符號＊為難題。
1. 某輛汽車在剛推出時售價為 76.9 萬元﹐經推估賣出後其每年的折舊率為 30％﹐即每年的價值比 前一年減少 30％。請問該汽車賣出三年後﹐其價值約剩下多少萬元？
（四捨五入取到小數點後第一位﹐即千元位）
解 解 解
解 由題意知三年後其價值為
3 3
76.9 (1 30% )× − =76.9 0.7× =26.3767≈26.4（萬元）
2. 一等差數列的首項與第二項之和為 7﹐且其第八項為 23﹐試求此等差數列的首項與公差
解 解解
解 設此等差數列
a
n 的首項為 a1﹐公差為 d﹐則由 1 2
8
7 23 a a a
+ =
=
﹐得1 1
1
7 7 23 a a d
a d
+ + =
+ =
﹐解得 a1=2﹐d＝3﹐因此﹐首項為 2﹐公差為 3
3. 已知一等差數列
a
n 有 a1+a10 =30﹐試求a3+a8 的值。解 解解
解 設首項為 a1﹐公差為 d﹐
則由 a1+a10 =30﹐得 a1+ +a1 9d =30﹐即 2a1+9d =30﹐ 所以 a3+ = + + +a8 a1 2d a1 7d=2a1+9d =30
4. 關於下列遞迴數列﹐試判斷第 101 項的正負號：
(1) 數列
a
n 滿足 a1 = −1﹐a
n= a
n−1+ − ( 1) ,
nn ≥ 2
(2) 數列
b
n 滿足 b1=1﹐bn = −2bn−1, n≥2解 解解
解 (1) 由數列
a
n 滿足 a1 = −1﹐且a
n= a
n−1+ − ( 1) ,
nn ≥ 2
﹐得1 1
a = − ﹐
2 2
1 ( 1) 0 a = − + − =
﹐3 3
0 ( 1) 1 a = + − = −
﹐4 4
1 ( 1) 0 a = − + − =
﹐:
因此 a101 = −1﹐故第 101 項為負
(2) 由數列
b
n 滿足 b1=1﹐且 bn = −2bn−1, n≥2﹐得b
n 是首項為 1﹐公比為－2 的等比數列 故b
101= × − 1 ( 2 )
101 1−= − ( 2 )
100 為正5. 數列
a a
11+ + 1, 1, a a
22+ + 8, 8, a a
33+ + 27, 27,
…L , , a a
1010+ + 10 10
3共有十項﹐且其和為 3625﹐試求a a
11+ + + + + + + + a a
22a a
33 …L a a
1010的值解 解解
解
a a
11+ + + + + + + + + + 1 1 a a
228 8 a a
3327+ 27+
…L + + a a
1010+10 =3625 +10 =3625
3 ﹐得
a a
11+ + + + + + + + a a
22a a
33 …L a a
1010＝3625 (13625 (1−− 33+ + + ++ + + +2233 3333 …L 10 )10 )33＝
10 11 2
3625 600
2
×
− =
6. 有一單位正方形 A B C D ﹐將各邊三等分﹐再連成正方形 1 1 1 1 A B C D ﹐再將 2 2 2 2 正方形 A B C D 各邊三等分﹐連成正方形 2 2 2 2 A B C D ﹐以此類推﹐得到一 3 3 3 3 系列的正方形﹐試求：
(1) 正方形 A B C D 的邊長 2 2 2 2 (2) 正方形 A B C D 的面積 2 2 2 2 (3) 前 5 個正方形的面積和
解 解解
解 (1) 正方形 A B C D2 2 2 2 的邊長為
2 2
2 2
2 2 2 1 1 2
1 2 5
3 3 3
A B A B B B
= + = + =
(2) 正方形 A B C D2 2 2 2 的面積為 5 5 5
3 × 3 =9
(3) 承(2) 類推可知﹐前五個正方形的面積和為首項為 1﹐公比為 5
9 的等比級數﹐其和為
5 5 5
2 3 4 5 5 5
4
5 9 5
1 1
5 5 5 5 9 9 9 5 13981
1 9 9 9 9 1 5 4 9 4 6561
9 9
−
× −
−
+ + + + = = = =
×
−
*7. 設三數成等差數列﹐其和為 90﹐若此三數依次加上 1﹑3﹑49 後﹐則成等比數列﹐試求原來的三 個數。（提示：設此三數為 30－d﹐30﹐30＋d）
解解解
解 設此三數為 30－d﹐30﹐30＋d﹐
則 30－d＋1﹐30＋3﹐30＋d＋49 成等比數列﹐
所以 33 79
31 33
d d
= +
− ﹐得 d2＋48d－1360＝0﹐解得 d＝20 或－68 故此三數為 10﹐30﹐50 或 98﹐30﹐－38
8. 一個面積為 4096 的正方形﹐先將其等分成 4 個相同的小正方形﹐並將右上角與左下角的兩個正方 形塗成黑色﹐如第 1 圖；再將第 1 圖中左上角的正方形等分成 4 個相同的更小正方形﹐並將右上角 與左下角的兩個更小的正方形塗成黑色﹐如第 2 圖。依此規律作成若干圖形：
設 a 是第 n 圖中白色區域的面積﹐試求 n a 的值 5 解解解
解 原正方形的面積減去黑色正方形面積﹐即為白色區域面積 觀察圖形規律得
a1＝ 1
4096 1 2048 2
× − =
﹐
a2＝
1 1 1
4096 1 1536
2 4 2
× − + × =
﹐a3＝
1 1 1 1 2 1
4096 1 1408
2 4 2 4 2
× − + × + × =
﹐
a4＝
2 3
1 1 1 1 1 1 1
4096 1 1376
2 4 2 4 2 4 2
× − + × + × + × =
﹐
a5＝
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4096 1
2 4 2 4 2 4 2 4 2
× − + × + × + × + ×
＝
1 5
1 1 1 4 4096 1
2 1 1 4
−
× − ×
−
＝ 171 4096×512
＝1368
*9. 數列
a
n 滿足 11
9
8 , 2
n n
a
a a
−n n
=
= + ≥
(1) 寫出 a2, a3, a 4(2) 試推測此數列的一般項 a ﹐並用數學歸納法證明 n
解 解解
解 (1) a1=9﹐a2 = + × = + =a1 8 2 9 16 25
3 2 8 3 25 24 49 a = + × =a + =
4 3 8 4 49 32 81 a = + × =a + = (2) 因為
a
1= = 9 3
2﹐2
2
25 5
a = =
﹐2
3
49 7
a = =
﹐2
4
81 9
a = =
﹐ 所以推測a
n= ( 2 n + 1)
2 證明如下：① n＝1 時﹐
a
1= = × + 9 ( 2 1 1)
2﹐推測成立② 設 n＝k 時﹐推測成立﹐即
a
k= ( 2 k + 1)
2﹐則 n＝k＋1 時﹐1
ak+ ＝ak+8 (k+1)＝( 2k+1)2 +8k+8＝
4 k
2+ 12 k + 9
＝( 2k+3)2＝( 2 (k+ +1) 1)2﹐
所以 n＝k＋1 時﹐推測也成立
故由數學歸納法可知﹐
a
n= ( 2 n + 1)
2 對所有正整數 n 均成立﹐此即數列的一般項*10. 將正整數以順時針方向螺旋狀排列﹐如下圖所示﹐試求 200 的上﹑下﹑左﹑右各是什麼數？
解解解
解 觀察數字的排列方式得知
奇數的平方數﹐出現在以 1 為中心的正方形的右上角﹐如圖(一) 偶數的平方數﹐出現在以 為中心的正方形的左下角﹐如圖(二)
圖 圖 圖
圖(一一一一) 圖圖圖圖(二二二二)
而最接近 200 的平方數為
14
2= 196
﹐因此﹐如圖(三)：圖 圖圖 圖(三三三) 三
故 200 的上﹑下﹑左﹑右各為 201﹑199﹑261﹑147
