1
a ac b
b 2 2 4
如右圖， Q 點在
上，且 、
、
三線段的長度滿足 ：
＝
：
的比例關係。若知 的長度 為 1 ，求
、
兩線段長度的比 值。
PR PQ QR PR
PQ QR QR PR
QR PQ QR
設 ＝ x ，由比例關係可知 x ： 1 ＝ 1
： ( x ＋ 1)
x ( x ＋ 1) ＝ 1 ， x
2＋ x － 1 ＝ 0
令 a ＝ 1 ， b ＝ 1 ， c ＝－ 1 ，得 b
2－ 4ac ＝ 1
2－ 4 × 1 × ( － 1) ＝ 5 ＞ 0
所以 x ＝ ＝ ( 不合 )
PQ ： QR 的比值為 ＝ x ＝ 。
PQ
a ac b
b 2 2 4
12 5
2 5 1
1x
2 5 1
一元二次方程式應用問題之解題步驟：
(1) 先從問題的敘述中找出條件。
(2) 選擇一個適當的未知數。
(3) 把問題中提到的數量關係，以含文字符號的 式子表示。
(4) 依據數量關係列成一元二次方程式。
(5) 依據所列的方程式求出未知數。
(6) 依題意寫答。（注意是否符合題意，或有不 合理的情形）
4-3 自我評量
1. 有兩個數，它們的差是 4 ，乘積是 221 ， 求這兩個數。
設兩數為 x 、 x ＋ 4 。 x （ x ＋ 4 ）＝ 221
x
2＋ 4x － 221 ＝ 0
（ x － 13 ）（ x ＋ 17 ）＝ 0 x ＝ 13 或 x ＝－ 17
此兩數為 13 、 17 或 － 13 、－ 1
7 。
2. 童軍若干人，分成 x 小隊時，每小隊有 ( x ＋ 3 ) 人，其中兩小隊負責搭帳蓬，其餘的負責野 炊，已知野炊的共有 36 人，求搭帳篷的人數
。
（ x － 2 ）（ x ＋ 3 ）＝ 36 x
2＋ x － 6 ＝ 36
x
2＋ x － 42 ＝ 0
（ x － 6 ）（ x ＋ 7 ）＝ 0 x ＝ 6 或 x ＝－ 7 （不合）
共有 2 × （ 6 ＋ 3 ）＝ 18 （ 人）搭帳
篷。
3. 安安旅行社招攬兩天一夜溫泉旅遊，預定人數 為 32 人，每人收費 4000 元，但人數若超過 32 人，每增加 1 人，則每人可減收 100 元
，已知旅行社共收到 129600 元，試問共有多 少人參加？
設增加 x 人。
（ 32 ＋ x ）（ 4000 － 100x ）＝ 129600
128000 － 3200x ＋ 4000x － 100x
2＝ 129600
－ 100x
2＋ 800x － 1600 ＝ 0 x
2－ 8x ＋ 16 ＝ 0
（ x － 4 ）
2＝ 0 x ＝ 4 （重根）
共有 32 ＋ 4 ＝ 36 （ 人）參加。
4. 若將一正方形的一邊減少 3 公分，另一邊變 成原來的 2 倍，則所得新長方形的面積比原 正方形的面積多 7 平方公分，求原正方形的 邊長是多少公分？
設原正方形的邊長為 x 公分。
（ x － 3 ）‧ 2x ＝ x
2＋ 7 2x
2－ 6x － x
2－ 7 ＝ 0
x
2－ 6x － 7 ＝ 0
（ x － 7 ）（ x ＋ 1 ）＝ 0 x － 7 ＝ 0 或 x ＋ 1 ＝ 0
x ＝ 7 或 x ＝－ 1 （ 不合）
所以原正方形的邊長是 7 ( 公分 )
。
5. 在圖一中，甲是一個邊長為 2 公分的正方形
，乙是一個長方形，且甲、乙兩圖的面積相等。
如果將甲疊在乙上面，使它們的兩個鄰邊對齊
（如圖二所示）時，結果發現乙露出的部分為 正方形丙，試問正方形丙的邊長是多少公分？
圖一 圖二
設正方形丙的邊長是 x 公分，則長方形乙的長 為（ x ＋ 2 ） 公分、寬為 x 公分。
由甲、乙的面積相等可得 4 ＝ x （ x ＋ 2 ）
x
2＋ 2x ＝ 4
（ x ＋ 1 ）
2＝ 4 ＋ 12 ＝ 5 x ＋ 1 ＝ ±
x ＝－ 1± （ － 1 － 不合）
所以正方形丙的邊長是（－ 1 ＋ ）公分
。
5
5 5
5
黃金分割比
例題 5 中的比值 （約為 1.618 ）是一個有趣的數，其倒數為 ＝ （約為 0.618 ），兩數相 差 － ＝ 1 ，
古希臘人稱它們為黃金分割比。
2 5 1
5 1
2 521 2 5
1
2 1 5
相傳公元前六世紀，古希臘數學家畢達哥 拉斯發現把單弦琴的弦線在約五分之二長度的 地方用承托托著時，兩邊就能彈出極美妙的和 音。他認為，既然琴弦有一個完美的分割點
（或比例），那麼所有線條、形狀、物體，萬 事萬物，乃至宇宙，都應該有同一個完美的比 例。
因此，以畢氏為首的許多古希臘數學家，
窮畢生精力去研究比例。他們把美妙的比例分 為十級，最高級的，亦即最美麗的比例，就是 黃金分割比。
在畢氏學派的正五邊形標幟中（如圖一），
共含不等長的四類線段 a 、 b 、 c 、 d （註： d
＝ a ＋ 2b ），其中 a ： b 與 b ： c 與 c ： d 都符合黃金分割比，充分表達出他們的信念。
圖一
這個代表著最能滿足人類視覺的分配比，自 然被引用在建築、造型等藝術中，如圖二，古希 臘時期的偉大建築帕德能神廟（ Parthenon at Ath ens ），或名雕刻家費底亞斯（ Phidias ）的雕像 作品，都有其蹤跡。
其實，在古希臘之前，古埃及人早已發現這 個神秘的數字，他們在金字塔的建築設計上，便 大量的用到這個數值。直至今日，在建築設計上 仍處處可見。
圖三
畫家當然也不例外，文 藝復興時期義大利畫家達文 西，在其名畫人體比例圖中
（如圖三），即以此分析人 體各部分的比例，法國還產 生了名為黃金分割畫派的立 體主義畫家集團。甚至婦女 的服裝設計，也可與它有關
。
圖四是兩件四層式的女裙，左邊是每層長 度一樣的裙子，右邊的每層長度與上一層長度 的比滿足黃金分割比，你喜歡哪一件呢？
圖四
