地電阻影像剖面對非均質地下實體模擬的修正與分析

地電阻影像剖面法對非均質地下實體之模擬分析

梅興泰

鄭富書

蔡道賜

1 財團法人台灣營建研究院

2 國立台灣大學土木工程學系

3 三合技術工程有限公司

摘 要

地電阻影像剖面法，簡稱 RIP(resistivity image profiling, RIP)，當施作遇到 地形變化劇烈或地下物為非均質狀態，施測電極排列的選用以及施測後，對其 視電阻率曲線的初步判讀，將會影響到整體資料判讀上的正確性。由於在傳統 軟體正算分析過程中，無法對地表上的地形效應算出視電阻率。本研究提出一 室內簡單快速之實體模型配置，利用 Wenner 電極排列法作電阻量測，將傳統 砂箱 3-D 試驗對於模型材料電阻率及非均質性等問題利用修正幾何因子的轉 換，簡化成 2-D 方式處理。並利用偏差率的觀念，分析視電阻率曲線配合 Loke (1999)之正算(RES2DMOD)與反算(RES2DINV)的分析軟體，得出在地形效應 下非均質之反算剖面，均獲致不錯的結果。

關鍵詞：地電阻影像剖面法、地形效應、視電阻率曲線、修正幾何因子、偏差率。

ANALYSIS OF NON-HOMOGENEOUS PHYSICAL MODEL SIMULATED FOR RESISTIVITY TOMOGRAPHY

Hsing-Tai Mei ¹ Fu-Shu Jeng ² Dao-Ci Cai ³

1 Taiwan Construction Research Institute Taipei, Taiwan 231, R.O.C.

2 Department of Civil Engineering National Taiwan University

Taipei, Taiwan106, R.O.C.

3 San-Ho Technology and Engineering compory., Ltd.

Taipei, Taiwan 242, R.O.C.

Key Words: resistivity image profiling, topographic effect, apparent resis- tivity curve, current geometric factor, eccentricity, RIP.

ABSTRACT

When plotting the data from a 2-D imaging survey, the pseudo-section contouring method is normally used. However the pseudo-section gives a distorted picture of the subsurface, because the shapes of contours depend on the type of array used as well as the true subsurface resistivity, and there are many kinds of arrays usable in the RIP method. In this paper, we meas- ure apparent resistivity with a 2D plane analogue model to improve the to- pographic effect, through using cylindrical coordinates with a Laplace equation to solve the potential function, also to correct the geometric factor.

On the other hand, we also use the concept of eccentricity and resistivity model software RES2DINV (Loke, 1999) to present the topographic non-homogeneous tomography. By doing this, we can achieve better re- sults.

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技術學刊 第二十一卷 第四期 民國九十五年

一、前 言

地電阻影像剖面法，簡稱 RIP(resistivity image profiling, RIP)。原屬地球物理探勘的技術之一，其發展已行之多年。

由於台灣地質多為軟弱岩層，加上雨量豐富，地下水逕流 旺盛，如在隧道開挖時，地質遇破碎帶而形成大量湧水，

將造成不可預期的人員和財物損失。所以如能在施工之 前，作一地下水流之 RIP 探測，並配合其鑽孔資料，應不 失為隧道設計前之良好的依據。然而在傳統應用程式分析 過程中，無法對地表上的地形效應算出視電阻率來，所以 本研究提出一室內簡單快速之實體模型配置，利用麵皮壓 成均質等厚度之 2D 平面後，再利用 Wenner 電極排列法作 電阻量測，將傳統砂箱 3-D 試驗對於模型材料電阻率及均 質性不好掌握的問題簡化成 2-D 方式處理。並將其幾何因 子加以修正，利用圓柱座標系解拉普拉斯方程 (laplace equation)，並將所得出修正幾何因子，應用在不同地下非 均質的實體模擬量測，得出視電阻率曲線。最後並利用偏 差率的觀念以及配合 Loke[1,2]之正算(RES2DMOD)與反 算(RES2DINV)的分析軟體，得出在地形效應下非均質之反 算剖面。並分三種地形效應模型模擬：(1) 山峰下有空洞 模型；(2) 窪地下有空洞模型；(3) 邊坡下空洞模型等。並 逐一對每一種情形作修正應用。

因此，本研究發展出一套簡便之室內實驗的方式，藉 由修正幾何因子以及偏差率的觀念判讀，驗證此方法的可 行性。

二、地電阻探測技術

地電阻法(Electrical Resistivity Imaging Profile, RIP)為 傳統地球物理探測技術之一，由於對導電率佳的水有一定 的敏感度，且對於地下水分佈判釋的狀況又能得到不錯的 結果，傳統上 RIP 法為二維地表量測並廣泛地應用在隧道 工程、尋找地下水、溫泉、地熱測勘等能源開發之領域。

由於此方法中反算過程與其逆推理論過於複雜，自 1920 年 Schlumbe－rgerm[3]首先作電阻量測迄今，國內外也有 多位學者相互研究。反算分析也隨著計算機的進步也更加 快速；在地層圖形上的描繪(geological mapping)判釋雖然 已發展的較為便利。此種探勘方法主要將直流電藉由插於 地表內之一對電極(電流極)通入地下，電流流經地層造成 人工電場，由地表上和探測孔內之另一對電極(電位極)量 測此電場之電位差，此電位差因地層之導電性及兩個探測 孔間異常物質之不同而有異常不均之分佈。其原理為藉由 通入地下之電流強度、量測得之電位差及電流極間之相對 位置，依歐姆定律求出地層之視電阻值及電性地層之構 造，進而推估探測電極間不同導電性物質之分布狀況。

1.基本原理

利用通入地下電流強度與量測之電位差去計算介質電

V

A

AN BM

M

A

N

B

圖1 四極排列法示意圖

阻率分佈狀況。其基本理論主要包括順推與逆堆兩種理 論，分別敘述如后。

(一)順推理論

一般順推理論是以四極法為基礎。在地表佈置四根電 極，其中兩根稱為電流極(A、B)，另外兩根為電位極 (M、N)。在電流極上以低頻（約 1Hz~10Hz）的交替 直流電通入地層，同時使用電流記量測電流強度，當 電流展在某一距離時，電流將會通過某一相對的地層 深度，如果在此範圍內地層的導電程度有差異情形 時，則由電位極量測此時的電位差，可反映出該導電 差異的特性，並以測定地層的電阻率。電位差除以電 流為地層電阻率構造(或稱地層參數，在一維構造為各 層厚度和電阻率)。

如前述，在一電性均質且等向性的半空間地層，

地層電阻率與電流、電位差及電極間距之關係可寫 成：(如圖 1)

I KV ρ=

(1)

其中

1 1

1 1

2 1

−







 



 



 −

−



 



 −

= AM BM AN BN

K π

⁽²⁾

式中，I：通入地下之電流，V：電極間的電位差，ρ：

介質之電阻率，K：幾何因子(geometric factor)，AM 為電流極 A 至電位極 M 之距離；以下以此類推。

所以只要測得一組(K，V，I)就可依式(1)算出電阻率。

但然而實際的地層是多層的，而根據(K，V，I)算出的 電阻率，只能稱為視電阻率(apparent resisitivty)因為它 不是地下某一層的真實電阻率；而是在該電極相對位 置情況下的綜合電阻率效應，且視電阻率會隨電極間 距改變而改變。若將電極間距(或展距)由小依次變 大，就可依次測得由淺至深的地層訊號。

當在作地表量測時，依目標可將電極維持相同的幾何 形狀，只在地面上整組電極做平移，稱為水平描繪

M

AN BM

N

A A B

V

(horizontal mapping)，它是針對地層水平方向變化做探 測，屬於定性或是半定量的探測法；若是將電極由小 至大漸次增大以測得由淺至深的地層訊號，稱為垂直 電探(vertical electric sounding，VES)，可做定量的解 釋；若是將 VES 的點安排在一直線則可做二維電性地 層探測，稱為地電阻剖面影像探測(resistivity image profiling，簡稱 RIP)。而本研究是以地電阻剖面影像 為基礎，採用向下鑽孔之跨孔式量測，其對標的物的 檢驗與定位上遠比傳統之地表量測要精確許多。

(二)逆推理論

在傳統的線性逆推法，是根據物理法則(data rule)：

i i

i g r mr dr e

d =

∫

⁽³⁾ 其中

資料參數核心(data kernel)

(r )

資料 (data)

但電探法的逆推屬於非線性逆推(Non-linear inverse) 問題，對於這一類的逆推問題並沒有系統化的廣泛理 論可以描述；一般常用的策略，大致上是從一個初始 值參數(initial model)開始，然後推算初始值受到擾動 (perturbation)後所引起在資料上的擾動，據以修正模 型(model)使得預測模型(model predict)的資料可以逐 漸逼近原始觀測值(observated data)。

Jupp and Vozoff[4]認為馬魁達法(marquardt method)比 較適合電探資料的逆推處理。此法所提出之二階馬魁 達法(second-order marquardt method)，經過多方面理論 與實際資料的分析結果，顯示此種逆推法具有穩定且 收斂快速的優點。將簡述如下：

如圖 2 所示，假設有 m 個觀測值(y1,y2,y3……., ym)，

以

y = col (y1,y2,y3,……., ym) (4)

假設此

為(q

)來迎合匹配(Fit)，以 q 表示模型參數 矩陣，如下：

q = col (q1,q2,q3,…….,qn) (5)

令

y = f (q) (6)

q=col(q1,q2,q3,...qn) Model Parameter

Pa Model Parameter

Pa

<True Model>

Observed data Pa Observed data

Pa

<觀察 data>

Model response Model response

<人造 Model>

Math. relationship Math. relationship

直接測量直接測量 數學計算數學計算

F(p(x,y,z))

f=col(f1,f2,f3,...fn) y=col(y1,y2,y3,...ym)

?

?

g = y - f

圖2 逆推理論解說圖

式(6)為一非線性函數，為使問題簡化，經泰勒展開 (taylor expansion) 捨 去 高 次 項 使 問 題 線 性 化 (linearlize)，式(3.9)可寫成一個包含 N 個為知參數的 M 組聯立方程(M>N)，如下：

g = y – f = J ∆q (7)

式(7)中 g 代表在某一組模型參數(model parameter) 時，觀測值

表參數改進量(model parameter change vector)，J 為一

偏微分，定義如下：

q J f

∂

=∂

⁽⁸⁾

結合式(7)與(8)可得下列關係：

g J

g = ∆

⁽⁹⁾

而利用最佳化最小平方法 (Least-square optimization method)，將初始模型(Initial model)必須修正到誤差 E 為觀測值與理論值到最小。其中

g g

E= ^T

⁽¹⁰⁾

為 了 減 少 上 述

(gauss-newton method)，改變其模型參數的形式(lines

F(P(X,Y,Z) <True model>

Math, relationship Model parameter Pa

q=col(q1,q2,q3,...qn)

<人造 Model> <觀察 data>

Observed data Model response Pa

f=col(f1,f2,f3,...fn) y=col(y1,y2,y3,...yn)

g=y-f

數學計算 直接測量

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技術學刊 第二十一卷 第四期 民國九十五年

and treitel ) [5]，如下：

g J q J

J^T ∆ = ^T

⁽¹¹

但是由於在某一些情況下，其矩陣

到觀測資料中的雜訊、或不確定訊號的影響，當造成 奇異 (singular) 產生，進而式(11)的改進量 ∆q 過大而 造 成 發 散 。 此 時 ， 馬 魁 達 法 (marquardt-levenberg modification, Lines and Treitel)[5]提供了一個修正方 式，將式(11)修改成下式：

g J I J J

q=

(

)

∆ λ

⁽¹²⁾

其中 λ 為阻尼因子(damping factor)

由於原本對應到一較小的特徵值而造成過大之參數改 進量，為克服這個困難，在式(12)加入了一個阻尼因 子，其功能在於對比較重要的解特徵向量給予較大的 加權，而對於比較不重要或由雜訊所對應的解特徵向 量給予較小的加權，以避免小的特徵向量在逆推過程 中造成過大的參數改進量。

由上式(12)得到 ∆q 後即可進行下一步驟；

q q

q_K+1= _K+∆ ⁽¹³⁾

此新的模型參數再代回公式(13)計算新的參數改進量

∆q，如此不斷疊代直至：

(1) 達到所設定的最大疊代次數。

(2) 觀測值與理論值間的誤差達到所設定的底限。

(3) 觀測值與理論值間的誤差達到收斂，逆推結果不 再改進。

而收斂的準則利用均方根相對誤差(root-mean-square relative error)，其定義如下：

∑

= ^M −

i i i

i i

q q

f q RMS M

1

)2

(

1

(14)

2.發展經過

地電阻影像剖面法為傳統地球物理探測技術之一，其 發展已行之多年；由於地電阻法對水的敏感度極大且對於 地下異狀物分佈判釋的狀況能得到不錯的結果，自 1912 年 Schlumbergerm 首先作電阻量測[3]迄今，國內外也有多 位學者相互研究，反算分析也隨著計算機的進步也更加快 速；在地層圖形上的描繪(geological mapping)判釋雖然已 發展的較為便利，但是如遇大地工程問題如灌漿品質鑑 定、斷樁完整性檢測、隧道位置確認以及地下管線探測時，

必須倚靠精度更高之三維模型來處理；所以應用在大地工 程的領域是一塊新的領域。

其順推理論以往常用 Mooney 等人[6]的計算法則，雖 然該法則可以得到不錯的結果，但是需要較長的計算時 間，且僅針對一些理論上特定的電極排列方式。而在 1971 年 Ghosh[7]將濾波理論應用於地電阻法(DC method)的順 推問題(forward problem)上，大大縮短了計算所需的時間，

且亦能達到相當高的精確度，然而 Ghosh 所提出的亦是針 對某些特定的電極排列，因此 Ghosh[8]的濾波理論並無法 適用於任何電極排列狀況下所量測到的野外資料。 Dey and Morrison[9]將數值電阻模型分成有限的網格，再利用有限 差分和有限元素等方法，即可對任一形狀體作分析。而 O’

nell 等人[10]提出一般電極排列的觀念，將濾波理論應用 於一般的四極排列(four electrodes configuration) ，用同一 組濾波加權係數(filter weighting coefficient)可以計算任何 一種四極排列時的理論視電阻係數(apparent resistivity)。直 到近年來隨著計算機功能的進步，計算時間效率上也大幅 的提高。由於在順推的計算過程中，所推求出來的電阻率 僅為代表地層綜合效應的視電阻率(apparent resistivty)，並 不為實際地層上的電阻率(Loke) [11]。所以必須再利用所 求得的視電阻率作為初始值(initial value)做一反算分析。而 以觀測資料推求地層組態的作業稱為解釋。

然而推求地層參數首先要知道電位函數，但電位函數 由地層構造決定，但地層構造通常是未知。所以較進一步 的解釋事先假設地層構造，依設定的地層模型求出電位函 數，並計算對應於觀測值的模型值；再計算觀測值與模型 值的差異，並適度地調整差異直到誤差小到可以接受。此 方法稱為逆推法。

在 1970 年之前，逆推解釋法未完全建立，彼時先繪製

許多不同模型的理論曲線(通常繪成視電阻率曲線，稱為標

準曲線)將實際觀測結果與模型的結果做比較以作解釋。除

了極少的例子，此種方法無法顯示擬合程度的高低，對地

層參數(如地電阻率)的可信度也不高。而最早將其電阻資

料 ， 利 用 探 測 排 列 和 等 高 線 的 安 排 作 成 擬 投 影 剖 面

(pseudo-section)的，為 1957 年的 Hallof[12]。不過那時只

是用少數近似電阻率的圖去估計，數量不多且可信度也不

高；然而，反算剖面是需要更多且更符合實際模型電阻資

料的。進而許多的學著也相繼地推出一些自動化反算逆推

技術，目的也是希望利用大量的試誤(trial-and-error)方法資

料，去求得最佳化的解(optimizatoin)。如：Smith and Vo-

zoff，Tripp 等人[13]利用非線性最佳(nonlinear optimization

method)技巧，證明了可解一些簡單的模型；deGroot-Hedlin

and Constable[14]，Sasaki[15]也說明高斯─牛頓最小平方

最佳化方式(Gauss-Newton lease-square optimization)可

快速收斂資料。但由於在最佳化的過程中，計算偏導函

數(partial derivative)需要消耗時間，所以還是擺脫不了

其運算時間過於龐大的缺點(Lines and Treitel)[5]。直到

Loke [16]，將其順推過程(forward problem)及逆推理論

(inverse problem)，利用以最平滑最小平方法(smoothness-

constrained least-square method)為基礎，並在反算的過程中

a P₁ a P₂ a C₂ C₁

Wenner

a k =²π

a na P₁ a P₂

C₂ C₁

Dipole-Dipole

a n n n

k=π

(

1 )(

2 )

(a)Wenner array (b)Dipole-dipole array

na P₁ a P₂ na C₂ C₁

Wenner-Schlumberger

a n n k =π

(

1 )

a P₁

C₁

Pole-Pole

a k =

2

na P₁ a P₂

C₁

Pole-Dipole

a n n k =

2

(

1 )

(c)Wenner-schlumberger array (d)Pole-pole array (e)Pole-dipole array

圖3 各種電極排列示意圖

利用半牛頓法(quasi-Newton method)等方法做為運算過程 中的偏導函數(partial derivatives)，因此加快了運算時間，

並寫成套裝軟體後，更大幅提升其使用效率及可讀性。

3.應用程式簡介

本文所採用的數值軟體為 Loke[1]所開發出之二維地 電 阻 影 像 順 推 正 算 及 逆 推 反 算 程 式 。 解 題 流 程 分 為 RES2DMOD ver. 3.0 之二維地電正算(forward modelling)程 式及 RES2DINV ver. 3.42 之二維反算(inversion)程式。其正 算程式功能與特性主要計算模型之視電阻率。使用者可自 行假設一二維半平面(subsurface)之數值模型，根據所選的 排列(array)，計算出模型的視電阻率。其好處是由於程式 的 視 窗 化 能 將 其 計 算 結 果 展 現 在 二 維 地 電 擬 投 影 面 (pseudo-section)上，使使用者能快速得知在所定模型下，

每種排列之優缺點及探勘深度，作為現地施測與實驗的參 考；另一方面也可利用所得結果，代入反算程式得出 RIP 剖面，有助於作一般數值過程中的正算驗證。其輸入檔 (input file)為其*.MOD，而算出之視電阻率時，可將其轉換 為*.DAT 檔以供反算程式計算；RES2DINV 之反算程式 (loke)，可自動計算出半平面空間中的二維地電阻模型，並 產生地電阻影像剖面。而一般電極排列的方式，有溫奈排 列(wenner array)、雙偶極排列(dipole-dipole array)、溫奈- 施蘭貝吉(wenner-schlumberger array)、雙極排列(Pole-pole array)、三極排列(pole-dipole array)等。其各電極之示意圖，

如圖 3 所示，其中 k 為幾何因子，隨著電極排列不同有不 同之公式。

三、二維地電法之室內實體模擬

地電阻法係依照水平或垂直方向地層電阻變化，從而

推斷地層構造一種地球物理探勘方式。但以往的研究大多 偏重於水平地表下出現水平均質地層之測勘結果解釋。所 以對於地形與非均質體共同存在下，其綜合效應所造成的 地電阻異常特性之研究，將有助於野外測勘結果分析和解 釋。

而關於地形和非均質體對地電阻施測結果之影響，可 分為三個方面：

1.解析模擬解

利用轉換運算，求出地形的影響，楊等人[17]其方便 之處在於數學推演容易，可用於任一地形之計算；但缺點 在於計算過程花費大多時間且記憶體而有其不便利性。

2.數值模擬解

利用有限差分、有限元素法來模擬各種地形效應(如 Fox 等人)[18]，但其數學推演複雜，且解析困難或無法求 得，故僅可應用於有限簡單的地形。

3.模型模擬法

但無論使用何種方式做驗證，在傳統的正算軟體中，

均無法對地表上有起伏的效應正算出視電阻率來，即使有 也由於其數學推演太過於費時且結果不一定準確；然而，

實體模型試驗即可避開繁雜之數學模式，而其測定過程亦 較計算機簡單而實際。所以，如遇地表有起伏的狀態，在 以往的做法，均以砂箱舖以電極來進行操作；但由於砂箱 體積過於龐大且配置不易，對於模型材料電阻率及均質性 不好掌握，若要施作並與其數值模型模擬結果作比對時，

就有它的不方便性及費時性。

而本研究將提出一室內簡單快速之實體模型配置，利 用麵皮壓成均質等厚度之 2D 平面，並採用 Wenner 電極排 列法，其採用此法之原因如下；

Wenner

k=2πa C1

a P1

a P2

a C2

Dipole-dipole

k=πn(n+1)(n+2)a C1

a

P1

na P2

a C2

Wenner-schlumberger

k=πn(n+1)a C1

a P1

na P2

na C2

Pole-dipole

k=2πn(n+1)a C1

a

P1

na P2

C1 P1 a

Pole-pole

k=2πa

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技術學刊 第二十一卷 第四期 民國九十五年

(a) HP3457 型六位半數位化電表

(b) 電源供應器(Power supply) E 3616A 型

(c) TES 2712 數位 化電表

(一) 其排列方式為對稱，且排列時電位極居電流極之 間，可克服大部分之隨機雜訊(random noisy)，以 減少實驗造成的誤差。

(二) 其施測總展距適當，不會如 Pole-pole 法需將遠電 極拉至施測展距十倍遠，可減少材料製作尺寸上 的問題以及避免因電極較遠而造成雜訊過大的 情形。

(三) 其幾何因子公式推導與計算方便，增加其實驗的 便利性。

所以藉由此排列量測各種地形與非均質體造成的綜 合地電阻效應，並將數據做成剖面測定法及垂直測定法 中視電阻與展距之關係曲線圖，深入了解其曲線的特 性，並將其視電阻率代入反算程式中，看其地電阻剖面 影像，做一驗證解釋，討論其程式合理的適用範圍。

1.實驗儀器及材料

(一) 電壓計

在傳統的線性逆推法，是根據物理法則(data rule)：本 實驗所使用測量電極電位的電表，為 Hewlett-Packed (HP)公司所生產之 HP3457 型六位半數位化電表，如 圖 4 (a)；可提供七種不同的轉換模式，包括直流、交 流電阻、電壓、電流和頻率、週期之量測。並可結合 計算機程式做運算，來量測電壓值。

(二) 電源供應器

採用 HP 公司所生產的電源供應器(power supply)E 3616A 型(圖 4(b))，可提供電壓為 0~35 伏特(volt)，電 流則在 0~1.7 安培(A)；但因量測時整體電路中的電 流，由於會有能量上的消損，所以不一定為電源供應 器上所示的電流，必須再串聯一 TES 2712 數位化電表 (如圖 4(c))，用以量測出電極上的電流。試驗配置如圖 5 所示。

(三) 模型材料

為了力求試驗簡單、且材料好配置的原則下，本實驗 所採用的材料為麵皮，利用市售高筋麵粉與鹽水以約 2：1 的原則下混合製成麵團，而為了要求材料之均質 等厚度，再利用壓麵機將麵團壓成等厚度，並將其裁 成試驗所需之模型尺寸。由於麵疲於製作過程中，會 因水分的流失唯恐導致其性質的改變而造成材料不均 質的現象，所以實驗前之材料配置麵團之時間與施測 時間，盡量在半天之內或縮短麵皮製作完成之試驗進 行的時間差。所以在麵皮壓成等厚度之後，再舖以絕 緣保鮮膜，以防止水分散失並可保有材料的均質性。

由於本研究最重要的是改良傳統上複雜且費時的 3D 砂箱模型試驗，而改用的室內簡易 RIP2D 平面試驗。

兩者其實在量測的方法上，並無多大的不同，唯一且 最大的不同在於：以往施作 RIP 電阻量測，是必須先 量測電壓(V)及電流(I)後，在經由歐姆定律及不同的電 極排列方式乘上不同的幾何因子，k (Loke) [19]，而修 正成為視電阻率

地下結構物之電阻率而成剖面影像。

但由於

空間(half space)，而且等電位面是以球體擴散出去，

而電流方向正交於球表面(如圖 6(a))；但實際平面模型 是為二維平面，在其剖面方向(Z-方向)由於實驗模型限 制，並沒有無限延伸的半空間卻是有圍束的，此一不 同效應造成所測得出來的電阻值在同一深度下，電流 因為所通過的截面積比球形擴散的截面積相對地減 少，根據電阻定律

A

R=ρ_aL

，電阻值就會隨著深度愈 深，因面積

與實際情形不符。所以在實施本研究提出之施測方式 之前，在所量測到的電阻值必須再帶入二維幾何修正 因子

，而千萬不能帶入理論所設出的幾何因子，

否則視電阻數據將會隨著深度而擴大，造成結果不正

確的情形。而其修正因子的推導，如下所述：

HP六位半電表(測電壓)

DC電源供應器

TES數位電表(測電流)

C₁ P₁ P₂ C₂

接地線

(a)儀器配置示意圖

(b)儀器配置照片

圖5 實驗儀器配置圖

A A A

點電流I

(a) 在半空間下之電流方向

A變小 A變小

點電流I

(b) 實際 2D 平面之電流方向 圖6 點電流在不同空下之擴散效果

Z

Y

X

L

a

0 < r < a 0 < z < L

圖7 圓柱座標系

2.幾何因子修正

修正方式是利用圓柱型之拉普拉斯方程式︰

1 0 1

2 2 2 2 2 2

2

2 =

∂ +∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ Z

u u r r u r r

u

θ

(15)

因為電流方向與θ無關，可簡化成下式(2)所示，如圖 7 所示。

1 0

2 2 2

2 2 =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ Z

u r u r r

u

(16)

因為在

時，電位

0 ) 0 (

0 ) (

, ) (

0 ) , ( lim

=

=

=

∂ =

∂

∞ =

→

z L z

a r at z r E u

z r

r u

其中

為︰

L z n aL

K n rL K n zr n z LI

r U

n

π π π π

ρ _sin

) (

) 4 (

) , (

,...

5 , 3 ,

1 1

0 3

∑

= 









−

=

(17)

而其視電阻率可表示成下式 (18)︰

DC 電源供應器

TES 數位電表(測電流)

HP 六位半電表(測電壓)

接地線

C1 P1 P2 C2

點電流I

A

點電流I

A 變小

Z

X

a L

Y 0<r<a

0<z,L

376

技術學刊 第二十一卷 第四期 民國九十五年

表一 修正K 值與不同間距(n, cm)、不同厚度(L, cm) 之數據

L=0.1 L=0.2 L=0.3 L=0.4 L=0.5 n=1 3.931037 3.991408 4.050617 4.109439 4.167488 n=2 3.900465 3.931037 3.961222 3.991408 4.021206 n=3 3.890403 3.910914 3.931037 3.951161 3.971284 n=4 3.885373 3.900465 3.915945 3.931037 3.94613 n=5 3.882277 3.894273 3.906657 3.919041 3.931037 n=6 3.880342 3.890403 3.900465 3.910914 3.920976 n=7 3.878794 3.887308 3.896208 3.905109 3.913623 n=8 3.877633 3.885373 3.893112 3.900465 3.908205 n=9 3.876859 3.883438 3.890403 3.897369 3.903948 n=10 3.876085 3.882277 3.888468 3.894273 3.900465

0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09

0 2 4 6 8 10 12

深度層(n) K1/K0

L=0.1

L=0.2

L=0.3

L=0.4

L=0.5

圖8 貝索函數與不同間距(L)、不同厚度對其值的影響圖

) (

) ( sin 4 ) , (

0 1 ,..

5 , 3 , 1

3 2

rL K n

aL K n L

z L n

zr n I

z r U

n

a π

π π π

ρ ∑^∞

=

=−

(18)

其中

) (

) ( sin

4 ⁰

1 ,..

5 , 3 , 1

3 2

rL K n

aL K n L

z L n

zr K n

n π

π π π

∑^∞

=

=

為幾何因子，

而

) (

0 1

rL K n

aL K n

π

π

項分別為第一階與第二階修正型附有參數

之貝索函數(Bessel’s function)，a 為電極間距(cm)，L 為材 料厚度(cm)。因為此函數為遞減函數，所以可將電壓隨深 度愈深值愈大的不合理趨勢加以修正。其貝索函數隨深度 遞減曲線如圖 8，而各展距間修正之 K 值如表一。

3.實驗數據處理方法

在遇有地形效應下之模型的讀數求解時，可利用空白 試驗[20]，此法類似 Fox 等人在 1980 年所提出之地形效應 修正之方法[18]；將由模型試驗下所測出有地形效應的各 測點觀測值，除以由非均質及水平模型試驗所得之觀測 值，作為其地形效應的影響偏差率。其方法分述如下：一

等電位面(Equipotential Surfaces) 電流線(Current Lines) 電源在無窮遠處

電流消散區(Dispersion Zone) 電流聚集區 (Focusing Zone)

圖9 地形效應示意圖

ρ0 水平均質體量測值

*

* 0

*

E

a =

ρ ρ

E

a′= ′ ρ0

ρ

ρa′′

*

ρ0 程式算出水平均質體之

電阻率

*

ρa 程式算出有地形水平均

質體之電阻率

ρa

ρ0^′

經E*修正後之擬水平均 質量測值

E*

實際有地形均質量測值 實際有地形非均質量測

值 ρ0

圖10 數值程式地形修正示意圖

般在做室內實體模型試驗時，不外乎遇到下列四種情形：

(1) 水平均質模型；(2) 水平但地下有非均質體；(3) 有地 形效應但材料均質；(4) 有地形效應且地下有非均質體。

前兩項之處理方式均可用幾何因子帶入修正；但如遇地形 效應時，如圖 9 所示，因電流流線接近地形凸起時(如山 峰)，會向凸起部分集中，在凸起部分之等位線分佈變疏，

形成低電阻率；而窪地部分，因流線網較密，所以量測時 會產生視電阻率高區。為了克服此異常的情形，本研究所 採用的方式有二(見圖 10)：(a)第一是先測得一水平均質體 下量測之視電阻率值，再用此模型做出地形效應而量測之 視電阻率，兩者相除，即可得一當地表水平到地表有起伏 的地形偏差率，

ρ0

ρa

E=

，其中

為有地形效應下各半展 距下之綜合視電阻值；

ρ0

為對應各展距下，水平且無地下異常體之視電阻 值。用此法可得到在有地形效應下之偏差率曲線，以後如 有遇相同之地表形狀下，探測地表下之異常電阻體時，只 需在此地形效應下直接作地表量測，而所得之值再除以其 偏差率，即可得此地形下有地下非均質體之視電阻率曲 線，藉由在某一層(或某一展距)下視電阻率異常的情形，

初步判釋異常體的大致位置。但如要代入反算程式得之地

K/K

深度層(n)

電源在無窮遠處

等電位面(equipotential surfaces) 電流線(current lines)

電流消散區

(dispersion zone) 電流聚集區

(focusing zone)

程式算出水平均質體之 電阻率

水平均質體量測值

程式算出有地形水平均 質體之電阻率

經E*修正後之擬水 平均質量測值

實際有地形均質量測值 實際有地形非均質量測值

L=0.1

L=0.2 L=0.3

L=0.4

L=0.5

ρ0

2.5cm 0.5cm

2cm 20cm

6 7

8 9 10

11 12

13 14

15 16 ...19,20 5

1,2 ...4

圖11 高山下挖洞試驗模型示意圖

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .6

0 5 10 15 20

距 離 (cm)

E

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖12 水平到高山之地形偏差率 E 曲線

電阻影像剖面，還必須作如下的修正；(b)利用先前測得水 平均質體之量測視電阻率

，分別以兩種方式代入反算程 式，一是直接代入水平模型不給予地形效應參數，而得出 水平均質電阻率剖面

；一是再給予地形效應參數，得出 程式在此地形下之電阻率剖面

；兩者做一相除的動作，

可得到數值程式上的地形偏差率

除水平量測值

，即可得到數值上有地形下之擬均 質體

。接著，只需將上述偏差率

ρ0

ρ_a

E=

中之

改為

即可做後續的處理。而所得之地形效應下之地電阻率剖 面，也比較容易判釋。

4.地形效應模擬與結果

本文分別做出不同之地形效應實體模型：山峰(圖 11

～圖 15)、窪地(圖 16～圖 20)與邊坡(圖 21～圖 25)模型；

(一)山峰模型模擬

(1) 先對此模型做一水平均質的量測(還未挖洞)，求得 水平均質視電阻率

。

(2) 接著，再對同一個模型做成有高山起伏的效應，並 在其上做地電阻量測，得出高山均質(還未挖洞)下 之視電阻率

。再與上所測之水平視電阻率

相 除，得一由水平到高山之地形偏差率

曲線如圖 12 所示，橫軸代表距離(cm)，縱軸代表 偏差率

離

形，且在展距

為山之坡角處，因為電流流經較密而造成之電阻值

0 5 00 10 00 15 00 20 00 25 00 30 00 35 00 40 00 45 00

0 5 10 15 20

距 離 (cm)

歐姆-cm

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖13 經偏差率修正後之更新視電阻率曲線

-10 0 10 20 30 40

0 5 10 15 20

距 離 (cm )

E*

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5

圖14 數值程式對高山地形之偏差率曲線

偏高的地形效應，最後因展距的擴大（如

後） ，地形效應的影響也逐漸變小；而在距離約 10cm 處，因高山的隆起處，電流流經較疏造成電阻值較 小的地形效應。

(3) 經過前面地形修正後，才將在高山地形效應下之挖 洞非均質體模型之視電阻率

，除以在此一地形 下之偏差率

電阻曲線，如此做法，一方面可適當的消除地形效 應所造成的影響；一方面一但地形的效應被消除，

地下有異常體的電阻值，即可明顯的表示出來，如 圖中可發現在距離約 10cm 處，也就是中間處，分 別在測深展距

應。

以上是對地形下之非均質體的視電阻率曲線 做修正，接著如要將結果展示於地電阻剖面上，

根據前述做法，必須做以下之修正步驟：

(1) 將原始所得之水平均質視電阻率

，代入反算程式，

但代入方式有二：一是直接代入(水平無地形)得

*0

ρ

；二是加入高山之地形效應後之電阻率

_。將

兩者相除即可得之程式對此地形效應下之地形偏差

率

0

*

*

ρ ρa

E =

。其數值應修正的偏差率曲線如圖 14，

E

距離(cm)

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

距離(cm)

歐姆─cm

距離(cm)

E*

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5

0

378

技術學刊 第二十一卷 第四期 民國九十五年

圖 15 高山挖洞經修正後之剖面影像。圖中方框為實 際位置

1cm

2cm

2.5cm

0.5cm 1,2 ...4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14

15 16 ...19,20 20cm

圖16 山谷下挖洞試驗模型示意圖

橫軸代表距離(cm)，縱軸代表數值上應修正的偏差 率

有因邊角而造成地電阻值偏高的情形，而此處應加 以修正。

(2) 接著，將此 E*去除原始水平之量測值

得一經數 值修正後的新值

作為原始擬均質體。利用此修 正擬均質體值再除有地形之直接量測值

，即可 得到經數值修正後之偏差率

(3) 為何需經此複雜方式所得偏差率的原因在於當假 設其反算程式對其地形的效應有修正能力時，如直 接量測出高山均質(還未挖洞)下之視電阻率

，代 入程式。發現其反算剖面並不呈現為均質體，且在 坡角及隆起處均有異常現象，如遇到地下異常結構 物時(如：空洞)，其結果無法判釋。但將直接量測 視電阻率值

，透過修正偏差率

代入程式時，地形所造成的邊角效應，已有改善許 多。

(4) 最後才能將山峰下空洞模型直接量測值，與修正偏 差率

表下挖洞時之地電阻剖面影像，如圖 15，可發現 判釋的高電阻率區明確地在所挖洞的範圍附近，且 邊角上電阻率集中的現象也已改善。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 5 10 15 20

距 離 ( c m)

E

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖17 水平到山谷之地形偏差率 E 曲線

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 5 10 15 20

距 離 (m )

歐姆-cm

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖18 經偏差率修正後之更新視電阻率曲線

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 5 10 15 20

距離(cm)

E*

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖19 數值程式對山谷地形之偏差率曲線

(二) 窪地模型模擬

依據上述作法，可得出偏差率曲線以及經偏差率 修正後的更新視電阻率曲線，如圖 17～圖 19 所示。

發現在圖 18 中已可發現在距離 10m 處有一高電阻反 應，而其剖面(如圖 20)其空洞也在預設之位置上。

(三) 邊坡模型模擬：

依據前述作法，可得出偏差率曲線以及經偏差率 修正後的更新視電阻率曲線，如圖 21～圖 24 所示。

發現在圖 23 中已可發現在距離 10m 處有一高電阻反 應，而其剖面(如圖 25)其空洞也在預設之位置上。

Model resistivity with topography Iteration 3 RMS error=31.5

Wenner

Elevation

unit electrode spacing=1.0m Resistivity in ohm.m

2.0

0.0 1.0

-1.0 -2.0

0.0 4.0

8.0

12.0

16.0

1500 1300 1100 700 900

500 300 100

距離(m)

歐姆─cm

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

距離(cm)

E*

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6 距離(cm)

E

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

10

圖 20 高山挖洞經修正後之剖面影像。圖中方框為實 際位置

1,2... 6 7 8

9 10

11 12

13

14 15 ...19,20 0.5cm

2cm 4cm

30⁰

圖21 邊坡下挖洞試驗模型示意圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

距離(cm)

E

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖22 水平到邊坡之地形偏差率 E 曲線

四、結 論

配合本文地形對地電阻量測的結果，可發現：

1. 利用地形實驗直接求得偏差率，進而得出在地形效應下 之修正視電阻率曲線之方法，其優點再於可直接檢驗實 驗數據對其材料電阻率的靈敏度；且利用此曲線也可快 速的得知地下有無異常結構物來。所以在做有地形效應 下非均質體分析時，因不失為一快速且不錯的方式。

2. 如遇突起的地形(如高山)，其視電阻率曲線會較水平時 之曲線為低，是因電流流經較疏之故，所以得之偏差率 也往往小於一。

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

距離(cm)

歐姆-cm

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖23 經偏差率修正後之更新視電阻率曲線

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 5 10 15 20

距離(cm)

E*

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

圖24 數值程式對山谷地形之偏差率曲線

圖25 邊坡挖洞經修正後之剖面影像

（圖中方框為實際位置）

3. 如遇窪地地形(如山谷) ，其視電阻率曲線會較水平時之 曲線為高，是因電流流經較密之故，所以得之偏差率也 往往大於一。

4. 且上述兩種情形，不論是實際量測作修正或以程式作修 正，均有此現象發生。且隨著電位展距距地形起伏地區 愈遠時，受地形影響愈小，當電位展距延伸至相當距離 後，地形效應不再產生。

所以視電阻曲線對應之地下非均質體所造成之異常，

常會受到地形效應的影響所掩飾，造成異常現象導致錯誤 的解釋，但如能利用此類模型與方法，如遇現地地形崎嶇

Model resistivity with topography Iteration 5 RMS error=7.2

Wenner

Elevation

unit electrode spacing=1.0m Resistivity in ohm.m

0.0

-2.0 -1.0

-3.0 -4.0

0.0 4.0

8.0

12.0 16.0

1500 1300 900 1100

500 700 300 100

1,2... 6 7 8

9 10

11 12 13

14 15 ...19,20 0.5cm

2cm 4cm

30˚

距離(cm)

E*

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

距離(cm)

E

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6

Model resistivity with topography Iteration 6 RMS error=4.4

Wenner

Elevation

unit electrode spacing=1.0m Resistivity in ohm.m

0.0

-2.0 -1.0

-3.0 -4.0

0.0 4.0 8.0

12.0

16.0

1500 1300 1100 700 900

300 500 100 -5.0

距離(cm)

歐姆-─cm

a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6