勾股定理證明-G201

(1)

勾股定理證明-G201

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKL .

2. 延長 AL 至 O 點，使得 LOAC b，以 LO 為邊長作正方形 LOGF . 3. 延長 BK 至 D 點，使得 KDBC a，以 KD 為邊長作正方形 KDES .

4. 分別以 A 點, L 點為圓心， AC , BC 為半徑畫圓，兩圓相交於U 點，連 AU , LU . 5. 直線UL 與 FG 交於 H 點，過 H 點作平行 AB 的直線，交 LO 於 P 點。

6. 過 B 點作垂直 AU 的直線，交 AU 於T 點。

7. 過 K 點作垂直 BT 的直線，交 BT 於W 點。

8. 直線WK 與直線 SE 交於 R 點，過 R 點作垂直直線 KD 的直線，交直線 KD 於 Q 點。

9. 在 CP 上取一點 M ，使得 CM DE，過 M 點作垂直 GO 的直線，交GO 於 N 點。

10. 過U 點作垂直WK 的直線，交WK 於V 點。

(2)

A B

H

C

K

D E

G F

N R

M P

Q L S

T

O

U V W

【求證過程】

以 AB 為邊長向外作正方形 ABKL ，證明正方形 ABKL 面積等於正方形 KDES 的面 積加上正方形 LOGF 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 ALU 全等於三角形 LHF ： 因為 AU  AC, LU BC, AL AB，所以

ALU ABC

   (SSS 全等).

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^y^ 90^。因為 ALU  ABC，所以 ALU ABC y^

    。因為FLC90^ ALU 90^y^ x^  CAB,

90

LFC ^ ACB

    , LF  b AC，所以 LCF ABC

   (ASA 全等).

因此

ALU LCF

   . 2. 證明V  U L共線：

(3)

因為 ALU  ABC，所以

90 AUL ACB ^

    .

四邊形TUVW 中，因為BTU 90^  VWT  UVW，所以 360 90 90 90 90

TUV ^ ^ ^ ^ ^

      .

故

V  U L共線。

3. 證明三角形 LKV 全等於三角形 CLP ：

因為VLK90^ ALU 90^ ABC CAB, LK  c AB, 90

LVK ^ ACB

    ，所以

LKV ABC

   (AAS 全等).

因為 LCF  ABC，所以 LC ABc，又因為 PLC  ALU  y^  CBA, 90

CPL ^ ACB

    ，所以

CLP ABC

   (AAS 全等), 因此

. LKV CLP

   4. 證明三角形 KBW 全等於三角形 KRQ ：

因為 LKV  ABC，所以 VKL  CBA y^。因為

90 90

WKB ^ VKL ^ y^ x^ CAB

         , KB c AB, KWB90^  ACB，所以

KBW ABC

   (AAS 全等).

因為 QKR  WKB(對頂角)，所以 QKR  WKBx^  ACB，又因為 90

KQR ^ ACB

    , RQ a BC，所以 KRQ ABC

   (AAS 全等).

因此

. KBW KRQ

  

5. 證明三角形 BAT 全等於三角形 RKS ：

(4)

因為 KBW  ABC，所以 KBW  ABC  y^。因為

90 90

TBA ^ KBW ^ y^ x^ CAB

         , BTA90^ ACB, BA AB，所以 BAT ABC

   (AAS 全等).

因為SKR90^ QKR90^x^  y^  CBA, KS  a BC, 90

RSK ^ ACB

    ，所以

RKS ABC

   (ASA 全等).

因此

. BAT RKS

  

6. 證明長方形 DERQ 的面積等於長方形 CMNG 的面積：

長方形 DERQ 中，因為 KRQ  ABC，所以 KQ AC b，可推得

DQKQKD b a.

長方形 CMNG 中，因為 LCF  ABC，所以 FCFGCBa，可推得 CGFGFC  b a.

故

( )

DERQ DE DQ CM b a CM CG

CMNG

 

  

 



長方形面積

形

長方面積。

7. 證明四邊形TUVW 與四邊形 MNOP 都是面積為(b a )²的正方形：

四邊形TUVW 中，因為 ALU  ABC, BAT  ABC，所以TU  AUAT  b a. 又因為 BAT  ABC, KBW  ABC，所以TW TB WB  b a，又

四邊形TUVW 四個內角都是直角，因此

( )2

TUVW b a

四邊形是面積為的正方形。

四邊形 MNOP 中，因為 CLP  ABC，所以 MP CP CM  ACDE  b a. 又因 為 MN CG b a，四邊形 MNOP 四個內角都是直角，所以

(5)

( )2

MNOP b a

四邊形是面積為的正方形。

故

TUVW  MNOP

四邊形面積四邊形面積。

8. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKL ALU LKV KBW BAT TUVW

LCF CLP KRQ RKS MNOP

LCF CLP KDES DERQ

        

     

四邊形四邊形正方形長方形

正方形面積面積面積面積面

積面積

面積面積面積面積面

積

面積面積面積面積

MNOP

LCF CLP KDES CMNG

MNOP

KDES LOGF



     



 

四邊形

正方形長方形四邊形

面積

面積面

正方形正方形

積面積面積

面積

面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 27 日想到的。

2. 心得：此證明的切割法與 G200 相同，都是將正方形切割成四個直角三角形加上一個小正方形，接下來再證明四個直角三角形可以再拼成兩個長方形，最後 再證明兩個長方形加上一個小正方形的面積，剛好等於正方形 KDES 的面積 加上正方形 LOGF 的面積。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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