式的運算

式的運算

第 章

01

式的運算

1-1

重點一 多項式的定義與性質

1. 多項式的類型：

(1)常數：如 0、2、 3 、…等。

(2)變數：x 、y、…等。

(3)若 A、B 均為多項式，則A B 、 A B 、 A B 亦為多項式。

因此使用有限個常數或變數，進行有限次數的加、減、乘法後，所得到的式子即為多項 式。

2. 多項式中的變數：

(1)元：若多項式中含有n 種變數文字，則稱為「n 元多項式」。

(2)常數多項式：若多項式中不含變數，則稱為「常數多項式」。

之後若未特別說明，本書所說的「多項式」均指一元多項式或常數多項式。

3. 多項式的係數、次數：

(1) x 的多項式皆可化為a x_n ⁿ a x_n1 ^n1  a x a₁  ₀形式，其中n 為非負整數、a ，₁ a ，…，₂ a 分別稱為n x，x ，…，² x 項的ⁿ 係數、a 稱為₀ 常數項。

由於多項式函數很常見，故常以函數符號來表示多項式，如以函數 _{f x( )}表示多項式

1

1 1 0

n n

n n

a x a x_ ^   a x a 。

(2)設多項式 f x( )a x_n ⁿ a x_n1 ^n1  a x a₁  ₀：

①當a_n  時，稱0 a 為「多項式_n f x( )的領導係數」；此時多項式 _{f x( )}的次數為n，以

「_{deg ( )f x n}」表示。

②稱a 為多項式₀ f x( )的「常數項」。

③常數項a₀  f(0)，多項式 _{f x( )}的各項係數和a₀  a₁  a_n  f(1)。 (3)設多項式 f x( ) 為常數多項式。 a₀

①a₀  時：稱 ( )0 f x 為「零次多項式」，其次數為 0。

②a₀  時：稱 ( )0 f x 為「零多項式」，其次數不存在。

4. 多項式的相等：

當多項式 _{f x( )}、_{g x( )}的次數、同次項係數均相等時，稱兩個多項式相等，即 _{f x( )g x( )}。 此時將x 以任意常數 c 代入，均使 f c( )g c( )成立。

設多項式 f x( ) 3x²  9 2x⁴5x x 。 ³ 試求：

(1)將 f x( )以降冪排列。

(2) f x( )的次數。

(3) f x( )的領導係數。

(4) f x( )的常數項。

(5) f x( )的_x³項係數。

(1) f x( ) 2x⁴ x³ 3x² 5x 。 9 (2)因最高次項為2x⁴，故次數為4。

(3)因最高次項為2x⁴，故領導係數為_2。 (4)常數項為9。

(5)因x³項為_x³，故_x³項係數為_1。

設多項式 f x( ) 5 x² 7x⁶9x⁵ x 3x⁴。 試求：

(1)將 f x( )以升冪排列。

(2) f x( )的次數。

(3) f x( )的領導係數。

(4) f x( )的常數項。

(5) f x( )的_x⁴項係數。

(1) f x( )  x 5x²3x⁴9x⁵7x⁶。 (2)因最高次項為7x⁶，故次數為6。

(3)因最高次項為7x⁶，故領導係數為_7。 (4)無常數項，表示常數項為 0。

(5)因x⁴項為_3x⁴，故_x⁴項係數為3。

設 f x( ) ( p4)x⁴qx³ (r 1)x²7x 為5 二次多項式，其中p q r、 、 均為實數。求p、q 的值？

由於次數為二次，故 4 0

p  且q 且0 r 1 0。 化簡可得_{p 4}、_q0。

設 f x( ) ( a2)x²  (b 4)x c  為 零 多 項1 式，其中a b c、 、 均為實數。求數對( , , )a b c 。

因為是零多項式，故 2 0

a  且_{b 4 0}且_{c 1 0}。 因此( , , ) ( 2, 4, 1)a b c    。

多項式的次數、係數 多項式的次數、係數

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

教師演示 2 基 礎 題 學生練習 2

式的運算

類題 1

設 f x( ) ( a5)x² (b 7)x 為零次多項式，其中 a b3 、 均為實數。求數對( , )a b 。 (5, 7)

設 f x( ) (2 a1)x²9x b  、 1 ( ) 7 2 ( 4) 5

g x  x  c x 為兩多項式，其中a、 b、c為實數。若f x( )g x( )，求數對_{( , , )a b c} 。

比較係數得2a 1 7 且_{9 c 4}且_{b 1 5}， 故( , , ) (3,6,13)a b c  。

設 f x( ) 4 x² 6ax 、9 g x( )bx² 12x c 為兩多項式，其中_a、_b、_c為實數。若

( ) ( )

f x g x ，求數對_{( , , )a b c} 。 因 f x( )g x( )，

故_b4且_{6a 12}且_{9 c} ， 化簡可得( , , ) ( 2, 4,9)a b c  

類題 2

設 f x( )ax³bx²cx d 、g x( ) 3 x²4x 為兩多項式，其中5 a、b、c、_d為實數。若 ( ) ( ) 6

f x g x  ，求數對_{( , , , )a b c d} 。

(0,3, 4,11) 多項式的相等

教師演示 3 基 礎 題 學生練習 3

設 f x( ) (2 x³4x²6x8)(9x10)，求 _{f x( )} 的展開式中：

(1)常數項之值。

(2)各項係數之和。

(3)x 項的係數。 ³

(1)常數項為 f(0) ( 8)( 10) 80    。 (2)各項係數之和為

(1) (2 4 6 8)(9 10) f          。 ( 4)( 1) 4

(3)x 項的係數：³ 2 ( 10) ( 4) 9       56

設 f x( ) 3 x³4x² 5x 、 6

3 2

( ) 4 3 2 1 g x  x  x  x ， 求 _{f x g x( ) ( )}的展開式中：

(1)常數項之值。

(2)各項係數之和。

(3)x 項的係數。 ²

(1)常數項為 f(0)g(0) 6 1 6   。 (2)各項係數之和為

(1) (1) f g

(3 4 5 6)(4 3 2 1)

       18 10 180

   。

(3)x 項的係數：² 4 1 5 2 6 3 32      

類題 3

設 f x( ) (3 x²4x5)²，求 _{f x( )}的展開式中：(1)常數項之值 (2)各項係數之和 (3)x 項的係數。 ³

(1) 25 (2) 16 (3)24

設a、b、c、d、e 為實數，已知多項式 ( ) (3 2)4

f x  x ax⁴bx cx³ ² dx e，求 a b c d e    之值。

a b c d e    ( 1) ( 3 2)4 1

 f     

設a、b、c、d、e 為實數，

若兩多項 f x( ) (2 x²3x4)²、

4 3 2

( )

g x ax bx cx dx e 相等，

則a b c d e    之值為何？

a b c d e   

(1) (1) (2 3 4)4 1

g f

     

多項式 _{f x( )}的常數項為 _f(0)、各項係數和為 _f(1)

多項式的相等

教師演示 5 基 礎 題 學生練習 5

教師演示 4 進 階 題 學生練習 4

式的運算

類題 4

設a、b、c、d、e 為實數，已知多項式 f x( ) (5 x7)⁴與g x( )ax⁴bx³cx² dx e 相等，

求a b c d e    之值。

16

重點二 多項式的加法與減法

1. 多項式的加法：

兩多項式相加時，將兩多項式中的同次項合併（係數相加、文字不變）後所得的多項式，

即為兩多項式之和。

2. 多項式的減法：

兩多項式相減時，將兩多項式中的同次項合併（係數相減、文字不變）後所得的多項式，

即為兩多項式之差。

已知 f x( ) 4x² 7x 、 6

3 2

( ) 3 2 8

g x  x x  x ，化簡下列各式：

(1) f x( )g x( ) (2) f x( )g x( )。 (1) f x( )g x( )

3 ( 4 3) 2

x x

     (7 2)x  (6 8)

3 2 5 14

x x x

    。

(2) f x( )g x( )

3 2

(0 1)x ( 4 3)x

       [7 ( 2)]x (6 8)

3 7 2 9 2

x x x

     。

已知 f x( ) 4x³6x²7x 、 5 ( ) 4 3 1

g x   x   ，化簡下列各式： x (1) f x( )g x( ) (2) f x( )g x( )。

(1) f x( )g x( )

3 2

[( 4) ( 4)]x 6x

      (7 1)x   ( 5 1)

3 2

8x 6x 6x 4

     。

(2) f x( )g x( )

3 2

[( 4) ( 4)]x 6x

     [7 ( 1)]  x   ( 5 1)

6x2 8x 6

   。

同次項合併

教師演示 6 基 礎 題 學生練習 6

類題 5

已知 f x( ) 9 x³6x²5x 、4 g x( ) 2 x³x²2x 、1 h x( )x² 3x ，化簡下列各式： 5 (1) f x( )g x( )h x( ) (2) f x( )g x( )h x( )。

(1)11x³8x² (2)7x³4x² 10x8

重點三 多項式的乘法

1. 多項式的乘法：

兩多項式相乘時，以乘法的分配律展開並將同類項合併，可得兩多項式之積。

2. 多項式的乘法運算：

(1)橫式乘法：

直接以乘法對加法的分配律展開化簡。通常用於兩多項式項數不多時。

(2)直式乘法：

將兩多項式寫成兩列，並依次方對齊排列後（遇缺項時要補0）逐項乘開，並按照次 數進行同次項的合併。運算時可採「分離係數法」將變數符號省略掉，並於運算結束 後補回。

3. 常用的乘法公式－平方差公式：

(1)(a b a b )(  ) a²  (2)b² (a b )² a²2ab b ² (3)(a b )² a²2ab b 。 ²

已知 f x( ) x²10x 、 12 ( ) 5 2 6 8

g x  x  x ，求2 ( ) 3 ( )f x  g x 的展開 式。

2 ( ) 3 ( )f x  g x

2 2

2(x 10x 12) 3(5x 6x 8)

     

2 2

2x 20x 24 15x 18x 24

     

13x2 2x

   。

已知 f x( ) 8 x²4x 、 10 ( ) 3 2 5 6

g x  x  x ， 求 f x( ) 2 ( ) g x 的 展 開 式。

( ) 2 ( ) f x  g x

2 2

(8x 4x 10) 2(3x 5x 6)

     

2 2

8x 4x 10 6x 10x 12

      2x2 6x 22

  

同次項合併

教師演示 7 基 礎 題 學生練習 7

式的運算

類題 6

已知 f x( ) 6 x²9x 、7 g x( ) 2 x²3x ，求4 f x( ) 3 ( ) g x 的展開式。

12x218x5

已知f x( ) 3x²  、4x 5 g x( )   ，求x² 2x 1 ( ) ( )

f x g x 的展開式。

3 4 5

) 1 2 1

3 4 5

6 8 10 3 4 5

3 10 0 14 5

  

  

  

  

  

    

故 f x g x( ) ( )

4 3

3x 10x 14x 5

     。

已 知 f x( ) 2 x²  、x 6 g x( ) 2 x² ， 求3 ( ) ( )

f x g x 的展開式。

2 1 6

) 2 0 3

6 3 18

0 0 0

4 2 12

4 2 18 3 18

 

  

  

  

 

   

故 f x g x( ) ( )

4 3 2

4x 2x 18x 3x 18

     。

類題 7

已知 f x( ) 2 x³3x² 、7 g x( ) 2 x²  ，求1 f x g x( ) ( )的展開式。

5 4 3 2

4x 6x 2x 17x 7 多項式的直式乘法（缺項須補0）

教師演示 8 基 礎 題 學生練習 8

求下列各多項式的展開式：

(1)(5x4)(5x4)。

(2)(2x3)(2x3)(4x² 。 9) (3)(3x5)²。

(1) (5x4)(5x 4)

2 2 2

(5 )x 4 25x 16

    。

(2)(2x3)(2x3)(4x² 9)

2 2 2

[(2 )x 3 ](4x 9)

  

2 2

(4x 9)(4x 9)

  

2 2 2 4

(4 )x 9 16x 81

    。

(3)(3x5)² 9x²30x25。

求下列各多項式的展開式：

(1)(6x7)(6x7)。 (2)(x1)(x1)(x² 。 1) (3)(2x7)²。

(1) (6x7)(6x 7)

2 2 2

(6 )x 7 36x 49

    。

(2)(x1)(x1)(x² 1)

2 2 2

(x 1 )(x 1)

  

2 2 2 4

( )x 1 x 1

    。

(3)(2x7)² 4x²28x49。

類題 8

求下列各多項式的展開式：

(1)(x2)(x2)(x²  。 (2)4) (4x3)²。

(1)x⁴ 16 (2)16x²24x9

重點四 多項式的除法

1. 多項式的除法：

(1)表示法：

兩多項式_{A x( )}、_{B x( )}間的除法常寫成「_{A x}^被除式_{( )B x}^除式_{( )Q x}^商式_{( )r x}^餘式_{( )}」，其中_{A x( )B x( )} 唸作「_{A x( )}除以_{B x( )}」或「_{B x( )}除_{A x( )}」。

(2)除法原理：

若多項式_{B x( ) 0} ，則存在唯一的多項式_{Q x( )}、_{r x( )}，使得多項式 ( ) ( ) ( ) ( )

A x B x Q x r x

被除式 除式 商式 餘式

，其中餘式r x 的次數要低於除式( ) B x( )的次數或r x( ) 0 。 (3)整除：

多項式的橫式乘法（利用乘法公式）

教師演示 9 基 礎 題 學生練習 9

式的運算

2. 多項式的除法運算(一)－直式除法（長除法）：

將橫式除法的步驟改寫，即可得長除法。計算須將被除式、除式兩多項式依降冪排列，

遇有缺項時須補0。可採用「分離係數法」將變數符號省略掉，並於運算結束後補回。

底下以實例說明。

求(2x³5x²6x 7) (x²2x 的商式和餘式。 3)

2 3 2

3 3

3 2

2 2 2

3

2 1

2 3 2 5 6 7

2 4

0 0 0

6

1 0 7

1 2 3

2 4 0

x

x x x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x









    

 

 

 

 

或

2 1

1 2 3 2 5 6 7

2 4 6

1 0 7

1 0

2 3 2

0

4



    

 

  

  







 故商式為2x 、餘式為 21   。 x 4

求 (4x³7x²  9) (x²2x3) 的 商 式 及 餘 式。

4 1

1 2 3 4 7 0 9 4 8 12

1 12 9

1 2 3

14 12



    

 

  

  

 

故商式為_4x1、餘式為14x 。 12

求(6x³x² 7) (2x²  的商式及餘式。x 3) 3 2

2 1 3 6 1 0 7

6 3 9

4 9 7

4 2 6

7 1



    

 

 

 

 

故商式為3x 、餘式為 72   。 x 1

類題 9

設 f x( ) 6 x³13x²10x 、9 g x( ) 2 x²3x ，求1 f x( )g x( )的商式及餘式。

商式_3x2、餘式19x 7 解

例

長除法（缺項須補0）

教師演示 10 基 礎 題 學生練習 10

重點五 綜合除法

多項式的除法運算(二)—綜合除法：

當除式是1 次且領導係數為 1 時，長除法會有多個數字重複，去掉重複的數字並重新排列 後即為綜合除法。除式的領導係數不為1 時可透過除法原理修正商式，仍可以綜合除法求 得。底下以實例說明。

求(3x³4x²5x 6) (x 的商式和餘式。 2) 令除式x 2 0 ^移項變號 x 2

3 4 5 6 6 4 2 2 1 4 2

3

  

















3 4 5 4 2 2 1 4 6 2 6

3



  



 





 

3 4 5 6 2 6

3 2

4 2 1 4



  















3 4 5 6 2 6 4

4 3 2

2

 

  

 





3 4 5 6 2 6 4 2 3 2 1 4

  

  

 







3 4 5 6 2 6 4 2 3 2 1 4

  

  

  





3 4 5 6 2 6 4 2 3 2 1 4

  

   

  

故商式為3x²2x1、餘式為4。

代表除式的^2亦可寫到右邊，使上面的算式變成

3 4 5 6 6 4 2 2 3 2 1 4

  

   

  

，並不影響商式和

餘式的計算。本書採用維基百科的寫法，將之寫到左邊，在處理連續綜合除法問題時也 較不易出錯。同學可依自己的習慣書寫。

求(6x³5x²3x 7) (2x 的商式和餘式。 1) 除式2 1 2( ¹)

x  x2 ，令 ¹ ₀ ¹

2 2

x  ^移項變號 x 

故商式為3x² x 2、餘式為9。

由綜合除法知^{(6x35x23x7) (1 x1}₂⁾的商式為_6x²_2x4、餘式為9。

由除法原理知₆ ³ ₅ ² _{3 7 (1} ¹₎₍₆ ² _{2 4) 9} x  x  x  x2 x  x  。 調整係數可得

2 2

3 2 2

6x 5x 3x 7 (2^除式x^1) (3x ^商式1^x 2) ^餘式不變9 。 註

說明 例 解 解 例

3 2

3 2

6 5 3 7 1 3 1 2

2 1

2 6 2 4 9 (6 5 3 7) (1 )

3 1 2 (6 5 3 7) (2 21)

x x x x

x x x x

  

   

        

      

的商式和餘式 的商式

式的運算

求_3x³_4x²_3x9除以x 的商式和餘式。2 作 (3x³4x²3x 9) (x2) 的 綜 合 除

法：

令除式x  ，移項可得2 0 x  。 2 3 4 +3 9

2 +6 +4

3 2 7 5

 



   

故商式為_3x²_2x7、餘式為5。

求_4x³_10x² _3x7 除 以 x 的 商 式 和 餘3 式。

作 (4x³10x²3x 7) (x3) 的 綜 合 除 法：

令除式x  ，移項可得3 0 x  。 3 4 10 3 7

3 12 +6 9

4 2 3 2

  

  

   

故商式為_4x² _2x3、餘式為2。

類題 10

求_{ x}³ _22x14除以x 的商式和餘式。 5

商式為_{ x}² _5x3、餘式為_1 綜合除法

教師演示 11 基 礎 題 學生練習 11

求_8x³_14x²_7x16除以2x 的商式和餘5 式。

作 (8x³14x²7x16) (2 x5) 的 綜 合 除法：

令除式2x  ，移項可得5 0 ⁵ x 2。 8 14 7 16

5 20 15 20

2

2 8 6 8 4

4 3 4

  

   

    

  

故商式為_4x²_3x4、餘式為4。

求(9x³6x²8x 5) (3x 的商式和餘式。1) 作 (9x³6x²8x 5) (3x 的 綜 合 除1)

法：

令除式3x  ，移項可得1 0 ¹ x 3。

9 6 8 5

1 3 1 3

3

3 9 3 9 8

3 1 3

  

   

   

 

故商式為_3x²_{ x 3}、餘式為8。

類題 11

求_2x³_7x²_8x9除以2x 的商式和餘式。 3

商式為_x²_2x1、餘式為 6 綜合除法

教師演示 12 進 階 題 學生練習 12

式的運算

01

自我 評量 _評量

自我

式的運算

1. 設f x( )ax⁴ (2b1)x³(3c6)x²(d5)x7e為1 次多項式，其中a、b、c 均為實數。

則數對_{( , , )a b c  (0, , 2)}¹ 2  。

2. 設f x( ) ( a4)x² (b 5)x c  為零多項式，其中 a b c7 、 、 均為實數。則數對 ( , , )a b c  ( 4,5, 7)  。

3 設f x( ) (2 a1)x² 6x b  、3 g x( ) 5 x²cx 為兩多項式，其中 a、b、c 為實數。若8 ( ) ( ) 2

f x g x  ，則數對_{( , , )a b c  (3,7, 6)} 。

4 設a、b、c、d、e 為實數，已知多項式 f x( ) (2 x1)⁴與g x( )ax⁴bx³cx²dx e 相等，

則：

(1)a b c d e    之值為 ₈₁ ；(2) a b c d e    之值為 1 。 5. 設f x( ) (2 x³3x² 6x5)(7x ，則8) f x( )的展開式中：

(1)常數項為 40 ；(2)各項係數之和為 2 。

6. 已知f x( ) 8 x³6x²4x 、5 g x( ) 5 x³x²4x ，則： 3

(1) f x( )g x( ) 13x³5x² 8 ，(2) f x( )g x( ) 3x³7x²8x2 。 7. 已知f x( ) 4 x³5x 、6 g x( ) 2x²  ，則x 3 3 ( ) 2 ( )f x  g x 的展開式為

3 2

12x 4x 17x24 。

8. 已知f x( ) 2 x³  、 ( )x 3 g x   ，則x 2 f x g x( ) ( )的展開式為 _2x⁴_4x³_x²_5x6 。 9. 已知f x( ) 2 x²3x 、4 g x( ) 2 x²  ， x 3

則 _{f x g x( ) ( )}的展開式為 _4x⁴_4x³_11x²_5x12 。 10. 求下列各多項式的展開式：

(1)(6x2)(6x2) 36x²4 ；(2)(3x1)(3x1)(9x²  1) 81x⁴1 。

11. 設f x( ) 5x³8x12、g x( ) 7x³6x²  ，求x 4 f x g x( ) ( )的展開式中，_x⁴項的係數 為 _51 。

12. (1)( 2 x³x²7x 5) (2x² 3x 的商式為1)  x 2 、餘式為 _2x3 。 (2)6x³20x² 6x15除以x 的商式為3 6x²2x12 、餘式為 ₂₁ 。 (3)15x³7x²10x8除以3x 的商式為2 5x²  x 4 、餘式為 ₁₆ 。

13. 設f x( ) 4 x³10x²bx 、5 g x( )x²2x ，其中 a、b 為實數。若3 f x( )除以_{g x( )}的餘 式為  ，則b 8x 1 8 。

1-2

重點一 餘式定理

1. 餘式定理：

設 _{f x( )}為一多項式。

(1) ^{f x( ) ( x aa )的餘式 f a}

 

(2) ( ) ( )

b

f x a x ba b

f a

   

   

的餘式 。

(1) 設 f x( )除以x a 的商式為Q x( )、餘式為r。由除法原理知 f x( ) ( x a Q x ) ( )r。 令x a 代入上述恆等式可得 ^{f a}

 

 

(2)設 f x( )除以ax b 的商式為Q x( )、餘式為r。由除法原理知 f x( ) ( ax b Q x ) ( )r。 令_x ^b

 a代入上述恆等式可得 _f ^b _{0 Q} ^b _{r r}

a a

     

   

    ，故餘式為 _f ^b a

  

 。 2. 餘式定理的應用：

(1)求餘式：當除以一次多項式求餘式時，可令除式_0代入被除式，得餘式。

( ) 108 9 28

f x x  x 除以x 的餘式為1 f(1) 1 ¹⁰⁸  9 1 28  。 18 (2)求函數值：多項式函數 f x( )的函數值 f a

 

已知 f x( ) 5 x⁴30x³40x²25x50，則 f(7) f x( ) (  的餘式x 7)  20。

5 30 40 25 50

7 35 35 35 70

5 5 5 10 20

   

    

   

設 f x( ) 11 x²⁴⁶4x ，以3 x1除 f x 的餘( ) 式為何？

由餘式定理知 ( ) ( 1 1)

f x   的餘式^x  f( 1) 11 4 3 12

    。

設 f x( ) (2 x³6x²5x3)²⁰¹⁹， _{f x( )}除以 2

x 的餘式為何？

由餘式定理知 f x( ) ( x² 2)的餘式 f(2)

2019 2019

(16 24 10 3) ( 1) 1

        。 說明

例 例

餘式定理求餘式

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

式的運算

類題 1

設 f x( ) (8 x³6x²3x5)²，則 _{f x( )}除以x 的餘式為何？ 1

100

設 f x( ) 10 x⁴128x³25x²12x ，求8 ( 13)

f  之值。

由餘式定理知 ^f









餘式。

10 128 25 12 8 13 130 26 13 13

10 2 1 1 5

   

   

   

故所求為5。

設 f x( ) 4 x⁵11x⁴ 7x³10x²3x ，求5 ( 3)

f  之值。

由餘式定理知 ^f

 





式。

4 11 7 10 3 5

3 12 3 12 6 9

4 1 4 2 3 14

    

     

    

故所求為14。

類題 2

設 f x( ) 6 x⁴40x³17x²31x25，求 _f(7)之值。

45 餘式定理求函數值

教師演示 2 進 階 題 學生練習 2

若以x 除多項式1 ax³(4a1)x²12x 所5 得的餘式為4，則實數a 之值為何？

令 f x( )ax³(4a1)x²12x 。 5 由餘式定理知

( ) ( 1)

f x  x 的餘式為 _f(1)。

故4  a 1³ (4a     ， 1) 1 12 1 5² 化簡可得5a20，

故a 。 4

若以x 除多項式1 ax³(a1)x²  x 4所 得的餘式為8，則實數a 之值為何？

令 ( )f x  ax³(a1)x²   。 x 4 由餘式定理知

( ) ( 1)

f x  x 的餘為 _{f( 1)} 。

故8   a ( 1)³   (a 1) ( 1)²    ( 1) 4 化簡可得2a12，

故a 。 6

類題 3

若以x 除多項式1 10x³(a2)x²2ax 所得的餘式為 4，則實數 a 之值為何？ 1 5

多項式 _{f x( )}除以_x²_2x3的餘式為 7x ，則11 f x( )除以x 的餘式為何？ 3

由除法原理知可設

( ) ( 2 2 3) ( ) (7 11) f x  x  x Q x  x 。 由餘式定理知

( )

f x 除以x 的餘式為3 f( 3) 。 ( 3) 0 ( 3) ( 21 11) 10 f   Q       。

多項式 _{f x( )}除以(x2)²的餘式為4x ，則3 ( )

f x 除以x 的餘式為何？ 2 由除法原理知可設

( ) ( 2)2 ( ) (4 3) f x  x Q x  x 。 由餘式定理知

( )

f x 除以x 的餘式為2 f(2)。 (2) 0 (2) (8 3) 5

f  Q    。

除法原理、餘式定理 餘式定理求餘式

教師演示 3 進 階 題 學生練習 3

教師演示 4 進 階 題 學生練習 4

式的運算

類題 4

多項式 _{f x( )}除以_{(x2)(x3)}的餘式為₄x₅，則 f x_{( )}除以x 的餘式為何？ 2

 3

重點二 因式定理

1. 因式、倍式：

設A x( )、B x( )為多項式且B x( ) 0 。

若存在多項式_{Q x( )}，使得_{A x}^倍式_{( ) B x Q x}^因式_{( ) ( )}，則稱_{A x( )}是_{B x( )}的倍式，或稱_{B x( )}是_{A x( )} 的因式，並可記為「_{B x A x}^因式_{( ) | ( )}^倍式 」（唸作「B x( )整除A x( )」）。

由上述定義可知：

(1)0 多項式不能作為因式，但可以作為倍式（因為 0^倍式(x^因式 1) 0）。

(2)x²  1 1 (x² 1) (x1)(x ，但1) x²1的因式除了 1、x 、1 x 、1 x²1外，乘 以非零常數倍仍為因式，如2x （因為2 ² 1 1

1 (2 2)

2 2 x   x  x ）。 2. 因式定理：

設 f x( )為一多項式，

(1) ( )f x 有因式x a^a  f a

 

b

a b

a x b f a

      （其中a ）。 0

透過餘式定理，可得底下結論：

(1) ( )f x 有因式x a^a   整除 ( )x a f x  f x( )除以_{x a} 的餘式為^{0 f a}

 

(2) ( )f x 有因式

b

a x ba ax b 整除 ( )f x  f x( )除以ax b 的餘式為0 b 0 f a

     。

3. 因式分解：

(1)x 因式判別法： 1

設 f x( )a₀a x a x₁  ₂ ²   a x_n ⁿ，則

①x1是 f x 的因式( )         f( 1) 0 a₀ a a_{1 2} a₃  0 ②_x₁是 f x 的因式( ) f(1) 0      a₀ a a_{1 2} a₃  0 註

說明 說明