高雄市明誠中學 高二數學平時測驗

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗

範

圍 2-2

空間坐標 座號

姓 名

得 分

※選擇題：每題8 分

1.( ) 一線般AB在 xy 平面，yz 平面，zx 平面上的正射影長分別為 4， 15 ， 21 ，則AB 的長為(A) 5 (B) 21 (C)

2

7 (D) 26 (E) 30 Ans：. (D)

解析：設A(0，0，0)，B(a，b，c)

則 a² +b² = 4， b² +c² = 15 ， c² +a² = 21

⇒ a² + b² = 16，b² + c² = 15，c² + a² = 21

⇒ a² + b² + c² = 26

∴ AB= a² +b² +c² = 26 2.( ) 空間一點 P(1，− 2，3)

(1) P 點到 xy 平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (2) P 點到 yz 平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (3) P 點到 x 軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (4) P 點到 z 軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 Ans： (1) (C) (2) (A) (3) (E) (4) (D)

解析： P(a，b，c) = P(1，− 2，3) P 到 xy 平面的距離 = | c | = 3 P 到 yz 平面的距離 = | a | = 1

P 到 x 軸的距離 = b² +c² = 4+ = 13 9 P 到 z 軸的距離 = a² +b² = 1+ = 5 4 3.( ) 下列有關空間的敘述，何者正確？(複選)

(A)垂直 x 軸的直線上任兩點，必有相同的 x 坐標 (B)垂直 xy 平面的直線上任兩點，必有相同的 x 坐標 (C)點 A(a，b，c)到 x 軸的距離為 b²+c²

(D)點 A(a，b，c)到 xy 平面的距離為 c

(E)點 A(a，b，c)到原點的距離為 a²+b² +c² 。 Ans： (A)(B)(C)(E)

解析： (A)垂直 x 軸的直線上任兩點，必有相同的 x 坐標

(B)垂直 xy 平面的直線上任兩點，必有相同的 x 坐標與相同的 y 坐標

(C)點 A(a，b，c)到 x 軸的垂足為 B(a，0，0)∴ 點 A 到 x 軸的距離為 b²+c² (D)點 A(a，b，c)到 xy 平面的垂足為(a，b，0)∴ 點 A 到 xy 平面的距離為| c | (E)點 A(a，b，c)到原點 O 的距離為 OA= a²+b² +c²

4.( ) 下列有關空間的敘述，何者正確？(複選)

(A)點 A(a，b，c)對於 x 軸的射影坐標為(a，0，0) (B)點 A(a，b，c)對於 x 軸的對稱點坐標為(a，− b，− c) (C)點 A(a，b，c)對於 xy 平的射影坐標為(a，0，0)

(D)點 A(a，b，c)對於 xy 平面的對稱點坐標為(a，− b，− c) (E)點 A(a，b，c)對於原點的對稱點坐標為(− a，− b，− c)。

Ans： (A)(B)(E)

解析： (A)(B)點 A(a，b，c)對於 x 軸的射影坐標為(a，0，0)，對稱點為(a，− b，− c) (C)(D)點 A(a，b，c)對於 xy 平面的射影坐標為(a，b，0)，對稱點為(a，b，− c) (E)點 A(a，b，c)對於原點的對稱點為(− a，− b，− c)

5.( ) 下列有關空間的敘述，何者正確？

(A)點 A(0，3，4)在 z 軸上 (B)點 B(0，0，4)在 yz 平面上 (C)點 C(0，3，4)在 yz 平面上 (D) xy 平面的方程式為 z = 0 (E) x 軸的方程式為 y = 0，z = 0。

Ans： (B)(C)(D)(E)

解析：(A) z 軸上的點為(0，0，c)型 ∴ A(0，3，4)不在 z 軸上 (B) yz 平面上的點為(0，b，c)型 ∴ B(0，0，4)在 yz 平面上 (C)由(B) ∴ 點 C(0，3，4)在 yz 平面上

(D) xy 平面上的點為(a，b，0)型，其方程式為 z = 0 (E) x 軸上的點為(a，0，0)型，其方程式為 y = 0，z = 0 二、 填充題 (每題 10 分)

1. 長方體ABCD − EFGH（如右圖）中，AB= 1，AE= 2，AD= 3，

PA= 2，FQ= 1，則PQ的長為 。 Ans： 6

解析：

建立空間坐標，如上圖

令 E(0，0，0)，F(1，0，0)，H (0，3，0)，A(0，

0，2)

∴ G(1，3，0)，D(0，3，2) ⇒ P(0，2，2)，

Q(1，1，0) ∴ PQ= 6

2. 設A(3，− 1，2)，B(2，1，1)，若點P在zx平面上

使UABP為正三角形，則P點坐標為 或 。 Ans： (1，0，3)或(4，0，0)

解析：∵ P在zx平面上 ∴ 設P(x，0，z)，由PA=PB=AB得 (x−3)² +1+(z−2)² = (x−2)² +1+(z−1)² = 1+4+1

⇒ ⇒

c − d得 − 2x − 2z = − 8 ⇒ x + z = 4 ∴ z = 4 − x代入2得x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− + +

−

=

− + +

−

6 ) 1 ( 1 ) 2 (

6 ) 2 ( 1 ) 3 (

2 2

2 2

z x

z x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

− +

−

=

−

− +

0 2 4

8 4

6

2 2

2 2

z x z x

z x z

x …… c

…… d

2 + (4 − x)² − 4x − 2(4 − x) = 0

⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 或x = 4

∴ z = 3 或z = 0，故P(1，0，3)或P(4，0，0)

3. 如右圖，四面體ABCD，已知 BC⊥BD，AD⊥ 平面BCD，且

BC= 7，AB= 24，AD= 15，

(1) AC 的長度為 。

(2)若平面ABD和平面ACD所夾二面角的度量為θ，則sinθ 的 值為 。

Ans： (1) 25 (2) 20

7

解析：(1)AD⊥ 平面BCD ⇒ AD⊥BD，AD⊥CD

已知AB= 24，AD= 15 ∴ BD²= 24² − 15² = 351 又 BC⊥BD ⇒ CD²=BD²= 351 + 49 = 400

∴ AC²=AD²+CD²= 15² + 400 = 25² ⇒ AC = 25

(2)因AD⊥BD，AD⊥CD ⇒ ∠BDC為二面角B − AD − C的平面角，

即∠BDC = θ ∴ sinθ = DC BC =

20 7

4. 平面E與平面F所夾銳角 θ ，E上一個三角形的邊長分別為 5，12，13，且此三角形在平面 F上的正射影也是一個三角形，其面積為 15 3 ，則

θ = 。 Ans： θ = 30°

解析：邊長5，12，13 的三角形為直角三角形，其面積 = 2

1× 5 × 12 = 30

∴ 30cosθ = 15 3 ⇒ cosθ = 2

3，知θ = 30°

5. 正四面體ABCD，已知B，C，D的坐標分別為

B(0，0，0)，C(1，0，0)，D (x，y，0)，其中x，y皆為正，則 (1) D的坐標為 。 (2) A的坐標為 。 (3) A在底面BCD上正射影為H，則H的坐標為 。 Ans： (1) D (

2 1，

2

3，0) (2) A(

2 1，

6

3 ， )或 A(

2 1，

6 3，−

3

6 ) (3) H(

2 1，

6 3，0) 3

6

解析：ABCD為正四面體，B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(x，y，0) (1)BD=CD = BC = 1

⇒ x² +y² = 1 且 (x−1)² + y² = 1⇒

c − d得 2x − 1 = 0 ∴ x =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

= +

1 )

1 (

1

2 2 2 2

y x

y

x …… c

…… d

2

1代入1得y² = 1 − ( 2 1 )² =

4 3

⇒ y = 2

3 （∵ x，y皆正） ∴ D(

2 1，

2 3，0)

(2)設A(a，b，c)，則由AB= AC =AD= BC = 1

⇒ a² +b² +c² = (a−1)² +b² +c² = ² )^{2 2} 2

( 3 2)

(a−1 + b− +c = 1

⇒

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

(a − 1)²+ b²+ c²= 1 …… d

(a −₂¹)²+ (b − ₂³ )²+ c²= 1 …… e c − d得 2a − 1 = 0 ⇒ a =

2 1

c − e得a − 4

1+ 3 b − 4

3= 0 ⇒ 2 1−

4

1+ 3 b − 4

3= 0⇒ b = 3 21 =

6 3

由c 4 1+

12

1 + c² = 1 ⇒ c² = 1 − 4 1−

12 1 =

3

2 ∴ c = ± 3

6

故A(2 1，

6 3，

3

6 )或A(

2 1，

6 3，−

3 6 )

(3)∵ 頂點A在底面BCD上的正射影H為UBCD的重心 ∴ H(

2 1，

6 3，0)

6.設A(2，− 1，5)，B(5，4，− 3)，C(− 1，3，4)，D(2，6，− 2)，P(a，b，c)，則PA²+PB²+PC²+PD² 的最小值為 。

Ans： 94

解析：PA²+PB²+PC²+PD²= (a − 2)² + (b + 1)² + (c − 5)² + (a − 5)² + (b − 4)² + (c + 3)² + (a + 1)² + (b − 3)² + (c − 4)² + (a − 2)² + (b − 6)² + (c + 2)²

= 4(a − 2)² + 4(b − 3)² + 4(c − 1)² + 94 ≥ 94 ∴ 最小值為 94

【注意】此時點P之坐標為

( 4

4 3 2

1 x x x

x + + +

， 4

4 3 2

1 y y y

y + + +

， 4

4 3 2

1 z z z

z + + + ) = (2，3，1)

7. 設點A(3，4，5)，B(− 1，2，1)，而點P在xy平面上移動，則UABP的最小周長為 。 Ans： 6 + 2 14

解析：xy 平面的方程式為 z = 0

∴ 點 A(3，4，5)，B(− 1，2，1)在 xy 平面的同側

∵ A(3，4，5)對於 xy 平面的對稱點為 A'(3，4，− 5)

∴ PA+PB=P'A+PB≥A'B= 2 14

∴ UABP 的周長 =AB+PA+PB≥AB+ 2 14 = 6 + 2 14

∴ UABP 的最小周長為 6 + 2 14

8. 空間中二點A(1，2，1)，B(2，− 1，3)，在x軸上一點P使PA=PB，則P的坐標為 。 Ans： (4，0，0)

解析：設P(x，0，0)在x軸上，A(1，2，1)，B(2，− 1，3) PA=PB ⇒ (x−1)² +2² +1² = (x−2)²+(−1)²+3²

⇒ (x − 1)² + 4 + 1 = (x − 2)² + 1 + 9⇒ 2x = 8 ∴ x = 4 故P(4，0，0)

9. 設P點在第一卦限，而且與x軸，y軸，z軸的距離分別為 52 ， 45 ，5，則P點的坐標為

。

Ans： (3，4，6)

解析：設P點坐標為(x，y，z)，則由題意知

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

= +

= +

5 45 52

2 2

2 2

2 2

y x

x z

z y

⇒

c + d + e得 2x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= +

= +

25 45 52

2 2

2 2

2 2

y x

x z

z

y …… c

…… d

…… e

2 + 2y² + 2z² = 122 ⇒ x² + y² + z² = 61…… f f − c，f − d，f − e得x² = 9，y² = 16，z² = 36

∵ P點在第一卦限∴x > 0，y > 0，z > 0 ，則x = 3，y = 4，z = 6，故P點坐標為(3，4，6) 10. 空間中P (a，a，a)，且P點與A (1，2，3)的距離為 29 ，則P點的坐標為 （兩解）

Ans： (− 1，− 1，− 1)，(5，5，5)

解析：(a − 1)² + (a − 2)² + (a − 3)² = 29 ⇒ 3a² − 12a − 15 = 0 ⇒ a = − 1，5 ∴ P為(− 1，− 1，− 1)或(5，5，5)

11. UABC中，A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(3，1，− 2)，∠B之外角平分線交AC於D，則D點坐 標為 。

Ans： ( 4

19，1，

4 27)

解析：A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(3，1，− 2)，BA= 3， BC = 7 ∵ D 是∠B 之外角平分線與直線 AC 之交點 ∴

DC DA =

BC BA=

7 3 ∵ D，A，C 在一直線上，由分點公式 D =

3 7

7

− (4，1，3) + 3 7

3

−

− (3，1，− 2) = ( 4 19，1，

4 27)

12.向量(1，2，2) 之方向角為α，β，γ，則

(1) sin²α + sin²β + sin²γ = 。 (2) 7cos²α + 2cos²β + 3cos²γ = 。 Ans： (1) 2 (2) 3

解析：(1) sin²α + sin²β + sin²γ = (1 − cos²α) + (1 − cos²β) + (1 − cos²γ) = 3 − (cos²α + cos²β + cos²γ) = 2

(2) cosα =

2 2

2 2 2

1 1

+

+ =

3

1，cos =β

2 2

2 2 2

1 2

+

+ =

3

2，cos =γ

2 2

2 2 2

1 2

+

+ =

3 2

7cos²α + 2cos²β + 3cos²γ = 7．

9 1+ 2．

9 4+ 3．

9 4=

9 27= 3

13. 設A(2，− ， ，B(5， ， ，C(− 1，3，4)，則UABC的重心坐標為 1 5) 4 3) 。 Ans： (2，2，4)

解析：UABC 的重心坐標為(

3

3 2

1 x x

x + +

， 3

3 2

1 y y

y + +

， 3

3 2

1 z z

z + + ) = (

3 1 5 2+ −

， 3

3 4 1+ +

−

3 4 3

5+ + ) = (2，2，4) 設點 (5，4，7)，B(2，6，1)，C(− ， ， ，求 (1)UABC 的面積為 。 (2)點 到

14. A 1 1 9)

____________ A BC 的距離為_____________。

Ans：

2 49，

2 7

UABC = 2

1 ^{2 2 ____\ ____\} ₂ ) (AB AC AC

AB ． − ． =

2 49

14. 長方體相鄰三邊 OA， OB ， OC 的長分別為 2，4，3

(1)作 CH ┴^AB於 H，求 OH = ___________， CH = _________。

UABC 的面積為

_____。

Ans： (1)

(2)求 ____________。

(3)求點 O 到平面 ABC 的距離為______

OH= ₂ AB

OB OA． =

5

4 ， CH= OC²+OH² = 61 =5

5

305(2) UABC = 61 (3) 61 12

15. 已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為 A(0，0，0)，B(2，0，0)，

C(1，1， 2 )，求另一頂點 D 的坐標為_________。

Ans： D (1，− 1， 2 )或 D(1，

3 5，−

3 2 )

解析：設D(a，b，c)，由AB= AC = BC = 2 知，UABC為正三角形

∵ ABCD為正四面體 ∴ AD=BD=CD = 2，即AD²=BD²=CD²= 4

於是得

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

− +

−

= + +

−

= + +

4 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

4 )

2 (

4

2 2

2

2 2 2

2 2 2

c b

a

c b a

c b

a ……c

……d

……e c − d 4a − 4 = 0 ⇒ a = 1

d − e − 2a + 2b 2 2 c = 0 ⇒ b + 2 c = 1 ⇒ c =+ 2 1 b−

代入c

得1 + b² + 2

) 1 ( −b ²

= 1 或b =

4 ⇒ 3b² − 2b − 5 = 0⇒ (b + 1) (3b − 5) = 0

∴ b = −

3

5 ⇒ c = 2 或c = − 3

2 ，故D(1，− 1， 2 )或D(1，

3 5，−

3 2 )

16. 設L為二平面E E 的交線 而E ，E °，若

1 但不在L

1， 2 ， 1 2所成二面角之一為60 A 點在E 上， 上，AB與L所夾銳角為 30°，AB= 2，試求AB 在E2上的投影A'B的長度為____________。

2 13

A' 為A在E2上之正射影 ∴ Ans：

解析：∵ AA'⊥ 平面E²

過A' 作 C 直線 於 ，則由三垂線定理 知

A' ⊥ L C

AC ┴ C ⇒ ∠ACA' = 60°

於U BC中，

L於

A BC=ABcos30° = 2 × 2

3= 3 ，

AC=ABsin30° = 2 × 2 1=

於

1

UAA'C中， CA' =ACcos60° = 1 × 2 1=

2 1

於UA'CB中，由畢氏定理A'B= A'C² + BC =² )² ( 3)² 2

(1 + = 13 =4

2 13

17.如右圖，一長方體ABCD − EFGH，已知AE= 1，AB= 3，AD= 5，求 (1)一隻螞蟻從F點爬到D點，其爬行所經最短的距離為____________。

經 距 ___

(2)一隻蚊子從A到飛到G點，其飛行所 最短的 離為__ _______。

Ans： (1) 41 (2) 35 解析：

(1) 考慮把平面 BCGF 與 CGHD 攤平；FGCB 與 CDAB 上圖

攤平，如

則爬行側面之最短路線長為 1+(5+3)² = 65 爬行向上之最短路線長為 5²+(1+3)² = 41

∴ 所求最短路線長為 41

(2) 飛行所經最短路線長就是對角線 AG 之長 = 1²+3² +5² = 35