1 常用對數表

B2-1-5 對數查表與內插法 班號： 姓名：

本節提要

本節主要在介紹對數值的求法(含內插法及查表法)及其應用。

1 常用對數表 2 對數值的求法 3 對數的首數與尾數 4 對數查表應用

1 常用對數表

重點

常用對數 以10為底的對數稱為「常用對數」,以log

10表示,亦可不寫底數10而簡寫為log 例如：log

102 = log 2

[註]: 對數有三種:一般對數,常用對數和自然對數.

一般對數 log

ax a O 0, a s 1 常用對數 log

10x =log x 自然對數 log

ex =ln x 註 : e = lim

t / 0 1 C t

1

t = 2.71828 ...

常用對數表 「常用對數表」是將1到10之間的常用對數值列表,表中可直接查出含最多三位小 數真數的常用對數值(log1.000到log9.999),由於表中的數值均為小數點後第五位 四捨五入的結果,因而查表所得的對數值均為0到1之間具四位有效數字的小數,故 表中只列出這些正實數的小數部份.

[例如]: log 1.346=0.1271+0.0019=0.1290

[註]: 「對數表」有兩種：「常用對數表」與「自然對數表」.

2 對數值的求法

重點

對數值的求法 對數值的求法主要有以下幾種：

應用「對數律」直接求出 [例如]: log

28 = 3

應用「內插法(比例法)」算出對數的近似值 [例如]:

y K0

1 K 0 = 8 K 1 10 K1 y = 7

9 z0.777/= 0.7 log 8zyz0.7 粗略值

利用「查表法(常用對數表)」並應用對數律求出任意對數值 [例如]:(一)常用對數值

log1.346=0.1271+0.0019=0.1290

(二)一般對數值(先換底,再查表) log

23= log103

log10 2 = log 3

log 2 = 0.4771

0.3010 z1.5850

例題

例題1 對數律求對數值

老師講解 學生練習

log264 =? log

381 =?

[簡答]: 4

例題2A 內插法求對數值

老師講解 學生練習

應用內插法求出對數log 8的近似值?(

log 1 = 0,log 10 = 1

應用內插法求出對數log 9的近似值?(

log 1 = 0,log 10 = 1 [簡答]: 0.8

詳解

例題2B 內插法求對數值

老師講解 學生練習

已知log 7.41 = 0.8698, log 7.42 = 0.8704,試利用線 性內插法求log 7.4142的近似值

已知log 3.47 = 0.5403, log 3.48 = 0.5416,試 利用線性內插法求log 3.4772的近似值

[簡答]:

0.541236

詳解

例題3A 查表法求對數值(兩位小數)

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求log 1.34 試利用常用對數表求log 3.47 [簡答]:0.5403

詳解

x /4/ //

« 13

«

«

«

««

«

log 1.3 左

4 上

=

例題3B 查表法求對數值(三位小數,含表尾差)

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求log 1.346 試利用常用對數表求log 3.479 [簡答]:0.5414

詳解

(一)內插法

(二)查表法

x /4/ //

表尾差

// /6/ //

« 13

«

«

«

««

«

« « «

«

«

« « «

log 1.346 =

例題4 常用對數查表

老師講解 學生練習

已知log 2 = 0, 3010

, log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451,試求下列各 對數之值

1 log 4 2 log

5 3 log

6 4 log

8 5 log

9 6 log₂3

例題5A 對數查表應用

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求log 134 ^{試利用常用對數表求}log 347

[簡答]:

2.5403

例題5B 對數查表應用

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求log 1346 ^{試利用常用對數表求}log 3479

[簡答]:

3.5414

例題5C 對數查表應用

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求log 0.0134 ^{試利用常用對數表求}log 0.347

[簡答]:

K0.4597

例題6 對數查表應用

老師講解 學生練習

若log1999 =3.3008,試求log 19.99

例題7A 對數表反查

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求出log x = 0.1875中之x值 試利用常用對數表求出log x = 0.8338中之x值 [簡答]: 6.82

詳解

x // //

«

«

« 1875

«

««

«

log x= 0.1875= log

x =

例題7B 對數表反查(含表尾差)

老師講解 學生練習

試利用常用對數表求出log x = 0.4823中之x值 試利用常用對數表求出log x = 0.8340中之x值 [簡答]: 6.823

詳解

x // //

表尾差

// // //

«

«

«

«

««

«

« « «

«

«

« « «

3 對數的首數與尾數

重點

對數的首數與尾

數 a = 10^{log a}= 10^n.f= 10^{0. f Cn}= 10^{0. f}# 10ⁿ= 10^{log b}

尾數

# 10^首數n =b# 10ⁿ 1 %b !10, n 2Z

[例如]:

2¹⁰= 10^{log 210}= 10^{10 # log 2}= 10^3.010= 10^0.0100# 10³z10^{log 1.023}# 10³=1.023#10³

=1023 [註]: 2¹⁰=1024 log a =log bC

尾數 正小數

n

首數 整數

0 % log b !1

[例如]: log 200 = log 2.00 #10² =log2.00C2z0.3010C2=2.3010 對數的首數與尾

數應用(求整數的 位數)

整數a = 10^{log b}

尾數C首數n

=b#10ⁿ中,可得知其位數為n C 1位,首位數字為b之個位數字 ,而a之小數部分在小數點後第n位以前均為0(但第n位為第一個有效數字)

[例如]:

2²⁰= 10^{log 220}= 10^{20 # log 2}= 10^6.020= 10^0.0200# 10⁶z10^{log 1.047}# 10⁶=1.047#10⁶

=1047000 為7位數

[註]: 2²⁰=1048576

對數的首數與尾 數應用(求小數點 以下第一個非零 數字)

小數a = 10^{log b}

尾數C首數n

=b#10ⁿ中,可得知小數部分至小數點後第(Kn 位始出現非零 數字（前K n K1 位均為0).

[例如]:

2^K20= 10^{log 2 K20} = 10K20 # log 2= 10^K6.020= 10^0.9800# 10^K7z10^{log 9.55}#10^K7

=9.55 #10^K7

[註]: 2^K20=9.536743164 # 10^K7

例題

例題8 對數的首數與尾數應用(求整數的位數)

老師講解 學生練習

2¹⁰⁰乘開後是幾位數?其最高位數字為何?

已知log 2 = 0.3010

3¹⁰⁰乘開後是幾位數? 其最高位數字為何?

已知log 3 = 0.4771

[簡答]: 48位數,首位數字為5

例題9 對數的首數與尾數應用(求整數的位數)

老師講解 學生練習

1 C 2 C 2²C/C2¹⁰⁰是幾位數?其最高位數字為 何？ 已知log2 = 0.3010

1 C 2 C 2²C/C2³⁰是幾位數?其最高位數字為 何？ 已知log2 = 0.3010

[簡答]: 10位數,首位數字為2

整理

S_n= a # rⁿK1 rK1

例題10 對數的首數與尾數應用(求整數的位數)

老師講解 學生練習

已知7¹⁰⁰為85位數, 11¹⁰⁰為105位數, 則77²⁰為 幾位數?

已知11⁴⁰為42位數, 13⁶⁰為67位數, 則143¹⁰為幾位 數?

[簡答]: 22位數

例題11 對數的首數與尾數應用(求小數點以下第一個非零數字)

老師講解 學生練習

2^K50在小數點後第幾位才出現非零數字?此非零 數字為何? 已知log 2 = 0.3010,log 3 = 0.4771

2^K32在小數點後第幾位才出現非零數字?此非零數 字為何?

已知log 2 = 0.3010,log 3 = 0.4771,log 7 = 0.8451 [簡答]: 第10位, 有效數字為2

例題12A 對數的首數與尾數

老師講解 學生練習

已知log a = 9.3310,求 (1)a的整數部份是幾位數?

(2)a之首位數字為何?

已知log a = 4.0516,求 (1)a的整數部份是幾位數?

(2)a之首位數字為何?

[簡答]:(1)5位數 (2)1

例題12B 對數的首數與尾數

老師講解 學生練習

已知log a =K4.1241,求

(1)小數點後第幾位才出現非零數字?

(2)小數點後第一個非零數字為何?

已知log a =K4.097,求

(1)小數點後第幾位才出現非零數字?

(2)小數點後第一個非零數字為何?

[簡答]:(1)第5位 (2)7

4 對數查表應用

例題

例題13 常用對數應用(比較大小)

老師講解 學生練習

試比較下列各數的大小：

a = 2³⁰,b = 3²⁰,c = 5¹³

己知log2 = 0.3010,log3 = 0.4771

試比較下列各數的大小：

a = 2³⁰,b = 3²⁰,c = 5¹³

己知log2 = 0.3010,log3 = 0.4771 [簡答] : b O c O a

例題14 常用對數應用(簡化乘法運算)

老師講解 學生練習

利用常用對數表求1.34 # 3.47之近似值 利用常用對數表求3.789 # 1.856之值 [簡答]: 7.032

例題15 常用對數應用(解對數不等式)

老師講解 學生練習

求滿足 5 6

n

! 1

100 的最小整數n為何? 求滿足 50 49

n

O100的最小整數n為何?

[簡答]: 228

例題16 常用對數應用(本息問題)

老師講解 學生練習

王先生今年年初向銀行借款10000元，年利率 12%,按月複利計息(月利率1%),為期一年,則年底 時應該還給銀行多少錢?(log1.01 = 0.0043,元以下 無條件進位)

某甲在銀行存款10000元，其存款的年利率為1.2%, 若每個月為一期，採用複利計息,求30年後的本利 和

[簡答]:13930 元

整理

A = P 1 C r ⁿ

例題17 常用對數應用(本息問題)

老師講解 學生練習

某甲在銀行存款10000元.已知銀行的年利率是 7 %, 如果以一年為一期的複利計算，那麼經過 幾年後某甲在銀行存款的本利和會超過20000 元？

(log 1.07 =0.0294,log2=0.3010）

某甲在股票市場裡買進賣出頻繁．假設每星期結算 都損失該星期初資金的1%.經過一段時間,某甲發現 資金總損失s已超過原始資金的一半,請問某甲進出 股票市場至少多少個星期了？

log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 11 = 1.0414 [簡答]:69星期