國立臺灣大學工學院工程科學及海洋工程學系 碩士論文
Department of Engineering Science and Ocean Engineering College of Engineering
National Taiwan University Master Thesis
以實驗觀察異重流於線性層化環境的運動 Experiments on gravity currents propagating into a
linearly stratified fluid
陳聰 Tsung Chen
指導教授：戴璽恆 博士 Advisor: Albert Dai, Ph.D.
中華民國 107 年 10 月
October, 2018
致謝
結束了兩年半的碩士生涯，也代表我的學生身分就此落幕。回想起兩年前正值 剛入學的我，對於研究範疇如同白紙一樣無知，既欠缺表達簡報時簡潔扼要的溝通 技巧，在研究中實驗操作的技術面向也必須從零開始學起。然而於台大兩年半的碩 班訓練，過程經歷了諸多大大小小的人事物，使我逐漸培養出獨立思考與解決問題 的能力，如今回首這些過往種種的不會，卻早已變成呼吸一樣自然。
承蒙戴璽恆老師一直以來的指導與照顧，自學生從大學時期起迄至今，無論是 在學校課業中的啟發，亦或是研究執行時，戴老師都給予學生極大的自由度，寬容 而不曾苛責；在討論研究問題時，老師也溫柔地教導我如何由各個層面剖析事物，
讓我能夠從中得到解惑，並加以精進及改善；甚至於日常生活中的關心，這些都讓 我感到格外的溫馨。感謝口試委員蔡武廷與陳世楠教授細心地審閱學生的論文，並 撥冗於口試時提供許多寶貴的建議與指導。環境造就個人，研究室不僅僅提供優良 的學習環境，更是充滿愛的地方，很感謝友麟學長每當在我研究執行卡關而困頓不 已時，都會給予適當的協助，閒暇之餘更是一同揪團玩樂的好夥伴；感謝清森學長 在我每一次進行簡報後都提供實質的意見與教導，也時常與我們分享求學及人生 的寶貴經驗談；感謝承羲學長授予我實驗操作的基本功底，教導我在與廠商接洽時 的應對與媒合技巧；也感謝實驗室的其他成員，祝福學長(立中、博傑)職場生涯順 利，以及同儕學弟們(佑安、奇展、建揚、佑民、淳皓、奕凱)都能如期完成學業，
朝著各自的目標邁進；感謝家人辛苦的付出與栽培，讓我能快樂地去追尋一路上的 每一個堅持；也感謝女友宛瑩適時給予扶持與鼓勵，陪伴我度過許多難關，因為有 妳而繽紛了我的研究時光，內心滿滿感激之餘，還是滿滿感激，謝謝各位。
這個里程碑的結束代表下一個的來臨，然而未來卻還有無數的挑戰等待我去 面對和解決，儘管前方荊棘密布、道路崎嶇，都冀望我能秉持信念一一克服。
摘要
本論文探討異重流於線性層化環境之流動現象。藉由重流體與水槽高度比值
ℎ
𝐻 及層化強度值 R 兩項控制因子，擬進行 37 組不同初始條件之定界交換水槽試驗。
研究中所使用的福祿數(internal Froude number)定義為 𝐹𝑟 = 𝑉
𝑁𝐻，在不同控制條件 下將有所差異。當 𝐹𝑟 小於臨界值 1
𝜋，稱之為亞臨界流況，表示異重流傳遞速度相 較於流場中內波傳遞速度慢，過程將受到內波顯著的交互作用影響，終而被其超越，
發生異重流前端速度震盪之現象；反之，𝐹𝑟 > 1
𝜋 則稱之為超臨界流況，表示異重流 傳遞速度相較流場中內波傳遞來的快，於異重流受重力驅動之傳遞過程中，預期不 會發生被內波超越之現象。根據理論推導及實驗結果顯示，當重流體與線性環境流 體間密度層化關係顯著情況下，可將其簡化為均質異重流問題進行探討。經無因次 參數分析之結論，於線性層化異重流問題中，給定不同初始條件( 𝜌𝑐 , 𝜌0 , 𝜌𝑏 , ℎ
𝐻 )，
將可透過回歸關係式求得福祿數，且由福祿數與各個無因次參數之分析結果，能進 一步算出下列之實驗物理量：Ⅰ. 異重流於初始等速區段之前端速度 Ⅱ. 初估異重 流於初始等速區段所維持之距離與時間關係 Ⅲ. 於亞臨界流況中，初始頭部與第二 頭部之頭峰間距 Ⅳ. 當異重流脫離等速區段後，在與內波交互作用下，其頭部前端 加速之次數 Ⅴ. 所有線性層化異重流於脫離等速區段當下之初始頭部高度。
關鍵字：連續密度梯度；層化異重流；定界交換；內波震盪；等速區段；福祿數。
ABSTRACT
This thesis examines phenomenon on gravity currents propagating into a linearly stratified ambient fluid within 37 various initial conditions of lock-exchange experiments.
The given ratio of the depth of released heavy fluid (h) to total depth (H) and the magnitude of stratification (R) have been found that it will dominate the internal Froude number, 𝐹𝑟 = 𝑉
𝑁𝐻 , when gravity currents in the initial constant phase. For subcritical flow, i.e. 𝐹𝑟 is less than the critical value 1
𝜋 , it means that the constant initial speed of propagation of heavy gravity currents is less than internal wave. And it resulted in an oscillation of the velocity of its leading edge. On the contrast, for supercritical flow, i.e.
𝐹𝑟 > 1
𝜋 , the phenomenon is opposite. And the velocity decay of the current front is monotonic for the geometries tested here. According to the theoretical derivation and the experimental results, in the limit of large R, the current would resemble one penetrating into a homogeneous ambient fluid to simplify the problem. From the dimensionless analysis results, the Froude number can be calculated from the relevant independent variables, 𝜌𝑐, 𝜌0, 𝜌𝑏 and ℎ
𝐻 . Moreover, as we get the 𝐹𝑟, it is possible to forecast certain characteristic quantities in this study which listed below, including the constant initial speed of propagation, the initial constant phase distance (𝑋𝑡𝑟) and time (𝑇𝑡𝑟), the regime (𝜆) between the current peak in subcritical flow, the number of speed-up times of current after separating from constant phase, and the initial current height (𝑎) when the velocity begins to decrease for all of lock-release gravity currents in a linearly stratified fluid.
Keyword: constant density gradient, stratified gravity currents, lock-exchange, internal wave oscillation, constant phase, internal Froude number.
目錄
國立台灣大學碩士學位論文口試委員會審定書 ...
致謝 ... II 中文摘要 ... III ABSTRACT ... IV 圖目錄 ... VIII 表目錄 ... IX
第一章 緒論 ... 1
1.1 前言 ... 1
1.2 文獻回顧 ... 2
1.3 研究動機與目的 ... 3
1.4 異重流𝐯. 𝐬內波... 4
第二章 研究方法 ... 5
2.1 實驗參數定義 ... 5
2.2 實驗設備 ... 9
2.2.1 線性層化異重流實驗裝置介紹 ... 9
2.2.2 影像設備 ... 13
2.3 實驗流程與規劃 ... 14
2.3.1 線性層化異重流之實驗流程 ... 14
2.3.2 實驗規劃 ... 17
2.4 影像處理方法 ... 19
2.4.1 線性層化異重流色彩門檻值之界定 ... 19
2.4.2 線性層化異重流之量測方法 ... 20
第三章 實驗結果與分析 ... 21
3.1 定𝒉 𝑯= 𝟏 𝟑分析 ... 24
3.1.1 高度比 𝒉 𝑯=𝟏 𝟑 之亞臨界流況 ... 25
3.1.2 高度比 𝒉 𝑯=𝟏 𝟑 之超臨界流況 ... 28
3.2 定𝒉 𝑯= 𝟏 𝟐分析 ... 31
3.2.1 高度比 𝒉 𝑯=𝟏 𝟐 之亞臨界流況 ... 32
3.2.2 高度比 𝒉 𝑯=𝟏 𝟐 之超臨界流況 ... 35
3.3 定𝒉 𝑯= 𝟐 𝟑分析 ... 38
3.3.1 高度比 𝒉 𝑯=𝟐 𝟑 之亞臨界流況 ... 39
3.3.2 高度比 𝒉 𝑯=𝟐 𝟑 之超臨界流況 ... 42
3.4 定𝒉 𝑯= 𝟏分析 ... 45
3.4.1 高度比 𝒉 𝑯= 𝟏 之亞臨界流況 ... 46
3.4.2 高度比 𝒉 𝑯= 𝟏 之超臨界流況 ... 49
第四章 結論 ... 52
(1) 福祿數 V.S 層化強度 ... 52
(2) 指數擬合 V.S 對數擬合 ... 53
(3) 福祿數＆大R福祿數 V.S 層化強度 ... 54
(4) 無因次化𝑿𝒕𝒓＆無因次化𝑻𝒕𝒓𝐯. 𝐬福祿數 ... 55
(5) 無因次化λ V.S 福祿數 ... 56
(6) 無因次化a V.S 福祿數 ... 58
參考文獻 ... 59
附錄 1 ... 61
附錄 2 ... 63
圖目錄
圖 1-1 均質異重流實驗水槽示意圖。 ... 2
圖 1-2 內波震盪原理示意圖。 ... 4
圖 2-1 實驗水槽示意圖。 ... 6
圖 2-2 實驗配置示意圖。 ... 8
圖 2-3 實驗示意圖 ... 9
圖 2-4 實驗設備 1。 ... 10
圖 2-5 實驗設備 2。 ... 12
圖 2-6 影像設備。 ... 13
圖 2-7 實驗流程與實驗流程示意圖。 ... 16
圖 2-8 異重流界定示意圖。 ... 20
圖 3-1 實驗配置示意圖。 ... 21
圖 3-2 實驗編號 13 瞬時影像。 ... 22
圖 3-3 實驗編號 32 瞬時影像。 ... 23
圖 3-4 高度比𝒉 𝑯=𝟏 𝟑線性層化異重流實驗組示意。 ... 24
圖 3-5 實驗編號 1 瞬時影像。 ... 26
圖 3-6 為實驗編號 1 之結果圖。 ... 27
圖 3-7 實驗編號 7 瞬時影像。 ... 29
圖 3-8 為實驗編號 7 之結果圖。 ... 30
圖 3-9 高度比𝒉 𝑯=𝟏 𝟐線性層化異重流實驗組示意。 ... 31
圖 3-10 實驗編號 10 瞬時影像。 ... 33
圖 3-11 為實驗編號 10 之結果圖。 ... 34
圖 3-12 實驗編號 15 瞬時影像。 ... 36
圖 3-13 為實驗編號 15 之結果圖。 ... 37
圖 3-14 高度比𝒉 𝑯=𝟐 𝟑線性層化異重流實驗組示意。 ... 38
圖 3-15 實驗編號 20 瞬時影像。 ... 40
圖 3-16 為實驗編號 20 之結果圖。 ... 41
圖 3-17 實驗編號 23 瞬時影像。 ... 43
圖 3-18 為實驗編號 23 之結果圖。 ... 44
圖 3-19 高度比𝒉 𝑯= 𝟏線性層化異重流實驗組示意。 ... 45
圖 3-20 實驗編號 28 瞬時影像。 ... 47
圖 3-21 為實驗編號 28 之結果圖。 ... 48
圖 3-22 實驗編號 32 瞬時影像。 ... 50
圖 3-23 為實驗編號 32 之結果圖。 ... 51
圖 4-1 線性層化異重流福祿數與層化強度之關係圖。 ... 52
圖 4-2 回歸式係數與高度比例之關係圖。 ... 53
圖 4-3 福祿數與大𝐑福祿數𝐯. 𝐬層化強度之關係圖。 ... 54
圖 4-4 異重流於等速區段維持距離與時間對福祿數之關係圖。 ... 55
圖 4-5 無因次化λ對福祿數之關係圖。 ... 56
圖 4-6 無因次參數𝛂對福祿數之關係圖＆統計比對結果。 ... 57
圖 4-7 異重流初始頭部高度對福祿數之關係圖。 ... 58
表目錄
表 2-1 實驗初始條件設計。 ... 18第一章 緒論
1.1 前言
本論文以實驗探討不同高度比例下異重流運動於線性層化環境流體之現象。
異重流又稱重力流或密度流，是基於存在著密度差異之流體，在受到重力驅動下而 產生的交互作用運動；其中關鍵因素主要有兩項，分別為流體間Ⅰ.溫度差異 Ⅱ.
溶解或懸浮之沉積物所使然。舉凡於日常生活中發生的異重流現象，便可發現其無 所不在且尺度範圍可大可小，如大氣中的冷暖鋒交會現象、河口區鹽水與淡水的摻 混作用、水庫渾水異重流運動及其排砂工程；亦或是洗熱水澡後於浴室口交界處之 冷暖空氣交換、實驗室中模擬的水槽異重流運動。而本研究主題所要模擬的環境系 統，包括河口及水庫，觀察並探討這類型異重流於線性層化環境流體，沿著底部向 前之流動模式。
近年來由於颱洪期間大量降雨，使流入水庫之渾水與庫中清水因存在著密度 差異而形成異重流，當其流抵壩址產生渾水潭淤積，將減少水庫的蓄水空間，造成 水庫淤積日益嚴重，在缺乏合適的新建場址下，有效保留水庫內之水資源已成為不 可或缺的議題。然而，針對上述兩相流之應用，可利用其分層流動之特性，經由適 當的操作水庫孔口將挾帶泥砂之異重流排出，藉此延長水庫使用之年限。
異重流的運動、動力及結構於 1950 年代就開始受到廣泛研究(Benjamin 1968)，
也應用在許多產業和自然現象的解釋(Simpson 1997)。而於模擬真實河道、溝渠等 此類長型側面由邊壁所侷限之渠槽式問題，當中最具代表性之實驗裝置為定界交 換試驗系統(lock–exchange system)(Wood 1970；Britter & Simpson 1978；Armi 1986)；
在實驗方面將於水平方向釋放一有限體積之異重流，過程中除了異重流於初始加 速區段外，可依照其流動行為區分為三大類，依序為等速區段(slumping phase)、
慣性段(inertial phase)、以及黏滯區段(viscous phase)之研究；此外，依閘門兩側所 設置之流體性質，可各自歸納三種類型，分別為Ⅰ.左側均質流體流入右側均質環 境(Shin etal. 2004；Marino 2005；Cantero 2007) Ⅱ.左側層化流體流入右側均質環 境(Huppert & Simpson 1980；Gladstone 2004；Dai 2017) Ⅲ.左側均質流體流入右 側層化環境(Maxworty etal. 2002；Ungrarish etal. 2004；Morris & Bruce 2004)。由 於自然界中，大多環境流體受到溫度或沉積物的影響，密度將呈現線性層化之分布；
故本論文為模擬貼近實際的流況，將討論於不同高度比及層化條件下之均質異重 流進入線性層化環境流體之現象，探討異重流於初始等速區段的福祿數，且藉由實 驗觀察內波震盪於層化流體間與異重流發生的交互作用行為，透析其整體形貌之 演化動態，釐清大氣及海洋中的自然現象。
1.2 文獻回顧
過去具有不同高度比例關係之異重流文獻中，藉由調整閘門左側均質重流體 高度，探討在不同初始密度條件下，運動於均質環境流體的定界交換流研究 (Simpson 1972；Simpson & Britter 1979；Rottman & Simpson 1983)。關於這方面研 究之定界交換水槽設置如圖 1-1 所示，當中 𝜌 下標 𝐶 表示為左側均質重流體，高 度表示為 ℎ、長度為 𝐿0；𝜌 下標 𝐴 表示為右側均質環境流體，水槽總高則為 𝐻。
圖 1-1 均質異重流實驗水槽示意圖。
根據上述實驗設置，統整此類型異重流在給定重流體 𝜌𝐶 之不同高度條件下，
於水平邊界釋放產生瞬間有限重力流體。經初始短暫加速後，其頭部將維持等速前 進之狀態，Rottman 與 Simpson 於 1983 年提出此異重流頭部之初始等速度公式，
定義為
𝑉 = 𝑘√𝑔′ℎ (1.1) 其中 𝑘 為高度比例係數，𝑔′為減重力(reduced gravity)，表示式為
𝑔′ = 𝜌𝐶− 𝜌𝐴
𝜌𝐴 𝑔 (1.2)
由上述公式可得知，於此等速區段之異重流行為，其速度是由異重流頭部之初始條 件所控制；另外，等速區段將會維持至 𝑥/𝐿0 ≈ 10 之距離，而後進入慣性區段，在 此 𝑥 表示為圖 1-1 中前端位置與閘門之間距。當異重流進入慣性區段時，水平浮 力梯度(horizontal buoyancy gradient)與慣性力兩者將達到平衡，故於此過程異重流 頭部會呈現明顯減速之趨勢，存在著式(1.3)中近似關係(Rottman & Simpson 1983)。
𝑥 ~ 𝑡23 or 𝑉 ~ 𝑡−13 (1.3)
1.3 研究動機與目的
本論文所要研究之動機與目的主要有兩者，依序為Ⅰ.探討當環境流體之密度 並非均質分布，而是較貼近自然的線性層化環境時，先前 Rottman 與 Simpson 於 1983 年提出之發現與結論須作何修正，以求得各種高度比例關係下異重流頭部之 初始等速度 Ⅱ.藉由實驗觀察一特殊現象，即『內波』產生之物理機制，並剖析其 震盪於層化流體間與異重流發生之交互作用運動行為。
於接續之第二章節中，將介紹進行線性層化異重流實驗之研究方法；第三章節 將逐一探討實驗之結果與分析，並對線性層化異重流之流動行為，進行區域性分類 與系統性之比較；最後，於第四章節之結論，將整合第三章節的結果與分析，以綜 觀之角度對線性層化異重流與其福祿數分析進行彙整。
1.4 異重流 𝐯. 𝐬 內波
異重流與內波最為顯著之差異，在於前者有明顯的質量傳輸；後者主要傳輸並 非質量而是能量(Simpson 1997)。內波為層化環境中常見的物理現象，其不會發生 於自由溢面，而是介於兩種以上的層化流體，當存在任何一種能使水分子偏離其重 力平衡位置之外力即有可能產生內波。此外，假設為自由溢面情況，正如在泳池游 泳時，水面將會發展出迅速且帶有規律的漣漪；然而，內波傳遞就如同慢動作，原 因是異重流內部鹽分所含有的重力很小。例如臺灣北部在冬季晴天時常會出現波 形層狀的高積雲、海洋內波波列所造成之海面波痕現象，便可知內波於大氣及海洋 中是經常可見的。舉凡海洋裡許多物理過程，包括海風、日曬、降雨、船隻、密度 垂直結構、內波與海面波浪交互作用、Kelvin-Helmholtz 不穩定、海流與地形之作 用、水中潛體運動等，都能對內波的生成、傳播以及消散造成影響(Thorpe 1975)。
內波發生之原理如圖 1-2 所示，圖中流體密度分布表示為 𝜌(𝑧)，𝑧 為垂直向下 之座標，假設於 𝑧 = 𝑧0 處漂浮一均質物體，其密度表示為 𝜌(𝑧0)。倘若某機制使此 物體垂直上移一段距離，此時物體較周圍流體重，將會開始加速向下墜落；在通過 𝑧 = 𝑧0 時其墜速為最快，於通過後因周圍流體開始變得比物體重，故物體會承受向 上浮力，使下墜運動開始減速，直到向下速度為 0 時抵達最深點，而後轉為向上加 速浮昇，在通過 𝑧 = 𝑧0 處後又轉為減速運動…其軌跡將沿著圖 1-2 中之紅色虛線 呈現上下反覆振盪行為。
圖 1-2 內波震盪原理示意圖。
第二章 研究方法
由於自然界中，大多環境流體之密度並非均質分布，而是會隨高度遞減，換言 之於垂直方向存在著連續性的密度梯度。本研究著重於討論不同高度比下之均質 異重流運動於線性層化環境流體現象，探討異重流於各種實驗參數條件下，其初始 等速區段(slumping phase)的福祿數(internal Froude number)，並藉由實驗觀察內波 震盪於層化流體間與異重流的交互作用行為，透析其整體形貌之演化動態，加以釐 清大氣及海洋中的自然現象。為了系統性控制實驗流程與其精準度，此章節分別以 四個部分做介紹，依序為Ⅰ.實驗參數定義 Ⅱ.實驗設備 Ⅲ.實驗流程規劃 Ⅳ.影 像處理方法。
2.1 實驗參數定義
為探討異重流進入線性層化環境系統於等速區段之研究，水槽設計為一長矩 形，內長為 239 公分，然而高度卻只有僅僅 9 公分，目的是為了放大得以觀察之範 疇，看到夠遠的演化面貌。環境流體為線性層化，用意是為了能貼近自然界流體狀 態，進而模擬異重流於真實河道發生之現象。
由於尺度上其水平方向之尺度遠比垂直方向尺度大，因此設計定界交換水槽 (lock-exchange system)進行水工試驗。由過去的文獻回顧，可得知於此定界交換系 統中，除異重流於初始加速區段外，依其流動行為可分為三大類，依序為等速區段、
慣性區段、以及黏滯區段之研究。過去研究大多為均質(homogeneous)或層化 (stratified)異重流進入均質環境流體現象，探討其密度差異性而產生的異重流運動。
然而在實際流體環境，密度分部趨勢會隨著垂直深度越深而遞增，造成異重流於連 續層化環境中，將存在初始等速行進之區段。本研究將著重於觀察異重流於等速區 段之運動，包括其整體結構之演化情形，以及內波的生成進而與其之交互作用運動。
實驗之初始設置擬於水槽左側注入不同高度比之均質重流體，右側則為密度依深 度而有所變動之線性層化環境流體。本研究之定界交換水槽之設置如圖 2-1。
圖 2-1 實驗水槽示意圖。
在參數定義方面，如圖 2-1 所示，擬將 𝜌 下標 𝑐 表示為左側均質重流體，下標 𝑏 表示為環境底層密度較大之流體，下標 0 則表示環境表層密度較小之流體。其中 重流體高度表示為 ℎ，水槽總高表示為 𝐻。
本文當中將以不同實驗初始條件呈現層化異重流之運動情況，控制之因子為 重流體高度與水槽總高之比例關係 ℎ/𝐻；以及無因次的層化強度值(magnitude of stratification) 𝑅，其定義為
𝑅 =𝜌𝑐 − 𝜌0
𝜌𝑏 − 𝜌0 (2.1) 式(2.1)中，在固定分母情況下，分子值越大將意味著異重流受重力驅動而產生的 交互作用運動越強烈；而分母則為環境流體中，底層和表層之密度差異程度。
整體而言，無因次層化強度值意味著異重流與環境流體間密度差異程度之量化。此 外，層化強度也可表示為
𝑅 = 𝑁𝑐 2 𝑁2
(2.2) 其中 𝑁 稱為浮力頻率(buoyancy frequency)或 Brunt – Vaisala 頻率，為流場中內波 振盪頻率的上限，所有內波之角頻率皆不可能大於 𝑁。
本實驗中之值介於 1.65 ~ 2.62 間，其定義為
𝑁 = √ 𝑔 𝜌0
−𝑑𝜌
𝑑𝑧 = √ 𝑔 ( 𝜌𝑏− 𝜌0 )
𝜌0 𝐻 (2.3) 同理，𝑁𝑐 則為假想浮力頻率(fictitious buoyancy frequency)，為式(2.3)中，將 𝜌𝑏 改 成 𝜌𝑐 之表示式。
本研究將分別探討異重流在固定高度比 ℎ/𝐻，於不同層化強度下的流動情形；
以及固定層化強度，討論不同高度比之流況差異，如圖 2-2 所示，實驗之初始設置 條件詳見表 2-1。此外，也進一步分析這兩項關鍵參數與福祿數(internal Froude number)之關係。研究中使用的福祿數，定義為
𝐹𝑟 = 𝑉
√𝑔′𝐻 = 𝑉
𝑁𝐻 (2.4)
其中𝑔′為減重力(reduced gravity)，表示式為 𝑔′= 𝜌𝑏− 𝜌0
𝜌0 𝑔 (2.5)
式(2.4)中，分子 𝑉 為異重流頭部於初始等速區段之流速；分母 𝑁𝐻，意味著環境 中內波傳遞快慢之量化。可想而知，當福祿數小於臨界值時，會發生異重流頭部被 內波超越的現象。
根據先前文獻(Long 1955 & Simpon 1997 & Maxworty 2002)之理論及實驗結果，
在連續密度梯度環境中，此臨界福祿數之值定義為 1/𝜋，用以判定異重流頭部是否 被內波超越之依據。當 𝐹𝑟 < 1/𝜋 表示異重流傳遞速度相較於流場中內波傳遞速度 慢，其會受到顯著的交互作用影響，終而被內波超越，稱之為亞臨界流況；反之，
當 𝐹𝑟 > 1/𝜋 則表示異重流傳遞速度相較流場中內波傳遞來的快，於異重流受重力 驅動之傳遞過程中，預期不會發生被內波超越的現象，稱之為超臨界流況。
本論文中，在固定水槽總高 𝐻＝ 9𝑐𝑚 之條件下，給定四種 ℎ/𝐻 高度比，每種 比值各別支配著 9 至 10 種層化強度，於範圍 ℎ/𝐻 ( 1
3 − 1)與 𝑅(1.035 − 3)共交織
出 37 組不同的實驗。為確保實驗之準確性每組實驗最少重覆進行三次，如圖 2-2 所示，實驗之初始設置條件詳見表 2-1。
圖 2-2 實驗配置示意圖。實驗配置中，有四種高度比分別為 ℎ
𝐻
= 1
3 、 1
2 、 2
3 、1；每種比例改變九至十種層化強度，層化強度值分別為 𝑅 = 1.035、1.070、1.105、1.175、1.300、1.450、1.600、2.000、2.500、3.000，
實驗組數共 37 組。
2.2 實驗設備
本節中將介紹進行線性層化異重流實驗時所使用之實驗設備與實驗設備功能 性，分別以兩方面進行說明，分別為Ⅰ.線性層化異重流實驗裝置介紹 Ⅱ.影像設 備介紹。
2.2.1 線性層化異重流實驗裝置介紹
如圖 2-3 所示，為一定界實驗水槽設置，水槽內部尺寸為長 239 公分、寬 15 公分、高 9 公分，且壁面皆由厚度 3 公分之壓克力透光材料所組成(圖 2-4(a))。
水槽內將設置一上拉式閘門，故於距離左側壁面 12 公分(𝐿0)處兩側向外加工凹槽，
其中凹槽深度為 1 公分、寬為 1.2 公分。另外閘門本身亦為壓克力透光材料，尺寸 為厚度 1 公分、寬度 16 公分、高 30 公分(圖 2-4(c))，為有效防止閘門左右兩側 之流體於實驗配置過程發生滲漏現象，導致重流體與層化環境互溶而影響實驗之 初始條件設置，將於閘門兩側及底部分別黏貼海綿防水膠條，以確保閘門具有良好 的阻隔性。另外，於閘門左右兩側之流體表面附上蓋板(圖 2-4(b))，目的是為了 避免自由液面於實驗行進中晃動造成影響，也用以確保兩側流體之高度固定 9 公 分。溶液密度控制上，添加台鹽之天然鹽(氯化鈉) (圖 2-4(d))於自來水中，調配 成所設定之密度；密度量測儀器則使用日本 KEM 牌手持式密度計(型號:DA-130N、
圖 2-3 : 實驗示意圖。
量測精微 0.0001 gcm−3，量測溫度範圍為 0~40˚C) (圖 2-5(a))。
(a)
(b)
(c) (d)
圖 2-4 實驗設備 1。 (a)實驗水槽 (b)水槽蓋板 (c)閘門 (d)實驗用鹽
實驗進行過程中，為了能夠明確辨識出於閘門左側之重流體區域，將依照流體 的體積添加適量之藍色及黃色水性染劑(圖 2-5(b))將其染色為綠色，其中藍色染 劑劑量約為 5 mL/L；而藍色染劑劑量約為 6 mL/L。
此外，本實驗為設置線性層化環境流體之條件，採用奧斯特(Oster 1965)方法 (詳細推導過程請參閱附錄 1)，透過介紹之實驗設備(圖 2-5(c)、圖 2-5(d)、圖 2- 5(e)、圖 2-5(f))，從水槽底部緩緩疊出密度隨著高度遞減之連續層化環境。並於 適當等間距之水平位置，注入藍色染劑，其中藍色染劑劑量約為 5 mL/L，目的是 為了將等值密度線作視覺化以便觀察，有利於內波傳遞之分析。然而，於製作環境 流體的過程中，為了減少因擾動使層化流體發生混合，造成密度不連續之現象，故 在此使用夾有海棉之高密度珍珠板製成層化用浮板(圖 2-5(c))，圖中淡藍色浮板 起初靜置於右側底層鹽溶液表面，而後再利用高功率之加壓抽水馬達(1/2HP) (圖 2-5(e))，抽取於左側不鏽鋼鐵桶(圖 2-5(f))內之較重鹽溶液，經由(圖 2-5(e))中 之給水系統，利用六支各別設有控制閥件之細塑膠管路，將鹽溶液引導至海棉上。
另外，於開啟各導管控制閥件的同時，一併將連接此二儲水鋼桶間之控制閥件 開啟，使(圖 2-5(f))中右側之表層密度鹽溶液不斷補足至左側較重流體並與其發 生混合，達成密度緩緩遞減之目的。在給水過程經由設計之迴水管路系統，輸送大 部分鹽溶液迴流至左側鋼桶內，其中配載高功率加壓馬達藉以增加迴水的混合速 率。
然而，(圖 2-5(c))中下方夾有海棉之白色浮板及壓克力小雙筒(圖 2-5(d))，
為當閘門左側重流體高度與水槽總高之比例關係 ℎ/𝐻 不為 1 時，用以製作於其上 方層化環境之設備，其模型設計原理與上述不鏽鋼鐵桶所介紹之給水系統亦同。最 後，透過海棉的吸水特性將鹽溶液整流，緩慢疊於下方鹽溶液表面，進而達成線性 層化之效果。
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖 2-5 實驗設備 2。 (a)手持式密度計 (b)染劑 (c)層化用浮板 (d) 壓克力小雙筒＆加壓抽水馬達 (e)高功率加壓抽水馬達＆給水系統 (f)不鏽鋼
儲水鐵桶
2.2.2 影像設備
為了清楚地觀測異重流及內波於水槽內部之運動情形，且呈現良好的實驗影 像畫面，將於壓克力透光水槽後方設置一能散發均勻平行白光之燈箱(圖 2-6(a))，
使實驗拍攝過程有適當之光源。而拍攝裝置方面，使用 Canon 700D 進行影片紀錄 (圖 2-6(b))，影片輸出格式及設定方面，分別為每秒 24 格影格率(fps)、檔案類 型為 AVI 檔，畫素(pixel)則為 1920*1080。此外，攝影機將經由腳架(圖 2-6(c))架 高至與水槽達成水平，且為避免拍攝時因透視變形而造成實驗影像失真，攝影機將 架設於距離水槽前方 10 公尺處，以確保拍攝之影像維持平面狀態。
(a)
(b) (c)
圖 2-6 影像設備。 (a)LED 燈箱 (b)攝影機 (c)攝影機腳架
2.3 實驗流程與規劃
設置線性層化異重流實驗時，以系統性的執行是有必要的。故本節將分別對於
Ⅰ.線性層化異重流實驗流程 Ⅱ.實驗規劃做進一步的介紹與說明。
2.3.1 線性層化異重流之實驗流程
首先，在實驗設置開始前，會對水槽、儲水鐵桶及其給水管路進行一次完整的 清洗，目的是為了確保每次實驗設備之一致性。待清理完畢後，將閘門及所有管路 之筏件關上，依照實驗之初始條件於水槽左側注入事先調配完成之適量高度重流 體，並且按比例加入藍色及黃色染劑將其染色為綠色以便後續之觀測。同時確認閘 門兩側是否有洩漏之情況發生，若有洩漏則重新將水槽清理乾淨；反之，則繼續進 行實驗流程。
實驗中所配置之鹽溶液將遵循表 2-1 進行調配。為製作水槽右側的線性層化 環境，將環境底層密度較大之鹽溶液置放於靠近抽水馬達之儲水鐵桶內；而另一側 儲水鐵桶則置放環境表層密度較小之鹽溶液。另外，於注入時必須確認兩儲水鐵桶 中之鹽溶液水位等高，且體積加總恰好注滿水槽右側環境之區域。待確認完畢後，
將泵浦連接水槽之六管分支架設於水槽右側層化用浮板上方，而後啟動抽水馬達 並開啟於分支上的筏件，透過此閥件將注入之鹽溶液節流，減少過程中於連續層之 間發生擴散現象造成密度不連續而影響實驗結果。於上述步驟進行同時，一併開啟 連接兩儲水鐵桶間之筏件，此舉將促使環境表層之較輕鹽溶液得以補足至另一側 鐵桶中，並於其內部之鹽溶液發生混合，藉由迴流系統不斷循環使密度遞減，達成 線性層化之目的。此外，本實驗將分別於水槽中，當環境液面達 0、2、4、6、8 公 分時，開啟染劑之控制筏件並利用針筒注入定量之藍色染劑，使染劑經由六管分支 均勻滴放至海綿上，目的是為了將等值密度線作視覺化以便觀察及分析。在完成水 槽右側線性層化環境之製作後，將其以長型蓋板覆上緊接著進行下一個步驟。
此步驟為製作水槽左側重流體上方之層化環境，將依照實驗初始條件的設置 選擇進行與否。當閘門左側重流體高度與水槽總高之比例關係 ℎ/𝐻 為 1 時，則無 須進行此步驟；反之，當閘門左側重流體高度與水槽總高之比例關係 ℎ/𝐻 不為 1 時，須利用壓克力小雙筒及其連接之泵浦系統，製作重流體上方之線性層化環境。
而步驟中所使用之設備及原理，與疊放水槽右側環境流體大致上亦同，在此將不對 其相同之處多做贅述；唯一差異在於靠近抽水馬達之儲水壓克力桶，其內部於初始 注入之鹽溶液密度並不為環境底層流體之密度，必須依循起始疊放的位置，其所對 應到水槽右側環境等高處之流體密度，另外調配該位置密度之鹽溶液。
待上述流程進行完畢，而後將攝影器材架設於距離水槽 10 公尺處，並開啟實 驗燈箱準備進行拍攝，同時須確保燈箱以外的燈光皆關閉，目的是為了排除不必要 的光源而影響拍攝之過程。於實驗拍攝記錄完畢後，將拍攝之檔案傳輸至電腦，利 用套裝軟體裁切視窗，並分別以每秒 24 張影格輸出實驗影片、每秒 4 張影格輸出 成實驗影像，再透過影像處理之技術對影像進行量測，並且輸出為資料檔案於電腦 儲存後完成實驗。其詳細實驗過程流程，如圖 2-7。
圖 2-7 實驗流程與實驗流程示意圖。
2.3.2 實驗規劃
表 2-1 為本論文當中所有實驗之初始條件資料。為透析線性層化異重流於不 同高度情形下之運動行為，在固定水槽總高 𝐻＝ 9𝑐𝑚 之條件下，實驗設計以給定 四種 ℎ/𝐻 高度比，每種比值各別改變 9 至 10 種層化強度之方式對線性層化異重流 進行全面性的實驗安排，將於範圍 ℎ/𝐻 ( 1
3 − 1)與 𝑅(1.035 − 3)交織出 37 組不同 的實驗。
由式(2.1)、式(2.3)及式(2.5)可得知，當固定層化強度時，隨著高度比上升，
將使重流體內部所含有之重力(Buoyancy)增加，受重力驅動下導致其流速增加，故 福祿數之值也會一併增加；反之則會減少。另一方面，當層化強度增加而高度比固 定情形下，層化強度之分子值越大代表重流體受重力驅動而產生的交互作用運動 越強烈；分母值越小則代表環境流體中，底層和表層之密度差異程度越小，其前後 兩者分別將使重流體之流速增加以及浮力頻率減少，導致福祿數之值增加。
實驗代號以數字命名，重流體高度與水槽總高之比例關係為 ℎ/𝐻，而 𝜌𝑐 為水 槽左側重流體之密度、𝜌𝑏 為環境中底層流體之密度、𝜌0 為環境中表層流體之密度，
𝑅 為層化強度值。
實驗編號 h / H 𝛒𝒄 𝛒𝒃 𝛒𝟎 R
1 1/3 1.065 1.063 1.006 1.035
2 1/3 1.037 1.034 1.006 1.105
3 1/3 1.078 1.067 1.004 1.175
4 1/3 1.071 1.056 1.006 1.300
5 1/3 1.052 1.038 1.007 1.450
6 1/3 1.045 1.030 1.005 1.600
7 1/3 1.064 1.034 1.004 2.000
8 1/3 1.075 1.033 1.005 2.500
9 1/3 1.094 1.034 1.004 3.000
10 1/2 1.065 1.063 1.006 1.035
11 1/2 1.037 1.034 1.006 1.105
12 1/2 1.078 1.067 1.004 1.175
13 1/2 1.071 1.056 1.006 1.300
14 1/2 1.052 1.038 1.007 1.450
15 1/2 1.045 1.030 1.005 1.600
16 1/2 1.064 1.034 1.004 2.000
17 1/2 1.075 1.033 1.005 2.500
18 1/2 1.094 1.034 1.004 3.000
19 2/3 1.065 1.063 1.006 1.035
20 2/3 1.037 1.034 1.006 1.105
21 2/3 1.078 1.067 1.004 1.175
22 2/3 1.071 1.056 1.006 1.300
23 2/3 1.052 1.038 1.007 1.450
24 2/3 1.045 1.030 1.005 1.600
25 2/3 1.064 1.034 1.004 2.000
26 2/3 1.075 1.033 1.005 2.500
27 2/3 1.094 1.034 1.004 3.000
28 1 1.065 1.063 1.006 1.035
29 1 1.072 1.068 1.011 1.070
30 1 1.037 1.034 1.006 1.105
31 1 1.078 1.067 1.004 1.175
32 1 1.071 1.056 1.006 1.300
33 1 1.052 1.038 1.007 1.450
34 1 1.045 1.030 1.005 1.600
35 1 1.064 1.034 1.004 2.000
36 1 1.075 1.033 1.005 2.500
37 1 1.094 1.034 1.004 3.000
表 2-1 實驗初始條件設計。表格中 𝒉/𝑯 為重流體高度與水槽總高之比 例關係，𝝆𝒄 為水槽左側重流體之密度、𝝆𝒃 為環境中底層流體之密度、
𝝆𝟎 為環境中表層流體之密度，𝑹 則為層化強度值。
2.4 影像處理方法
由於過去影像設備不甚發達，多數的實驗量測皆以肉眼觀察，進行影像比對後 記錄再透過相片呈現；而為減少人為量測所產生之誤差，本研究中實驗資料將以攝 影的方式進行紀錄。當實驗完畢後取得拍攝之影片，利用套裝軟體 Adobe After Effects CS6 將影片視窗進行影像後處理，其中包括影像視窗之裁切、選轉及濾鏡 調整方面，待後製完畢將檔案格式儲存為 PNG 檔，並輸出成每秒 4 張影格以便後 續之量測。為了對輸出影像進行更全面性分析，藉由實驗中加以染劑之效果，使重 流體及內波之等密度線染色成特定顏色，將利用套裝軟體 Adobe Photoshop CS6 之 內建功能，界定所有實驗結果之色彩門檻值，作為判定異重流頭部及內波流動位置 的指標。
根據上述介紹之方法，擷取出每 0.25 秒時間間隔下，異重流及內波傳遞之動 態位置，並將記錄後之資料轉存於 Excel 檔案，便於後續進行之分析。本節中將會 以兩方面進行說明，分別為Ⅰ.線性層化異重流色彩門檻值之界定 Ⅱ.線性層化異 重流之量測方法。
2.4.1 線性層化異重流色彩門檻值之界定
透過將所有實驗影像色彩進行數位化之操作，可更加準確地量測得每個時間 步階下，異重流之頭部位置、高度、頭部間距，以及內波傳遞之數據。其中，對於 異重流色彩門檻值之界定，如圖 2-8 所示。
圖 2-8 異重流界定示意圖。
2.4.2 線性層化異重流之量測方法
為了將實驗影像轉換為數據資料加以分析，以圖 2-8 為例，可由圖中觀測得異 重流流動之前端位置並對其進行記錄。此外，由於影像紀錄之資料為影格格式，單 位為 pixel 而非實際距離，故須透過轉換公式計算得實際物理量。長度轉換之公式 定義如下:
𝐿𝑓(𝑡) =𝑥𝑓(𝑡) − 𝑥0
𝑥𝑒𝑛𝑑 − 𝑥0 ∗ 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (2.1) 其中 𝐿𝑓(𝑡) 為瞬時之實際長度、𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 則為水槽實際總長(𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 239 公分)，單位 為公分；等號右手邊之 𝑥𝑓(𝑡)為瞬時影像中異重流前端位置、𝑥0 為水槽最左側邊壁 與 𝑥𝑒𝑛𝑑 為水槽最右側邊壁，單位則為 pixel。
透過本章節所述之研究方法，能系統性地處理實驗結果並且將其彙整成資料，
而後續之分析將於下一章節進行詳細的介紹與說明。
第三章 實驗結果與分析
本研究透過定界交換水槽試驗，配置四種高度比分別為 ℎ
𝐻= 1
3、1
2、2
3、1，每
種比例改變九至十種層化強度，一共交織為 37 組實驗，當中的層化強度值 𝑅 = 1.035、1.070、1.105、1.175、1.300、1.450、1.600、2.000、2.500、3.000， 實 驗配置如圖 3-1 所示。藉由上述兩項控制因子，可觀察線性層化異重流在內波作 用下，將發展出兩種截然不同的流況型態，分別為亞臨界流況以及超臨界流況。然 而，於本論文判別此兩種流況之關鍵為臨界福祿數 𝐹𝑟 = 1
𝜋。
圖 3-1 實驗配置示意圖。
其中，在固定層化強度值 𝑅 的情況下，於不同高度比例關係之演化動態如圖 3-2、圖 3-3 所示。藉由圖中所呈現之瞬時影像可觀察到，由於閘門左右兩側流體 之層化強度相同，當閘門左側均質重流體和水槽總深度之高度比 ℎ
𝐻 越大的情況下，
於其所含有之鹽度質量相對較多，故異重流前端傳遞速度較快之現象是能被預期 發生的，如圖 3-3 所示。
圖 3-2 實驗編號 13 瞬時影像。實驗拍攝日期為 01/07/2018，為高度比 ℎ
𝐻= 1
2 之 均質重流體流入線性層化環境流體之運動情形，截取之實驗影像時間為 t 於第
0、3、5、8、11、14、17 秒。封閉區域長度 𝐿0 = 12 𝑐𝑚、水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚、重流體密度 𝜌𝑐 = 1.071、底層流體密度 𝜌𝑏 = 1.056、表層流體密度 𝜌0 =
1.006、層化強度 𝑅 = 1.300、平均福祿數 𝐹𝑟 = 0.286，為亞臨界流況。
圖 3-3 實驗編號 32 瞬時影像。實驗拍攝日期為 01/25/2018，為高度比 ℎ
𝐻= 1之 均質重流體流入線性層化環境流體之運動情形，截取之實驗影像時間為 t 於第
0、2、5、8、11、15、20 秒。封閉區域長度 𝐿0 = 12 𝑐𝑚、水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚、重流體密度 𝜌𝑐 = 1.071、底層流體密度 𝜌𝑏 = 1.056、表層流體密度 𝜌0 =
1.006、層化強度 𝑅 = 1.300、平均福祿數 𝐹𝑟 = 0.358，為超臨界流況。
本章節於接續之序章呈現高度比依序由小至大 ℎ
𝐻( 1
3 − 1)，探討不同層化強度 𝑅(1.035 − 3)之異重流於線性層化環境流體的流動情形，將挑選八組具代表性之實 驗各別進行討論，進而比較亞臨界流況、超臨界流況之間的差異性及相似性。實驗 編號依序為 1：ℎ
𝐻= 1
3 之亞臨界流況、7：ℎ
𝐻=1
3 之超臨界流況、10：ℎ
𝐻=1
2 之亞臨界 流況、15：ℎ
𝐻= 1
2 之超臨界流況、20：ℎ
𝐻=2
3 之亞臨界流況、23：ℎ
𝐻= 2
3 之超臨界流 況、28：ℎ
𝐻= 1 之亞臨界流況、32：ℎ
𝐻= 1 之超臨界流況。為能詳細透析其演化動 態，擬將線性層化異重流於初始等速區段之運動進行系統化分析。其中，藉由線性 回歸方法可得異重流於此等速區段之行進速度，本論文中將定義此等速值之 70%，
作為判定異重流脫離等速區段進入慣性區段的依據；而後將利用中央差分法，運算 得前端位置於各個時間步階下之區域速度值(local velocity)，可對應求得異重流脫 離初始等速區段之時間(𝑇𝑡𝑟)及位置(𝑋𝑡𝑟)。此外，將透過實驗影片觀測重流體與內 波之間的交互作用行為，並對其演化過程進行剖析與彙整。
3.1 定
𝒉𝑯
=
𝟏𝟑
分析
首先，於本節中將介紹當閘門左側均質重流體和水槽總深度之高度比為 ℎ
𝐻=1
3
情況下，異重流於線性層化環境流體之流動情況(如圖 3-4 紅色虛線範圍所示)。
閘門設置位於水槽左側，故閘門開啟後，異重流將於短暫加速後進入等速區段並且 維持一段時間，而後異重流進入慣性區段時，由於水平浮力梯度與慣性力兩者將達 到平衡，故異重流頭部會呈現明顯減速之趨勢。為釐清其運動特性，將由三個部分 進行探討，依序為Ⅰ.線性層化異重流之定性分析 Ⅱ.異重流頭部(leading edge)位 置與時間之關係 Ⅲ.利用初始速度推算異重流脫離等速區段之時間(𝑇𝑡𝑟)及位置 (𝑋𝑡𝑟)，藉此對其整體演化過程有初步的認識。
於本節中所介紹之分析結果，實驗條件皆參照設定之初始條件(表 2-1)進行實 驗操作。閘門位置 𝐿0 = 12 𝑐𝑚，水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚，閘門左側重流體高度 ℎ = 3 𝑐𝑚。為了將重流體及等值密度線作視覺化以便實驗觀察，利用染劑將其染色，進 一步探討流動過程中之演化。
圖 3-4 高度比 𝒉
𝑯= 𝟏
𝟑 線性層化異重流實驗組示意。
3.1.1 高度比 𝒉
𝑯=𝟏
𝟑 之亞臨界流況 以實驗編號 1 代表高度比為 ℎ
𝐻=1
3 且閘門左側重流體與環境流體間密度差異 程度較小之異重流運動形貌。當中重流體高度為 3 公分，在固定高度比例而比較 不同層化強度的條件下，異重流與環境流體間密度差異程度較小，故於流動過程 中異重流前端位置速度較慢，為福祿數小於臨界值 1
𝜋 之亞臨界流況，預期將發生 異重流頭部被內波超越之現象。
由於閘門兩側流體存在著密度差異，於開啟閘門同時重流體會宛如一個鑽孔 向下挖掘，此刻近水槽左側邊壁位置之流體將會拱起來，緊接著落下好比一股能 量注入進而反彈造成內波。如圖 3-5 所示，於閘門開啟 3 秒時，重流體已流入環 境流體並形成異重流之初始頭部，而第一個內波波峰(bore)也被生成，此時異重 流尚位於等速區段。於第 7 秒時，初始頭部被第一個內波波谷超越造成壓迫，前 端速度已不再趨向穩定，發生頭部暫時停滯的現象；同時可觀察到第二個頭部及 第二個內波波峰被生成。而後當第一個內波波谷遠離頭部，由於後方補足的重流 體跟上，異重流將由停滯狀態加速行進，正如第 10 秒之情況。然而，於第 13 秒 時，第二個內波波谷將再次對頭部造成壓迫使其傳遞速度暫緩，爾後又加速再停 滯…此過程將會反覆進行直到異重流自身驅動力消耗殆盡為止，如第 18 秒所示。
此外，前端位置與時間之關係，如(圖 3-6(a))所示，經過極為短暫的加速 後，異重流傳遞速度會趨向穩定，本研究將著重於初始等速區段之福祿數分析。
藉由線性回歸方法得其速度，進而求得平均福祿數值為 𝐹𝑟 = 0.150，同時透過該 斜率之 70% 左右反推找到對應之 𝑇𝑡𝑟 = 4.25(𝑠) 及 𝑋𝑡𝑟 = 13.631(𝑐𝑚)，作為判定 異重流脫離等速區段進入慣性區段之依據。
於(圖 3-6(b))中呈現為無因次化之異重流前端流動歷程與時間關係圖，由 圖中之紅圈標示處，可觀察到當內波波谷與異重流頭部交會時，異重流頭部將會
發生暫時停滯的現象。由於此實驗組類別為亞臨界流況，故流動過程中異重流前 端之傳遞速度會小於 𝑁𝐻
𝜋；且根據內波理論，所有內波之傳遞速度皆也會小於 𝑁𝐻
𝜋。
圖 3-5 實驗編號 1 瞬時影像。實驗拍攝日期為 11/16/2017，為高度比 ℎ
𝐻=1
3 之 均質重流體流入線性層化環境流體之運動情形，截取之實驗影像時間為 t 於第
0、3、7、10、13、15、18 秒。封閉區域長度 𝐿0 = 12 𝑐𝑚、水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚、重流體密度 𝜌𝑐 = 1.065、底層流體密度 𝜌𝑏 = 1.063、表層流體密度 𝜌0 =
1.006、層化強度 𝑅 = 1.035、平均福祿數 𝐹𝑟 = 0.150，為亞臨界流況。
第一波谷
第二波谷
第三波谷
(a)
(b)
圖 3-6 為實驗編號 1 之結果圖。 (a)為線性層化異重流前端流動歷程與時間關 係圖，平均速度為 𝑉 = 3.3458 𝑐𝑚 𝑠⁄ 。 (b)為無因次化之線性層化異重流前端
流動歷程與時間關係圖，浮力頻率為 𝑁 = 2.485 1 𝑠⁄ 。 𝑇𝑡𝑟 = 4.25(𝑠)
𝑋𝑡𝑟 = 13.631(𝑐𝑚)
y = 3.3458x - 0.1681 R² = 0.9997 Local slope = 2.26 2.26
3.3458× 100 = 67.538 %
第一波峰
第二波峰
第三波峰
異重流前端
3.1.2 高度比 𝒉
𝑯=𝟏
𝟑 之超臨界流況 以實驗編號 7 代表高度比為 ℎ
𝐻=1
3 且閘門左側重流體與環境流體間密度差異 程度較大之異重流運動形貌。在重流體高度固定為 3 公分之條件下，由於其層化 強度較為顯著，故於過程中異重流前端位置流動之速度較快，為福祿數大於臨界值
1
𝜋 之超臨界流況。而異重流初始頭部後方預期不會有明顯內波被生成，且內波於異 重流流動期間，將追隨在異重流初始頭部後方並與其緊密相扣。
實驗之瞬時影像如圖 3-7 所示，於閘門開啟 2 秒後，重流體已流入環境流體 並形成異重流之初始頭部，此時第一個內波波峰(bore)也被生成。然而，由實驗後 續演化之瞬時影像，可觀察於過程中異重流初始頭部後方並沒有其他明顯的內波 生成，而第一個內波波峰將會緊緊跟隨著初始頭部。此外，相較於先前所提及之亞 臨界流況流動模式，本實驗組中第一個內波波谷之形貌較不明顯，且生成時間也較 晚，如第 13 秒之情況。隨著過程中異重流逐漸失去向前運動之驅動力，於第 18 秒 左右，頭部前端才會被第一個內波波峰超越。然而，如第 23 秒所示，異重流已失 去傳遞能力，將會被後續跟上之第一個內波波谷超越。
前端位置與時間之關係，如(圖 3-8(a))所示，經過極為短暫的加速後，異重 流傳遞速度會趨向穩定並維持一段時間而後逐漸減速，利用線性回歸方法進而求 得本實驗之平均福祿數值為 𝐹𝑟 = 0.360，透過該斜率之 70% 左右反推找到對應之 𝑇𝑡𝑟 = 9(𝑠) 以及 𝑋𝑡𝑟 = 46.353(𝑐𝑚)。
於(圖 3-8(b))中呈現為無因次化之異重流前端流動歷程與時間關係圖，由圖 中之紅圈標示處，可觀察到當內波波谷與異重流頭部交會時，異重流頭部將會發生 暫時停滯的現象。由於此實驗組類別為超臨界流況，故於流動過程中異重流前端之 傳遞速度可透過圖中觀察發現，於初始階段之斜率將會先大於 𝑁𝐻
𝜋 而後才減速；然 而根據內波理論，流場中所有內波之傳遞速度皆會小於 𝑁𝐻
𝜋 。
圖 3-7 實驗編號 7 瞬時影像。實驗拍攝日期為 04/11/2018，為高度比 ℎ
𝐻=1
3 之均 質重流體流入線性層化環境流體之運動情形，截取之實驗影像時間為 t 於第 0、
2、5、9、13、18、23 秒。封閉區域長度 𝐿0 = 12 𝑐𝑚、水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚、重 流體密度 𝜌𝑐 = 1.064、底層流體密度 𝜌𝑏 = 1.034、表層流體密度 𝜌0 = 1.004、層
化強度 𝑅 = 2.000、平均福祿數 𝐹𝑟 = 0.360，為超臨界流況。
𝑇𝑡𝑟 = 9(𝑠) 𝑋𝑡𝑟 = 46.353(𝑐𝑚)
4.078
5.8408× 100 = 69.821 %
第一波谷
(a)
(b)
圖 3-8 為實驗編號 7 之結果圖。 (a)為線性層化異重流前端流動歷程與時間關 係圖，平均速度為 𝑉 = 5.8408 𝑐𝑚 𝑠⁄ 。 (b)為無因次化之線性層化異重流前端流
動歷程與時間關係圖，浮力頻率為 𝑁 = 1.805 1 𝑠⁄ 。 Local slope = 4.078
第一波峰
異重流前端 y = 5.8408x - 0.8937
R² = 0.9993
3.2 定
𝑯𝒉=
𝟏𝟐
分析
本節將延續先前之討論，介紹當閘門左側均質重流體和水槽總深度之高度比 為 ℎ
𝐻=1
2 情況下，異重流於線性層化環境流體之流動情況(如圖 3-9 紅色虛線範圍 所示)。閘門設置位於水槽左側，故閘門開啟後，異重流將於短暫加速後進入等速 區段並且維持一段時間，而後異重流進入慣性區段時，由於水平浮力梯度與慣性力 兩者將達到平衡，故異重流頭部會呈現明顯減速之趨勢。為了釐清其運動特性，將 依序由Ⅰ.線性層化異重流之定性分析 Ⅱ.異重流頭部(leading edge)位置與時間之 關係 Ⅲ.利用初始速度推算異重流脫離等速區段之時間(𝑇𝑡𝑟)及位置(𝑋𝑡𝑟)上述三 項部分對其整體演化過程進行探討。
於本節中所介紹之分析結果，實驗條件皆參照設定之初始條件(表 2-1)進行實 驗操作。閘門位置 𝐿0 = 12 𝑐𝑚，水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚，閘門左側重流體高度 ℎ = 4.5 𝑐𝑚。為了將重流體及等值密度線作視覺化以便實驗觀察，利用染劑將其染色，
進一步探討流動過程中之演化。
圖 3-9 高度比 𝒉
𝑯= 𝟏
𝟐 線性層化異重流實驗組示意。
3.2.1 高度比 𝒉
𝑯=𝟏
𝟐 之亞臨界流況 以實驗編號 10 代表高度比為 ℎ
𝐻=1
𝟐 且閘門左側重流體與環境流體間密度差異 程度較小之異重流運動形貌。當中重流體高度為 4.5 公分，在固定高度比例而比 較不同層化強度的條件下，異重流與環境流體間密度差異程度較小，故於流動過程 中異重流前端位置速度較慢，為福祿數小於臨界值 1
𝜋 之亞臨界流況，預期將發生異 重流頭部被內波超越之現象。
由於閘門兩側流體存在著密度差異，於開啟閘門同時重流體會宛如一個鑽孔 向下挖掘，此刻近水槽左側邊壁位置之流體將會拱起來，緊接著落下好比一股能量 注入進而反彈造成內波。如圖 3-10 所示，於閘門開啟 4 秒時，重流體已流入環境 流體並形成異重流之初始頭部，而第一個內波波峰(bore)也被生成，此時異重流尚 位於等速區段。於第 10 秒時，初始頭部被第一個內波波谷超越造成壓迫，前端速 度已不再趨向穩定，發生頭部暫時停滯的現象；同時可觀察到第二個頭部及第二個 內波波峰被生成。而後當第一個內波波谷遠離頭部，由於後方補足的重流體跟上，
異重流將由停滯狀態加速行進，正如第 13 秒之情況。然而，於第 15 秒時，第二個 內波波谷將再次對頭部造成壓迫使其傳遞速度暫緩，爾後於第 17 秒又加速…再停 滯如第 20 秒所示，此過程將會反覆進行直到異重流自身驅動力消耗殆盡為止。
此外，前端位置與時間之關係，如(圖 3-11(a))所示，經過極為短暫的加速後，
異重流傳遞速度會趨向穩定，本研究將著重於初始等速區段之福祿數分析。藉由線 性回歸方法得其速度，進而求得平均福祿數值為 𝐹𝑟 = 0.206，同時透過該斜率之 70% 左右反推找到對應之 𝑇𝑡𝑟 = 7(𝑠) 及 𝑋𝑡𝑟 = 28.754(𝑐𝑚)，作為判定異重流脫離 等速區段進入慣性區段之依據。
於(圖 3-11(b))中呈現為無因次化之異重流前端流動歷程與時間關係圖，由圖 中之紅圈標示處，可觀察到當內波波谷與異重流頭部交會時，異重流頭部將會發生 暫時停滯的現象。由於此實驗組類別為亞臨界流況，故流動過程中異重流前端之傳
遞速度會小於 𝑁𝐻
𝜋 ；且根據內波理論，流場中所有內波之傳遞速度皆也會小於 𝑁𝐻
𝜋 。
圖 3-10 實驗編號 10 瞬時影像。實驗拍攝日期為 11/22/2017，為高度比 ℎ
𝐻=1
2 之 均質重流體流入線性層化環境流體之運動情形，截取之實驗影像時間為 t 於第
0、4、10、13、15、17、20 秒。封閉區域長度 𝐿0 = 12 𝑐𝑚、水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚、重流體密度 𝜌𝑐 = 1.065、底層流體密度 𝜌𝑏 = 1.063、表層流體密度 𝜌0 =
1.006、層化強度 𝑅 = 1.035、平均福祿數 𝐹𝑟 = 0.206，為亞臨界流況。
𝑇𝑡𝑟 = 7(𝑠) 𝑋𝑡𝑟 = 28.754(𝑐𝑚)
第一波谷
第二波谷 第三波谷
(a)
(b)
圖 3-11 為實驗編號 10 之結果圖。 (a)為線性層化異重流前端流動歷程與時間 關係圖，平均速度為 𝑉 = 4.6072 𝑐𝑚 𝑠⁄ 。 (b)為無因次化之線性 層化異重流前端流動歷程與時間關係圖，浮力頻率為 𝑁 = 2.485 1 𝑠⁄ 。
y = 4.6072x - 0.8906 R² = 0.999
Local slope = 3.227 3.227
4.6072× 100 = 70.046 %
第一波峰
第二波峰 第三波峰
異重流前端
3.2.2 高度比 𝒉
𝑯=𝟏
𝟐 之超臨界流況 以實驗編號 15 代表高度比為 ℎ
𝐻=1
2 且閘門左側重流體與環境流體間密度差異 程度較大之異重流運動形貌。在重流體高度固定為 4.5 公分之條件下，由於其層 化強度較為顯著，故於過程中異重流前端位置流動之速度較快，為福祿數大於臨界 值 1
𝜋 之超臨界流況。而異重流初始頭部後方預期不會有明顯內波被生成，且內波於 異重流流動期間，將追隨在異重流初始頭部後方並與其緊密相扣。
實驗之瞬時影像如圖 3-12 所示，於閘門開啟 3 秒後，重流體已流入環境流體 並形成異重流之初始頭部，此時第一個內波波峰(bore)也被生成。然而，由實驗後 續演化之瞬時影像，可觀察於過程中異重流初始頭部後方並沒有其他明顯的內波 生成，而第一個內波波峰將會緊緊跟隨著初始頭部。此外，相較於先前所提及之亞 臨界流況流動模式，本實驗組中第一個內波波谷之形貌較不明顯，且生成時間也較 晚，如第 17 秒之情況。隨著過程中異重流逐漸失去向前運動之驅動力，於第 23 秒 左右，頭部前端才會被第一個內波波峰超越。然而，如第 30 秒所示，異重流已失 去傳遞能力，將會被後續跟上之第一個內波波谷超越。
前端位置與時間之關係，如(圖 3-13(a))所示，經過極為短暫的加速後，異重 流傳遞速度會趨向穩定並維持一段時間而後逐漸減速，利用線性回歸方法進而求 得本實驗之平均福祿數值為 𝐹𝑟 = 0.369，透過該斜率之 70% 左右反推找到對應之 𝑇𝑡𝑟 = 13.75(𝑠) 以及 𝑋𝑡𝑟 = 67.478(𝑐𝑚)。
於(圖 3-13(b))中呈現為無因次化之異重流前端流動歷程與時間關係圖，由圖 中之紅圈標示處，可觀察到當內波波谷與異重流頭部交會時，異重流頭部將會發生 暫時停滯的現象。由於此實驗組類別為超臨界流況，故於流動過程中異重流前端之 傳遞速度可透過圖中觀察發現，於初始階段之斜率將會先大於 𝑁𝐻
𝜋 而後才減速；然 而根據內波理論，流場中所有內波之傳遞速度皆會小於 𝑁𝐻
𝜋 。
圖 3-12 實驗編號 15 瞬時影像。實驗拍攝日期為 03/22/2018，為高度比 ℎ
𝐻=1
2 之 均質重流體流入線性層化環境流體之運動情形，截取之實驗影像時間為 t 於第
0、3、7、12、17、23、30 秒。封閉區域長度 𝐿0 = 12 𝑐𝑚、水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚、重流體密度 𝜌𝑐 = 1.045、底層流體密度 𝜌𝑏 = 1.030、表層流體密度 𝜌0 =
1.005、層化強度 𝑅 = 1.600、平均福祿數 𝐹𝑟 = 0.369，為超臨界流況。
𝑇𝑡𝑟 = 13.75(𝑠) 𝑋𝑡𝑟 = 67.478(𝑐𝑚)
第一波谷
(a)
(b)
圖 3-13 為實驗編號 15 之結果圖。 (a)為線性層化異重流前端流動歷程 與時間關係圖，平均速度為 𝑉 = 5.4702 𝑐𝑚 𝑠⁄ 。 (b)為無因次化之線性層化異重
流前端流動歷程與時間關係圖，浮力頻率為 𝑁 = 1.647 1 𝑠⁄ 。 Local slope = 3.856
3.856
5.4702× 100 = 70.492 %
第一波峰
y = 5.4702x - 0.2639 R² = 0.9992
異重流前端
3.3 定
𝒉𝑯
=
𝟐𝟑
分析
本節將延續先前之討論，介紹當閘門左側均質重流體和水槽總深度之高度比 為 ℎ
𝐻=2
3 情況下，異重流於線性層化環境流體之流動情況(如圖 3-14 紅色虛線範圍 所示)。閘門設置位於水槽左側，故閘門開啟後，異重流將於短暫加速後進入等速 區段並且維持一段時間，而後異重流進入慣性區段時，由於水平浮力梯度與慣性力 兩者將達到平衡，故異重流頭部會呈現明顯減速之趨勢。為了釐清其運動特性，將 依序由Ⅰ.線性層化異重流之定性分析 Ⅱ.異重流頭部(leading edge)位置與時間之 關係 Ⅲ.利用初始速度推算異重流脫離等速區段之時間(𝑇𝑡𝑟)及位置(𝑋𝑡𝑟)上述三 項部分對其整體演化過程進行探討。
於本節中所介紹之分析結果，實驗條件皆參照設定之初始條件(表 2-1)進行實 驗操作。閘門位置 𝐿0 = 12 𝑐𝑚，水槽總深度 𝐻 = 9 𝑐𝑚，閘門左側重流體高度 ℎ = 6 𝑐𝑚。為了將重流體及等值密度線作視覺化以便實驗觀察，利用染劑將其染色，進 一步探討流動過程中之演化。
圖 3-14 高度比 𝒉
𝑯= 𝟐
𝟑 線性層化異重流實驗組示意。
