一、研究場域

第三章 研究方法

第一節 研究場域與對象

一、研究場域

本研究是以國立台灣師範大學數學系「教材教法」課與「教材教法研究」

課為場景，修課的主要是大三有修習教育學程的數學系學生，任課教師為一名 師資培育者(以下簡稱 TE)，同時也是「職前中學數學教師教學信念與價值的評 量研究(2/3)」的主持人。除了研究者(以下簡稱 R1)之外，另兩名參與計畫的研 究生(以下簡稱 R2 與 R3)，會隨班進行獨立觀察與紀錄，並於每週四的晚上，

與 TE 針對師資培育活動與學生教師的表現進行討論與分析。這樣教學和研究 並行的方式自 93 年 9 月到 94 年 6 月為止，持續了一學年。

教材教法課程是以大二數學學習課程為基礎，從學習延伸到教學。課程內 容以教室經營、教師問話與教學活動設計為主軸，輔以數學教學的概念分析、

教學設計、教學方法以及情意教學等議題；課程探討的數學內容是以「無限概

念」為核心，延伸出二元一次方程式、數型關係、無窮等比級數、無窮小數和

數學歸納法等相關的國高中教學單元；學生教師則以 6～8 人形成一個微型小

組，首先閱讀和分享數學教學相關書籍的內容，再針對教學單元進行概念分

析，學期中觀摩了四位資深教師的教學影帶，最後於期末報告所教單元的活動

設計。教材教法研究則接續數學教材教法課程，以實踐、反思和評析微型小組

的模擬教學為主。上台演示的小組必須以成員間接力的方式完成一堂課的教

學，其餘的學生教師則需模擬中學生的學習情況，結束之後，演示的小組自行

先做優缺點的評估，TE 則針對數個教學片段與全班一同回顧和討論，其它小

組可也以提出意見。大多數的學生教師都積極的參與這樣的培育教學活動，也

能於課前的閱讀與準備、於課堂上勇於分享與演示並在課後修正與省思自己的

想法。修課學生需將個人在這堂課的收穫與成長撰寫成省思報告，於每學期末

繳交。

二、研究對象

教材教法與教材教法研究課是屬於教育學分，按照「學士班學生修習教育 專業科目基本修課條件」的規定，修習者必須在前一學期學業成績平均須達七 十分以上及無記過處分之紀錄。在 TE 授課的兩班共 93 位修習學生中，79%為 數學系大三學生，18%為數學系大四學生，3%為外系學生。因此，大多數學生 已修習過線性代數與高等微積分，以及教育心理學、教育社會學、數學活動與 思維和數學學習等教育課程，我們可以初步推測，修課的學生應該具備有基本 的數學知識與教育相關知識。為了更進一步確認他們的數學知識，特別是無限 的概念，個人設計了一份無窮概念的預試問卷(請參見附錄一(1))，試題的架構 採用 Fischbein, Tirosh & Hess (1979)對無限概念的分類，將無限概念分成無限 可分割性(代號 M

)、無限基數(代號 M

)和極限(代號 M

)三個子概念，每個子 概念各有 5 題，共 15 題。題目採亂數排列，每個題目對應的無限子概念如下 表三-1：

表三-1 預試問卷試題架構對照表 無限子概念 題目編號 題數 無限可分割性(M

) 1, 2, 6, 11, 13 5 無限基數(M

) 7, 8, 9. 10, 12 5 極限(M

) 3, 4 ,5 ,14, 15 5

本問卷的題目是改編自無限概念的相關研究文獻，其中，第 6, 7, 10, 12, 14 題取自 Fischbein et al. (1979)，第 8, 9 題取自 Fischbein, Tirosh & Melamed (1981)，第 4, 11, 15 題改編自繆龍驥(1992)的研究，第 1, 2, 3, 13 題改編自王惠 中(2003)的研究，第 5 題改編自無限的用處(Zippin, 1962) 。個人先將此份問卷 以其中一班 49 位的修課學生作為預試對象，並要求填答者說明填寫答案的理 由。

為了初步量化分析填答學生的反應情形，個人將每一題的答案分成：「可

接受的、不可接受的與無法判斷」三類。可接受的答案指的是，答案符合數學

上公認的解答，並且有充分的證據來推論出這個答案，縱然有些許的不嚴謹，

但無損原本的邏輯性；不可接受的答案包刮答案錯誤、空白、在文字說明中沒 有顯示出足夠的證據或是推論過程中有重大瑕疵；如果無法判讀為上述的兩類 資 料 時 ， 則 歸 為 無 法 判 斷 類 。 例 如 ， 在 預 試 問 卷 的 第 四 題 「 凱 凱 認 為 2.699999999……應該跟 2.7 差一點點，你覺得凱凱的想法正確嗎？為什麼？」

中，有位學生回答的原案如下：

由於他能用式子加以推導而得到兩者相等的結論，因此，我們將其歸類為

「可以接受的答案」 。另外一位學生則回答：

按照無窮小數為一個極限值的定義，那麼差距應該為

∞

→ n

n

，這位受

測者並沒有取極限值，以致於寫出錯誤的結果，因此，我們將其歸為「不可接 受的答案」類。另一類的情形之一如下：

這位受測者的理由條件模稜兩可，他並沒有明確指出，到底是有差距還是 沒有差距？如果把答案解讀成「差距會不斷的變小，而且收斂到 0」 ，就很接近 正確的答案，由於我們無從得知他真正的想法，因此歸為「無法判斷的答案」

類。

為了降低主觀的分類認定，個人請 R3 先將學生的答案做分類，再根據每

一類的答案逐一評定為是否可被接受的答案，或是無法判斷的答案。如果遇到 我們的意見相左時，則會再尋求第三者的再次檢驗，以提升分類法的信度。在 42 份有效的預試問卷中，個人將答題情形統計成下表三-2：

表三-2 預試問卷的答題情形統計表

題號 無限子概念 可接受的答案 不可接受的答案 無法判斷的答案 1

18

42.9%

21 50.0%

3 7.1%

2

2 4.8%

40 95.2%

0 0.0%

3

31 73.8%

11 26.2%

0 0.0%

4

22 52.4%

18 42.9%

2 4.8%

5

22 52.4%

20 47.6%

0 0.0%

6

24 57.1%

13 31.0%

5 11.9%

7

21 50.0%

21 50.0%

0 0.0%

8

4 9.5%

37 88.1%

1 2.4%

9

10 23.8%

32 76.2%

0 0.0%

10

22 52.4%

20 47.6%

0 0.0%

11

19 45.2%

20 47.6%

3 7.1%

12

9 21.4%

31 73.8%

2 4.8%

13

12 28.6%

25 59.5%

5 11.9%

14

25 59.5%

16 38.1%

1 2.4%

15

26 61.9%

16 38.1%

0

0.0%

個人考量問題的相似度、可接受答案的比例以及實際的填答情形，將每個 子概念各刪去一題，分別是預試問卷的第 12,13,14 題，形成 12 題的正式問卷(請 參見附錄一(2)，以下簡稱無限概念問卷)。再以另外一班 46 位學生當作施測對 象，在 38 份有效問卷中，答題的分類情形如下表三-3：

表三-3 正式問卷的答題情形統計表

題號 無限子概念 可接受的答案 不可接受的答案 無法判斷的答案 1

17

44.7%

20 52.6%

1 2.6%

2

7 18.4%

31 81.6%

0 0.0%

3

33 86.8%

5 13.2%

0 0.0%

4

25 65.8%

9 23.7%

4 10.5%

5

20 52.6%

18 47.4%

0 0.0%

6

15 39.5%

18 47.4%

5 13.2%

7

22 57.9%

16 42.1%

0 0.0%

8

4 10.5%

34 89.5%

0 0.0%

9

7 18.4%

30 78.9%

1 2.6%

10

13 34.2%

24 63.2%

1 2.6%

11

24 63.2%

12 31.6%

2 5.3%

12

23 60.5%

14 36.8%

1

2.6%

根據這份問卷的填答情形，個人將 38 位學生教師做初步的分類。在一個無限子 概念的四個問題中，如果答對三題以上，

就算是通過，否則就不通過。最後，考量 每位填答者的三個無限子概念通過情形，

一共可以形成 7 種類型，如 圖三-1 。例如，

某位填答者在 M

的四題中答對二題、M

的四題對一題、M

的四題對三題，則子概 念 M

有通過，M

和 M

沒有通過，所以是

屬於類型 G。在 38 位填答者中，屬於類型 A 的有 2 位、類型 B 的有 5 位、類 型 C 的有 0 位、類型 D 的有 4 位、類型 E 的有 1 位、類型 F 的有 0 位、類型 G 的有 12 位以及類型 H 的有 14 位。由於，R2 同樣針對這個班級採用因子分 析法找出問卷填答的數學教學認同因子，在相互協調下，我們在學期初一共篩 選出 15 名的學生教師個案進行研究。但是，在考量到個案的個人意願以及時 間配合問題之後，最後，以其中的 8 位學生個案做為本研究的追蹤研究對象。

在這 8 位個案中，包括 6 個類型的 5 個，屬於類型 A 的有 1 位、類型 B 的有 1 位、類型 D 的有 1 位、類型 G 的有 2 位和類型 H 的有 3 位，因此，對於這個 班級的學生應該有部分的代表性。以下用 B1(女，類型 G)、B2(女，類型 H)、

B3(女，類型 H)、B4(女，類型 H)、B5(男，類型 G)、B6(男，類型 A)、B7(男，

類型 D)、B8(男，類型 B)，表示這 8 位個案學生教師。

第二節 個案研究法

社會科學研究一般有質性與量化兩種取向。量化的研究有其客觀、可複製 性和可類推性的優點，而質性研究可以讓我們對一客體的狀態與歷程有更深入 的理解。Bogdan & Biklen (1998；黃光雄譯，2003)認為，質性研究的目標在於 尋求掌握人們建構其意義的歷程，並描述這意義是什麼，使用經驗的觀察，從

M3 M2

M1 H

G F

E

D B C

A

圖三-1 無限子概念的文氏圖

人類行為的具體事件發展出對人類狀態更清楚、更深層的思考。因此，質性研 究關注的是歷程與意義、是運用參與觀察與訪談做深度的報導、是在複雜的脈 絡中建構出研究的主題。綜合而言，質性研究的特性 (Bogdan & Biklen, 1998) 包括：自然的情境，即是以實際場域作為直接資料的來源，而研究者本身的洞 察就是關鍵的工具；描述性的資料，即蒐集的資料是以文字或圖形來呈現，並 主張任何事物都有可能發展成線索，以對於所研究事物有更為全面的理解；歷 程的關注，即研究者關注的不僅僅是成果或結果，也包含了研究的歷程；歸納 性的分析，即分析的歷程像漏斗，一開始是開放的，之後趨於具體和更為特定 的方向；以及專於於意義的理解，即研究者關心所謂「參與者觀點」 (participant perspectives)，想要盡可能地掌握研究對象自己詮釋意義的內容與方式。

教育研究的主要策略有，實驗法、調查研究、檔案分析紀錄、歷史研究法 和個案研究法。而研究問題的本質和形式，往往就決定了研究策略。如果我們 想要瞭解全台灣有多少學校採用統整課程？這問題屬於 who、what 與 where 的 形式，又著重於當時的事件上，就比較適合用調查研究法。而使用個案研究法 (case study)則是要回答 how 與 why 形式的問題，而且，研究者對於當時的事件 沒有或只有極少的操弄(Robert, 1994；尚榮安譯，2001)。如果我們想知道一個 企業組織如何產生變革？個案研究會是比較好的研究策略。這裡所稱的個案不 見得是指一個人，也可能是一個組織或一個議題，所以，個案研究是對於一個 場域、單一個體、文件資料庫或特定事件做鉅細靡遺的檢視(Bogdan & Biklen, 1998)，透過這種鉅細靡遺的檢視，讓研究者可以更深入瞭解複雜的社會現象，

同時，也保留這些實際生活的整體性和有意義的特徵(Robert, 1994)。

由於本研究想要瞭解，在教材教法一年的課程中，學生教師的知識內涵與

歷程。因此，每位學生教師都是以其獨特的方式來建構自己的數學教學觀，他

們的教學和數學知識深植於背景脈絡之中，他們的想法會動態地改變，就如同

一條河流在不同的地方呈現不同的面貌，隨著不同的環境而流動、打轉、轉向

或蜿蜒曲折。因此，研究者必須進入個別學生教師的內心教學世界，去瞭解他

們如何建構數學教學的想法，以及他們如何詮釋自己的學習經驗與教學經驗；

去傾聽他們的聲音來描繪其認知過程與心智作用；同時，關注結果也關注歷 程，並試圖理解相關的背景脈絡。此外，本研究是以參與觀察和系統訪談為主 要的蒐集資料技術，研究者盡可能保留現場的真實度，並沒有意圖要對當時事 件進行操控。因此，本研究適合採用質性研究取向的個案研究法。

個案研究法有其設計的邏輯，好的研究設計就像一個好的藍圖，可以讓研 究者經由這種求證的邏輯模式推論出有因果關係的結論。在個案研究法的設計 中，通常包含研究問題與命題、分析單元、連結資料及命題的邏輯和解釋研究 發現的準則(Robert, 1994)。Robert 依據個案與分析單元兩個維度，將個案研究 分成：單一個案整體性、單一個案嵌入式、多重個案整體性、多重個案嵌入式 的設計四個類型。多重個案研究相對於單一個案研究，所得的證據通常被認為 較強而有力，而且整體研究較為穩健(Herriott & Firestine, 1983)。多重個案研究 通常被視為多重實驗，其目的不外乎要達到原樣複現(literal replication)或是理 論複現(theoretical replication)。例如，在十個個案中，如果有三個個案有相似 的研究結果，則達到原樣複現；如果產生出兩個不同的類型，可能是對立的結 果，則達到理論複現。而跨個案的報告應該要指出複現邏輯的範圍，並說明為 什麼某些個案會預期有某些特定的結果，而另外的個案則預期了相反的結果。

由於在多重個案研究中，每個個案都是完整的研究，所以，每個獨立的個案研 究有可能是整體式的或是嵌入式的，也就是說，多重個案研究可能是由多重整 體性個案研究或是多重嵌入式個案研究所組成。

為了掌握個案研究的品質，我們必須考量到研究的構念效度 (construct

validity) 、 內 在 效 度 (internal validity) 、 外 在 效 度 (external validity) 與 信 度

(reliability) (Robert, 1994)。構念效度是指，對所研究的概念建立正確的的操作

性衡量方法。進行個案研究時，可以使用多重證據來源、建議一個證據鏈和參

與者查證來建立構念效度。內在效度則根據研究發現推論原因的效度，對實驗

而言，是指沒有複合變項的存在，也就是沒有虛無的效果(spurious effects)。對

個案研究而言，很難檢驗哪些具體的作法達到這個結果，通常可以用類型比對 和時間序列分析來檢驗內在效度。外在效度指的是，研究發現是否可以推論到 研究的個案之外。個案研究著重的是分析式的概化(analytic generalization)而非 統計式的概化(statistical generalization)，也就是研究者的目的在擴展與推論理 論而非把頻率算出來。為了達到分析式概化，通常採用多重個案研究的複現邏 輯。信度指的是，研究的操作因子可以用重複實施而得到相近的結果。在個案 研究中，處理信度的一般方法是，盡可能在研究過程中，以操作化的方式來進 行所有的研究步驟(ibid, p. 80)，並為每個個案建立個人資料庫。

在本研究中，八位個案的分析單元包含了，概念分析、影帶賞析以及模擬 教學等師資培育的相關活動，因此，應屬於多重嵌入式的個案研究取向。希望 所篩選出八位個案能達到多重個案研究中的原樣複現或是理論複現，經由複現 的程序，藉以建立更為豐富的理論架構。同時，個人也應該在資料蒐集與分析 的過程中，時時注意提高研究的信度與效度，以維持個案研究的品質。

第三節 研究設計

一、研究階段

本研究配合一學年師資培育課程的規劃取向，以課堂模擬教學的實施將研 究進程劃分成模擬教學前、模擬教學與模擬教學後三個階段。

（一） 第一階段：模擬教學前

在教材教法課中，學生依照自己的意願分成 6 個微型小組，每組人數約 6

～8 人，每個小組選定一個與無限概念相關的教學單元，採用分工合作的方式

共同完成該單元的概念分析、教案設計與教學演示。在八位個案中， B1~B4 在

第一組，教學單元是無窮等比級數；B5、B6 在第二組，教學單元是二元一次

方程式的圖形；B7、B8 在第六組，教學單元是數學歸納法。每個小組設有一

位組長，負責統籌、規劃、協調小組的各項事宜，原則上，每週都有固定的時 間進行組內的討論，透過統整分析每位成員的想法與意見，共同結構出組內最 大的共識與最佳的方案。

在 93 年度上學期的 10 月份，TE 規劃每個小組對選定的教學單元做概念 分析，學生教師透過課本和教師手冊資料，分析該教學單元的教學目標以及單 元的主要概念、次要概念、先備概念和延伸概念。接下來，TE 讓學生教師欣 賞與評析四位資深中學數學教師數學歸納法單元教學的第一堂課，據此，學生 可以觀察到每位在職教師運用不同的教學方式與表徵數學概念。其中，甲老師 透過高原式和尖峰式的對話(Hyman, 1979)，引導學生說出數學歸納法的概念內 涵；乙老師先以「國王生日」的譬喻，引起學生的動機，再以河內塔的操作性 活動，讓學生自己感受出無窮遞推的意涵；丙老師用生兔子和爬樓梯的例子引 入，並將數學歸納法的精神類比成像手錶、時鐘、電視機一樣(可以直接用結 果，不需要瞭解中間的過程)；丁老師以骨牌說明全倒的條件為，第一個要推 倒而且上一個倒時要使下一個也會倒，藉此來闡述數學歸納法的兩步驟。最 後，TE 要求每個小組設計教學單元的完整教案，教案應該包含單元教學目標 以及對應的數個活動目標，再針對每個活動去規劃教師活動、學生活動、師生 互動、教學資源與時間分配，總計要設計一節課的詳案，其餘的節次則為簡案。

在這個階段中，個人共設計了兩份問卷，其一用來確認學生教師對數學概 念的掌握，另外一份則是個案對四位資深教師的教學評析。研究者會隨同個案 進入師資培育現場進行觀察，並於概念分析、教學評析與教案設計後與個案晤 談。不同的培育活動，研究者關注的焦點也不盡相同：在概念分析活動中，專 注於個案對概念的理解程度為何？概念與概念之間又有怎麼樣的連結？在教 學評析活動中，專注於個案是如何「解構」資深教師的教學活動？這樣的活動 又對個案的教學思維產生了什麼影響？在教案設計活動中，則聚焦在個案想要 傳達哪些數學概念？預計要採用什麼教學程序與教學策略來實踐這些概念？

又會如何預設中學生的認知與反應為何？。

（二） 第二階段：模擬教學

在 93 年度下學期的 3 月分起，各小組就按照之前擬定好的教案，在同班 同學面前實際演示，台下學生教師則扮演國高中生，可以任意與台上的教學者 互動，這段教學期間稱之為「模擬教學」。每一小組的模擬教學時間為一節課 (50 分鐘或 45 分鐘)，小組成員採接力的方式輪流上台，每一成員大約有 5～10 分鐘的教學時間，每個成員所負責的教學片段可能是個人按照自己的意願選 擇，也可能是小組所分配的。模擬教學是學生教師第一次學習上台演示教學，

除了將教學思考與教學計畫付諸於行動之外，並要處理教學中的突發狀況，這 些都會考驗著他們的所學及所知。

在這個階段，除了有攝影機全程錄影外，個人則詳實紀錄個案在模擬教學 時的教學內容、教學流程和教學策略，同時，也注意台下學生的各種反應以及 師生之間的對話與互動。研究者在這個階段所關注的焦點是：個案在這段教學 演示期間，傳達了什麼數學概念？是否清楚地掌握到數學概念以及概念與概念 之間的相關性？又運用了哪些符號、範例、類比或操作性活動來傳達某些概 念？採用這些方式的程序與內涵又是什麼？如何了解與釐清中學生的想法？

中學生的反應是否會讓個案修正原本的教學計畫？哪些部分是原先教學計畫 中所沒有的或是增加的？原因又是什麼？

（三） 第三階段：模擬教學後

在模擬教學後，我們先請個案初步分析自己教學的優缺點，TE 則扮演促

發者的角色，引導和協助學生教師針對自己的教學實務，發展出更深刻的理解

與更豐富的相關數學教學知識。在上課時，他會針對每個小組的成員，選擇數

個關鍵性的教學片段先回顧一遍，其他同儕會針對教學內容表示認同或是提出

疑問，學生教師則依據問題提出澄清與解釋。在這樣反覆的歷程中，讓學生教

師重新檢視和思考自己的教學活動內容與更深層的思維，作為下次改進的依

據。經過 TE 的分析與指導後，學生教師可能會有新的觀念與想法，透過撰寫 省思報告，可以進一步讓他們再次整理和建構自己的實務經驗與知識。

研究者在這個階段扮演的是參與的觀察者，在師資培育活動中，盡可能客 觀的紀錄 TE 的教學內容、同儕的互動與學生的反應，並於培育活動後，分別 與個案進行教學後的訪談。訪談採用 stimulated-recall interview 的方式，也就是 將關鍵性的教學片段先讓個案回顧之後，立即針對該片段提出相關的問題。研 究者在這個階段關注的焦點是：經過了模擬教學後，個案自己覺得哪些教學部 分可以保留？那些需要再做修正？會不會因為實際的教學，而對原本數學概念 有更深的理解或是發現有所缺漏？經過與中學生互動後，會不會去調整原先的 教學策略或內容？是否更加瞭解中學生的想法與解題策略？如果同樣的單 元，面對是真正的中學生，又會有什麼不一樣？

二、研究工具

本研究在三個階段中所發展的工具有問卷、教室觀察、人造物(artifacts)與 訪談四個方面。

（一） 問卷

本研究除了無限問卷之外，另外還發展了兩份問卷。其中一份問卷是「教 學單元數學概念分析問卷」(請參見附錄一(3)，以下簡稱概念分析問卷)，問卷 的左邊有列出 15 個數學概念（包括相似、點和方程式解的對應關係、無限、

數學符號、遞推、等比、圓、二點成一直線、因數、直線上有無限多點、直線

可無限延伸、倍數、循環和面積），請填答者依據自己的判斷選擇數個選項填

入右邊的教學單元中，如果認為還有其他重要的數學概念未列在選項中，可以

加以補充，最後，再針對所列出的概念做重要性的排序。使用此問卷的目的不

在於做量化的統計分析，而是作為訪談時的討論依據。例如，研究者會根據個

案填答的內容詢問：每個概念所代表的意義？排序的主要依據？並據此資料瞭

解個案對教學單元概念的掌握情形，以便描述他們數學知識的一個面向。

為了瞭解個案對四位資深教師數學教學的認知情形，我們設計了一份「教 學活動評析問卷」(請參見附錄一(4)，以下簡稱教學評析問卷，四位教師的問 卷格式皆相同，一共四份)。首先，讓個案回憶該教師的教學活動中，印象最 深刻的片段是什麼？接著，要求列舉出該教學活動的優點和缺點，並說明理 由，最後，讓個案設想：如果是在自己的教學中，會採用該老師的哪些教學觀 念來設計活動？透過這份問卷，可以讓填答者重新整理每位資深教師的教學流 程與策略，從中選擇適合用於自己教學的內容及方式，以便進一步瞭解個案教 學知識的內涵與意向。

（二） 教室觀察

本研究的教室觀察分為兩個部分。第一部份是師資培育活動的教室觀察，

研究者隨同學生教師進入師資培育活動的教學現場，以現場文字描述的方式，

盡可能詳實紀錄 TE 的教學活動與關鍵性的問話，以及學生教師的反應、發表 與討論。另外一個部分是個案模擬教學的教室觀察，除了用文字記錄個案的版 書、陳述內容、肢體動作、師生對話和學生反應之外，同時，請另外一位獨立 觀察者操作教室的攝影系統，將教師活動與學生活動一同拍錄下來，以補現場 札記的不足。由於攝影系統是隱藏式的，而且，操作人員於另外一間觀察室錄 製，應可降低所謂的「攝影機效應」。我們會在攝影結束後，將影帶燒錄成教 學光碟，再將光碟內容轉譯成書面逐字稿，因此，教室觀察相關的研究資料有 現場札記、模擬教學影片和模擬教學影片的書面逐字稿。

（三） 人造物

人造物指的是個案自己產出的東西，可能是作業的成果或是一件作品。在 本研究中，個案的人造物有教學單元概念分析報告、教案以及學習省思報告。

概念分析報告是要分析選定教學單元的主要概念、次要概念、先備概念以及延

伸概念，每組各繳交一份，共 3 份。教案是教學前的計畫書，包含了一堂課的 教學目標、活動目標、教師活動、師生互動、學生活動、教學資源、時間分配 以及注意事項，每組同樣各繳交一份，一共有 3 份。學習省思報告是學生教師 將一整個學期的師資培育活動，重新加以思考、分析與整理後，把自己的想法、

感受與心得訴諸於文字，撰寫而成的報告。內容可能包含讀書、報告、觀摩、

教學等各種學習活動的心得。每位學生教師於上、下學期末，各繳交一份學習 省思報告，共計有 16 份。由於，研究者不在這些人造物的產出過程中，所以，

個案可以比較忠實地展現自己的觀點，可以作為本研究一項重要的資料來源。

（四） 訪談

本研究主要採用焦點式的訪談(focused interview)，也就是介於開放式與結 構化之間的訪談架構。研究者會在事前擬定好一系列的問題，通常會在訪談的 初期詢問比較開放性的問題，鼓勵受訪者盡可能的表達出自己心中的想法，再 根據受訪者的回答，發展新的問題方向。研究者常常需要有彈性的追尋受訪者 即時演變的想法，以積極冒險的態度來探詢受訪者內心的世界；但是，也必須 隨時監控自己，適時的回到原先問題的主軸上。以下用一個訪談片段為例，說 明這樣的動態調整歷程：(之後文中的細明體即代表原案資料)

(B7，訪談1，931203)

R：請你講一下數學歸納法的主要概念有哪些？

B7：其實我在高中的時候，對於數學歸納法是不太容易掌握的。應該說，

對於它的概念會有疑惑，解題方面是沒有問題的，反正就照著老師的 做，是知其然不知其所以然的狀況。其實當時我並不知道，為什麼這 樣做，就可以藉此來證明。我在高中的時候，是掌握不到這樣的事情，

而真正能掌握的時候，是大概上了大學才能掌握。所以，當他提到要 我們表演給高中生看的時候，讓他們能掌握到數學歸納法，其實我覺 得頗難，因為，這是當初自己無法掌握的東西。

R：當你們預定要教這個單元時，有沒有想過要怎麼呈現給學生？

B7：我對於自己第一次有比較掌握到數學歸納法是在玩河內塔遊戲的時候 做出來的。不是在大學的課程，而是閒來無事玩一下手機的小遊戲，

那時候突然感覺到這不就是數學歸納法嗎？那時候，就有A─ha 一下。

而且在那個時候，我覺得我對於數學歸納法的精神就掌握到了。所以，

當我抽到那個單元時，我第一個想到的是河內塔遊戲。因為，我沒有 教過高一的學生，所以，要我編排一個課程來教高一的學生，讓他去 掌握數學歸納法，以我來講目前還做不太到。

R：那河內塔是啟發你數學歸納法的什麼概念？

在這段訪談中，研究者原本要詢問數學歸納法的概念，然而受訪者卻談到 了自己在數學歸納法的學習經驗，個人就很好奇：這樣的學習經驗對於他的教 學設計有沒有什麼影響？於是在第二個問題時，就展開了訪談的支線，而這並 不在原本的計畫之中。到了第三個問題時，藉由對方談到的河內塔遊戲，才引 導受訪者回到原先的問題之中。因此，訪談並不是線性的，經常是複雜的迴旋，

具備著訪談者與受訪者多樣層次交織的特性(Ginsburg, 1997；謝如山譯，2004)。

在進行訪談時，我們會在受訪者的同意下錄音，同時，也會注意受訪者的 姿態、面部表情、情感的流露、聲音的語調及其他類似的肢體語言。如果我們 感覺到受訪者有所遲疑，或是他的回答不足以讓我們理解他真正的想法時，則 可能會換個方式將問題重述一次，並支持他盡可能的表達自己的觀點；但是，

我們也可能會採用對立的說法，挑戰他原先的所陳述的內容，來做反向的檢 驗。在本研究中，研究者與每位個案一共進行四到五次的訪談，並在訪談之後，

將錄音資料轉譯成書面逐字稿，另外也提供一份給受訪者做「參與者查證」，

如此，應可以部分提升訪談資料的真實性。

第四節 資料分析

一、資料的類別與編碼

依據本研究發展的工具，個人將實徵資料分成問卷、教學、訪談與人造物 四類的資料。問卷類包含無限問卷、概念分析問卷與教學評析問卷三種資料，

它們是以比較結構化的方式來蒐集個案的資料，但是相對的也較少彈性。教學 類的資料包含現場札記和模擬教學的光碟與逐字稿；它們是直接在現場取得，

因此，可以較深入地瞭解當下發生的情境與脈絡。訪談類的資料包含各階段教 學前、中、後的訪談錄音與逐字稿；它們可以讓研究者更有彈性地瞭解個案的 想法，但是，也容易讓個案受到訪談者與訪談問題的影響。人造物類包含概念 分析報告、教案與省思報告三種資料；此類的資料比較不會受到他人介入的影 響，但是，卻是個案主觀呈現的內容。由於，四類資料都有不同的特性和蒐集 目的，利用其互補性可以多方面檢視資料的真實程度，有助於達到資料的「三 角檢驗」(triangulation)。

每次蒐集來的資料，個人會以三元組(x, y, z)的方式編碼。第一元素 x 表示 個案的代號；第二元素 y 代表資料的名稱，例如，省思

就表示上學期的省思 報告；第三元素 z 表示資料來源蒐集的日期。比如說，編碼(B5，訪談

， 931228) 表示，這份資料是在 93 年 12 月 28 日針對 B5 所做的第二次訪談；(B3，模擬 教學，940315)表示，B3 在 94 年 3 月 15 日所進行的模擬教學。這些資料編碼 相當有助於發展和建立本研究的資料庫，為了方便往後的查閱，個人將資料庫 的檢索系統分成三個層次。第一層是依個案代碼排序，第二層次是按照前述的 資料類別排序，第三層次是以時間排序。例如，要查閱 B7 上學期的省思報告，

就要先找到 B7 的資料夾，再從該資料夾中找尋到人造物類的省思報告資料，

其中的第一份文件就是所要查詢的內容。透過資料庫的建置與檢索，讓資料能 有系統的排序，以便於他人檢視本研究的原始資料，應能部分提升整體研究資 料的可信程度。

二、資料分析的原則

質性研究通常用歸納的方法來分析資料。資料分析的歷程就像是漏斗一

樣，最初資料是開放的，慢慢地會朝向更為具體而且特定的方向發展，也就是 說，研究者並不是在拼一幅早已經知道的圖像，而是，隨著資料的逐步蒐集與 檢查之後，逐漸形成一幅發展中的圖像(Bogdan & Biklen, 1998)。研究者會在一 開始的時候，先鉅細靡遺地紀錄他所看到、聽到或認為重要的事件，形成描述 性的資料；接著，依據資料的屬性與面向，將資料組織成分別獨立的類別，並 做概念性的排序；最後，希望能架構出一個暫時或階段性的理論，試圖更充分 地解釋所面對的現象。透過有系統的資料蒐集和分析之後，讓理論從資料之中 衍生出來，就是 Strauss & Corbin (1998；吳芝儀和廖梅花譯，2001)所謂的「紮 根理論」 (grounded theory)。本研究即採用部分紮根理論中分析資料的觀點，希 望提高資料分析的嚴謹程度。

個人在資料分析的初期採用微觀分析(microanalysis)，也就是針對一個詞、

一個句做詳細縝密的檢驗；接下來則是分析整個句子或段落，此時，個人常會 自問：在這個一個句子或段落中，什麼才是最主要的意涵；最後，在詳閱整個 文件後，再次詢問自己：這是怎麼一回事？依循這些技術和程序，通常可以促 使分析者察覺資料之中的隱藏意義，也會有助於省思與修正他對資料的假定。

下面是 B3 在模擬教學時的一個片段，教學單元是無窮等比級數，她正在進行 剪紙的活動，個人以這個教學片段為例，來說明資料的微觀分析。

(B3，

教學

S：老師，那剛剛那樣剪一剪，就會沒有啦，那是不是剪一剪，就這樣沒有 了？{學生對剪紙結果的疑問}

B3：就變成0 是不是？{B3 對學生問題的解讀}那我講一下喔，為什麼不會 是0？{解釋的意圖}

B3：原本一張紙嘛，我們把它剪一半，那再一半嘛，這樣一直做下去……

{描述問題} (作圖)

假設說，你剪到這裡已經是最小塊了，那你說它是0 是不是？{提出假 設}那你看喔，是不是可以把這張只分成很多很多個這麼小塊，那這樣 很多很多的這麼小塊的0 加起來是不是就是 0{沒有紙}，可是它原本明 明就有一張紙{有紙}，怎麼可能會不見？又不是有鬼{不合理的現 象}。所以那根本就不會是 0 啊{得到結論}，同學這樣有什麼疑問嗎？

{測試學生反應}

上述資料{}內的文字是概念化的命名，而概念是指被標定的現象(labeled phenomenon)，它是研究者從資料中所認出的重要事件、事物和行動/互動等的 抽象表徵。對現象命名的目的，是為了讓研究者能夠將相似的事件、事例和事 物等，加以群組，並歸類在一個共通的標題或分類之下 (Strauss & Corbin, 1998)。以上述的教學片段而言，引導出「不合理的現象」是否會在 B3 其它部 分的教學活動中也出現相近的概念？也就是說，類似這種提出假設、進行推導 然後製造矛盾的過程，我們應該問：這是否是 B3 慣常的問題解決模式？還是，

她只是接續完成既定的證明程序？為了比對資料，我們可能需要另一項分析的 技術，就是比較性思考(think comparatively)。

Strauss & Corbin (1998)指出，進行比較有兩種類型。第一種是常識性的比

較，就是逐一的比較事例或事物，例如，有兩籃標著不同價格的橘子，我們會

根據其它的屬性如顏色、大小、形狀、氣味、甜度等，來比較它們。這樣的比

較通常不像研究中所使用的那麼有系統，也不會探討理論性的議題。另一種是

理論性的比較，這又可以分為凸凸凹凹技術(the flip-flop technique)與系統性比

較(systematic comparison)。凸凸凹凹技術指的是，用反面或極端事例找出有意

義的屬性，例如，某一位學生教師對教學單元的數學概念比較「模糊」，為了

更瞭解「模糊」的意涵，我們可以思考具有「清晰」的數學概念是有什麼樣的 屬性，像是能精確的表達概念的意義，或是能明瞭概念之間的關連性；系統性 的比較意指，將資料中的事例從經驗和文獻中擷取出相似或是不相似者進行比 較，例如，某一小組在數學歸納法的教學中，採用了「登鸛鵲樓」作為課堂的 起始例，為了評估這個例子的適切性，我們可以比對數學課本中所描述的「國 王生日」的故事，到底這兩者會不會傳達相同的數學概念？是否具備有概念啟 蒙的作用？故事的內容合不合理？

本研究採用三角檢驗與經常比較法(constant comparison method)來檢視和 分析實徵資料。三角檢驗法借自三角學(trigonometry)，指的是為了測量某一物 體的精確位置，必須透過其他兩個觀察點，經由兩個相對關係的交叉點來確認 該物體的正確位置。在教育研究上指的是，研究者建構事實之時必須仰賴多重 的資料來源，亦即，是運用不同的資料來源以檢視多重的證據是否指向同一個 事實。例如，個案在訪談時所宣稱的、與教案所描述的、以及實際的教學情形，

這三者是否有其一致性？也可以，透過不同的參與人員用不同的觀點和立場審 視同一份資料，如此就能交叉比對資料的真實性，這是參與人員的三角檢驗。

例如，針對同一個教學片段，交叉檢視師資培育者、學生教師與獨立觀察者三 方觀點的一致性。Glaser (引自 Bogdan & Biklen, 1998)主張，發展理論的經常 比較法之步驟為：開始蒐集資料之時，尋找資料中可以成為焦點類別的關鍵議 題或事件；持續蒐集資料並注意該類別的各種向度，同使寫下來正在發展中的 類別，試圖描述與解釋資料中的事件；繼續尋找新的事件以發現歷程與關係，

將分析的焦點集中在核心類別。Strauss & Corbin (1998)也強調：透過分析所獲 得的類別，應該被視為暫時性的，必須藉由後續的資料進行經常性的比較，來 驗證這些類別的可靠性與真實性。

綜合而言，個人先透過微觀分析初步地從資料之中抽取出概念，再根據概 念的屬性，可能是相似性或差異性，來群集概念而形成類別。隨著研究的進程，

新的類別可能隨著新的資料浮現出來，運用比較性思考的相關技術以修正與精

鍊既有的類別，以及辨識類別與類別之間的變異，並嘗試沿著一定的主軸有系 統地發展和關連類別。比對的工作是在資料來來回回的過程中不斷進行；可能 是不同資料的比對、可能是不同時間點的比對、也有可能是不同參與者觀點的 比對；如果發現了不一致的情形，可能是有些資料產生偏差，必須做進一步確 認，也有可能是一個現象或面向的變異情形，此時，就要用更多元以及更寬廣 的角度來解釋該類別的意涵。如此，對資料進行經常性與理論性比較，經由歸 納與演繹的交互作用，應能對現象做出較精準的詮釋，讓理論能真正紮根於資 料之中。

第五節 研究限制

一、場域和參與者造成的限制

本研究是以國立台灣師範大學數學系的培育課為場景，參與的個案都是修 習教材教法的學生教師。TE 是一位師資培育者，同時也是一位行動研究者，

對於修課的學生有其既定的教學與研究目標。在課程的影響下，個案的知識內 涵可能不斷的產生改變，例如，學生教師可能原本認為數學課就是公式推導與 試題演練，在接觸課程後才知道，原來可以用類比或操作性的活動來引動學生 的數學概念。但是，也有可能為了迎合培育課程的教學目標，某些個案的說法 與作法會有意去符合 TE 的期待，例如，學生教師可能在模擬教學中設計了許 多的師生對話，只是因為 TE 很重視與學生的互動，而並非本身的原始想法。

另外，模擬教學單元的選定與微型小組的協商機制都有可能限制了學生教師所 展現了的教學內涵。

研究者在完成一年的教學實習之後即就讀研究所，是比研究對象大三屆的

學長，並沒有意圖要設計或實施師資培育的活動，與學生教師的位階算是相當

接近。但是，個人的出現仍可能造成所謂「觀察者效應」(observer effect)。個

案一方面可能會因為學長要做研究而給些面子，也許會刻意隱藏內心某一部份

的想法，而選擇自認為對研究比較有價值的陳述；另一方面，訪談所提到的許 多教學問題，可能會激發個案察覺到他(她)原本沒有意識到的概念，也有可能 促使其深化或擴展了原本的認知。因此，場域、TE 與研究者對個案造成的影 響，都有可能降低了研究的真實程度。

學生教師在教材教法課中，往往是第一次學習如何教中學數學，通常會對 不同的教學方法感到好奇，對教學的觀點也可能會隨著外界的刺激而動態地改 變。由於質性研究比較關注歷程，所以，不會只是從單一的時間點來蒐集或詮 釋資料。研究者每週均參與觀察教材教法的課堂活動，並多次在課餘時間與個 案進行訪談，多方的蒐集個案相關的資料，這樣的歷程持續了約一年的時間，

應該具備了質性研究的生態效度(ecological validity)。此外，個人會在訪談時，

詢問個案說法和想法的動機與來源，例如「請你回想一下，你這樣的想法是因 為……？」，以更仔細評估各種可能因素對個案產生的影響。個人也會在訪談 的後期，提問一些假設性的問題，例如「如果是……的教學單元，你會採 取…….？或如果你今天是正式的老師，你會採取……？」，藉以瞭解個案在不 同場域下的認知反應，這樣亦可部分提升個人詮釋或解讀資料的可信度，同時 也可檢視個案反應的一致性與變異程度。

二、資料詮釋的限制

由於質性研究所蒐集到的是軟性資料(soft data)，研究者本身的洞察就是關 鍵性的工具(Bogdan & Biklen, 1998)，因此，無法避免的，資料的詮釋總會帶有 研究者本身的經驗與知識。也就是說，研究者的成見與態度可能造成資料的偏 差，就好像針對同一個社會事件，不同新聞台的報導內容與方式也不盡相同，

正是因為每個人的觀點和偏好都會影響其所認定的真實為何。所以，研究者可 能會選擇性的使用資料以符合他已知的理論或先入為主的想法，或是刻意選擇 某些特別突出的資料，導致影響整個研究的調查過程與結論(Maxwell, 1996；

高薰芳、林盈助和王向葵譯，2001)。

為了降低研究者的偏見，在資料分析的過程中，就要注意到研究的信度與 效度。例如，個人採用多重的資料來源以及在多個時間點進行資料的比對，以 仔細檢核資料是否收斂在同一點上。在審視資料時，也儘量保持公正的態度對 待各類證據，並接納事件的多元觀點。在研究過程中，也注意到要從資料之中 往後退一步來回顧，而且，不時反問自己：真的就是這樣嗎？有沒有其它的可 能情形？是否還有另外的證據？學習著讓自己成為一個有省思能力的研究 者。另外，在階段性的資料蒐集結束後，也會採取「參與者查證」的方式，讓 個案能夠確認或修正與自己相關的資料。由於 TE、R1、R2 和 R3 均固定於每 週四的晚上，針對個案的想法與表現交換意見，如此，應有助於降低資料解讀 的主觀性。此外，個人會將初步的研究結果提供給同樣進入現場的 R3 做查證，

TE 也會適時的提出修正的建議。透過這樣的方式，希望能做到參與人員的三 角檢驗，讓研究結果更具可信度。

三、可類推性的限制

可類推性(generalizability)指的是，特定研究的發現是否可以應用在特定的 研究對象以及特定的研究場域之外的地方(Bogdan & Biklen, 1998)，其實這就是 研究的外在效度。對於本研究而言，透過無限問卷篩選出來的 8 位個案，是否 足以代表 94 位修習數學教材教法的學生？另外，如果換成另外一個師資培育 的場域，是否會產生同樣的研究結果？本研究在初期時，一共選出了 15 名學 生教師，但是考量到個人的意願以及時間配合等問題，最後只有 8 位成為長期 追蹤的個案。因此，個案的遺失可能在某種程度上，限制了研究結果的代表性。

此外，就算採用同樣的研究步驟與研究工具，也不代表在其他的師資培育場域 會有同樣的研究結果。

Robert (1994)認為，個案研究的目的在擴展與推論理論而非把頻率算出

來，也就是希望達到分析式的概化而非統計式的概化。Bogdan & Biklen (1998)

則認為，質性研究者處理可類推性可採取：小心地記錄一個既定的場域和一群 對象，其餘就留待其他人來決定它是否符合事物的一般體系。因此，對於質化 研究而言，結果的可一般推論性通常不是那麼重要(Maxwell, 1996)。重要的是，

研究者在研究過程中，應該盡可能地以操作化的方式來進行所有的研究步驟，

詳細紀錄現場發生的實徵資料或事件，釐清相關的背景脈絡。這樣，研究結果

或許可用於場域相近而且特徵相似的研究對象，而可以做局部推論。