多項式的乘法與乘法公式

a

多項式的乘法與乘法公式

單 元 內 容

1

多項式的乘法

n 指數律：

1. x^m×xⁿ= x^{m+ n} 2. x^m÷xⁿ= x^{m- n} 3. (x^m)ⁿ= x^m×n

【說明】

x²×x⁴=x⁶ x⁵÷x²=x³ (x³)²=x⁶

n 單項式的乘法：單項式乘以單項式時，數字 與數字相乘，文字符號與文字符號相乘。

【說明】

2×(-3x)=-6x -X²×2x= X³

n 單項式乘多項式: 單項式乘以多項式時，利 用分配律拆成幾個單項的乘積。

【說明】

(-X²+2x+3) ×2X

= -X²×2X +2x×2X +3×2X

n 多項式乘多項式:

Ø 二項式相乘：利用矩形面積的算法

(a+ b)(c+ d)= ac+ ad+ bc+ bd

【說明】

(x+1)(x+2)

=x‧(x+2)+1‧(x+2)

=x‧x+x‧2+1‧x+1‧2

=x²+3x+2

Ø 多項乘積分配：兩個多項式相乘的結 果，是利用其中一個多項式的每一項，

對另一個多項式的每一項乘積的和。

【說明】

(x+y)(x²-xy+y²)

=x(x²-xy+y²)+y(x²-xy+y²)

=x³-x²y+xy²+yx²-xy²+y³

=x³+y³

Ø 直式乘法：將降冪排列的多項式中的各 項視為位數，可以仿照數字的乘法，相 乘後再相加。

【說明】(2x+3)(3x-5) 可以寫成 2x ＋ 3

× 3x － 5

－10x －15 6x² ＋ 9x 6x² － x －15

Ø 分離係數法：作法和直式相同，只是省 略文字符號的部分。

【說明】(3x+1)(x²-5) 可以寫成 1 ＋ 0 － 5 × 3 ＋ 1 1 ＋ 0 － 5

3 ＋ 0 －15 3 ＋ 1 －15 －5 所以 (3x+1)(x²-5)=3x³+x²-15x-5

範 例 講 解

Ex1.展開下列各式：

(1).(-3x)‧9x (2). 2x‧5xy² (3).2

3xy‧

9 4xy²

Hw1.展開下列各式：

(1).(

2

3x).(-4x)

(2).( -3y³)‧(-2x²y) (3).9

4xy．

2 3xy²

Ans: -27x²;10x²y²; 3

2x²y²; Ans: -6x²;6x²y⁴; 3 2x²y³

Ex2.展開下列各式：

(1).(-y)(3y-1) (2).4

5x²(3x+4)

(3) .ab(-a+2b) (4).(-

10

7 x)(40-20x+30x²)

(5).2 3a(a²-

5

4ab+4b²)

Hw2.展開下列各式：

(1).-3x(

3 2x+6)

(2).2 5a²(

5 6a-

3 2b) (3). ab(a-b²)

(4) .(-2x)(1-3x+4x²) (5).2

3x(2x²-4x+6)

Ans: -3y²+y;

4

15x³+5x²; -a²b+2ab²; -21x³+

14x²-28x;

2 3a³-

5

6a²b+6ab²

Ans: -2x²-18x; 3a³- 3

5a²b; a²b-ab³;-2x+6x²-

8x³ ;3x³-6x²+9x

Ex3.展開下列各式：

(1).(x+1)(x-2) (2). (-x+8)(2x-1) (3).(2x-7)(-4x+3)

Hw3.展開下列各式：

(1).(x+5)(x-7) (2).(-2x+3)(3x+5) (3).(-5x+3)(-x-4)

a

(4). (x+2y)(-3x-5y) (5). (5x-2)(x²+2x-3) (6).(x+y)(x²-xy+y²)

(4). (x-5y)(-3x-6y) (5). (4x²-2x+1)(3x+2) (6).(x+y)(x²-xy+y²)

Ans: x²-x-2; -2x²+17x-8; -8x²+34x-21; -3x² -11xy-10y²; 5x³+8x²-19x+6;x³+y³

Ans: x²-2x -35; -6x²-x+15;5x²+17x-12; -3x² +9xy-30y² ;12x³+2x²-x+2;x³-y³

Ex4.

(1).如圖，有一矩 形木板，其邊 長為3a+5、

a+4，在內部挖去一矩形，則木板的面積 該如何表示？若 a＝3，求木板面積。

(2).如圖，斜線部 分的面積為何？

(3).如圖，求此圖形的周長 是多少？面積是多少？

Hw4.

(1).如圖，有一正方形木 板，其邊長為 a+5，在 內部挖去一矩形，則木 板的面積該如何表示？

若已知a＝2，則木板的

面積為何？

(2).如圖，四邊形 ABCD 為長方形，

則灰色部分的面積 可以如何表示？

(3).如圖，求此圖形的 周長是多少？面積 是多少？

Ans: 2a²+17a+20,84;11x²+x+9;34x+8,40x² +6x-12

Ans: 8a+25,41; x²+8x-8;34x+4;36x²-31x-11

2 乘法公式 n 和的平方：

∵ (a+ b)(c+ d)= ac+ ad+ bc+ bd

∴ (a+ b)(a+ b)= aa+ ab+ ba+ bb (a+ b)²= a²+ 2ab+ b²

面積的表示法:

【說明】

(x+1)²

=x²+2‧x‧1+1²

=x²+2x+1 (x+2y)²

=x²+2‧x‧2y+(2y)²

=x²+4xy+4y² 101²

= (100+1)²

=100²+2‧100‧1+1² a

a

b

b a²

b² ab

ab

=10201

n 差的平方：

∵ (a- b)(a- b)= aa- ab- ba+ bb

∴ (a- b)²= a²- 2ab+ b² 面積的表示法:

【說明】

(x-1)²

=x²-2‧x‧1+1²

=x²-2x+1 (x-2y)²

=x²-2‧x‧2y+(2y)²

=x²-4xy+4y² 99²

= (100-1)²

=100²-2‧100‧1+1²

=9801

n 差的平方：

∵ (a- b)(a+ b)= aa+ ab- ba- bb

∴ (a- b)²= a²- b² 面積的表示法:

【說明】

(x+1) (x-1)

=x²-1²

=x²-1

(x+2y) (x-2y)

=x²-(2y)²

=x²-4y²

99‧101

= (100-1)(100+1)

=100²-1²

=9999

範 例 講 解

a

a

b b b²

a-b a

b (a-b)²

b² ab

ab a

b

Ex5.利用和的平方公式，在下列空格內填入試當 的數：

(1).303²=(300+3)²=【 】+2．【 】．3+3²=

【 】。

(2). (71)²=(70+1)²=70²+2．70．【 】+

【 】=【 】。

Hw5.利用和的平方公式，在下列空格內填入試當 的數：

(1).207²=(200+7)²=【 】+2．【 】．7+7²=

【 】。

(2). (501)²=(500+1)²=500²+2．50．【 】+

【 】=【 】。

Ans: 300²,300,91809;1,1²,5041 Ans: 200²,200,42849;1,1²,251001

Ex6.利用和的平方公式展開下列各式：

(1).(x+4)²=?

(2).(2x+3)²=?

(3).(5x+3y) ²=?

(4).(-3x+2y)²=?

(5). (x²+5x)²=?

Hw6.利用和的平方公式展開下列各式：

(1).(x+7)²=?

(2). (3x+5)²=?

(3). (5x+2y)²=?

(4).(-3x+2y)²=?

(5). (x²+y)²=?

Ans: x²+8x+16;4x²+12x+9;25x²+30xy+9y²;9 x²-12xy+4y²;x⁴+10x³+25x²

Ans: x²+14x+49;9x²+30x+25;9x²-12xy+4y²; 9x²-12xy+4y²;x⁴+2x²y+y²

Ex7.利用差的平方公式，在下列空格中填入適當 的數：

(1).(97²)=(100-3)²=100²-2．100．【 】+

【 】=【 】。

(2).(991

2)²=(【 】-1

2)²=【 】-2．【 】．1 2 +(1

2)²=【 】。

(3).497²+2×497×203+203²

Hw7.利用差的平方公式，在下列空格中填入適當 的數：

(1). (199²)= (200-1)²=200²-2．200．【 】+

【 】=【 】。

(2).(9.9²)= (【 】-0.1)²=【 】-2．【 】．

0.1+(0.1)²=【 】。

(3).698²+2×698×302+302²

Ans: 3,3²,9409;100,100²,100,99001

4;49000 0

Ans: 1,1²,39601;10,10²,10,98.01;1000000

Ex8.利用差的平方公式展開下列各式：

(1). (x-3)² (2). (2x-5)² (3). (2a-7b)² (4). (0.2x-0.5y)²

Hw8.利用分離係數法計算下列各式：

(1). (x-8)² (2). (6x-7)² (3). (5x²-4y)² (4). (0.7x-2y)² Ans: - x²-6x+9;4x²-10x+25;4a²-28ab+49b²;

0.04x²-0.2xy+0.25y²

Ans: x²-16x+64;36x²-84x+49;25x⁴-40x²y+1 6y²

Ex9.利用平方差的公式，在下列空格內填入試當 的數：

(1).201．199=(200+【 】)(200-

【 】)=(【 】)²-(【 】)²=【 】。

(2).1001 2．991

2=(【 】+1

2)(【 】- 1

2)=(【 】)²-(【 】)²=【 】。

(3).(261

2)²-(781 2)²

Hw8.利用平方差的公式，在下列空格內填入試當 的數：

(1).103．97=(100+【 】)(100-

【 】)=(【 】)²-(【 】)²=【 】。

(2).2001

4．1993

4=(【 】+1

4)(【 】- 1

4)=(【 】)²-(【 】)²=【 】。

(3).(871

2)²-(121 2)² Ans: 1,1,200,1,39999; 100,100,100, 1

2,999 93

4;-5700

Ans: 3,3,100,3,9991;200,200,200,1

4,39999 15

16;7500

Ex10.利用平方差的公式展開下列各式：

(1). (x-3)(x+3) (2). (2x-5)(2x+5) (3). (1

2x+y)(

1 2x-y) (4). (1-2y)(2y+1)

Hw10.利用平方差的公式展開下列各式：

(1). (y+1 3)(y-

1 3)

(2). (-3y+5x)(5x+3y) (3). (3xy-7)(3xy+7) (4). (-x+3y)(x+3y) Ans: x²-9;4x²-25;1

4x²-y²;1-4y² Ans: y²-1

9;25x²-9y²;9x²y²-49;-x²+9y²

綜 合 應 用

Ex11.利用公式(a+b)²=a²+2ab+b²，展開下列各 式：

(1). (x+y+z)² (2). (2x+3y-z)²

Hw11.利用公式(a-b)²=a²-2ab+b²，展開下列各 式：

(1). (x-y-z)² (2). (x-5y-2z)² Ans: x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx;4x²+9y²+z+12

xy-6yz-4zx

Ans: x²+y²+z²-2xy+2yz-2zx;x²+25y²+4z²-10 xy+20yz-4zx

Ex12.利用平方差的公式展開下列各式：

(1). (1-x)(1+x)(1+x²)(1+x⁴) (2).(a-b)²(a+b)²

Hw12.利用平方差的公式展開下列各式：

(1). (x-3)(x+3)(x²+9) (2). (2a+3b)²(2a-3b)²

Ans: 1-x⁸;a⁴-2a²b²+b⁴ Ans: x⁴-81;16a⁴-72a²b²+81b⁴

Ex13.利用平方差的公式展開下列各式： Hw13.利用平方差的公式展開下列各式：

(1). 31²+73²-62×73=?

(2). 263×265+266²-266×264-264²=?

(3). 2×(1+3)(1+3²)(1+3⁴)(1+3⁸)(1+3¹⁶)=?

(4). ₂ ^{2 2} ₂

125 + 275

× 250 + 275

125 - 275

(1). 1987×2013-1997²=?

(2). 365²-366×364+367×368-366×369=?

(3). 6×8×(1+7²)(1+7⁴)(1+7⁸)=?

(4). _{2 2 2 2}

2 2

191 + 193 + 199 + 201

195 - 197

Ans: 1764;531;3³²-1;3

8 Ans: 11822;3;7¹⁶-1;1

2

Ex14.

(1). 設a+b=5，ab=3，求a²+b²=?

(2). 設a-b=4，ab=5，求a+b=?

Hw14.

(1). 設 a-b=4，ab=5，求 a²+b²=?

(2). 設(a+b) ²=1，(a-b) ²=2，求 ab=?

Ans: 19;±6

Ans: 26;-1 4