第三章 《九數存古》內容分析（上）

第三章 《九數存古》內容分析（上）

《九數存古》的內容共九卷，分為上、下兩冊。其中上冊內容為前六卷，包括卷一〈方 田章〉 、卷二〈粟米章〉 、卷三〈衰分章〉 、卷四〈少廣章〉 、卷五〈商功章〉 、卷六〈均輸章〉

等，並於卷二末附「天元算例」、卷四末附「開方算例」 、卷五末附「垛積術」三十六問。下 冊包括〈盈縮章〉、〈方程章〉、〈勾股章〉等後三卷，並於卷八末附「大衍術」七問、卷九末 附「四元術」十八問、 「旁要術」十三問、「重差術」八問、「夕桀術」一百零六問、「割圓弧 矢術」七問。 《九數存古》每卷開頭都以《九章算術》的題目為基礎說明基本的數學概念，再 輔以其他各家算書有特色之題目加以延伸推廣，以下便就各卷內容擇要逐一說明。

第一節 卷一〈方田章〉

〈方田章〉原是針對不同形狀的田地來計算面積，但其計算多涉及分數，因此，在《九 章算術》的「里田術」之後，出現了一連串說明分數運算的題目，以引出之後的觀念而加以 推廣。顧觀光因襲《九章算術》的編排方式，先介紹「方田術」和「里田術」 ，接下來介紹「約 分術」 、 「合分術」 、 「減分術」 、 「平分術」 、 「經分術」 、 「乘分術」等分數運算法則，再介紹「圭 田術」 、 「邪田術」 、 「箕田術」 、 「圓田術」 、 「弧田術」 、 「環田術」共十四問。

顧觀光於本書目錄中載及〈卷一〉共有三十四問，但經筆者比對實際上只有三十三問，

除前十四問取材自《九章算術》外，取自《田畝算法》

、 《算學啟蒙》及《數學九章》分別 各有十一問、四問與四問。

作者選取《九章算術》的部分，除了題目和答案之外，有些亦部分擷取了劉徽注、李淳 風的「云」 、李潢的細草和圖說、甚或其他人的說明，以及他個人的看法，集合彙整成為本書 的內容，期望給讀者一本最完整的學習教材。

茲舉《九數存古》第一卷之第一問為例：

今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。

方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，卽畝 數。百畝為壹頃。

李淳風云：此為篇端，故特舉頃、畝₄₆

本題對於大多數的讀者而言，都是很直觀的，即使沒有附圖來說明，應該亦能接受。也因此，

在《九數存古》中，顧觀光於「方田」 、 「里田」兩題只取《九章算術》的「術曰」 ，但自「約 分術」起，術後有草，表示他認為自「約分術」起難度加深，如果再加上李潢的「細草」 ，將 有助於讀者的了解。此外，在「乘分」一題的「術曰」底下，顧觀光引述「李籍云：自合分

45 本書全名應是《田畝比類乘除捷法》，南宋楊輝著。

46 筆者為呈現顧觀光的《九數存古》文本之原貌，因此，選錄文本之部分，除了由於限於論文格式，將直式改 成橫式，且加入句讀造成每行長度不若文本整齊之外，其餘悉依原文之格式，以下俱同，不再注出。

以下，獨乘言田而皆列于方田者，欲學數者不可後也，能治諸分則數學之能事盡矣！」用以 強調學數之人務必將分數的四則運算熟練，如能完成，則學數便無有困難了。這也充分顯示 顧觀光亦認為分數的運算是學數學的重要基本能力。再者，顧觀光也引《張邱建算經》序，

說明自通分起，讀者可能會遭遇困難：

夫學算者，不患乘除之為難，而患通分之為難，是以序列諸分之本原，宣明約通之要法，

上實有餘為分子，下法從而為分母，可約者約以命之，不可約者因以名之。

頗有為讀者作心理建設的味道，此一貼心的引言，足以顯現出他具有為學者引導的關懷。他 這種考量，也從《九數存古》第一卷之第六問反映出來：

今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答 曰：減四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平於 十二分之七。

平分術曰：母互乘子，副并為平實。母相乘為法。以列數乘未并 者 各 自 為 列 實 。 亦 以 列 數 乘 法 。

劉徽云：此當副幷列數為平實，

齊。

同

以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少。以法命平 實，各得其平。

除了引述劉徽的注之外，顧觀光也抄錄了李潢的「細草」 ：

草曰：置三分三分四分在右方，之一之二之三在左方，母互乘 子三分之一得十二、三分之二得二十四、四分之三得二十七，

副并得六十三為平實，母相乘得三十六為法，以列數三乘未 并者，三分之一得三十六、三分之二得七十二、四分之三得八 十一。亦以列數三乘法得一百八，以平實六十三減列實七十 二餘九，減列實八十一餘十八，以等數九約所餘得一餘二為 所減，亦以等數九約列實三十六得四，并所減一與二以加之

得七，又以等數九約法一百八為十二以命之，合問。

由於這三個分數的平均值的算法步驟繁多，若是對於「術曰」的術語不熟悉的後學者，其實 並不是那麼容易進入前人的運算世界裡，但是多了年代相當接近的李潢的「草曰」來說明，

當代的學者應較能理解。

因此，筆者認為，顧觀光選取題目的編排方式，乃是由易入難，並隨著題目的難度，給

於不同程度的解題說明。如「方田」 、 「里田」兩題，可望文生義，單單只需給計算法則，無

須說明，也不需附圖，

學生便能掌握。但自分數起，不同的運算有不同的方法，常讓學生 感到困惑而容易混淆，也因此，詳細說明計算過程是有必要的，如此一來，即使看「術曰」

仍不能掌握計算方法的人，亦可經由詳細的計算過程，即「草曰」 ，而理解整個計算法則。

再回到土地面積的計算上。在中國數學史上，土地面積問題在許多數學書籍中，都有其 不同的分類方法。顧觀光取《九章算術》的方田、里田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、

環田為基礎，再配合「以盈補虛」

等方式，解決許多擷取自其他算書的延伸例題。

事實上，顧觀光從第一卷中選取《九章算術》以外的部分，也就是取自楊輝的《田畝算 法》 、

朱世傑的《算學啟蒙》及秦九韶《數學九章》的部分有《田畝算法》的「方田有桑」、

「四不等田」 、 「牛角田」 、

「勾股田」 、 「梭田」 、 「梯田」 、 「腰鼓田」 、 「鼓田」 、 「曲尺田」 、 「箭 筈田」 、 「箭翎田」 ， 《算學啟蒙》的「錢田」

、 「方田內有圓池」 、 「三斜田」 、 「八角田」 ，以 及《數學九章》的「沙田」 、 「蕩所」 、 「不等直田」 、 「兩尖田」等題。顯然，他的目的除了提 供讀者更多的題型之外，他藉以提供各種不同的解題方式、思维方式及解題策略的目的，也 是不容忽視的。茲舉其中的《田畝算法》 「梭田」與《數學九章》的「兩尖田」相互比較如下：

梭田中闊八步正長十二步，問田幾 何？答曰：四十八步。

梭田卽二圭田相併，亦以長闊相 乘折半。

本題「術曰」至為簡易，將梭田視為二圭田相併，即可求得面積。至於引自秦九韶《數學九 章》的「尖田」面積求解，那就複雜多了：

問有兩尖田一段，其尖長不等，兩大斜三十九步，兩小斜二十五步，

中廣三十步，欲知其積幾何？答曰：積八百四十步。

術曰：以少廣求之，翻法入之，置半廣自乘為半冪，與小斜冪相 減、相乘為小率，以半冪與大斜冪 相減、相乘為大率，二率相減餘自 乘為實，併二率倍之為上廉，一 為益隅

開翻法三乘方

得積。

根據此一「術曰」 ，秦九韶正是運用他所集大成的「正負開方術」

來解題，由於中國古代的

47 顧觀光將李潢置於「方田」一題的圖略去，應是認為該圖沒有存在的必要。「術曰」已十分清楚，尤其是對於 已有數學基礎的讀者而言，此圖更顯多餘。

48 即「分割、平移」的方式。

49 本書全名應是《田畝比類乘除捷法》，南宋楊輝著。

50 《田畝比類乘除捷法》一書並未找到「牛角田」一題，筆者猜測應是顧觀光按《五曹算經》所改。

51 即「圓中容方」。

52 領導係數（最高次項）是負的。

53 即四次方程式。

54 史家推論乃是指各項係數可為負數的「開帶縱平方」與「開帶縱立方」。見劉鈍，《大哉言數》，頁 204。

解（代數）方程式都源自《九章算術》少廣章中的「開方術」 ，

因此，秦九韶才會一開始就 說「以少廣求之」 。緊接著，如下的「草曰」 ：

草曰：置廣三十步半之自乘得二百二十五為半冪，以小斜自 乘得六百二十五為小斜冪，與半冪相減餘四百，又與半冪相 乘得九萬步為小率，置大斜自乘得一千五百二十一為大斜 冪與半冪相減，餘一千二百九十六，又與半冪相乘得二十九 萬一千六百步為大率，以小率減大率，餘二十萬一千六百自 乘得四百六億四千二百五十六萬為實，以小率併大率得三 十八萬一千六百，倍之得七十六萬三千二百為從，上廉一為 益隅

開玲瓏翻法

三乘方

，

步法從廉超一位，益隅 超三位，約商得十，今再超進，乃商置百。

初商八百， 以商生隅得八億為益，下廉又與商相生得六十 四億為益，上廉以消從，上廉餘十二億三千二百萬為從，上廉 又 與 商 相 生 得 九 十 八 億 五 千 六 百 萬 為 從 方 ， 又 與 商 相 生 得 七百八十八億四千八百萬為正積，大於元實翻，以原實減之，

餘 正 實 三 百 八 十 二 億 五 百 四 十 四 萬 ， 謂 之 「 換 骨 」。

乃變之以商生隅得八億以入益，下廉得十六億為益，下廉又 與商相生得一百二十八億，與從上廉相消，餘一百十五億六 千八百萬為益，上廉又與商相生，得九百二十五億四千四百 萬，與從方相消餘八百二十六億八千八百萬為益方，是為一 變。又以商生隅得八億以入益，下廉得二十四億為益，下廉又 與 商 相 生 得 一 百 九 十 二 億 以 入 益 ， 上 廉 得 三 百 七 億 六 千 八 百萬為益，上廉是為二變。又以商生隅得八億以入益，下廉得 三 十 二 億 為 益 下 廉 是 為 三 變 變 訖 益 方 一 退 益 上 廉 再 退 廉 下廉三退益隅四退。

續商四十， 以商生隅得四萬，以入益下廉得三百二十四萬，

又與商相生，得一千二百九十六萬，以入益上廉，得三億二千 六十四萬，又與商相生，得十二億八千二百五十六萬，以入益 方得九十五億五千一百三十六萬，又與商相生，除實適盡。

55 見本論文第三章第四節，頁 15-19。

56 亦即領導係數（最高次項）是負的。

57 該方程式的奇數次羃係數皆為零，稱之「開玲瓏」某乘方。

58 亦即四次方程式。

59 此為顧觀光自己的注解，篇首例言中有言：「所錄諸注，悉標姓氏，間有諸家無注或注而未詳者，稍附管見，

以申明之。雙行則首加一圈，單行則字低二格，恐以臆說累古人也。」

60 此為秦九韶的用詞，亦即劉益的「翻積」，都是指常數項由正變為負的情形。

在這一「草曰」之後，顧觀光也引述《四庫全書》的「館案」來進一步說明：

館案云：立天元一為尖積，卽大小兩三角積和，自之得一平方

為和，自乘以半廣冪減大斜冪，餘與半廣冪相乘為大三角積，

自乘以半廣冪減小斜冪，餘與半廣冪相乘為小三角積，自乘，

二 自 乘 數 并 而 倍 之 ， 內 減 去 和 自 乘 ， 餘 為 較 自 乘 與 和 自 乘 再 相乘，得七十六萬三千二百，平方少一，三乘方寄左，次以大小 兩 三 角 積 自 乘 數 相 減 ， 餘 為 和 較 相 乘 數 自 之 ， 得 四 百 六 億 四 千二百五十六萬步，與左相等，則步數為實，平方數為從，上廉 三 乘 方 數 為 益 隅 ， 與 原 草 合 。 又 云 ： 此 法 若 以 小 率 九 萬 步 開 平方得五百四十步，卽大三角積，併之，得八百四十步為尖積，

其法甚易，所以如此費算者，欲用立天元法。

不 求分積，卽得所問之總積也。

由今觀之， 《田畝算法》 「梭田」與《數學九章》的「兩尖田」 ，其實都是對角線互相垂直 的四邊形，

因此， 「兩尖田」一題可用「梭田」的方式解之，亦即用「二分之一對角線相乘 積」即可。但是，顧觀光仍採用秦九韶的術文與「草曰」 ，以及《四庫全書》的館按，除了顯 示出他博學而多聞的數學涵養，更為的是提供不同的思考方式及解法。

此外，顧觀光的博學，更讓他有能力指出《五曹算經》之誤答的地方有四處：

（一）為第十五問， 《五曹算經》原以方五斜七

來求邊長，見下表列，但畢竟是近似值，

不若用「半對角線的平方再兩倍」 ，也就是「二分之一的對角線平方」來計算來的精確。

名稱 圖形 題目 原術文 方法

方田有桑 方田正中有桑斜

至隅一百四十七 步，問田幾何？

五曹誤答：一百 八十三畝一百八 十步合計一百八 十畝十八步。 （田 畝算法下同）

五曹術以二乘桑至隅步五 乘七除，卽方五斜七之 義，然方五斜七僅可施于 尺寸之間，不可用千百畝 之外也。

術曰：一百四十七步自 乘，倍之，得四萬三千 二百十八步，以畝法二 百四十除之，合問。

147×147×2

＝43218

61 《四庫全書》算書部份的「館案」數學史家認為多為戴震所案。

62 同本論文註解 59，又宋氏原書之「天元一」與李冶天之術之「天元一」的確不同，因此，顧觀光才會說「此 語未確」。

63 前者為菱形，後者為鳶形。

64 第三十問以及第三十三問出現「館案云：立天元一」，為該題的另解。

65 意即正方形之一面（按：即邊長）5，則對角線長近似值為 7。

步五十闊北 句十一步

半分四步二十二股 西長三十四步

（二）為「四不等田」一題，但事實上他的解答仍有問題，題目只給不相等的四個邊，

角度並不確定，如何能做此分割！除非確定其中有一為直角，才能做此分割，見下表列。

名稱 圖形 題目 原術文 方法

四不等田 四不等田，東三

十五步，西四十 五步，南二十五 步，北十五步，

問田幾何？五曹 答稱：三畝八十 步，實三畝四十 步一分二釐半。

田園四面不等者，必有斜 步，豈可作正步相併，如 遇此等田勢，須分兩段，

取用其一句股田，其一半 梯田。

術曰：句闊十一步，股 長二十二步四分半，句 股相乘折半，得積一百 二十三步四分七釐半；

又置梯田，南闊二十二 步四分半，併北闊十五 步，以半長十七步乘 之，得積六百三十六步 六分半，併二積共七百 六十步一分二釐半，以 畝法除之，合問。

（6÷2＋16）

×6＝114

（三）第十七問「牛角田」 ， 《五曹算經》以句股田勢計算，誤差甚大，不若顧觀光「以 益補損」的方式，將其分割成兩個長方形來計算，誤差較小，見下表列。

名稱 圖形 題目 原術文 方法

牛角田 今有牛角田一

段，角長十六 步，口闊六步，

問田幾何？答 曰：一百十四 步。

五曹有牛角田，用角口乘角面 折半，卽句股田勢，非牛角 也。

術曰：半闊三步併角長十六 得十九步，以闊乘之，得一 百十四步合問。

（6÷2＋16）×6

＝114

就顧觀光的說法，此題取自楊輝的《田畝算法》 ，但經筆者比對， 《田畝算法》中並無此 題，應是顧觀光以《五曹算經》原文修改之，提出他個人覺得較為正確的算法。

（四）第二十二問「鼓田」 ， 《五曹算經》是以「倂三廣以正縱乘而三除」的計算方式，

顧觀光指出錯誤，並說明此題只消切成兩個梯形即可計算出正確答案，見下表列。

名稱 圖形 題目 原術文 方法

鼓田 今有鼓田兩頭各

廣四步中廣八步 正從十三步，問 田幾何？

答曰七十二步。

鼓田乃梯田兩段下闊相抵五 曹算法乃併三廣以正從乘而 三除誤矣。

術曰：倍中闊作十六步併兩 廣八步共二十四步以正從 乘之得二百八十八步以四 除之。

三廣田乃小梯田一段、大梯 田一段下闊相抵， 或遇此 等田勢，闊在正中可用此 術，若偏近一頭，祇得作兩 段，求庶不錯誤。

（8×2＋4×2）

×24÷4＝72

雖然以現代數學的觀點來看，顧觀光似乎為了呈現本書所羅列之題目的多元化，以及題 型的完整性，多方選取各書中不同類型的題目，但是他並未將這些題目統一彙整，導致雖然 看似不同名稱，實質上數學意義卻一樣的狀況層出不窮， 〈卷一〉中就有三點與此相關：

（一）單純計算長方形面積有三問，其中名為「方田」的題目有兩問，第一問和第十五 問。名為「里田」的題目為第二問。第二問和第一問其實都是算長方形面積，只是單位不同。

但其中第一問乃《九章算術》原題，實則為算長方形面積：給整數的廣 15 步與從 16 步（即 長 15 與寬 16），求面積為：廣從相乘 15 步×16 步＝240 積步＝一畝，由此法可知正方形面積 為邊長（廣）乘邊長（從） ，即邊長自乘。除了此題外，後有提及「方田」一詞均指正方形，

顯然顧觀光對於名詞的一致性並不講究，

和許多古代的數學家有相同的習性。

而第十五問 則是給對角線的二分之一（百四十七步） ，求正方形面積為 147 步×147 步×2＝43218 積步＝180 畝 18 步。

此兩解正為今日求正方形面積的兩大解法： 「邊長自乘」與「二分之一對角線相乘積」

， 充分顯示出顧觀光的數學素養具有前瞻性。

（二）有關計算三角形面積的基本題有三問，第九問「圭田」、第十八問「句股田」與第 廿八問「三斜田」 。 此三問名稱不同，「圭田」一題是以「廣」與「正從」表示三角形的底邊 和高。 「句股田」一題是以「句廣」與「股長」來表示三角形的底邊和高。 「三斜田」一題則 以「大斜」與「中股」來表示三角形的底邊和高。但由解法看來，都是已知三角形的一邊為 底，且知此邊上的高，用「以盈補虛」的方式來求三角形面積。似乎和顧觀光自己取材的原 則「每例取一題」互相矛盾。

（三）有關計算梯形面積的基本題目有兩問：第十問與第廿問。第十問「邪田」用「以 盈補虛」的方式來證明，梯形面積為「上廣與下廣和」的一半以乘「正從」 ，或是「上廣與下 廣的和」乘「半正從」 。第廿問「梯形」則只有計算過程，實際上是一樣的。

66 此一觀點在「圭田」和「邪田」兩問亦可舉證之。

67 見洪萬生，〈孔子與數學〉，《孔子與數學》，頁 11。

68 亦即「半對角線自乘的兩倍」。

69 見本論文第五章第一節，頁 65-66。

其實，這和大多數中國古代的數學家有著同樣的習性，

換個角度來說，顧觀光雖然並 未將這些名詞統一，卻特意提出來告示讀者，其實這些概念是一樣的，

應是有刻意澄清讀 者觀念的企圖，讓讀者知道其實同一概念尚有不同的名稱，處理的方式也一樣。這樣概念統 整的技巧與能力，不就是現代教師所必須具備的基本條件嗎？故筆者認為整體來說，顧觀光 還是完整地呈現了土地測量，也就是面積計算的觀念，對於當時的社會現況以及讀者的程度 而言，應已相當足夠。

第二節 卷二〈粟米章〉

〈粟米章〉的主要概念在於處理古代「以物易物」的社會現象所衍生的數學問題，也就 是今日的比例問題。本卷以「今有術」

為主要計算法則，也就是中國傳統的「異乘同除」

的方法。在《九章算術》中「今有術」被表述為「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，

實如法而一。」設所有率是 a，所求率是 b，所有數是 c，所求數是 d，遂有比例式 a：b＝c：

d，亦即 d=

bc 。a ⁷³

顧觀光將《九章算術》之基本題放在卷首作為引子，由此既基本又重要的 計算法則，便可解決本卷所有疑難問題。

〈粟米章〉是《九數存古》各卷當中，取材自《九章算術》或者說李潢的《九章算術細 草圖說》最少的一章，題目只有兩題，之後的取材均由其他書摘取，

這乃是因為《九章算 術》之〈粟米章〉的題目，從頭到尾都只是求各種貴賤不同的榖類之間，等價值卻不同體積 的換算罷了，重複的題型一再出現，顧觀光認為對於已有基礎的讀者而言，這些題目是沒有 差別的，因此，他完全捨棄李潢的「草」和「說曰」 ，只取術，充分顯示出他針對的讀者並非 設定為初學者，而是具有基本比例算術能力與概念的讀者。

本卷共十五問，除了前兩問取 自《九章算術》外，剩下了十三問取自《五經算術》 、 《算學啟蒙》 、 《夏侯陽算經》 、 《張邱建 算經》 、 《四元玉鑑》與《數學九章》 ，分別有一問、四問、一問、一問、四問與兩問，且於章 末附天元算例。並取《孫子算術》 、 《夏侯陽算經》與《五經算術》的紀錄，說明古代長度、

體積、重量及面積四種量的單位換算。舉《九數存古》 〈卷二〉中第一問說明典型的「今有術」 ： 今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？答曰：六升。

術曰：以粟求糲米，三之五而一。

本題取自《九章算術》 ，是屬於正比例的題目。已知給定粟與糲米之間的固定比例，若知道其 中一者的量，便可推得另一者相對的量，也就是用「異乘同除」的方法甚或直接用比的擴分 即可處理，是所有學習比例的讀者首要的入門題型。

70 見洪萬生，〈九章算術與面積公式〉，《孔子與數學》，頁20。〈重訪《九章算術》及其劉徽注〉，《孔子與數學》，

頁35。

71 如《九數存古》本卷第十八問「句股田」之末有言「句乃闊步，股即長步，術以句股相乘折半，本圭田法。」

72 印度與西方之說法，又稱為「三率法」。

73 見劉鈍，《大哉言數》，頁 158。

74 見本論文第二章第二節，頁 11-12。

75 見本論文第五章第一節，頁 64。

再看第四問：

今有人借絹一匹一丈四尺，

闊一尺八寸，今還絹闊二尺 五寸，問還長幾何？答曰：一匹一尺一寸二分。

術曰：列絹通尺內子得四十六尺，以闊一尺八寸乘之為實，以 二尺五寸為法除之，仍以匹法約之，合問

。

本題則取自《算學啟蒙》 ，是屬於反比例的題目。根據所給條件可得知絹固定的面積，因此，

只要再給長或者是寬其中一個條件，便可求得另一量，其實也是用「異乘同除」的方法來處 理，亦是所有學習比例的讀者必要的入門題型。

再看第五問：

今有銀十二兩五錢，足色金五十兩，併而同煉，問為顏色分數幾 何？答曰：八分色

術曰：列金五十兩為實，併金銀得六十二兩五錢為法，實如法 而一，合問。

本題亦取自《算學啟蒙》 ，值得注意的是：第五問與第六問數字一樣，第五問知道金、銀重量 求比例，第六問知道比例及其中一個金屬的重量求另一之重，兩題互為因果，茲擷取第六問 說明如下：

今有足色金五十兩欲為八分金，問入銀幾何？答曰：十二兩五錢。

術曰：列金數為實，以八分為法而一，得六十二兩五錢，內減五 十兩，餘卽入銀，合問。

這樣的選題方式充分顯示，顧觀光欲強調讀者必須清楚知道實與法所代表的量為何，才能充 分掌握各種題型。

本卷還有一個特別的風貌，便是突顯了顧觀光的取題趨向多元化，舉本卷取自朱世傑的

《四元玉鑑》之第十一問來說明：

今有錢三貫四百一十九文，買羅一端，只云：端長內加八尺之價，

76 以現代國民中學理化科的觀點來說，此兩大概念亦是十分重要的，一為已知成分之量求濃度、一為已知濃度 求成分之量，均為常考題型，不可不重視。

共得五百七十八， 尺 丈 問端長、尺價各幾何？答曰：端長五丈二尺，

尺價六十五文四分文之三

其中「端長內加八尺之價共得五百七十八（丈

尺） 」乃不同量之間的相加，把「端長」加「八 尺之價」是十分抽象化的概念，是本書首次出現的例子，表示他覺得，在本卷中若只提出穀 物的交質變易已不足以滿足當時年代多變的需求，應該涉及各種不同性質的交易，才能滿足 當代讀者「用」的需求。

本卷選取題目的編排方式，仍遵守上一卷的原則「由易入難」，亦隨著題目的難度，給予 不同程度的解題說明。前八問均只取題目、答案與術，自第九問起才出現草，可見一斑。

本卷自第十一問起，便必須引入「天元術」來解題，否則會遭遇困難，不若〈卷一〉的 題目，即使不用「天元術」 ，仍有其他解題方式，因此，顧觀光不得不在本卷末附上「天元算 例」 ，以幫助讀者進入「天元術」的世界裡。

天元術大約產生於十三世紀初葉的中國北方地區，最初的發展情況已不可詳考。祖頤在 為朱世杰《四元玉鑒》所寫的後序中隱約提到一些早期天元術傳流的線索： 「平陽（今山西臨 汾〉蔣周撰《益古》 ，博陸（今河北蠡縣）李文一撰《照膽》 ，鹿泉（今河北獲鹿）石信道撰

《鈐經》 ，平水（今山西新絳）劉汝諧撰《如積釋鎖》 ，絳人（今山西新絳）元裕細草之，後 人始知有天元也。」李冶在《測圓海鏡》自序中則提到「老大以來，得洞淵九容之說……於 是乎又為衍之，遂累一百七十問。」他在《敬齋古今黈》一書中，也提到數種關於天元術的 著作，這些都說明，天元術是經過一系列學者的持續努力而發展成熟的。今日流傳下來的有 關天元術的著作，只有李冶的《測圓海鏡》 、 《益古演段》 、朱世杰的《算學啟蒙》 、 《四元玉鑒》

四種。李冶的兩部書分別以勾股容圓和方圓周幂相求為題材，全部用天元術立算，並詳細的 算草，是今人了解天元術的最重要文獻。

從元末以迄清初，天元術幾乎從數學著作中絕跡，明代自稱得算中三昧的顧應祥在編纂

《測圓海鏡分類釋術》時竟妄評李冶「每條下細草，雖徑立天元一，反復合之，而無下手之 術，使後學之士，茫然無門路之可入。」清代康熙年間，西方代數學經傳教士傳入中國。為 了討好康熙皇帝，西方傳教士詭稱「代數」 （Algebra）一詞的原意就是來自東方的意思。御 前數學家梅珏成得知此意，復以《授時曆草》中的天元術對照，發現西方代數學中的借根方 法（即設未知數列方程）與中國古代天元術實有異曲同工之妙，遂在《赤水遺珍》一書中專 立一節說明「天元一即借根方」 ，並稱： 「猶幸遠人慕化，復得故物。東來之名，彼尚不能忘 所自」 。這一結論雖然是荒謬的，但是由於《赤水遺珍》的刊行，天元術又重新得到重視，阮 元、李銳、羅士琳（1789–1853 年）、焦循、張敦仁、易之瀚、吳嘉善等清代學者都為之作出 的貢獻。

顧觀光認為，天元術的妙用在於「以虛求實」，有了天元術，便可推得開方法的緣由，而

77 《四元玉鑑》原題為「文」，《九數存古》誤為「丈」。

78 見劉鈍著《大哉言數》，頁 211。

79 見劉鈍著《大哉言數》，頁 212。

四元術也得以發揚光大。他在「天元算例」一開始便提到： 「天元之妙，以虛求實，而開方以 導其源，四元以博其趣，皆古法之至奧至賾者也，義例紛繁，算式不能悉具，故採近代諸家 之說，別為算例以明之。」也說明了他綜合了各家說法，重新整理出這一段天元算例，為使 得讀者能儘快進入天元術的奧妙世界。

天元算例猶如今日的教學進程，先指出文字數的符號法則，再講多項式的四則運算，進 一步說明列方程式的原則。

（一）文字數的符號法則：在數字上有斜畫者為負，若無則為正。定位點為「單」（即個 位數字） ，依次向左分別為十位、百位、千位、萬位等。如果至十位即止， 「單」的右邊加一 個空圈（即零）來補滿（表示個位數字是零） ，如果至百位即止， 「單」的右邊加兩個空圈（即 零）來補滿（表示個位數與百位數字都是零） ，如果「單」的右邊仍有小數，則必須在「單」

下方註眀，若是小於一的小數，則左邊首位（即「單」 ）補一空圈（即零） ，並一樣必須在「單」

下方註眀。

一次項旁邊記一「元」字來表示，常數項記一「太」字來表示，但是根據《益古衍

段》

與《四元玉鑑》等書的習慣，常數項往高次項是由上往下排列，因此， 「元上必太，太下必元」 ， 也就是說，只要標明其中一位，便可推得其他各項，

越往下天元的次數越高。

（二）多項式的四則運算：同類項

要對齊才可相加減，同號相加，異號則相減。

算加法時，正數加正數仍為正數，負數加負數仍是負數。算減法時，正數減去負數仍為 正數，負數減去正數仍為負數。若其一為空位，則原本正數就還是正數，負數還是負數。

算減法時也是要對齊，只是性質符號相同的數字相減，性質符號相反的數字相加。如果 是相減的情況，也就是性質符號相同時，被減數數字（絕對值）大的時候，被減數是正數的 結果就是正數，被減數是負數的結果就是負數，但如果是減數的數字（絕對值）比較大時，

則原本被減數是正數的結果是負數，而原本被減數是負數的結果反而變成正數。若是其中一 個是空位，則表示相對的項是零，也就是缺項，那麼只有被減數的將保持不變，而只有被減 數的則必須變號。

算乘法時也要對齊，將乘數與被乘數分列於左右兩邊各成一列，不同列的項要互乘，先 從左列下方的項逐一乘以右方一列的每一項作為第一次所得，再由左列第二層的項逐一乘以 右方一列的每一項作為第二次所得，依此類推，有幾層乘幾次。同號相乘的結果是正的，異 號相乘結果是負的，乘完之後同號相加，異號相減，常數項乘以常數項得到的為常數項，記 一「太」字，以常數項乘以一次項得到一次項，記一「元」字，其他項便可推得而知。

算除法時，如果除數（或說分母）恰巧為該未知數時，則除以一次項會得到常數項，而 除以常數項會得到常數項再少一次方。同號相除結果為正，異號相除結果為負。除此之外，

都不能除，如不能除則改以去分母，轉乘方程式的另一邊。

而在方程式兩邊同加減一項，猶如將左邊的項移到右邊，把右邊的項移到左邊，亦即現 今的移項法則。

（三）列方程式的原則：列方程式時如果左右兩邊都一樣，則兩邊所有項都會完全消去，

80 「衍」即「演」。

81 顧觀光注：但是《測圓海鏡》則是常數項往高次項是由下往上排列，完全相反。

82 亦即「天元的次數相同者」。

求不出未知數，因此必須用不同的表示法來表示同一個量，才能求得。

以上說法和現今算法皆相同，但是並未提及移項必須變號的概念，十分可惜。值得一提 的是，最後一個觀念，也就是列方程式的原則， 「必須將同一個量用不同的兩個表示法，才有 辦法求出未知數。」對於學代數學的人而言，是十分基本，卻也容易被忽略的原則。如果施 教者能在教學過程中強調並訓練學生，相信對於學代數學感到困難的人而言，可以節省許多 摸索的過程，以及避免許多挫折與無力感。

第三節 卷三〈衰分章〉

〈衰分章〉的重點在解決「比例分配」的問題，也就是「衰分術」 ， 「衰」為減少的意思，

「衰分」就是按照一定規律遞減來分配，計算「比例分配」的重點法則，第一步便是「列衰」 ， 亦即列出比例分配的權數，第二步便是「副并」 ，亦即把權數相加，第三步是「以所分者乘未 并者」 ，第四步是「以副并遍除並化簡」 ，舉《九章算術》第三章首例，亦是《九數存古》 〈卷 三〉第一問來說明之：

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分 之，問各得幾何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分 鹿之一，簪褭得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一。

術曰：列置爵數，各自為衰，副并為法，以五鹿乘未并者，各自為 實，實如法得一鹿。

第一步「列衰」 ： （大夫、不更、簪褭、上造、公士）＝（5、4、3、2、1）

第二步是「副并」 ：5＋4＋3＋2＋1＝15

第三步是「以所分者乘未并者」 ：5×（5、4、3、2、1）＝（25、20、15、10、5）

第四步是「以副并遍除並化簡」 ： （25、20、15、10、5）÷15＝（1

、1

、1、

） 亦即五人分別分得：1

、1

、1、

隻鹿。

由上說明其實可以發覺，衰分術事實上是「今有術」的推廣，顧觀光在首例末保留劉徽 的說法： 「劉徽云：爵數者謂大夫五、不更四、簪褭三、上造二、公士一也，於今有術列衰各 為所求率，副并為所有率，今有鹿數為所有數，而今有之，即得。」

以簪褭分得的數為例，

所求率為 3，所有率為 15，所有數為 5，故所求數為

3×5

＝1 隻鹿。

而且，衰分術的第二個關鍵步驟是「副并」 ，在「副并」的過程中，往往牽涉到等差級數 總和與等比級數總和的問題，顧觀光亦將當代常見的類型一一舉例說明，如下分類。

（一）按照等差來分配，可舉《九數存古》本卷第三問來說明之：

83 見劉鈍，《大哉言數》，頁 161。

84 見顧觀光，《九數存古》卷三，頁 1a。

今有五等諸矦

，共分橘子六十顆，人別加三顆，問五人各得幾何？

答曰：公十八顆、矦十五顆、伯十二顆、子九顆、男六顆。

術曰：先置人數別加三顆於下，次六顆、次九顆、次十二顆、上十 五顆，副并得四十五，以減六十顆，餘以人數除之，得人三顆。各 加不并者，上得十八為公分、次得十五為矦分、次得十二為伯 分、次得九為子分、下得六為男分。

可清楚看出，這五等諸侯各分得的數量成一公差為三的等差數列，故其解法猶如逆向操作，

先將分的數量不同的部分先分，剩下的部分再平分，這也提供了我們不同的教學方法，對於 抽象概念不成熟的學生而言，引入未知數的列式是比較困難的，如果能夠仿照這樣的方式讓 學生具體操作，或許學生更能具體了解，不畏於嘗試難題。

（二）按照等比來分配，稱為「差分」 、 「折差」或「折」 、

「因」 。

所謂「差分」乃是指上一階層與下一個階層之間，按照一等比例來分配，如「四六差分」

便是指下一階層的權數與上一個階層的權數之間的比值都是六成（0.6） ，都差了四成的意思。

舉《九數存古》本章第五問來說明之。

今 有 甲 乙 丙 丁 分 絲 五 百 四 十 四 斤 ， 從 上 作 四 六 差 分 之 ， 問 各 得 幾何？答曰：甲二百五十斤，乙一百五十斤，丙九十斤，丁五十四斤。

蒙下同 算學啟

其中因為甲：乙：丙：丁＝1：0.6：0.36：0.216＝1000：600：360：216，又 1000＋600＋360

＋216＝2176，因此接下來：

術曰：置甲率一千以六因之，得六百為乙率，又六因得三百六 十為丙率，又六因得二百一十六為丁率，四位共併得二千一 百 七 十 六 為 法 ， 列 共 絲 通 兩 以 一 千 乘 之 得 八 百 七 十 萬 四 十 為實，實如法而一，得四千兩為甲絲，六之得乙絲二千四百兩，

又 六 之 得 丙 絲 一 千 四 百 四 十 兩 ， 又 六 之 得 丁 絲 八 百 六 十 四 兩，各以斤率約之，合問。

85 通「侯」。

86 見顧觀光《九數存古》卷三第八問顧觀光雙行注例之管見有云：「館案云：題言下二等比中等六四折差，是次 等為中等六分之四，下等又為次等六分之四也，乃術草中皆以十分之四收之，是四分折差，而非四六折差矣。

算學啟蒙差分均配，第七問以十分之六為四六差，第八問以十分之八為二八差，第十問以十分之九為一九折 十分之八為二八折十分之七為三七折，並與此同，葢古語如此，不得援近術以繩之。」

所以：甲＝544× 1000

2176 ＝250，乙＝544×

600

2176 ＝150，丙＝544×

360

2176 ＝90，丁＝544×

216 2176 ＝ 54，即為所得。

另外，所謂「折差」 ，如「六四折差」 ，則是指下一階層是上一個階層的六分之四倍。而

「折半差配」是指下一階層是上一個階層的十分之五倍，亦即二分之一倍。節錄《九數存古》

卷三第八問之題目如下：

問縣科綿有五等戶，共一萬一千三十三戶，共科綿八萬八千三 百三十七兩六錢，上等十二戶，副等八十七戶，中等四百六十四 戶，次等二千三十五戶，下等八千四百三十五戶，欲令上三等折 半差，下二等比中等六四折差科率求之，各戶納及各等幾何？

而所謂「折」 ，如「一九折」 ，則是指下一階層是上一個階層的十分之九倍， 「二八折」 ， 則是指下一階層是上一個階層的十分之八倍，以此類推。節錄《九數存古》卷三第七問之題 目如下：

今 有 某 縣 配 粟 一 萬 八 百 七 十 碩 八 升 於 上 中 下 三 鄕 ， 從 上 作 折 半 差 配 之 ， 又 上 鄕 三 等 作 一 九 折 ，

中 鄕 三 等 作 二 八 折，下鄕三等作三七折，上鄕上等五十六戶，中等七十四戶，下等 九十八戶，中鄕上等八十二戶，中等一百二十戶，下等一百六十 戶，下鄕上等九十五戶，中等一百七十二戶，下等一百八十戶，問 三鄕九等各粟幾何？

又所謂「因」 ，如「九因」 ，是指下一階層是上一個階層的十分之九倍， 「八因」 ，亦是指 下一階層是上一個階層的十分之八倍，以此類推。節錄《九數存古》卷三第七問之「術曰」

如下：

先列上鄕上等戶以一萬乘之得五十六萬，又列中等戶以九千乘之得六十六萬六千，又列 下等戶以八千一百乘之得七十九萬三千八百，次列中鄕上等戶以五千乘之得四十一萬，

又列中等戶以四千乘之得四十八萬，又列下等戶以三千二百乘之得五十一萬二千，次列 下鄕上等戶以二千五百乘之得二十三萬七千五百，又列中等戶以一千七百五十乘之得三 十萬一千，又列下等戶以一千二百二十五乘之得二十二萬五百，九位共併得四百一十八 萬八百為法，列配粟一萬八百七十碩八升，以一萬乘之為實，實如法而一，得二十六碩 乃上鄕上等每戶之數，九因得二十三碩四　，乃中等每戶之數，又九因得二十一碩六升，

乃下等每之數，又列上鄕上等每戶粟二十六碩折半得一十三碩，乃中鄕上等每戶之數，

八因得一十碩四　，乃中等每戶之數，又八因得八碩三　二升，乃下等每戶之數，又列 中鄕上等每戶粟一十三碩折半得六碩五　，乃下鄕上等每戶之數，七因得四碩五　五升，

乃中等每戶之數，又七因得三碩一　八升五合，乃下等每戶之數，合問。

由上可知，顧觀光企圖將所有「比例分配」的類型詳細介紹給讀者，讓讀者可以充分掌握「比 例分配」的各種題型變化。

除了「比例分配」 ，也就是「衰分術」外，如同《九章算術》一樣，本卷也論及「反比例 分配」 ，也就是「反衰術」的計算法則。 「反衰術」 ，顧名思義，便是和「衰分術」意思相反，

舉《九數存古》 〈卷三〉第十一問，亦即《九章算術》第三章第八問說眀之：

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，

以次漸多，問各幾何？答曰：大夫出八錢一百三十七分錢之一百 四；不更出十錢一百三十七分錢之一百三十；簪褭出十四錢一 百三十七分錢之八十二；上造出二十一錢一百三十七分錢之 一百二十三；公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九。

術曰：置爵數，各自為衰，而返衰之。副并為法；以百錢乘未并者，

各自為實。實如法得一錢。

其中的「令高爵出少，以次漸多」 ，就是按五級爵位分別為

41 、 31 、

21 、1

的比例遞增 分攤錢數。顧觀光取劉徽注道： 「今此令高爵出少，則當使大夫五人共出一分，不更四人共出 一分，故謂之返衰，人數不同則分數不齊，當令母互乘子，母互乘子，則動者為不動者衰也。」

也就是說：

第一步「先列出反衰」 ： （大夫、不更、簪褭、上造、公士）＝（

51 、 41 、

31 、

21 、1

） 第二步「令母互乘子」 ： （1×4×3×2×1，1×5×3×2×1，1×5×4×2×1，1×5×4×3×1，1×5×4×3×2）

＝（24，30，40，60，120）＝（12，15，20，30，60）

第三步「副并」 ：12＋15＋20＋30＋60＝137

第四步是「以所分者乘未并者」 ：100×（12，15，20，30，60）

＝（1200，1500，2000，3000，6000）

第五步是「以副并遍除並化簡」 ： （1200，1500，2000，3000，6000）÷137 ＝（

137 8104

、

137 10130

、

137 14 82

、

137 21123

、

137 43109

）

亦即五人分別出

、

137 10130

、

137 14 82

、

137 21123

、

137 43109

錢。

這是五等爵位之間成所謂的調和級數來分配，必須先行通分、去分母，得到最簡整數比，再 行計算，亦是學習比例問題過程中，所必須具備的重要能力。

本章共二十二問，其中六問取自《九章算術》 ，其他取自《孫子算術》 、 《張邱建算經》 、 《算 學啟蒙》 、 《數學九章》 、 《續古摘奇算法》以及《夏侯陽算經》的分別有一問、二問、七問、

四問、一問及一問。

87 見劉鈍，《大哉言數》，頁 163。

第一問與第二問取自《九章算術》，第三問取自《孫子算術》，此三問較為基本，故只取

「術」 。

本卷第四問取自《張邱建算經》 ，難度較深，取「術」又取「草」 ，茲資說明如下。

今有官出庫金五十九斤一兩，賜王九人，公十二人，矦十五人，子 十八人，男二十一人，王得金各多公五兩，公得金各多矦四兩，矦 得金各多子三兩，子得金各多男二兩，問王、公、矦、子、男各得金幾 何？答曰：王一斤六兩，公一斤一兩，矦十三兩，子十兩，男八兩。

建算 張邱

經

術曰：置王、公、矦、子、男數，王位十四之，

公位九之

兩

九

， 矦 位 五 之

， 子 位 二 之

， 併 之 ， 以 減 出 金 兩 數 ， 餘 以凡人數而一，所得各以本差之數加之，卽各得金數。

草 曰 ： 置 王 九 人 十 四 之 得 一 百 二 十 六 ， 公 十 二 人 九 之 ， 得 一 百 八，矦十五人五之，得七十五，子十八人二之，得三十六，

補。 併 之 得 三 百 四 十 五 ， 以 減 出 金 五 十 九 斤 一 兩 。

通分內子為

○當以十六

不言者省文。

九百四十五，此

餘 六 百 為 實 ， 併 五 等 人 數 得 七 十 五 為 法 ， 除 實 得八兩為男，乃加十四兩為王，加九兩為公，加五兩為矦，加二 兩為子，滿斤法而一，不滿者命為兩，合問。

而且，本題多有顧觀光自己的註記說明，

表示顧觀光認為原有的「術」與「草」還說明得 不夠清楚，必須再加註記來說明，譬如「王位十四之」中的「十四之」 ，在古代大多解釋為「十 四倍」 ，但其實這裡的「術曰」卻是「多加十四」的意思，若非顧觀光的註記，讀者在此處可 能會遭遇困難。

第五問至第七問取自《算學啟蒙》 ，其「術」與他人之「草」相同，皆為計算過程，故雖 只取「術」 ，但與其他算書取「草」的意義是相同的。第八問之後，除了第十七問以外，其他 題由於「術」過於簡單，因此，加「草」以說明之，差別只是有的提為正文，有的是用雙行 的注例。

由此可知，顧觀光的確是依當時他理解的難度，由淺入深來排列題目。我們不能理解的 是，本卷取自《九章算術》的六問並未排在一起，而是分列於本章之前、

中、

後段，

以 現在的觀點來看，第十七問並不若其前面數題難，而顧觀光自己也未將本題的「草」列入參 考，表示以他的認知，這個題目也不如前後的題目困難，因此，放置的位置有點出人意表。

88 見本論文附錄三，頁 162-164。

89 同本論文註解 59。以下皆同，不再注出說明。

90 指本卷第一問與第二問，見本論文附錄三，頁 162-164。

91 指本卷第十一、十二及第十三問，見本論文附錄三，頁 176-177 以及 173。

92 指本卷第十七問，見本論文附錄三，頁 179。

第四節 卷四〈少廣章〉

劉鈍先生在他的著作《大哉言數》第三章開宗明義說道：

中國古代代數學中最輝煌的成就之一，就是解一般數字方程的增乘開方法。儘管這一方 法的最終完備是十三世紀中葉的事情，但是它的胚型卻可以早溯到《九章算術》成書之 前：少廣章的開方術實際上就是解一類特殊的高次方程；而解一般的高次數字方程，在 中國古代也被叫做 “開方”。

而在錢寶琮先生所主編的《中國數學史》第八章中亦提及：

早在《九章算術》中便已記載有開平方、開立方的開方方法。這些開方問題與求解兩項 方程，如求解

=

=

正根的方法是一致的。在中國古代，把方程的數值解法都稱 之為 “開方術”。其所以如此稱呼，主要是因為這些解法和開平方、開立方等方法都是一 脈相承的。例如一般的二次方程和一般的三次方程的數值解法分別被稱為 “開帶縱平方”

和 “開帶縱立方”，他們都是從開平方和開立方的方法中推衍出來的。

由上可知，從宋元以至於今， 「開方法」似乎成了「少廣術」的代言者了。因此不難理解，顧 觀光何以本卷直接進入開方法的介紹。其中開平方法以《九數存古》 〈卷四〉首例，已然是《九 章算術》的第四章第十二問。說明如下：

今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？答曰：二百三十五步。

草曰：置積為實，借一算置於下，步之，超一等至百而止，議得二 百 置 於 實 上 ， 以 乘 所 借 一 算 ， 得 二 百 為 法 ， 置 於 實 之 下 ， 借 算 之 上 ， 以 議 與 法 相 乘 ， 得 四 萬 ， 以 減 實 餘 一 萬 五 千 二 百 二 十 五 ， 除 已 倍 法 ， 得 四 百 為 定 法 ， 折 而 下 ， 復 置 借 算 步 之 ， 超 一 等 至 十 而 止，議得三十，置於實上，次前議以乘借算得三十，副之，以三十 加 定 法 得 四 百 三 十 為 定 法 ， 與 議 三 十 相 乘 ， 得 一 萬 二 千 九 百 ， 以 減 實 ， 餘 二 千 三 百 二 十 五 除 已 ， 以 所 副 三 十 從 定 法 四 百 三 十 ， 得 四 百 六 十 為 定 法 ， 折 而 下 ， 復 置 借 算 ， 步 之 超 一 等 至 步 而 止 ， 議 得 五 ， 置 於 實 上 ， 次 前 議 以 乘 借 算 得 五 ， 加 定 法 得 四 百 六 十 五 為 定 法 ， 以 議 五 乘 之 ， 得 二 千 三 百 二 十 五 減 實 適 盡 ， 上 議 二百三十五步卽方也，合問。

草下同 李雲門補

其算理與籌算內容前人已多有研究，筆者不再多做贅言，只是顧觀光在本卷自首例起，便取

有「草」 ，足以顯示當時開方法仍未普遍被理解，必須詳加介紹。

93 見劉鈍，《大哉言數》，頁 191。

94 見李儼、錢寶琮，《科學史全集》第五卷，頁 160。

顧觀光並輔以劉徽的幾何證法，逐步解釋「術曰」 ：

開方術曰：置積為實。借一算步之，

以隅步實，定初商之位也。

於下，借一算者，隅也，步之者，

超一等，

議所 得，以一乘所借一算為法，而以除，

方一，乘者對立方再乘而言也，而以除者，以初商乘方減實也，

門云：議卽商也，議所得者，初商之數也，置於實之上，以乘隅為

隅 青

青

黃

乙 朱

朱 黃 甲

下謂方。

上謂議，

除已，倍法為定法，

豫張兩面朱幂 劉徽云：倍之者，

者，又以初商乘隅加方也，兩面朱幂，初商定袤，以待復除。 李雲門云：倍法為定法 袤，待次商以為之廣，廣無定而袤有定，故次商相乘之廉幂也，倍初商為兩廉之定 法也。

曰定

其復除，折法而下。

復置借 算，步之如初，

以復議一乘之，

劉徽云：欲除朱幂之角，

也，一乘之者，以次商乘隅也。

所得也。 李雲門云：復議次商

所 得 副 以 加 定 法 ， 以 除 。

云：副以 李雲門

又以除者，以次商乘方減實也。

加定法者，以次商乘隅加方也，

以 所 得 副 從 定 法 。

商乘隅加方也，靑幂者三商兩廉幂也，以次商加初商倍之，為 定法者，是則張兩青幂之袤。 李雲門云：副從定法者，又以次

待三商為之廣。

三商兩廉之袤，

復 除 ， 折 下 如 前 。

初商次商也。

商乘方減實，如

若開之不盡者，為不可開，當以面命之。

或有以 劉徽云：

方之自乘當還復其積分。故惟以面命之，為不失耳。

借算加定法而命分者，雖麄相近，不可用也。凡開積為方，

若 實 有 分者，通分內子為定實乃開之。訖開其母，報除。

可開者，並通之 李淳風云：分母96

故開分母，求一母為法，以報除也。

積先合二母。旣開之後，一母尚存，

若 母 不 可 開 者 ， 又 以 母 乘 定 實，乃開之。訖，令如母而一。

又以母乘之，乃合二母。旣開之後，亦 李淳風云：分母不可開者，本一母也。

母而一，得全面也。

一母存焉。故令如 97

由於其算理多有前人研究論述，筆者不再逐一說明。

至於開立方法，顧觀光則以《九數存 古》卷四第四例，亦即《九章算術》第十九問說明如下：

今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？答曰：一百

95 李潢之《九章算術細草圖說》將「算」字作「筭」。

96 李潢之《九章算術細草圖說》將「並」字作「竝」。

97 李潢之《九章算術細草圖說》將「如」字作「一」。

98 可參考劉鈍，《大哉言數》第二章，頁 196-197。

二十三尺。

草曰：置積為實，借一算步之，超二等至百而止，議得一百，置於 實上，以再乘所借一算，得一萬為方法，置于實下，議與法相乘，

得 一 百 萬 以 減 實 ， 餘 八 十 六 萬 八 百 六 十 七 尺 除 已 ， 置 方 法一 萬，三之，得三萬為定法，復除折而下，以三乘上議一百，得三百 為廉法，置中行復借一算，置下行步之，中超一、下超二至十而 止，議得二十，置於實上，次前議以議二十一乘中三百，得六千，

為三廉幂，再下一算，得四百為隅幂，皆副之，以加定法，得三 萬六千四百為定法，與議二十相乘，得七十二萬八千以減實，

餘 十 三 萬 二 千 八 百 六 十 七 尺 除 已 ， 倍 下 四 百 為 八 百 并 中 六 千，得六千八百從定法，得四萬三千二百為定法，復除折而下，

以三乘上議二十，得六十，從中行三百，得三百六十為廉法，復 借一算置下行步之中超一、下超二至尺而止，議得三，置於實 上，次前議以議三一乘中三百六十，得一千八十為三廉幂，再 乘下一算，得九為隅幂，并之得一千八十九以加定法，得四萬 四 千 二 百 八 十 九 為 定 法 ， 與 議 三 相 乘 得 十 三 萬 二 千 八 百 六 十七減實，適盡上議一百二十三尺卽立方也，合問

以上方法又稱為「立成釋鎖平方法」與「立成釋鎖立方法」 。

相較於李潢整段翻譯的方式，

顧觀光將「術」與劉徽「注」 、李淳風「按」配合得宜，逐步解釋開方法的步驟，讓讀者較能 了解每一步的意義，單行的「術」與雙行注例的劉徽「注」及李淳風「按」不會混淆。因此，

保留了原有「術」的風貌，不至於感覺「術」支離破碎。而顧觀光將李潢的「草」緊跟在後，

不像李潢謹遵《九章算術》的編排，因此將自己的「草」都放在所有的「題目」與「答」之 後，也就是李潢每一題的「草」不見得是跟在所屬的「題目」與「答」之後，閱讀起來較不 方便，相較之下，顧觀光的編排就沒有這樣的缺點。

本卷共八十一問，其中六問取自《九章算術》 ，其他取自《田畝算法》 、 《算學啟蒙》 、 《四 元玉鑑》 、 《益古演段》 、 《張邱建算經》以及《數學九章》則各有十問、九問、三十問、二十 四問、一問及一問。舉《九數存古》 〈卷四〉第七問

說明如下：

直田積八百六十四步，只云濶不及長十二步。問長濶各幾步？答 曰：濶二十四步，長三十六步。

術曰：置積為實，以不及步為從方，開平方除之，得濶。 草曰：置 積 八 百 六 十 四 于 第 二 級 ， 置 從 方 十 二 于 第 三 級 ， 置 隅 一 于 第 四級，方進一位，隅進二方位，約商二十。

初商二十， 以商二乘隅一百，得二百，以加方一百二十，得方 三百二十，又以商二乘之，得六百四十以減實八百六十四， 餘 二百二十四為次商實，又以商二乘隅一百，得二百，以加方 三 百二十，得五百二十為次商方，方一退，隅二退。

次商四， 以商四乘隅一，得四，以加方五十二，得五十六，又以

99 「立成」是唐以後天文學家推算各種數據時所用的算表的通稱。「釋鎖」則是宋元數學家開方或解數字方程的 代用名詞。見楊輝，《詳解九章算法》或見劉鈍著《大哉言數》第三章，頁198。

100 這樣的問題李潢的其他章亦有發生，但是題目較簡單，不若〈少廣章〉困擾，故筆者在此處提出。

101 即是《田畝算法》第 43 題，亦即是「直田演段」的第一題。

商 四 乘 之 ， 得 二 百 二 十 四 減 實 ， 適 盡 。

故僭為刪潤之下同。

○原本細草辭不達意，

即是利用「帶從開平方法」解題，其用法在解型式為「x

＋bx＝c」的二次方程。依本題題意 設闊為 x 步，則可得一元二次方程式「x

＋12x＝864」。用現代的數學符號及幾何圖示說明算 法的原理說明如下：

由原方程及右圖可知：

a＋b＋c＋d＋e＋f＝864

a＋b＋c＋d＋e＋f－(c＋e)＝864－(c＋e) a＋b＋d＋f＝864－c－e

令 x＝10s＋t（s、t 分別為 x 的十位及個位數 字） ，

估得 s＝2，代入上式得：

20t＋t

＋20t＋12t＝864－20×20－12×20 t

＋52t＝864－400－240

t

＋52t＝224

估得 t＝4，故 x＝20＋4＝24。

12

20

t

t

x

20 x

f a b

c d

e

除此之外，顧觀光還用了「益積開方術」 、 「減從開方術」以及「四因積步」的解法，如 下說明：

益積開方術曰：置積為實，以不及步為負從，開平方除之，得長。

草曰：置積八百六十四于第二級，置負從二十于第三級，置隅 一于第四級，方進一位，隅進二位，約商三十。

初商三十， 以商三乘負從一百二十，得三百六十益入原實，

得一千二百二十四，乃以商三乘隅一百，得三百為方法，又以 商三乘之，得九百。以減實一千二百二十四，餘三百二十四為 次商，實又以商三乘隅一百，得三百，以加方三百得六百為次 商方，方一退，隅二退。

次商六， 以商六乘負從十二，得七十二益入餘實，得三百九 十六，乃以商六乘隅一，得六以加方六十，得六十六，又以商六 乘之，得三百九十六減實，適盡。

依題意若設長為 x 步，則可列出方程式為「x

－12x＝864」，其中一次項的係數為負數，也就

是所稱「負方」的求解題型，算法求出正根 x＝36。以現代的數學算式表示算法的原理如下：