臺北市立萬芳高級中學九十三學年度第一學期第二次定期考試試卷
科目：高一數學 2-3~3-3 適用班級：高一全 高中部
一、是非題：對的請打○；錯的請打×（每題 3 分，共 30 分）
（ ）1.
i 1
的共軛複數為i 1
.（ ）2.
11 1
(3 1)
k
k
與 82
(3 10)
n
n
表同一級數.（ ）3.
2 i 1 i
（ ）4. 5 5 3 3
.
（ ）5. 2 5
lim 1
7
n n
n n
（ ）6. 設
m R
，則直線y m x ( 3) 2
恆過點(-3,2).（ ）7. (6,6)，(4,7)，(2,8)三點在同一直線上.
（ ）8.
2.9 3
（ ）9. 右圖五邊形 ABCDE 中，AB 邊的斜率最大.
（ ）10. 若
1 i
，則99 2
k 1
k
i i
二、選擇與填充題：（每格5 分，共 60 分）
1. 下列無窮級數哪些是收斂級數？ （ A ） .
（此題只錯一個選項可得3 分，錯兩個以上不給分）
（A）
1
1
2 3
n
n
（B）
1
1
100 99
n
n
（C）
1
1
n
n （D）
n
n
1 3
2 （E）
1
3
n
2. 公元五世紀寫成的張丘建算經中的一則題目：「有一女子不擅織布，逐日所織布按數遞減，
已知第一日織5 尺，最後一日織 1 尺，共織了 30 日，問共織布多少？」 共織 （ B ） 尺.
3. 若 2 3 3
z i a bi
i
且
a b R ,
，則a b
（ C ） .4. 試用
表示級數3 4 4 5 5 6 50 51
（ D ） . 5. 設直線 L 的斜率為12，
x
截距為3
，求直線L 的方程式為 （ E ） .6. 直線 L 過點(2,5)且不通過第三象限，已知直線 L 的
x
截距是y
截距的2 倍，求 L 的直線方程 式 （ F ） .7. 直線 ax+4y=k 過點(-3,4)，且與 8x+2y+5=0 垂直，則 a+k= （ G ） .
8. 阿牛 每月月初存入銀行10000 元，若銀行月息 1%，按月複利計算，求阿牛兩年期滿可領回
y
x
A
B C
E D
本利和 （ H ） 元.（已知
(1.01) 1.2697
）9. 設
z 6 8 i
，若P、Q、R、S 在高斯平面上分別代表z
、z
、 z
、 z
，求PQRS 所代表的四邊形 面積為 （ I ） .10. 將正方體木塊堆積如右圖，已知最上層 1 個，次高層 3 個，…如此下 去堆積至第十層，問木塊共有 （ J ） 個.
11. 設無窮等比數列
(5 x 7)
n
收斂，求x
之範圍為 （ K ） .12. 方程式
ax
2 8 x c 0
的兩根之和為2，兩根之積為 5，求a c
（ L ） .三、計算證明題：（10 分）
1. 如圖，一邊長為 7 的正方形 ABCD，設其周長為
a
1。在正方形的四個邊上取P、Q、R、S 四個點，使得
: : : : 3: 4
AP PB BQ QC CR RD DS SA
，連 接P、Q、R、S 四個點，得到一個新的正方形，設其周 長
為
a
2。如此繼續下去得到一周長數列a
1、a
2、a
3、
。試求：(1) 求
a
5
（3%）(2) 求
a
1 a
2 a
3 a
n
（2%）2. 請用數學歸納法證： 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 3
6
n n n
n
對所有正整數
n
都成立.（5%）臺北市立萬芳高級中學九十三學年度第一學期第二次定期考試答案卷
科目：高一數學 適用班級：高一全 高中部
S
R
Q P
D C
B
A
學生班級： 學生姓名： 座號：
一、 是非題：對的請打○；錯的請打×（每題 3 分，共 30 分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 X O X X X O O X X X
二、 選擇與填充題：（每格5 分，共 60 分）
（A） （B） （C） （D） （E）
BD 90 8/5 350K(K+1) Y=(X-3)/2
（F） （G） （H） （I） （J）
X+2Y=12 18 272397 192 220
（K） （L）
6/5<X<=8/5 -24
三、 計算證明題：（10 分）
1.（3%）（2%） 2.（5%）
2500/343 98
臺北市立萬芳高級中學九十二學年度第一學期
□第 二 次定期考查 □競試□第 次補考 □第 次複習考
試卷
科目：數學 適用班級：s101~s110 □高中部 □國中部
ㄧ、填充題：（每格4 分）
1. 設 x、y 為有理數，若 x-6y+4
3
y-2+3
=0，則 x+y=___(1)___。2. 求不等式 ｜3x-5｜＞2 之解：___(2)___
3. 在相異兩有理數之間必存在另一有理數，此性質稱為有理數的__(3)__ (填性質名稱)。
4. 直線 L 通過 P(-2,1000)，且其斜率 m = －800，試問此直線經過哪些象限：__(4)__。
5. 在數系中，C,N,Q,R,Z 分別代表不同的集合，試以"
"表達此 5 個集合間的關係：_(5)_。6. 已知直線 L：
( x 77 )
2 ( y 93 )
2 ( x 78 )
2 ( y 95 )
2 ，試求此直線之斜率值：_(6)_。7. 已知點 A(6,-2)，直線 L：2x+y-5=0，若點 B 與點 A 對稱於直線 L，求點 B 之坐標：_(7)_。
8. 化簡 i50 + i51 + i52 + i53 +‥‥‥‥‥+ i99 + i100 =___(8)___。
9. 化簡
( 5 7 i ) )
i 1 (
) i 1 (
5 7
___(9)___。
10. 化簡
2 2 ( 2) ( 2)
2 2 2
2 ___(10)___。
11. 設 α、β 為 3x2 –x+6=0 之二根，求 (1)(1)=__(11)__。
12. 設 6
6
) i 2 1 (
) i 2 ( ) i 4 3 z (
，求z
__(12)__。13. 等差數列
a
n ，91 n 64 37
a
n 23
，求
91 37
a a
37 91___(12)___。
14. 已知ㄧ等差數列之第 45 項不為 0，試求此數列第 15 項至第 75 項之總和為第 45 項的 多少倍：___(14)___。
15. 已知ㄧ數列
a
n 之首n 項和為s
n 5 n
2 7476 n 7476
，求a1a749 ___(15)___。16. ㄧ等比數列
a
n ，已知公比為 2，前7 項之和為 2，求級數
14 1
k a 之和為__(16)__。k
17. 有ㄧ複利存款方案，第一年存款年利率為 10%，第二年年利率為 20%，第三年年利率為 30%，若年初存入 10000 元，試問三年後之本利和為多少元：___(17)___。
18. 求級數
15
5 k
3 之和為___(18)___。
19. 求無窮等比級數
5 k3
)
k3 ( 1 3
2
之和為___(19)___。20. 設無窮等比級數
2 k
)k
7 x 2
( 收斂，求x 之範圍：___(20)___。
21. 化簡0.90.090.09___(21)___。
22. 設△ABC 之三頂點坐標為 A(3,5)、B(-1,2)、C(9,-3)，
(1) 若BC的中點為點M，求中線
AM
所在之直線方程式：___(22)___。(2) 求BC之垂直平分線方程式：___(23)___。
(3) 若以BC為底，求其高所在之直線方程式：___(24)___。
(4) 若∠A 的角平分線交BC於點P，求點 P 之坐標：___(25)___。
臺 北 市 立 萬 芳 高 級 中 學 九 十 一 學 年 度 第 一 學 期 ˇ 第 二 次 定 期 考 查 □ 競 試
□ 第 次 補 考 □ 第 次 複 習 考 試 卷
學生班級： 學生姓名： 座號：
一、是非題：(對的打○，錯的打×，其餘記號不予計分)(每格 2 分，共 10 分) 1. ( )兩無理數的和與積都是無理數。
2. ( )虛數不可以比較大小。
3. ( )已知 z1, z2C 且 z12 + z22 < 0，則 z1, z2都不是實數。
4. ( )2 + i、1 – 2i、–1 – 2i 在複數平面上所對應的三點與原點等距。
5. ( )1 + i、-2i、2i 在複數平面上所對應的三點形成一等腰三角形。
二、填充題：(請將答案填入題目之前的欄位中，全對才給分)(每格 6 分，共 78 分) 1. 設實數 a、b 滿足 (a + b)2 + (a + 2b – 1)2 = 0，試求數對(a, b)？
2. 已知點 (x, 3) 在以 (2, 0) 為圓心、以 5 為半徑的圓上，試求實數 x 的值？
3. 若 A(1, -2), B(5, 2), C(-5, 4)，求△ABC 的外心座標？
4. 試求過 (2, -1) 且與直線 x + 2y + 1 = 0 垂直的直線方程式？
5. 已知實數 x、y，滿足 x – 2y + 3 + (2x – y – 1)i =
i
i 7
6
8
，試求數對 (x, y)？6. 在 1 與 99 之間插入 n 個數 a1, a2, …, an，使其成一等差數列，已知
a
5 = 8，試問 n 是多少？7. 一等比數列的第 4 項是 6，第 6 項是 24，而第 1 項是負數，試求這等比數列的前 8 項的總和？
8. 試將循環小數3.17化為最簡分數(以假分數表示)？
9. 已知數列 {an}定義如下：a1 = 1、an+1 = an + n + 2，nN，試寫出這數列的第 n 項？
10.求下列各式之值：
(1)
i i
7 64
= (2)
) 2 ( lim 1
n n
n = (3)
5
1
2) ( 3
n
n = (4)
1
2
5 3 )
2 (
n n
n n
=
三、計算證明題：(12 分)
利用數學歸納法證明：
4 ) 1
(
22 1
3
n j n
n j
臺 北 市 立 萬 芳 高 級 中 學 九 十 一 學 年 度 第 一 學 期 ˇ 第 二 次 定 期 考 查 □ 競 試
□ 第 次 補 考 □ 第 次 複 習 考 答 案 卷
科目：數學科 適用班級：高一全 ˇ 高中部 □國中部
學生班級： 學生姓名： 座號：
一、是非題：(對的打○，錯的打×，其餘記號不予計分)(每格 2 分，共 10 分) 1. ( × )兩無理數的和與積都是無理數。
2. ( ○ )虛數不可以比較大小。
3. ( × )已知 z1, z2C 且 z12 + z22 < 0，則 z1, z2都不是實數。
4. ( ○ )2 + i、1 – 2i、–1 – 2i 在複數平面上所對應的三點與原點等距。
5. ( × )1 + i、-2i、2i 在複數平面上所對應的三點形成一等腰三角形。
1. (-1 , 1) 設實數 a、b 滿足 (a + b)2 + (a + 2b – 1)2 = 0，試求數對(a, b)？
2. 6 or -2 已知點 (x, 3) 在以 (2, 0) 為圓心、以 5 為半徑的圓上，試求實數 x 的值？
3. (0, 3) 若 A(1, -2), B(5, 2), C(-5, 4)，求△ABC 的外心座標？
4. 2x – y = 5 試求過 (2, -1) 且與直線 x + 2y + 1 = 0 垂直的直線方程式？
5. (2, 2) 已知實數 x、y，滿足 x – 2y + 3 + (2x – y – 1)i =
i
i 7
6
8
，試求數對 (x, y)？6. 69 在 1 與 99 之間插入 n 個數 a1, a2, …, an，使其成一等差數列，已知
a
5 = 8，試問 n 是多少？7. 255/4 一等比數列的第 4 項是 6，第 6 項是 24，而第 1 項是負數，試求這等比數列的前 8 項的總和？
8. 314/99 試將循環小數3.17化為最簡分數(以假分數表示)？
9. n 2 /2 + 3n/2 – 1 已知數列 {an}定義如下：a1 = 1、an+1 = an + n + 2，nN，試寫出這數列的第 n 項？
10.求下列各式之值：
(1)
i i
7 64
=
5
/5 (2)) 2 ( lim 1
n n
n = 0 (3)
5
1
2) ( 3
n
n = -165/32 (4)
1
2
5 3 )
2 (
n n
n n
= 5/14
三、計算證明題：(12 分)
利用數學歸納法證明：
4 ) 1
(
22 1
3
n j n
n
j
(i) 證明 n=1 時成立……3 分
(ii) 證明 n=k 成立推得 n=k+1 成立……6 分(計算過程請各位老師斟酌給分) (iii) 結語……3 分
