第五章 牛頓定律的應用(習題詳解) 8.

第五章 牛頓定律的應用(習題詳解)

8. 兩個力作用於 3.1 kg 物體，使它以加速度 a0.91iˆ0.27jˆ m/s² 移動，其中一個力為 1.2iˆ2.5jˆ N，求另一個力。

解:

Σ𝐹⃑ = 𝑚𝑎⃑

(−1.2𝜄̂ − 2.5𝑗̂) + (𝐹_2x𝜄̂ + 𝐹2y𝑗̂) = 3.1 × (0.91𝜄̂ − 0.27𝑗̂) X 分量: −1.2+F2x=2.82 => F2x=4.02

Y 分量: −2.5+F2y= −0.84 => F2y=1.66

∴ 𝐹⃑2= 𝐹2x𝜄̂ + 𝐹2y𝑗̂ = 4.0𝜄̂ + 1.7𝑗̂ N

10. 如果圖 5.29 左邊的斜面與水平的夾角為 60°，右邊為 20°，

當兩物體不會沿著無摩擦的斜面滑動時它們的質量比英為何？

解:

𝑚1: x 分量 𝑇 − 𝑚1g sin 60° = 0 (1) 𝑚2: x 分量 𝑚2g sin 20° − 𝑇 = 0 (2) (1)+(2) => 𝑚1g sin 60° = 𝑚2g sin 20°

∴ 右邊對左邊的質量比m₂

m₁ =sin 60⁰

sin 20⁰ = 2.5

11. 如果圖 5.29 左邊的斜面與水平的夾角為 60°，右邊為 20°，

假設左邊物體的質量為 2.1 kg，求在下面兩個條件下右邊物體的 質量應為何？ (a) 右邊物體沿著斜坡向下以 0.64 m/s² 的加速度 移動，(b) 右邊物體沿著斜坡向上以 0.76 m/s² 的加速度移動。

解:

m1和m₂的加速度同為𝑎⃑( − 軸上)

𝑚1: x 分量 𝑇 − 𝑚1g sin 60° = 𝑚1 a (1) 𝑚2: x 分量 𝑚2g sin 20° − 𝑇 = 𝑚2 a (2) (1) + (2) => 𝑚2= 𝑚₁(g sin 60°+𝑎)

g sin 20°−𝑎

(a) 𝑎 = 0.64 𝑚/s²

𝑚₂= 2.1×(9.8 sin 60°+0.64)

9.8 sin 20°−0.64 = 7.1 kg

(b) 𝑎 = −0.76 𝑚/s²

𝑚₂= 2.1×(9.8 sin 60°−0.76)

9.8 sin 20°−(−0.76) = 3.9 kg

12. 質量為 940 g 的岩石由一條長為 1.30 m 的繩子綁著在水平面 做等速率圓周運動，(a) 如果繩子可以承受的最大張力為 120 N，

求繩子與水平之最小夾角？ (b) 求在此最小夾角時岩石的速率 為何？

解:

x 方向合力: 𝑇x= 𝑚𝑎 => 𝑇 cos θ = 𝑚^𝑉_𝑟² (1) y 方向合力: 𝑇y−𝑚𝑔 = 0 => 𝑇 sin θ = 𝑚𝑔 (2)

(a) T 最大時，θ 有極小值，由(2) sin θ_min = 𝑚𝑔

𝑇_max => θ_min = sin⁻¹ 𝑚𝑔

𝑇_max = sin⁻¹(0.94 × 9.8 120 ) = 4.40°

(b) 由(1)和𝑟 = 𝐿 cos 𝜃，得

𝑣 = √𝑇_max𝐿

𝑚 cos θ_min = √120 × 1.30

0.94 cos 4.40° = 12.8 𝑚/𝑠

14. 一位滑雪者從靜止出發沿著長 100 m 傾斜角為 28° 的斜坡自 由滑下，若動摩擦係數由 0 變成 0.17，求他到達底部要多花多 少時間。

解:

x 方向合力: 𝑚𝑔 sin θ − μkn = 𝑚𝑎 (1) y 方向合力: n − 𝑚𝑔 cos θ = 0 (2) 由(2) => 𝑛 = 𝑚𝑔 cos θ 代入(1)

得 𝑎 = (sin θ − μkcos θ)𝑔

由𝑥 = ¹₂𝑎𝑡²，得下滑所需時間𝑡 = √^2𝑥_𝑎 = √_{(sin 𝜃−μ}^2𝑥

kcos 𝜃)𝑔

當𝜇k= 0 時，𝑡₁ = √(sin 28°×9.8)^2×100 = 6.59 𝑠

當𝜇k= 0.17 時，𝑡₂ = √(sin 28°−0.17×cos 28°)×9.8^2×100 = 7.99 𝑠 𝑡₂−𝑡₁= 7.99 − 6.59 = 1.40 𝑠

16. 某露營者用兩條不同長度的繩子將 26 kg 的背包懸掛在兩顆樹 之間如圖 5.30 所示，求每一條繩子的張力。

解:

x 方向合力𝑇1x+𝑇2x= 0 => 𝑇1cos θ₁ − 𝑇2cos θ₂ = 0 (1) y 方向合力𝑇1y+𝑇2y+𝐹gy= 0 =>

𝑇₁sin θ₁ + 𝑇₂sin θ₂ − 𝑚𝑔 = 0 (2) 解方程組得𝑇₁= ^{𝑚𝑔 cos θ2}

sin (θ₁+θ₂) = 26×9.8×cos 71°

sin(28°+71°) = 83.99N ≈ 84N 𝑇₂= ^{𝑚𝑔 cos θ1}

sin (θ₁+θ₂) = 26×9.8×cos 28°

sin(28°+71°) = 227.8N ≈ 230N

17. 質量為 m₁ 的物體在水平無摩擦的桌面上，沿著半徑 R 的圓形 路線做等速率圓周運動，此物體由一條穿過桌面圓孔之輕質繩子 與另一個質量為 m₂ 的物體相連接，如圖 5.31 所示。如果 ^m₂ 靜止不動，求下列兩者的關係式： (a) 繩子的張力，(b) 圓周運 動的週期。

解:

對𝑚1:

𝑇 = 𝑚₁𝑎 = 𝑚1 𝑉²

R (1) 對𝑚2:

𝑇 − 𝑚2𝑔 = 0 (2) (a)由(2)得𝑇 = 𝑚2𝑔

(b)將張力𝑇代回(1)，=> 𝑚2𝑔 = 𝑚1 V²

R

得V = √^{𝑚₂𝑔𝑅}_𝑚₁

∴ 週期 τ = 2𝜋𝑅

𝑣 = 2𝜋𝑅

√𝑚₂𝑔𝑅𝑚₁

= 2π√𝑚₁𝑅 𝑚₂𝑔

18. 當飛機轉彎時它會傾斜使機翼的浮力有水平的分量如圖 5.32 所示，如果飛機以 950 km/h 的速率做水平飛行，而且機身傾斜 的角度不超過 40°，求轉彎之最小曲率半徑。

解:

應用牛頓第二定律 水平方向:

𝐹wsin 𝜃 = 𝑚^𝑉_𝑟² (1) 垂直方向:

𝐹wcos 𝜃 = 𝑚𝑔 (2) (1)

(2) => tan θ = 𝑣² 𝑔𝑟

∴ 𝑟 = 𝑣²

𝑔 tan 𝜃 = 263.89²

9.8 × tan 40°≈ 8468 𝑚 = 8500 𝑚 其中𝑣 = 950^km_h ≈ 263.89 𝑚/𝑠

22. 一位交通警察正調查一個車禍事故，他發現移動中的車子大約以 25 km/h 的速度撞上靜止中的車子，如果移動中的車子在地面上 留下長為 47 m 長的滑動痕跡，已知動摩擦係數為 0.71，求移 動中車子在煞車前的速率。

解:

垂直方向: n − 𝑚𝑔 = 0 => n = 𝑚𝑔 (1) 水平方向: 𝑓k= 𝑚𝑎 ，其中(𝑓k= μk𝑛) (2) 將(1)代入(2)得𝑎 = μ_k𝑔

𝑉² = 𝑉₀²− 2𝑎(𝑥 − 𝑥₀) = 𝑉₀²− 2μ_k𝑔

∴ 𝑉₀ = √𝑉²+ 2μ_k𝑔 = √6.94²+ 2 × 0.71 × 9.8 × 47 = 26.5 𝑚/𝑠

題組題

花式溜冰有一個標準姿勢稱為螺旋（spiral），此姿勢要求溜冰者以 單足溜冰同時另一足要高舉過臀部的高度， 這是女子單人花式溜冰 比賽中的指定項目， 這個姿勢與芭蕾舞中的單足點地另一足高舉過 腰的姿勢（arabesque）類似。圖 5.34 為莎拉休斯（Sarah Hughes）

表演螺旋的照片，她在鹽湖城的冬季奧運會得到金牌。

圖 5.34 題組題 34－37。（照片由達志影像／提供授權）

34. 從照片中你可判斷溜冰者 a. 向她的左邊轉彎。

b. 向她的右邊轉彎。

c. 沿著垂直線的方向前進。

解: a (

指向她的左邊故向她的左邊轉)

35. 作用於溜冰者的淨力為 a. 指向她的左邊。

b. 指向她的右邊。

c. 零。

解:

a (理由同第34題)

36. 如果溜冰者以較高的速率做同樣的動作，則在照片中所顯示的傾 斜角度會

a. 變小。

b. 變大。

c. 不變。

解:

b (高速率下需要更大的向心力，必須向轉彎的方 向傾斜更多才可以)

37. 照片中的溜冰者與垂直線的傾斜夾角 θ 大約為 θ＝tan^–1(0.5)，

從這個數值你可以算出溜冰者的向心加速度大約為 a. 0。

b. 0.5 m/s²。 c. 5 m/s²。

d. 不知道溜冰者的速率無法決定。

解:

c

(𝐧⃑⃑⃑ + ⃑⃑_s會指向𝜽，而溜冰者也會以此角度傾斜，以免對質心造

𝐭𝐚𝐧 𝜽 = ^𝐬_𝒏 = ^𝟏_𝟐=> ∴ s= ^𝟏_𝟐𝒏 = ^𝟏_𝟐𝒎𝒈 = 𝒎𝒂

即𝒂 = 𝟎. 𝟓𝒈 ≈ 𝟓𝒎/𝒔²