2-2 函數性質的判定班級：

2-2 函數性質的判定

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函數性質的判定

一階檢定法：利用一階導數來判斷函數的遞增區間及遞減區間與極值可能發生的位置。

二階檢定法：利用二階導數來判斷函數圖形的凹向性與得出判斷極值。

最後，我們將對三次函數的圖形進行完整的分類。

※函數的遞增與遞減

若函數 f（x）在某一區間 I 滿足：

(1) 對任意 x1，x2 ∊ I，若 x1＜x2，則 f（x1）≦ 

f（x

(2) 對任意 x1，x2 ∊ I，若 x1＜x2，則 f（x1）＜ 

f（x

(3) 對任意 x1，x2 ∊ I，若 x1＜x2，則 f（x1）≧ 

f（x

(4) 對任意 x1，x2 ∊ I，若 x1＜x2，則 f（x1）＞ 

f（x

例題1--- 試求下列各函數在哪些區間遞增？

(1) f（x）函數圖形如下圖。

(2) f（x）＝x³。

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隨堂練習--- 試求函數 f（x）＝x²－2x＋3 的遞增區間。

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※多項式函數增減性質的判定

設 f（x）為一次以上之多項式函數，

(1)若 f ′（x）≧0 在區間（a，b）都成立，則 f（x）在[ a，b ]上是嚴格遞增函數。即對任意

x

f（x

(2)若 f ′（x）≦0 在區間（a，b）都成立，則 f（x）在[ a，b ]上是嚴格遞減函數。即對任意

x

f（x

例題2--- 利用一階導數判斷函數  f（x）＝x² 的遞增區間及遞減區間。

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隨堂練習---

利用一階導數證明函數  f（x）＝2x＋3 在整個實數集合上是遞增函數。

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例題3--- 討論函數 f（x）＝x³－3x 的遞增區間及遞減區間。

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隨堂練習--- 討論函數 f（x）＝x³－12x 的遞增區間及遞減區間。

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函數在區間上不一定有最大值或最小值

有最小值，沒有最大值      有最大值，沒有最小值 如果函數在閉區間上是連續函數，則保證一定有最大值與最小值。

※最大最小值定理

若函數 f（x）在閉區間 [ a，b ] 上是連續函數，則 f（x）在 [ a，b ]上有最大值，也有最小 值。

一階檢定法

圖 18

在極大值或極小值發生時，切線都是水平的（如 B，C，D，E 四點），

而 P 點雖然有水平切線，但卻不是極值。

滿足 f ′（x）＝0 的是發生極值的“候選點”，這些 x 值稱為函數 f（x）的臨界點。

※臨界點

設 f（x）為一次以上之多項式函數，則 f ′（x）＝0 的解稱為此多項式函數的臨界點。

例題4--- 試求函數 f（x）＝x³－3x²－9x－7 的臨界點。

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隨堂練習--- 試求函數 f（x）＝2x³＋3x²－12x＋1 的臨界點。

函數的極值

設某函數 f（x）在區間 [ a，b ] 上的圖形變化如下圖。

極大值：在 B 點是“山峰”，函數在 B 點的值都比附近的值大，稱相對極大值。同理，

在 D 點與 F 點也有相對極大值。

極小值：函數  f（x）在 A，C，E 點有相對極小值。

最大值：在 D 點有最大值。 ( 整理來看 f（x）在 D 點最高，A 點最低 ) 最小值：在 A 點有最小值。

※極大值與極小值得定義

設 c 為函數 f（x）定義域中的一點。

(1) 若在 c 附近的每一個點 x 都有 f（c）≧f（x），則稱 f（c）是 f 的一個相對極大值。

(2) 若在 c 附近的每一個點 x 都有 f（c）≦f（x），則稱 f（c）是 f 的一個相對極小值。

※最大值與最小值

設 c 在函數 f（x）的定義域中，

(1)若對定義域中的每一個 x，都有 f（c）≧ f（x），則稱 f（c）為最大值。

(2)若對定義域中的每一個 x，都有 f（c）≦ f（x），則稱 f（c）為最小值。

※函數極值的一階檢定法

設 c 為一次以上之多項式函數 f（x）的臨界點，即 f ′（c）＝0，

(1) 如果在 c 附近，左側有 f ′＞0，右側有 f ′＜0，則 f（c）是極大值。

(2) 如果在 c 附近，左側有 f ′＜0，右側有 f ′＞0，則 f（c）是極小值。

(3) 如果在 c 附近，左右兩側的 f ′同號（同正或同負），則 f（c）不是極大值也不是極小 值。

(1) 極大值      (2) 極小值

例題5--- 試求函數 f（x）＝x⁴－4x³－8x²＋5 的極值與發生極值的 x 值。

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隨堂練習--- 試求函數 f（x）＝－3x⁴－4x³＋12x²＋2 的極值與發生極值的 x 值。

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例題6--- 試求函數 f（x）＝x⁴－4x³ 的極值與發生極值的 x 值。

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隨堂練習--- 試求函數 f（x）＝－x³＋3x²＋1 的極值與發生極值的 x 值。

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由最大最小值定理可知，限制在閉區間上的多項式函數，必有最大值與最小值，此時要留 意最大值與最小值可能發生在端點上。

例題7--- 函數 f（x）＝2x³＋ax²＋bx＋1，其中 a，b 皆為常數。若 x＝1 時，f（x）有極大值 6，試求

a，b 的值。

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隨堂練習--- 已知函數 f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c 在 x＝－1 時有極大值 7，在 x＝3 時有極小值，試求序組

（a，b，c）。

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例題8--- 試求函數 f（x）＝x³－12x＋6 在 [ －4，5 ] 的最大值，並求何處發生。

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隨堂練習--- 試求函數 f（x）＝－2x³＋3x² 在 [ －1，2 ] 的最大值與最小值。

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例題9--- 小穎想設計一個底面為正方形，且表面積為 108 平方英吋的無蓋盒子，如果厚度不計，試問 應如何設計才有最大的體積？

--- 設此盒子正方形底面的一邊長為 x 英吋，盒高為 h 英吋，如圖 26，體積為

f（x）＝x²

h 立方英吋。因表面積為 x

108 2

4

x x

 ，

故體積為 f（x）＝x²

h＝x

4

x x

  

 

  ＝－

3

4

x

我們要求 f（x）的最大值，但注意到 x 是邊長，故 x＞0

總表面積為 108，且 x²＋4xh＝108，所以 x²＜108，故 x＜ ¹⁰⁸ 因此問題變成在 0＜x＜

108 時，求函數 f（x）＝－

3

4

x

由導函數 f ′（x）＝－

3 2

4

x

x

f ′（x）

f（x） 0 108 0

增減 ↗ ↘

極大值

得 f（0）＝0，f（6）＝108，f（ ¹⁰⁸）＝0，故在 x＝6 有最大值 108（立方英吋），

此時箱子的長、寬、高分別為 6、6、3 英吋。

隨堂練習--- 小芬沿著河流想圍出一個長方形區域，如圖 27，鄰河的一邊不需要圍籬笆，若小芬準備了 長度 40 公尺的籬笆，試求小芬可以圍出的最大面積。

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※函數圖形的凹向性判別

設 f（x）為二次以上之多項式函數，

(1)若在區間（a，b）中 f ″（x）≧ 0，則 f（x）的圖形在（a，b）凹向上。

(2)若在區間（a，b）中 f ″（x）≦ 0，則 f（x）的圖形在（a，b）凹向下。

凹向上      凹向下

例題10--- 討論函數 f（x）＝x³－3x 的凹向性。

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隨堂練習--- 討論函數 f（x）＝－2x³－4x＋1 的凹向性。

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※反曲點

若 f（x）在 x＝c 處有切線，且 f（x）的圖形在點（c，f（c））兩側的凹向 相反，則稱（c，f（c））為 f（x）圖形的反曲點。

若 f（x）為多項式函數，則在反曲點左右兩側的二階導數會是一正一負，故在反曲點的二 階導數為 0。

要注意的是滿足 f ″（c）＝0 的點只是“反曲點候選點”。例如：f（x）＝x⁴， 雖然 f ″（0）＝0，但（0，0）並非反曲點。

例題11--- 試求函數 f（x）＝x⁴－4x³ 的反曲點。

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隨堂練習--- 試求函數 f（x）＝x³－6x²＋12x＋1 的反曲點。

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函數極值的二階檢定法

※二階檢定法

設 f（x）為二次以上之多項式函數，且 f ′（c）＝0，

(1)若 f ″（c）＞0，則 f（c）是極小值。

(2)若 f ″（c）＜0，則 f（c）是極大值。

(3)若 f ″（c）＝0，則二階檢定法不適用。

極小值      極大值

例題12--- 利用二階檢定法求函數 f（x）＝3x⁵－5x³ 的極值。

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隨堂練習--- 利用二階檢定法求 f（x）＝x⁴－4x³＋2 的極值。

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三次多項式函數的繪圖

f ′（x）

f ″（x）

略圖 .

例題13--- 試描繪三次函數 f（x）＝2x³－9x²＋12x－1 的圖形。

---

隨堂練習--- 試描繪三次函數 f（x）＝－x³＋3x²＋1 的圖形。

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※三次函數圖形的分類

f（x）＝ax

f ′（x）＝3ax

b a

 。

而 f ′（x）＝0 根的性質要利用二次函數的判別式 D＝4（b²－3ac）。

三次函數 f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d 的圖形分類如下：

f ′（x）＝

0

兩相異實根 兩重根 沒有實根

a 的正負 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0

圖形

判別式

b

b

b

.

例題14--- 設三次函數 f（x）的最高次項係數為 1，其圖形的反曲點在（－1，－9），又 x＝－1 是臨 界點，試求 f（x）。

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隨堂練習--- 設三次函數 f（x）其圖形的反曲點在（1，3），又 x＝1 是臨界點，且 f（0）＝4，

試求 f（x）。

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例題15--- 若多項式函數 f（x）＝x³－3x＋a 在 f（x）＝0 有三相異實根，試求 a 的範圍。

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隨堂練習--- 若多項式函數 f（x）＝x³－12x＋a 在 f（x）＝0 只有一實根，試求 a 的範圍。

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例題16--- 一架小飛機在跑道西邊四哩處，由 1 哩的高度開始下降，如圖。

設 O 點為原點，過 O 點的水平線為 x 軸，鉛垂線為 y 軸，單位為哩。

已知飛機在此範圍的飛行軌跡為某三次函數圖形的一部分，且此三次函數在 x＝－4 有極大 值，x＝0 有極小值，試求此三次函數。

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隨堂練習--- 承例題 16，在降落的過程中，飛機的軌跡在何處的切線斜率最小？

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習題2-2 一、基本題

1. 試求下列函數的臨界點：

(1) f（x）＝2x²－4x＋5。

(2) f（x）＝x³＋3x²－24x＋7。

2. 討論下列各函數在哪些區間遞增？哪些區間遞減？

(1) f（x）＝－2x²＋4x＋3。

(2) f（x）＝2x³－9x²＋12x＋5。

(3) f（x）＝（x＋2）²（x－1）。

3. 試求下列函數的極大值與極小值：

(1) f（x）＝x³－2x²＋x＋1。

(2) f（x）＝1

5 （x⁵－5x）。

4. 設函數 f（x）＝2x³＋6x²－3，

(1)討論 f（x）的凹向性。

(2)試求 f（x）的反曲點。

5. 描繪函數 f（x）＝x⁵－5x＋1 的圖形。討論凹向性，並求其反曲點。

6. 設 f（x）＝x³－6x²＋9x＋5。函數 f（x）有幾個極值？

7. 下列哪些選項是正確的？

(A)每一個三次函數的圖形都恰有一個反曲點 (B)三次函數必有極大值與極小值

(C)若 P 點為三次函數的反曲點，則函數在 P 點的切線斜率必為 0 (D)三次函數沒有最大值

(E)三次函數圖形若有反曲點，極大值與極小值，則三點的 x 坐標成等差數列 二、進階題

8. 試求函數 f（x）＝2x³＋3x²－12x－2 在區間 [ －3，3 ] 內的最大值，最小值，極大值與極 小值。

10. 若函數 f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c 在 x＝0 與 x＝2 分別有極大值與極小值，且極小值是 3，

試求 a，b，c 與極大值。

11. 設實係數函數 f（x）＝x³＋ax²＋bx＋2 在－1≦x≦3 時遞減，在 x≦－1 或 x≧3 時遞增，

試求 a，b 的值。

12. 下列兩圖中，同時畫出 f（x），f ′（x），f ″（x）的圖形，試問此三個圖形各是 Γ1，Γ2，

Γ

(1) (2)

13. 小芬想要製作一個有蓋的盒子，於是她在長 16 公分，寬 10 公分的厚紙板上，剪下圖中 斜線部分的正方形與長方形，再沿虛線摺疊，試求剪下的正方形邊長為多少公分時？盒 子的容積最大。

14. 已知拋物線 Γ：y＝4－x² 與 x 軸的交點為 A（－2，0），B（2，0）。今有一梯形以 ^AB

為下底，且其上底 ^CD 在 x 軸上方，C，D 兩點都在 Γ 上，試求此梯形的最大面積。

三、挑戰題

15.若三次函數

f（x

f（x