勾股定理證明-G157

(1)

勾股定理證明-G157

【作輔助圖】

1. 分別以BC , AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形 ABKH .

2. 過 H 點作垂直 AC 的直線，交 AC 於 M 點。

3. 直線 AC 與 KB 相交於 O 點，連 CO . 4. 直線 KB 與 FG 相交於 P 點，連 BP . 5. 作 HN BP, HLBF，連 LN . 6. 直線 AB 與直線 DE 相交於 Q 點。

A B

H

C

K

D E

G

F N

M

P Q

L

O

【求證過程】

分別以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 、正方形 ACFG 與正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加 上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 BCO 與三角形 BDQ 全等：

在 BCO 與 BDQ 中，因為 OBC  CBA QBD CBA，所以 OBC  QBD，

(2)

又OCB90^ BDQ, BC a BD，可推得 BCO BDQ

   (ASA).

2. 證明三角形 AEQ 皆與三角形 BDQ 和三角形 BDQ 全等：

設 CAB x^, CBA y^。因為在 HAM 中， HAM  y^  CBA, MHA x^ CAB

    , 且已知 AH  c AB，所以 HAM ABC

   (ASA 全等).

又在 BFP 與 AEQ 中， FBP  OBC x^  EAQ, BFP90^  AEQ且 BF   b a AE，所以

BFP AEQ

   (ASA 全等).

在 HLN 與 BFP 中， LHN x^  FBP, HN BP, HLBF，所以 HLN BFP

   (SAS 全等).

故

. AEQ HLN BFP

    

3. 利用第 2 點證明四邊形EQBC 與四邊形 NLMA 全等：

因為 HAM



ABC且 AEQ  HLN，所以

. EQBC NLMA

四邊形四邊形

4. 證明四邊形 KHMO 與四邊形 BAGP 全等：

在四邊形 KHMO 與四邊形 BAGP 中，因為HKO90^  ABP, KHM y^  BAG, 90

HMO ^ AGP

    ，所以

KHMO BAGP

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

又 HK  c AB, HM  b AG，因此

. KHMO BAGP

四邊形四邊形 (註○¹ ) 5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH AEQ EQBC BCO

KHMO HLN NLMA

AEQ EQBC BDQ

BAGP EQBC B

    

   

    

   

四邊形

四邊形四邊形

正方形面積面積面積面積

面積面積面積

四邊形四邊形

面積四邊形面積

)

( (

FP

EQBC BDQ AEQ

EQBC BAGP BFP

CBDE ACFG

   

   

 

面積

面積面積面積

四邊形

四邊形四邊形

面

正方形正

積面積面積)

方形面積。

(3)

得到

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯在《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是 Richard A. Bell 在 1920 年 11 月 30 日想到的，並在 1938 年 2 月 28 日交給他。

2. 心得：此證明是將正方形ABKH 切割成六個區塊，再利用圖形的全等關係，將六個 區塊的面積轉換成正方形 CBDE 面積以及正方形 ACFG 的面積，最後推導出 三個正方形的面積關係。此證明只要一一證明圖形之間的全等關係，就能順利推導出勾股定理的關係式。

3. 評量：

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● ● ●

4. 補充：

(1) 註○¹ ：此部分要證明「若兩四邊形的四個內角對應相等且有兩鄰邊對應相等，

則兩四邊形必全等。」

證明：

A A

B B

C C

D D

1

2

(4)

不失一般性假設A B₁ ₁ A B₂ ₂且A D₁ ₁ A D₂ ₂。因為兩四邊形的四個內角對應相等，所以B A D₁ ₁ ₁ B A D₂ ₂ ₂，且已知A B₁ ₁ A B₂ ₂且A D₁ ₁ A D₂ ₂，可推得

1 1 1 2 2 2

B A D B A D

   (SAS 全等).

因為B A D₁ ₁ ₁  B A D₂ ₂ ，所以B D₁ ₁ B D₂ ₂ 且A B D₁ ₁ ₁ A B D₂ ₂ ₂,

1 1 1 2 2 2

A D B A D B

   ，又因為兩四邊形的四個內角對應相等，所以A B C₁ ₁ ₁ A B C₂ ₂ ₂,

1 1 1 2 2 2

A D C A D C

   ，可推得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C B D A B C A B D A B C A B D C B D

          

且

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C D B A D C A D B A D C A D B C D B

           ,

又

1 1 2 2

B D B D , 因此

1 1 1 2 2 2

C B D C B D

   (ASA 全等).

因為兩四邊形的四個內角對應相等，所以C B D₁ ₁ ₁與C B D₂ ₂ ₂是無法翻轉的，故四邊形A B C D 與四邊形₁ ₁ ₁ ₁ A B C D 必全等。 ₂ ₂ ₂ ₂

(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：

(5)