多項式與微分學的第一篇論文

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科學月刊【數‧生活與學習】專欄‧百年 12 月

多項式與微分學的第一篇論文

單維彰‧100 年 11 月 20 日

多項式是數學的最基本物件，可能應該緊跟在實數之後。也就不難理解，為什麼它在國中二年級就進入了數學課程，繼續發展到高中。國中時期學習了多項式的加減乘除四則運算，還看不出它何妙之有？這種學習聽起來就蠻枯燥的；但是，

如果老師能用一種遊戲式的，甚至於帶著幽默感的態度，把多項式看成擴充了正整數的一種新玩具，把四則運算當作擴充了正整數（直式）四則運算的新遊戲規則，帶領同學「玩」一場新遊戲，則似乎這段學習還可以不太枯燥。

高中時期的多項式學習，已經可以讓學生領略它的美妙。現行的課本和教材，已經深入闡述了它的一兩個面向的妙處，而這一篇專欄想要「平衡報導」另一個面向。重點是，本報導並非根據更多或更新的「事證」，保證僅限於現有的高中課程內容，只是做了新的連結和詮釋而已。

所謂多項式不過就是像x² 2x這樣的式子，其中的 x 既不是未知數也不是變數，就是一個稱為「元」的、可以像實數一樣運算的符號而已。令，則 稱為方程式，x 就有了未知數的意義，然後可以玩「求根」的遊戲。當 寫成 稱為多項式函數或者二次函數，x 就有了變數的意義，然後可以玩「函 數圖形」的遊戲。

2 2

hx  x 0

h ( h x)

國中課程教了「配方法」，得知x²2x (x1)² 。國中生也多半知道，二1 次函數的圖形是「拋物線」，例如yh x( )的圖形就是「以 (1, 1) 為頂點，開口向上的拋物線」，如圖一。此時，函數在 x=1 處發生最小值 1 。

國中生知道如何用直式做多項式除法，並以橫式記成 f    的形式。p q r 高中生必須近一不知道，除法橫式可以寫成等式 f  pq ，稱為除法原理。然r 後，高中生學了一種特殊狀況的簡易除式算法，就是當 p x c

4 2

x x

這種一次式時，

有所謂的綜合除法（其中 k 為實數）。例如當g2x³5 ²  而p  時，x 1 則g  )(x 1 的綜合除法算式如下：

(2)

[圖一]

得到了商q2x²3x1和餘r  。所以寫成1 g(2x²3x1)(x  。而高中1) 1 老師多半還會教學生再做q (x 1)，如

1 [訂正：上圖第二列最右邊應該是。]

所以

。

然而 1 ，所以

(2 1)( 1)

q x x  ，代回 g 得到 0



⁽² ¹⁾⁽ ^{1) (}



^{1) 1 (2} ¹⁾⁽ ¹⁾² ¹

g x x x   x x 

2x 1 2(x 1)

3 2

2( 1) ( 1) 1 g x  x  ， 稱為 g 在 x=1 處的泰勒形式或泰勒多項式。

高中老師都會教學生使用泰勒形式估計多項式函數的值。例如若要估計可以忽略不計，故

。 g(1.12) 至百分位，則因為三次項2(0.12)³  .010

(1.12) (0.12)2 1 0.98 g    

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[圖二]

如果知道泰勒形式的主要功能是估計多項式的「局部」特徵，就該將它寫成

「升冪」排列；否則，課堂上教學生「降冪」和「升冪」兩種排列方式，就顯得空洞了。一般而言，多項式函數 ( )f x 在 x=c 處的泰勒形式寫成

代入立刻得到。所謂「局部」就是

2

0 1 2

( ) ( ) ( )

f x  c c x c c x c 。

x=c c₀  f c( ) xc。當xc時，不妨將x c 想像成 0.1，則c 可以視為₀ f x( )的整數部分，而c 、₁ c₂、…就「幾乎」是 f x 的( ) 小數點下第一位、第二位、…。可見，越低次項越掌握了 f x 的局部性質。( )

g 和 h 勒形

回到前面舉例的 。改寫 g 在 x=1 處的泰 式為

2 3

( ) 1 ( 1) 2( 1) g x    x  x ，

忽略三次項不計，則g x( )(x1)² 1 h x( )。參照圖二，yg x( )在x=1附近的

（細線）跟

函數圖形 yh x( )（粗線）很接近

 。 1

，，而且在

從以上經驗，讀者不難推論，連續使用綜合除法能將多項式改寫成泰勒

形式。而如果，當

是個開口向上的拋物線 x=1 處發生（局部）極小值

，就

2

0 1 2

( ) ( ) ( )

f x  c c x c c x c  c₁ 但是0 ，則在 x=c

線

呢？總不能一個 c 一個 c 地嘗試使用綜合除法去找的出現吧？

微分就回應了這個問題而得到圓滿的結果。讀者試著做

2 0

c 

，故

( ) y f x

1  但是0

附近的圖形有如開口向上的拋 x=c 附近的圖形有如開

物線，故發生極小值；而若 c

2 0

c  ，則y f x( )在口向下的拋物發生極大值。

以上誠然是個了不起的發現，但是為德不卒：我們要怎樣才能知道，哪裡去找那個 c，使得上述的c₁0

1 0

c 

xⁿ  ，會得到(x c) 商qx^n¹cxⁿ^²c x² ⁿ^³c^n¹。因為是c₁ q  的餘，所以(x c)

n1

1

1 ( )

c q c nc 。因此，找到使得c  的 c，就相當於求解0 ^n¹ 

1

0

nx 的根。我們 nxn^ 是x 的微分，記作[ⁿ xⁿ] nxⁿ^¹

說。運用除法原理，經過一番不太麻煩的推

論，我們會得到

1

1 1

( ) [ _n ⁿ _n ⁿ ₀] f x  a x a _x ^ a xa 

a x_n[ ⁿ]a_n_₁[xⁿ^¹]a x₁[ ]a₀[1]

(4)

1 2

( )

n n

n an a

  1 ₁   ₁

na xn _ x

 

[圖三]

只要求方程式 f x( )0的根 c，則c₁  f c( )0 c 的值。對前面的2

1) ⁿ 2

，f(x)就可能會在 x=c 處發生

q 再做一次 ，

得到商

極大值或極小值。剩下的工作是檢查

2 3 2

2 3

( ) q x c

4

n n n

(

x ^  cx ^  c x ^  n c ^ ，代入 x=c 得到

2 2

( 1) 1 2 2 ( ) n n n

c   c ^  f c ( )

f x =[f x( )] 就是做兩次微分的意思。所以，如果 c 是 ( )f x 0

其中的根而且

x=c 發生極小值，若 f( )c 0 ( )0

f c ，則 f(x)在則發生極大值。

1 圖三。論

長（寫了三行多），大意是『新的找極大值和極小值的一般性計算方法』，倒數第二個字 calculi 是 calculus 的複數。後來 Calculus 就成了這套「新」計算方法的總稱，我們翻譯為「微積分」。注意這整個論述都在高中生的多項式知識範以上結論，就是萊布尼茲在西元 684 年發表之論文的主題，如文的題目很

圍內，無關乎極限。