Chapter 4 指數函數與對數函數

Chapter 4 指數函數與對數函數



課程內容



指數函數



對數函數



對數函數的導數



指數函數的導數



經濟學上的兩個應用

：

 相對變化率與需求彈 性



指數成長與衰退



學習目標



指數函數與對數函數 的意義及其圖形



如何求指數函數與對 數函數的導數



指數函數與對數函數 在經濟學上的應用



瞭解成長與衰退的指 數模型

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-2

指數函數



本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數 (exponen tial function) 與對數函數 (logarithmic function) ，進 而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他 領域上的應用。



定義 4-1: 設 a > 0 且 a  1 ，則 f(x) = a^x 稱為以 a 為底 (base) 的指數函數，其中 x 稱為指數 (exp onent) 。

4-1 指數函數

描繪指數函數圖形



描繪 f(x) = 2^x 之圖形。



描繪 之圖形。

^{f ( x ) }  

¹₂ ^x

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-4

指數函數之性質及圖形



定理 4-1: 設 f(x) = a^x 為指數函數，則

(a) f(x) 之定義域為 ( ,  ) 。 (b) f(x) 之值域為 (,  ) 。 (c) f(x) 之 y 截距為 f(0) = a⁰ = 1 ，但無 x 截距。

(d) f(x) 為連續函數。

(e) 若 a > 1 ，則 f(x) 為遞增函數， ，

，

其圖形如左圖所示。

(f) 若 0 < a < 1 ，則 f(x) 為遞減函數，

， ，其圖形如右圖所示。









( )

lim f x

x

lim ( )  0





f x

x

0 ) (

lim 





f x

x

 





( )

lim f x

x

4-1 指數函數



最典型的指數函數的例子，即所謂的複利 (compounde d interest) 問題。假設我們將本金 (principal) P₀ 元存到 某家銀行，銀行的存款利率 (interest) 為 r ( 例如 r 為 8%) 且每年複利一次，試問 n 年後本利和為多少？

複利問題



解 : 設 P(n) 表示 n 年後的本利和，則顯然地一年後 的本利和為

) 1

( )

1

(

P ₀ rP ₀ P ₀ r

P

   

二年後之本利和為

0 ( 1 ) 2

) 1

)(

1 ( )

1 ( )

1 ( )

2

( P rP P r P r

P      

依此類推，我們得到 n 年後之本利和為

n

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-6

複利問題



銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依 顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每 季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每 年複利十二次。



假設將本金 P₀ 存放於銀行，年利率為 r 且每年複 利 k 次，即每 365/k 天複利一次。在這種情況下，

每次複利之利率為 r/k 而一年後之本利和為



n 年後之本利和為

k k r

P

P ( 1 )  ₀ ( 1  )

nk k r

P n

P ( )  ₀ ( 1  )

4-1 指數函數

求本利和

 將 1000 元存放於銀行，年利率為 6% 且每年複利一次，試問 5 年後之本利和為多少？

 將 1000 元存放於銀行且銀行之年利率為 8% 。



(a) 每年複利一次，試問 2 年後之本利和為多少？



(b) 每半年複利一次，試問 2 年後之本利和為多少？



(c) 每季複利一次，試問 2 年後之本利和為多少？



(d) 每個月複利一次，試問 2 年之本利和為多少？

1338 )

06 . 0 1 ( 1000 )

5

(  

⁵



P

1166 )

08 . 0 1

( 1000 )

2

(   ² 

P

1170 )

04 . 0 1

( 1000 )

1 ( 1000 )

2

(   ^{0 .} ₂ ^{08 4}   ⁴  P

1172 )

02 . 0 1

( 1000 )

1 ( 1000 )

2

(   ^{0 .} ₄ ^{08 8}   ⁸ 

P

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-8

現 值



在上述的論述中，我們得到

其中 P(n) 為 n 年後的本利和，屬於未來的價 值。



現在我們逆向思考，假設 n 年後，我們可拿回本利 和 P(n) ，那麼 P₀ 即所謂的現值 (present value) 。 因此，現值

nk k r

P n

P ( )  ₀ ( 1  )

nk k r

n P

P ₀  ( )( 1  ) ^



求現值 : 某家銀行年利率為 6% 且每半年複利一次

，求 4 年後 10000 元之現值為何？

7894 )

1 (

10000 ^{0 .} ₂ ^{06 8}

0   ^ 

P

4-1 指數函數

求折價



一部價值 36000 元之個人電腦，每年的折價率為 2 0% ，試問這部電腦 3 年後價值多少？



解 : 如同在複利的情況，我們可將折價率視為  0.2

，因此， 3 年後電腦之折價為

36000(10.2)³=36000(0.8)³=18432 元。

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-10

複利的次數趨近於無窮大時



若銀行每年複利的次數頻率趨近於無窮大時，則 n 年後之本利和應該為

x nr x x

nr k

r n k

nk k r k

P P

P P n

P

kr kr

kr kr

 

  



 

  



























) 1

( lim

) 1

( lim

) 1

( lim

) 1

( lim

) (

0 1 0 1

0 1 0

令 x  ^k _r

是否存在？

x x lim ( 1  ¹ x )





4-1 指數函數

自然指數



定義 4-2: 稱為自然指數 (n atural exponent) 。



定義 4-3: 連續複利

(continuously compounded interes t)

將本金 P₀ 元存於年利率 r 的銀行裡，在連續 複利之下， t 年後之本利和為 P(t) = P₀e^rt 。



定義 4-4: 連續複利之現值

銀行之年利率為

r ，連續複利， t 年後 P 元其

現值為 P

₀

= Pe

^rt

。

71828 .

2 )

1 (

lim  ¹ 

  

x x x

e

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-12



求連續複利之現值

銀行之年利率為 6% ，在連續複利之下， 10 年後之 50 00 元其現值為多少？

連續複利



求連續複利之本利和

將 1000 元存放於年利率 8% 之銀行裡，連續複利， 2 年後之本利和為多少？

1174 1000

1000 )

2

(  e

^0.08(2)

 e

^0.16

 P

2744 5000

5000 ^{( 0 . 06 )( 10 ) 0 . 6}

0  e ^  e ^ 

P

4-1 指數函數

自然指數函數



定義 4-5: y = e^x 稱為自然指數函數 (natural exponenti al function) 。

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-14

自然指數函數之圖形



若 k > 0 ，則 y = e^kx 之圖形如左圖所示， y = e^kx 之圖形如右圖所示。

0 , 

 e

^

k y

^kx

4-1 指數函數

隨堂演練 4-1

1.

描繪

y = 3

^x 與 y = 3^x 之圖形。

2.

將 1000 元存放在年利 率 8% 之銀行裡，求下列 各種情況下， 10 年後之 本利和。

a. 每年複利一次。

b. 每季複利一次。

c. 每月複利一次。

d. 連續複利。

3.

在漲跌幅 7% 的台北股票 市場，某一支股票，每股 以 50 元上市交易，連續 漲停 10 個交易日，求第 10 個交易日之收盤價。

4.

求極限

5.

描繪函數 y = 2 + e^x 與 y = 2 + e^x 之圖形。

x x

x

x x x

1

2

1 lim

2 , 1 1

lim 



 

 



 

 









Chapter 4 指數函數與對數函數

4-16

對數函數



定義 4-5: 設 a > 0 且 a  1 。若 a ^y = x ，則 y 稱為以 a 為底 (base) x 之對數 (logarithm) ，通 常表示成 y = log_a x 且 y 稱為以 a 為底之對數函數 (logarithmic function) 。



求對數



求 log

₂

8 。



求 。

4-2 對數函數

9

log

13

對數函數之性質及圖形



定理 4-2: 設 f(x) = log_a x 為對數函數，則

(a) f(x) 之定義域為 (0,  ) 。 (b) f(x) 之值域為 (,  ) 。

(c) f(x) 之 x 截距為 1 ，即 log

a

1 = 0 ，但無 y 截距。

(d) f(x) 為連續函數。

(e) 對任意 x > 1 ， ；對任意數 y ， 。

(f) 若 a > 1 ，則 f(x) 為遞增函數，

， 且其圖形如

左

圖。

(g) 若 0 < a < 1 ，則 f(x) 為遞減函數，

， 且其圖形如右圖。

x

a

^{loga x}

 log

_a

a

^y

 y









( ) lim f x

x

 

 

( ) lim

0

f x

x









( ) lim f x

x

 

 

( ) lim

0

f x

x

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-18

對數的基本運算法則



對數的基本運算法則 :



函數的化簡



化簡 f(x) = log

₂

x

⁷

 log

₂

x

⁵

。 x

r x

y x

y x

xy

r a a

a y a

a x

a a

a

log log

log log

log

log log

log











4-2 對數函數

常用對數函數、自然對數函數



定義 4-6: y = log₁₀ x 稱為常用對數函數 (common lo garithmic function) ，通常表示成 y = log x ，即 y = log x 若且唯若 10^y = x 。



定義 4-7: y = log_e x 稱為自然對數函數，通常表示成 y = ln x ，即 y = ln x 若且唯若 e^y = x 。



求對數



求 log 1000 。



求 log 0.001 。



求 ln e

⁸

。



求 ln e

^0.2

。

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-20

解方程式



求 10^5x = 2 之解。



求 3e^2x = 18 之解。

5 2 log

5

2 log 5

2 log 10

log 5

2 log 10

log



   x

x x

x

26 ln 2 2

2

6 ln ln

2

6 ln ln

6 18 3



 





x

e x

e e

e

x x

x



求 10^2x 2(10^x) 3 = 0 之解

。

3 log

3 10

0 3

10

0 1

10

0 )

1 10

)(

3 10

(

0 3

) 10 ( 2 )

10 (

0 3

) 10 ( 2 10

2 2

 





























x

x x x

x x

x x

x x



4-2 對數函數

變底公式



變底公式 (change base formula) ：



求對數



求 log

₂

10 。

a a x _log ^log

_b^b

x

log  log _a x  _ln ^ln _a ^x

3222 .

3 10

log ₂  ^ln _ln ¹⁰ ₂  ² ₀ ^. _. ³⁰²⁶ ₆₉₃₁ 

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-22

求雙倍期 (doubling time)



將本金 P₀ 存放於年利率為 6% 之銀行，每年複 利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？



將本金 P₀ 存放於年利率為 8% 之銀行，連續複利，

試問幾年後其本利和為本金之兩倍？

8885 .

11 2

ln )

06 . 1 ln(

2 )

06 . 1 ( )

06 . 0 1 ( 2

0582 .

0 0 . 6931 06

. 1 ln ln 2

0 0







   

 n

n

P

P ^{n n}

7263 .

8 2

ln 08

. 0 2

08 . 0 . 6931 08 0

. 0 ln 2

08 . 0 0 0









 t

t

e P

P ^t

4-2 對數函數

對數函數的應用

 求學習時間

 某人練習中文打字，練習到 第 t 週時，此人每分鐘可打 f(t) = 20(1 e

^0.5t

) 個中文字，

試問此人練習幾天以後，每 分鐘可以打 5 個中文字？

 訊息之傳播

 某一重大訊息經媒體報導，

在 t 小時以後，得到這個訊 息之比率為 f(t) = 1 e

^0.4t

， 試問多久以後 80% 的人都接 收到這個訊息？

5754 .

0 ) 75 . 0 ln(

5 .

0 0 . 75 25 . 0 1

5 )

1 ( 20

5 )

(

5 . 2877 0 .

0 5 . 0

5 . 0

5 . 0



 

 











 







t e t

e e t

f

t t

t

4 )

2 . 0 ln(

4 .

0 0 . 2 8 . 0 1

4 . 6094 0 .

4 1 . 0

) 2 . 0 ln(

4 . 0

4 . 0









 





 







t e t

e t

t

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-24

隨堂演練 4-2

1. 求 log₄ 64 與 log 0.001 。

2. 化簡 log₂ x(x + 1)  log₂ (x + 1)² 。

3. 求 2^2x = 16 與 9^x  6(3^x) + 9 = 0 之解。

4. 將一筆錢存放在年利率 10% 之銀行裡，連續複利

，試問幾年後其本利和為本金之 2 倍？

5. 描繪 y = ln (2x) 與 之圖形。

^{y  ln( 1} _x ⁾

4-2 對數函數

對數函數的導數

 定理 4-3: 設

f(x) = ln x ，則 f(x) 為可微函數且

，即 。

 定理 4-4: 若 u(x) 為正值可微函數，則 f(x)= ln u(x) 為可

微且 ，即 。

 定理 4-5: log

_a x 為可微函數且 。 若 u(x) 為可微的正值函數，則 log_a u(x) 為可微且

。

x x

f  ( )  ¹ _dx ^d

ln

x



¹ _x

) (

)

)

(

( x

^u_{u x}^x

f  

^ _dx^d

ln u ( x ) 

^u_u^₍⁽_x^x₎⁾

x a a

dx d log x  _ln ^{1 1}

) (

) ( ln1

) (

log

_{a a} ^u_{u x}^x

dxd

u x 

^

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-26

對數函數的導數



求 ln (x² + x + 1) 之導數。



求 y = ln x 在 x = 1 之切線方程式。



判別 y = ln x 圖形之凹性。



求 ln (1.1) 之線性近似。



求 f(x) = ln (x² + 1)¹⁰ 之導數。

4-3 對數函數的導數

對數函數的導數



(a) 求 f(x) = log₃ x 之導數。

(b) 求 g(x)= log₃ (x⁴ + 1) 之導數。



求 f(x) = (x² + 1) ln (x² + 8) 。



求 之導數



設 x > 0 ， f(x) = x^x，求 f '(x) 。

4 7 4

3

1

) 2 (

x x

y x







Chapter 4 指數函數與對數函數

4-28

隨堂演練 4-3

1.

求下列函數之導數：

2.

利用對數微分法求下列 函數之導數：

3.

求 ln (0.9) 與 ln (1.01) 之線性近似。

4.

求 y = x + ln

x 在 x = e

之切線方程式。

5.

描繪 y = x + ln

x 之圖形

。

 

 







 



 

1 log 1

c.

) 1 3

( log

b.

) 7 ln(

a.

5

x y x

x y

x y

3 2

7

3 3

2 2

) 1 (

) 5 (

c.

) 1 (

b.

) 5 (

) 1 (

a.



 











x y x

x y

x x

y

x

4-3 對數函數的導數

指數函數的導數



定理 4-6: 設 f(x) = e^x，則 f(x) 為可微函數且 f '(x)

= e^x ，即 。



定理 4-7: 若 u(x) 為可微函數，則 e^u(x) 亦為可微函 數且



定理 4-8: 設 a > 0 ， a  1 。則 a^x 為可微函數且 若 u(x) 為可微，則 a^u(x) 亦為可微且

x x

dx d e



e

)

) (

( )

( e u x

e ^{u x u x}

dx d  

x x

dx d a  (ln a ) a

) ( )

(ln ^{( )}

)

( a a u x

a ^{u x u x}

dx d   

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-30

指數函數的導數



求 之導數。



求 y = e^x 在 x = 0 之切線方程式。



判別 y = e^x 圖形之凹性。



求 e^0.01 之線性近似。

2

 1

e x

4-4 指數函數的導數

指數函數的導數



(a) 求 f(x) = 2^x 之導數。

(b) 求 之導數。



求 (a) (b)



求 之相對極值。

) ( ^x

dx d xe

)

2

1

) (

( x  e ^{x } g

)

2

( x e

^x

f 

^

) 1

ln( ^x

dx d  e

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-32

隨堂演練 4-4

1.

求下列函數之導數：

2. 求 之

相對極值並描繪其圖形。

3. 求 之線性近似

。

4. 某公司經銷某種商品，

其需求函數為 x = D(p) =

500e^0.2p 。求收入函數

R(p) 與邊際收入函數 R'(p) 。

5. 證明函數

為遞增函數並描繪 其圖形。

) 1 ln(

c.

b.

3

a.

2 2

5

2















x e

y

e x y

y

x x x

21

 e

^x

y

5 . 0

1 e

)

2

( x xe ^x

f 

4-4 指數函數的導數

經濟學上的應用

 定義 4-7: 相對變化率

(relative rate of change)

設 f (t) 為可微函數且 f (t)  0 ，則 f (t) 之相對變 化率為 。



求相對變化率

 郵局之存款由公元 2000 年起預估總額為 ( 其中 t 以年為單位 ) ，試問 16 年後郵局存款總額 之相對變化率為何？

 某公司在 t 年時其負債總額為 ( 萬元 ) ，試問該公司在第 8 年時其負債之相對變化率為何

？

) (

)

) (

(

ln ^f _{f t} ^t

dt d f t  ^

e t

t

S

( )  2

3

300

1

)

( t e ^t

f 

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-34

需求彈性



假設 x = D(p) 為一需求函數，需求量之相對變化率為 且售價之相對變化率為 。因 此，

 定義 4-8: 設 x = D(p) 為需求函數，則需求彈性為

若 E(p) > 1 ，則需求

具彈性

(elastic) 。

若 E(p) < 1 ，則需求

不具彈性

(inelastic) 。

若 E(p) = 1 ，則需求為

單位彈性

(unit elasticity) 。

) ( ln D p

dp d _dp ^d ln p

) (

) ( 1

) (

) (

ln

) ( ln

p D

p D p p

p D

p D

dp d dp d

p p

D ^ _



 售價之相對變化率 

需求量之相對變化率

) (

)

) (

( p ^p _D ^D _p ^p E   ^

4-5 經濟學上的兩個應用



設 x = D(p) = 20  p² 為需求函數，求 p = 2 和 p

= 4 之需求彈性，並作適當之解釋。

需求彈性



解 :

所以， E(2) = 8/16= 1/2 = 0.5 ，即當 p = 2 時，

需求不具彈性； E(4)= 32/(2016) = 8 ，即當 p = 4 時，需求具彈性。

2 2

2

20

2 20

) 2 ( )

( )

) (

( p

p p

p p

p D

p D

p p

E  

    





 在 p = 2 時， 1% 單位售價之變化只引起 0.5%

需求量之變化。

 E(4) = 8 表示在 p = 4 時， 1% 單位售價之變化引

起 8% 需求量之變化。

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-36



某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數為 D(p)

= 60 p ，求三明治之售價 p = 10 元時之需求彈性

。

需求彈性



解 :

所以， E(10) = 10/50 = 0.2 ，故在 p = 10 時，需 求不具彈性，即當售價為 10 元時， 1% 之售價變化 只引起 0.2% 之需求量變化。

p p p

p p

D p D

p p

E ( )   ₍ ^{ (} ₎ ⁾   ₆₀ ^ _  _{60 }

4-5 經濟學上的兩個應用

需求彈性的功能

 需求彈性的功能是用來決定當單位售價為 p 時，為了增加總 收入，我們應該提高或降低單位售價的策略。

 設 x = D(p) 為一需求函數，則總收入為 R = px = pD(p) 。

 當 E(p) < 1 時，即需求不具彈性， R'(p) > 0 ，所以提高售 價可以增加總收入。

 當 E(p) > 1 時，即需求具彈性， R'(p) < 0 ，所以降低售價 可以增加總收入。

 當 E(p) = 1 時，即需求為單位彈性， R'(p) = 0 ，此時總收 入為最大。

)) ( 1

)(

( )]

( 1 )[

(

) 1

)(

( )

( )

( )

(

) (

)

( ( )

) (

p E p

D p

D

p D p

D p p

D p

R

p D

p D

p D p

p D p













 



 





Chapter 4 指數函數與對數函數

4-38

隨堂演練 4-5

1. 求下列函數之相對變化率 函數：

2. 求下列函數在指定 t 時之 相對變化率：

3.

求下列函數在指定 p 時之 需求彈性：

4.

若商店販售某種商品，其需 求函數為 D(p) = 200 10p

，試問 p 為多少時，其需 求為單位彈性：

5.

設需求函數為 x = 5e^2p，證 明需求彈性為價格的 2 倍

。

)

2

( b.

1 )

(

a. ²

e t

t f

t t

t f









4 ,

9 )

( b.

2 ,

) ( a.

2

2

1









 ^{ }

t t

t f

t e

t

f ^t

6 ) ,

4 (

) 200 (

b.

5 ,

10 100

) ( a.

2 

 







p p p

D

p p p

D

4-5 經濟學上的兩個應用

指數成長與衰退



在自然科學及社會科學裡，某些函數 N(t) 的變化 常常遵循以下法則： N(t) 在時間 t 的變化率與在 t 時的量 N(t) 成比率，即

N'(t) = kN(t)

， k 為比 率常數。



連續複利的問題，族群的成長，細菌的培養和放射 性物質的衰變等都屬於這種現象。



以複利的問題來印證，設將 P₀ 元存放於年利率為 r 之銀行裡，在連續複利之下， t 年後之本利和為 P(t) = P₀e^rt 。因此，

P'(t) = P

₀

re

^rt

= rP(t)

。

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-40

指數成長與衰退



假設某個函數 N(t) 滿足 N'(t) = kN(t) ，那麼， N(t) = ？



從複利的例子中，可猜測 N(t) = N

₀

e

^kt

， N

₀

= N(0) 為一常 數。事實上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第 十章討論微分方程式時再加以探討。



在 N(t) = N₀e^kt 中， k 稱為 成長常數 (growth constant)

。



若 k > 0 ，則 N(t) 稱為

指數成長

(exponential gr owth) 。



若 k < 0 時， N(t) 稱為

指 數衰退

(exponential deca

y) 。

4-6 指數成長與衰退



某一果園果蠅的成長率和當時的果蠅數成比率，若 在開始時有 100 隻果蠅，第 5 天時果蠅數為 200 隻，試問 20 天後果蠅之總數為何？



解 :

設 N(t) 表時間 t 時之果蠅數，由題意知 N'(t ) = kN(t) 且 N(0) = 100 ，因此， N(t) = 100e

^kt

。

族群之成長

再根據題意， N(5) = 200 ，所以 200 = 100e

^5k

。 即 e

^5k

= 2 ， 5k = ln 2 ， k = ln 2 /5 。所以，

。在 20 天後之果蠅數為

e t

t

N ( )  100

^ln52

1600 )

2 ( 100 100

100 )

20

(  e

^ln52

²⁰  e ^{4 ln 2}  ⁴ 

N

Chapter 4 指數函數與對數函數

4-42

放射性物質之衰退



設某一放射性物質之退化率和當時的量成比率。若 原來有 100 毫克之放射性物質經過 10 天後衰退至 8 0 毫克，試問其半衰期為多久？即何時衰退至 50 毫 克。

t

k k

kt

e t

N

k e

e N

e t

N

) ln

( 5 4

10 1 5 4

10 10

54 101

100 )

(

ln 80

100 )

10 (

100 )

(



















31

ln )

ln (

100

50

5 ln 4 ln 10 ln 2 ln

ln 2 1

5 4 10 1

2 1 ln

) ln (

54 101 21

54 101 54

101



















T 

T

e

e ^{T T}

4-6 指數成長與衰退

隨堂演練 4-6

1. 設 N(t) 為一函數滿足 N'(t) = 5N(t) ，求 N(t) 。 2. 設 N(t) 為一函數滿足 N'(t) = 5N(t) 且 N(0) = 2

，求 N(t) 。

3. 設 y'  3y = 0 且 y(0) = 1 ，求 y 。

4. 已知細菌的培養過程中，成長率與當時的細菌數成 比率，以 100 個細菌開始培養，第二天之細菌數 為 200 ，求第 t 天之細菌總數。

5. 承上題，試問幾天後其細菌之總數為原來的 4 倍

。