章二次曲線

第十四章二次曲線 P194 第一單元 1/2 1. Ans:如解答 2 2 2 4 7 0 ( 1) 4( 2) x  x y   x   y 如圖可知 2. Ans:(A)(D) ( 1, 2) 3x y190圖形為拋物線 (以 ( 1, 2)  為焦點，3xy190為準線 ) 如圖，又頂點 A 為 Q，F 中點為(2,3) 3. Ans: (1) 2 (y1) =24(x5) (2) 2 18 ( 1) 7( ) 7 y   x (3) (y  2)2  12x (1) 2 6, 1 ( 1) 24( 5) c  軸y  y = x (2) 令 2 (y1) =4 (c xk) (2, 3) ( 1, 6)、 代入 18 2 18 4 7, ( 1) 7( ) 7 7 c k y x           (3) 焦點必在軸y  上2 可知F(3, 2)又 2 3 ( 2) 12( 0) c  y  x 4. Ans:10 2 8 2 x  yc ，如圖 AF+BF= ( ,d A y2)d B y( , 2) 1 2 2 2 6 4 10 y y        5. Ans:12 同上題，若 AB 過 F，ABAF BF  y₁y₂416y₁y₂ 12 6. Ans: △ABP 面積的最小值為 4 23 ，P( 2 1 ， 4 1 ) 令 2 2 ( , ) (2, 2), ( 1, 5) P t t AB AP t t  1| 2 ₂2 | 2 6 ( 1)2 23 1 5 2 2 4 ABP t t t t t            7. Ans: y  2x2  4x  6 令平移後的方程式為 2 2 4 y x  xk交 x 軸於(4 16 8 , 0) 4 k   16 8 4 6 2 k k       8. Ans:9 5 設立座標 (0,0)O 、 (4,5)B 方程式可令為(x4)2 4 (c y5) 過 (9,0)4c 5 (x4)2  5(y5) 0 (0, )9 5 x A   代入得 9. Ans:5 如圖PAd p x( ,   又1) PA=AB

第十四章二次曲線 P194 第一單元 2/2 1 1 1 5 2 b b b        10.Ans:10 如右圖， , ₂ 2 4 y x P Q x y       為 交點 2 1 2 8 4 0 8 y y y y        PFQF  y₂  1 y₁ 1 y₁ y₂2=10 11.Ans: y2  16x 或 y2  8x  16 如圖: 外切時，PO= ( ,d p x 2)2d p x( ,  4) 即 P 點為以 (4, 0)O 為焦點、x  4為準線  y2  16x 內內切時，PO= ( ,d p x 2)2d p x( , 0) 即 P 點為以 (4, 0)O 為焦點、x 0為準線  y2  8x  16

第十四章二次曲線 P198~P199 第二單元 1/1 1. Ans: 4＜k＜16，但 k≠10 16 0 4 16 16 4 10 4 0 k k k k k k                ，又 2. Ans:(A)(B)(D) 3. Ans: (1) 2 ( 1) 16 x  +(y  4) 9 2 =1 (2) 2 ( 1) 16 x  + 12 ) 2 (_y 2 =1 (3) x 2 23+ y2 16 =1 (1) c  、中心4 (2, 4)、a 5 b3 2 ( 1) 16 x  +(y  4) 9 2 =1 (2) 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 1 x y a b      又 2 2 4 a b  及過 (3,5) 2 2 16, 12 a b    (3) 共焦點  有共同的中心，且 2 2 7( ) a b  定值  2 16+7 x + 2 16 y =1 4. Ans: (x+1) 2 16 + (y2)2 25 =1 周長=4aa5又c 3 b4(x+1) 2 16 + (y2)2 25 =1 5. Ans:(1) 令 (0, )A a 、 ( ,0)B b 由分點公式 (2 ,1 ) 3 3 C b a  令2 ,1 3 , 3 3bx 3a yb 2x a y 代入已知 2 2 2 9 2 9 4 a b 定值 y  x 定值 6. Ans: 25 ) 4 (_x 2  9 2 y  1 POPA r 10P 點軌跡為以 (0,0) (8,0)、 為焦點、2a 10的橢圓  25 ) 4 (_x 2  9 2 y  1 7. Ans: 9 ) 2 (_x 2 + 5 2 y =1 6 POPA   P 點軌跡為以 (0,0) (4,0)、 為焦點、2a 6的橢圓  9 ) 2 (_x 2 + 5 2 y =1 8. Ans: 5，P(9₅ , ₅8) 令 2 2 2 10 ( , ) 4 9 36 ( , ) 5 x y P x y  x  y  d p L    ， 題意可改成已知 2 2 4x 9y 36，求x2y的最小值，用柯西可得最小 5，P(9₅ , 8₅) 9. Ans: 9 2 x + 5 2 y =1 O ( 2, 0)、O₂(2,0)、 ( , )O x y OO₁OO₂     r 2 8 r 6， O 點軌跡為以 ( 2, 0) (2, 0) 、 為焦點、2a 6的橢圓 10.Ans:(2)

第十四章二次曲線 P198~P199 第二單元 2/1

令 2 2 2

( , ) 4 4 0.8

第十四章二次曲線 P202~P203 第三單元 1/2 (3,8)代入 1. Ans: (A)(B)(C)(D) 到 ( 4,1) (2, 3) 、  的距離差為定值，代表雙曲線，如右圖 2a6, 2c2 13，貫軸: 1 4( 4) 6 y   x 、共軛軸: 1 3( 1) 2 y  x 正焦弦長= 2 2 8 3 b a  2. Ans: (1)x 2 12－ y2 4 =1(2) (x  3) 9 2 － 16 ) 4 (y 2 =1 (3) 1 ) 1 (  2  x + 4 ) 2 (y 2 =1 (4)－ 7 2 x + 28 2 y =1 (5) 6 3 ) 2 (y 2 － 64 ) 1 (x 2 =1 (1) 2 2 3, 4 4 a c b   (2) 2 2 2 2 2 2 10 5 25 9, 16 2 32 3 c c a b a b b a                (3) a 2,a 2 b 1 b     (4) (y2 )(x y2 )x 28 (5) 2 漸近線交點(1,2)為中心、焦點 F(1, 8) c10 2 2 2 6, 8 4 3 a b c a b b a     _       3. Ans:(A)(B)(C)(E) 點( 3，6)到二焦點 F ( 1，2)，F(5，2)距離差= 2a 2 5 又 2cFF'6b2 16 4. Ans:22 令PF2 3 ,x PF1x 由雙曲線定義 PF2PF1 6x 3 PF2 9,PF13 又 2 2 1 2 2 2 10 =22 F F  c a b   所求 5. Ans: a＝ 5 , b＝2 5 令PF₂ x PF, ₁2x ∠F1PF2＝90°x2(2 )x 2 102x2 5 PF₂ 2 5,PF₁ 4 5由雙曲線定義 PF₂PF₁ 2aa 5 又c 5 b2 5 6. Ans:(1) 2 2 1 16 25 x y   (x 0) (2) 2 2 1 36 9 x y   (x 0) (1)ABC周長=16，又BC 6ABAC10(定值) 2 10 5 4 2 6 3 a a b c c            A 的軌跡方程式 2 2 1 16 25 x y   (但x0時，ABC共線不形成  x 0) (2)由題意 2 2 2 2 3 3 1 4 36 1 4 36 9 y y x y x y x x            

第十四章二次曲線 P202~P203 第三單元 2/2 7. Ans: 2 2 (x3)  y 9(x 6) 令直線 PQ 為 ( 1) ( 6 , 6 ) ( 6 , 6 ) 1 1 1 1 m m y mx m P Q m m m m       、   2 2 6 6 ( , ) 1 1 m m m    中點為 令 2 2 2 2 6 6 , ( 3) 9 1 1 m m x y x y m m         消去 (m   1 x 6) 8. Ans: x 2 9 － y2 16 =1 及 2 16 x － 2 9 y =1 動圓圓 C 與兩定圓 C1、 C2 1 2 1 2 : ( 7) ( 1) 6 : ( 7) ( 1) 6 PO PO r r PO PO r r              同時外切時 同時內切時  PO1PO2 6 同理動圓圓 C 與兩定圓 C1、C2一內切一外切時 PO1PO2 8 所求=x 2 9 － y2 16 =1 及 2 16 x － 2 9 y =1 9. Ans:(C)(E) (A) 3 t 0且t 1 0且3     t t 1 1 t 3,t2 (B) 3   t t 1 0  1 t 2 (C) (3t t)( 1)0 t 1 or t3 (D) 3 t 0且t 1 0 t 1 (E) 3t t=   1 t 2 10.Ans:(A)(C)(D)(E) 2 0 4 0 a 時，y  x 為拋物線 2 2 2 2 2 4 2 0 4 2 0 ( ) ( ) a ax y x ay a x y a a a a  時，           11.Ans:(1)(2)(4) 如圖: (1) 2 (0,0) 5 m  且過 (2) 3 (0,0) 5 m  且過 (3) 2 (0,1) 5 m  且過 交一點 (4) 2 (0, 0) 5 m   且過 (5) y 100 交兩點

第十四章二次曲線 P204~P205 第三單元 1/2 1.Ans:(A)(C)(D)(E) (A) 2 0, 0 4 0 a b x  y 為拋物線 (B) a0,b 為拋物線1 2.Ans:(A)(B)(C) 橢圓對稱長軸、短軸、中心 3.Ans:(A)(E) 消去 t 2 2 ( 2) 4( 2) 4 y x x x        為拋物線 4.Ans:(B)(C)(D) 2 1 2 ( 9) 4 9 4 x   y  y  x  為頂點 (0, 9) 開口向下的拋物線，所以找 2 4 9 y  x  5.Ans:全 (A)焦點的中點 (B)與長軸垂直 3 4 m    (C)OA =(3,4)+2OF1  =(9,4) (D) (0,0)到F F 距離和1, 2 =14<20(0,0)在橢圓內 (E) 2a20, 2c102b10 3 6. Ans:(A)(C)(E) ( 1,3)  x 2y 5 0方程式代表以 ( 1,3) 為焦點、L:x2y  為準線的拋物線， 5 0 仿 P194 習題二可知選(A)(C)(E) 7. Ans:全 (A) 開口向左  a 0 (B)頂點 x 座標 0 0 2 b b a     (C) x 軸截距 (0, )c  c 0 (D) 2 0 ay byc 無解(與y軸無交點) 2 4 0 b ac    (E)y10代入x0 8. Ans: 最小 5 4 P 、 2 1 (2, ) 令 2 2 ( , ) 3 16 16 P x y  x  y  ， ( , 3 4 12) 3 4 12 5 x y d P x y    題意可改成已知3x2 16y2 16，求 3 4 12 5 x y 的最小值， 用柯西可得最小 5 4 P 、 2 1 (2, ) 9. Ans: y  1 2(x1) 令此弦交橢圓於 2 1 1 1 1 1 2 2 ₂ 2 2 2 4 4 3 0 ( , ) ( , ) 4 4 3 0 x x y P x y Q x y x x y               、 4(x1x2)(x1x2) 4( x1x2)(y1y2)(y1y2) ，又0 x1x2 2,y1y2 2代入 4(x1x2)2(y1y2)0m  ，所求2 y  1 2(x1) 10.Ans: 4x y3 60 5 3 ,  2 2 (1) 4 (2) 2 2 ( 1) ( 2) 1 4 3 6 0 3 4 4 4 3 18 25 0 x y x y x y y               _{   }  ，即 L 為 4x3y 6 0 ，又橢圓₂:4x2 3y2 18y250配方可得中心為(0, 3) =3 5  ，代點到直線距離公式 所求 11.Ans: 5 6 61

第十四章二次曲線 P204~P205 第三單元 2/2 仿習題 10 2 x L 為 6x5y17 ， 0 ，消去 項可得 又拋物線2: 2 1 0 2    x x y 配方可得焦點為 (4,7 )1 = 6 F  所求 5 6 61 最大3( 10 1) 5  12.Ans: 、P 10 6  10 1 ( , ) 0 0 0 0 0 0 1 6 9 1 3 AC=( , 1) ( , ) | _{6 9} 3 2 2 5 5 2 10 5 5 x y x y AB ABC x y             、 題意可改成已知 2 2 0 0 1 4 x y   ，求 3 3 ₀ 2 ₀ 2 10 x  y  的最大值， 用柯西可得最大3( 10 1) 5  、P 10 6  10 1 ( , ) (1) 13.Ans: C(2)A(3)B(4)C(5)D P x y  '( , ) ' P x y'( , )  P(y,x) 對稱x+y=0 3 4 2 _{ } x x y 代入 2 4 3( ') x y y      即 令動點   a 1,b 4,c  ，配方可得3 之焦點坐標為( , 2)3 4  14.Ans:(1) 同 P199 習題 5 15.(2)(5) a2  9﹐b2  16﹐c2  a2  b2  9  16  25  c  5﹐F F_{1 2}2c10﹐ ∵△PF1F2成一等腰三角形﹐∴PF₁F F_{1 2} 10﹐則|PF₁PF₂|2a6|10PF₂|6PF ₂ 16或 4﹐ 周長  10  10  16  36 或 10  10  4  24﹐故選(2)(5)﹒ 16.Ans:12 如圖 x 軸為準線﹐∴ PFPQ ﹐ b △PFH 中﹐PF2PH b  2(b  6)  b  12 17.Ans:16 令橢圓長軸長=2a，短軸長=2b 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 4 4 4 4 64 | | 2 PF PF a PF PF a b c PF PF b                   P在雙曲線上 平方相減 P在雙曲線上  所求=16 18. Ans:21 4 P 為拋物線上之點﹐由定義知﹕ PFPH﹐ PFAFAP﹐ AP  AFPF﹐ 9 21 21 | ( , ) | ( 3) ( ) ( ) 4 4 4 d P L AP  PH  PF   PHPF  ﹐故最大值為21 4 19.Ans:(3) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 0 5 4 3 4 x y x y     2 2 2 2 ( )( )( ) 0 5 4 3 4 3 4 x y x y x y      2 2 2 2 0 5 4 x y    x  0﹐y  0 或 0 3 4 x y   或 0 3 4 x y   ﹐ ∵x  0﹐y  0 為 0 3 4 x y   及 0 3 4 x y   上的點﹐∴圖形為 0 3 4 x y   或 0 3 4 x y   ﹐兩相異直線﹐故選(3)