從複數到三角函數公式 陳敏

HPM 通訊第十七卷第九期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

從複數到三角函數公式

陳敏晧 蘭陽女中

複數在數學各領域均有重大影響，本文章將討論如何以複數的形式來證明三角函數 的相關公式，由於複數具有極坐標形式，可以將角度做旋轉、長度做伸縮變換，這是傳 統幾何學在直角坐標平面難以突破的面向，因此，利用複數來證明三角函數公式往往會 有意想不到的收穫，也常使學習者見識到數學之美！

本文將使用到歷史法國數學家棣美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)於 1730 年發 表的棣莫弗公式，即若zr(cos isin)，則zⁿ rⁿ(cosn isinn),nZ。及歐拉 (Leonhard Euler, 1707-1783)在 1748 年所發表的歐拉公式：e^i cos isin 。 首先論證正弦與餘弦的和差角公式：



 



sincos cossin,cos



 



coscos sinsin

sin      

證明：cos( )isin() e^i()

e^i e^i





cos isin



(cos isin)

(coscos sinsin)i(sincoscossin)

比較兩複數的實部與虛部，即得



 



sincos cossin,cos



 



coscos sinsin

sin       。

接著引入三倍角公式：

 從複數到三角函數公式

 費爾茲獎首度出現女性數學家！

 貝葉斯和貝氏定理

HPM 通訊第十七卷第九期第二版

(1)sin3 3sin 4sin³ 。 (2)cos3 4cos³ 3cos 。 證明：cos3 isin3

e^i(3) (e^i)³





cos isin



³

(cos)³3



cos



²isin 3cos(isin)² 



isin



³

^



^{cos3 3cossin2}



^{i(3cos2sin sin3)}

^



^{cos3 3cos(1cos2)}



^i



³



^1sin2



^{sin sin3}



^



^{4cos3 3cos}



^{i(3sin 4sin3)}

比較兩複數的實部與虛部，即得sin3 3sin 4sin³ ；cos3 4cos³ 3cos 。 接著我們可以試著證明更複雜的三角函數公式：

 

sin2 sin 2 2

) 1 sin( sin

...

2 sin sin

1 











n n

n

 







 。

 

sin 2 2

) 1 cos( sin 2

cos ...

2 cos cos

2 





















n n

n 。

第一種證明方法：不用複數概念。

 

1 首先考慮積化和差與和差化積的公式，即



 



  











 )sin 2

sin( 2 2 cos cos

), cos(

) cos(

sin sin

2             。

令xsin sin2 ...sinn，將等式兩邊同乘 sin2 2 

，即得

 

 

 

 x sinn

sin 2 2 ...

2 2 sin sin 2 2 sin

sin 2 2

sin

2        

)

2 ) 1 2 cos( 2

) 1 2 (cos( 2 ...

cos5 2 cos3 2

cos3

cos2         



 



 





 



 

 n n

2 ) 1 2 cos(

cos2  



 n

HPM 通訊第十七卷第九期第三版

sin 2 2

) 1 sin(

2 n  n

 



移項得

sin 2 sin 2 2

) 1 sin(





 n

n x

 

 ，即

sin2 2

) 1 sin( sin 2

sin ...

2 sin

sin 











 









n n

n 。

證明

 

2 ：首先考慮積化和差與和差化積的公式，即



 



  



 



  









 cos 2

sin 2 2 sin sin

), sin(

) sin(

cos sin

2             。

令ycos cos2 ...cosn ，將等式兩邊同乘 sin2 2 

，即得

 

 

 

 y cosn

sin 2 2 ...

2 2 cos sin 2 2 cos

sin 2 2

sin

2        

   



 



 



 



 





 



 















 



 2

1 sin 2

2 1 sin 2

...

2 ) sin5 2 ) (sin( 3 2 )

sin3

(sin 2    n  n 

 

sin2 2

1

sin 2  _ 



 



 

 n

 

_



 



  

 2

cos 1 sin 2

2 n n 

移項得

 

sin2 2 cos 1 sin 2





 



 



  



n n

y ，

即

sin 2 2

) 1 cos( sin 2

cos ...

2 cos

cos 





















n n

n 。

證明：

 

sin2 sin 2 2

) 1 sin( sin

...

2 sin sin

1 











n n

n

 







 。

 

sin 2 2

) 1 cos( sin 2

cos ...

2 cos cos

2 





















n n

n 。

第二種證明方法：利用複數的概念。

我們可以使用歐拉公式e^i cos isin，若將 以  代入可得e^i cos isin，可

HPM 通訊第十七卷第九期第四版

得









 

 





i e e

e e

i i

i i

sin 2 cos 2













，變換變數得











 

 





i e e

e e

i i

i i

2 sin2

2 cos2

2 2

2 2













，

將上式令為 ix

y (cos cos2 ...cosn)i(sin sin2 ...sinn) (cos isin)(cos2 isin2)...(cosn isinn) (cos isin)(cos isin)²...(cos isin)ⁿ e^i e^i2 ...e^in

 ^i _i^in e

e e





 1

) 1

( ，分母 )

sin2 2 ( ) (

1 _ ^{2 2 2 2}  i e e e e e

i i i i

i     

 ^

2) sin 2 (

) 1 (

2 







i e

e e

i

in i





 

sin2 2

2 ) 1 2 ( 2







i e e

n i i



 



 

sin 2 2

2 1 sin 2

2 ) 1 2 cos( sin2

cos2











i

i n i n



 

 

 

sin 2 2

2 ) ) 1 2 cos( (cos2

2) 2 sin

) 1 2 (sin(









    





i n n

因此，

sin 2 2

sin 2 2

) 1 2 sin( cos

...

2 cos

cos 









 ^













n n

y

sin 2 2

) 1 cos( sin 2





 



n n

。

sin 2 2

) 1 sin( sin 2

sin2 2

2 ) 1 2 cos( cos2

sin ...

2 sin

sin 

















 



 











n n

n n

x 。

HPM 通訊第十七卷第九期第五版

第三種證明方法：圖形証法。

如下圖所示，我們令BB₁ 1，且BB 與₁ x軸之夾角為，再過B₁點做另一條線段B₁B₂ 1， 並使其與第一條線段BB 的夾角為，所以，₁ B₁B₂與x軸之夾角為2，以此類推做n次，

得到點B ，利用對同弧時圓周角等於其所對圓心角的性質，則_n B,B₁,B₂,...,B_n都在以 A 為 圓心的圓周上，令B

  

0,0,B₁ cos,sin



,B₂(cos cos2,sin sin2)，以此類推，令

) sin ...

2 sin sin , cos ...

2 cos

(cos  n   n

B_n      ，在ABB₁中，因為AB AB₁，所以

90⁰ 2

1 1









ABB ABB ，根據正弦定理，即

 _sin 2) 90 sin(

1 0

BB AB 



，利用正弦二倍角公

式，得到

sin 2 2

1 cos2

sin2 2

cos2 sin

cos2 1















 



AB ，接著考慮ABB_n，因為頂角BAB_n n，

則底角 90⁰ n2 B

AB

ABB_n  _n  

 ，再根據正弦定理及正弦二倍角公式

 ^BB_n n

AB _n

) sin 90 2

sin( ⁰





，化簡得

sin2 sin 2 cos 2

cos 2 sin 2

2

sin2 2

1 cos 2

sin













 ⁿ

n n n

n AB n

BB_n  







 ，利

用圓周角性質

2 ) 1 ( 2

1

1 1



 





 n

AB B BB

B _{n n} ，即圖上

2 ) 1 ( 

  n^

，算得

 

2 ) 1 ( 2

1  



    ^



 n n

，最後根據正弦與餘弦定義得

sin2 2

) 1 cos( sin 2

2 ) 1 cos( cos

...

2 cos

cos 



 







 

 











n n

BB n

n _n 。

sin2 2

) 1 sin( sin 2

2 ) 1 sin( sin

...

2 sin

sin 



 







 

 











n n

BB n

n _n

HPM 通訊

歐拉公 第 163

歐拉 次方再加 人難以捉

 飄然來 加了1以

訊第十七卷第九

式e^i 1 頁做為結語 拉從這些看 加上1，就變 捉摸的虛數 來到e的身 以後，世界

九期第六版

0 常常被譽 語：

看似毫無關 變成了0。 數畫出簡潔 身旁，和害羞 界就毫無預警

譽為數學界中

關係的數字中

」我重新看 潔的軌跡，在 羞的 i 握著手 警發生了巨

中最美的公

中，發現彼 看著博士的 在某一點落

手。他們的 巨大的變化

公式。最後

彼此之間自然 的紙條。永無 落地。雖然沒 的身體緊緊靠

，一切都歸

，筆者引《

然的關聯：

無止境循環 沒有圓的出 靠在一起，

歸於0。

《博士熱愛

「e的 和i 環下去的數字 出現，但來自

屏住呼吸

愛的算式》

i 之積的 字，和讓 自宇宙的

；但有人

HPM 通訊第十七卷第九期第七版

費爾茲獎首度出現女性數學家！

洪萬生

台師大數學系退休教授

目前正在首爾舉行（8/13-8/21）的 2014 ICM（國際數學家大會），已經公布今年的 費爾茲獎得獎人，依序如下：

‧Artur Avila，CNRS Paris (France) / IMPA (Brasil)，巴西人。

‧Manjul Bhargava，Princeton University， 印度裔，出生於加拿大。

‧Martin Hairer，Warwick University (UK)，奧地利人。

‧Maryam Mirzakhani，Stanford University，伊朗人，女性 。

這份名單充分展現了數學天賦能力對於種族與性別的無私，非常值得我們頌揚。有 關 Maryam Mirakhani 這位女數學家，我們要多講幾句話。

出生於 1977 年的 Maryam Mirakhani，在伊朗德黑蘭完成大學教育，然後前往哈佛 大學，於 2004 年榮獲博士學位，她的指導教授 Curtis McMullen 也曾是費爾茲獎（1998）

得主。她年幼時酷愛閱讀，曾立志要當作家，直到高中快唸完，才對數學發生興趣。或 許正因為如此，她才得以參加國際奧林匹亞競賽，並榮獲 1994（香港舉辦）、1995（多 倫多舉辦）的金牌獎。在 1995 年這一次，她更是在伊朗學生參賽歷史中，創下首度滿 分的紀錄。

Maryam Mirakhani 的得獎，讓我們聯想到古波斯的偉大數學家奧瑪‧海雅姆（Omar Khayyam, 1048-1131），這一位以《魯拜集》聞名於英美文學界的博學者，在歷史上更有 名的，其實是他的數學成就。他的祖先都以製造帳棚為業，但由於他多方面的才華，而 贏得統治者的贊助，還有，他去世後的墳墓（現在已成為博物館），更是阿拉伯建築的 經典作品。

總之，古波斯與今伊朗的對比，讓我們對於數學知識的源遠流長與性別跨界，有著 更深刻的期待！

HPM 通訊第十七卷第九期第八版

貝葉斯和貝氏定理

蘇俊鴻 北一女中

貝氏定理(Bayes’ Theorem)在高中數學的機率單元中出現，被當成是條件機率的重 要議題，為人所知的是它的定理內容以及相關的應用，如品管檢驗、醫學檢定等。但多 數人不知道貝氏是誰？什麼問題促使他發展出貝氏定理？貝氏定理在現今統計學上有 著廣泛的應用，但學說提出之初，就如此為數學家和統計學家所擁護嗎？這些問題都是 本文撰寫的動機。首先，就由托馬斯．貝葉斯(Thomas Bayes, 1702-1761)的生平開始說 起，貝氏定理正是由他所提出的。

托馬斯出身於英國新教徒家庭，是家中七個孩子的老大。他的父親約書亞．貝葉斯 (Joshua Bayes)是英國最早被任命的六位新教牧師之一。對於貝葉斯的童年教育我們所知 不多，有歷史學者認為他可能受過棣美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)的指導，也有 人認為他接受過成為牧師的養成訓練。

1719 年，貝葉斯進入蘇格蘭的愛丁堡大學，主要是學習邏輯和神學。在當時，新教 徒是無法得到牛津大學或是劍橋大學的入學資格。儘管沒有任何他在愛丁堡學習數學的 記錄，不過，他為了反駁貝克萊主教(George Berkeley, 1685-1753)在《分析學家》(The Analyst, 1734)對微積分邏輯基礎的攻擊，曾在 1736 年寫過一篇〈流數學說的介紹，以及 對《分析學家》作者的反對提出數學家的防禦〉(An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of the Mathematicians Against the Objections of the Author of The Analyst)，文章一開頭便提到：

我早就認為流數法的基本原理和規則，需要更為全面且清楚的解釋和證明。

無疑表明著他對流數法的熟悉。不過，他卻反對貝克萊出於宗教因素的批評。很快地，

貝葉斯也被任命為牧師，擔任他父親的助手。在 1733 年之前，更成為 Tunbridge Wells(距離倫敦 35 英里)地方教堂的牧師。直到 1752 年，他才從這個 位置退休，但仍繼續居住在 Tunbridge Wells。

儘管沒有任何數學的作品，1742 年貝葉斯被選 為英國皇家學會的院士。不過，這是當時的風氣：

沒有人在生前用自己的名字義發表作品，上面提及 1736 年的數學作品是匿名出版。直到他死後，才出

版有關log !z (由斯特林和棣美弗所給出)的漸近級

數之斂散性的數學研究。 托馬斯．貝葉斯 圖片出處

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk /PictDisplay/Bayes.html

HPM 通訊第十七卷第九期第九版

事實上，貝葉斯更值得注意的是他在機率論上的研究：〈《機率論》中一個問題的解 決〉(An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)，而《機率論》(The Doctrine of Chances, 1718)是棣美弗有關機率的數學著作。同樣地，在他死後，他的朋友 理查德．普萊斯(Richard Price, 1723-1791)發現此篇論文，加以重新編輯註解，於 1764 年送交英國皇家學會的《自然科學會報》(The Philosophical Transactions of the Royal Society)出版。在這篇論文中，有今日我們所熟知的條件機率之討論，以及被稱為貝氏定 理的命題。

在說明貝葉斯的論文之前，先來交待一下當時機率論的發展情形。法國貴族默勒 (Chevalier de Mere)請教巴斯卡(Blaise Pascal, 1601-1665)骰子擲點及賭金分配等問題，

引發巴斯卡與費瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665)兩人書信討論解決，奠立了機率論的基 礎。1655 年，荷蘭數學家惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695)走訪巴黎，得知巴斯 卡與費瑪兩人討論的問題，引發興趣，進而延伸討論，1657 年出版一本小冊子《論機率 博奕的計算》(On the Calculations in Games of Chance)。到十八世紀初，該書一直都是 機率論入門的著作。

伯努利(Jakob I. Bernoulli, 1654-1705)在惠更斯的基礎上，因應當時對於保險風險評 估等實際的需求，討論機率與各種實際問題的結合。在他死後 8 年，出版的《猜度術》

(Ars Conjectandi, 1713)成為機率論重要的著作。今日我們所知的大數法則、二項分佈等 概念，均在書中可見。伯努利認為任意給定誤差範圍，只要實驗次數足夠多，希望產生 的結果總數與實驗總數的比值和理論值 p 的差距就會在給定範圍內。依此，就能推估觀 測的次數。不過，他對二項分佈的近似公式取得不夠好，無法應用於實際情形上。這個 工作後來就由棣美弗完成。1733 年棣美弗發展出我們現在所說的常態曲線，作為二項分 佈的近似，改善伯努利所需觀測次數之估計(高斯及拉普拉斯後來又重新發現)。棣美弗 將此法收入 1738 和 1756 年再版的《機率論》中(此書於 1718 年初版)。

貝葉斯論文的標題〈《機率論》中一個問題的解決〉說明他的工作奠基於棣美弗的 成果上。文章開頭，就提出他想解決的問題

給定某未知事件(指發生的機率未知)發生與未發生的次數，求在一次試驗中發生的 機率值介於兩個指定機率值之間的可能性(機率)。

以現在的符號表示，令 X 為 n 次試驗中事件發生的次數， x 表事件在一次試驗中發生的 機率值， ,r s 為指定的機率且 r 。那麼，貝葉斯所求問題即為 s

( | )

P r x s X ？

貝葉斯採取公理化的體系，先給出定義，再提出命題，其中最重要的兩個命題是：

命題 3

兩個相繼發生的事件機率是一個比率，它由第一事件發生的機率，以及在第一事件 發生的條件下第二事件的機率複合而成。

HPM 通訊第十七卷第九期第一○版

命題 5

若有兩個相繼發生的事件，已知第二事件的機率為 b

N ，兩者都發生的機率為 P N 。 由於第二事件已經發生，據此我猜想第一事件也會發生，且它的機率無疑是P

b 。 令 E 表示第一事件， F 表示第二事件。那麼，命題 3 即為今日所提的條件機率的乘法原 理P E( F)P E P F E( ) ( | )，命題 5 則是貝氏定理，在 F 發生的情形下，計算

( ) ( | )

( ) P E F P E F

P F

  。

事實上，我們若將 F 視為「 n 次試驗中事件發生的次數為 X 次」的事件，E 視為「r₁  」x r₂ 的事件。貝葉斯的問題便是計算P E F( | )。因此，只要能求出P F( )和P E( F)即可。

接著貝葉斯用了一個頗為獨特的想法，據以建立機率模型進行計算。

接著，我們來看貝葉斯如何求出P F( )和P E( F)。他用了一個頗為獨特的想法，

據以建立機率模型進行計算。如圖一，考慮水平擺放一個正方形的桌面或平面 ABCD ， 將球 O 或W 拋向桌面，並假設它們落在桌面上任何相等區域內的機率相同。這時，假設 球W 先拋，過落點畫一條直線 ot 平行 AD ，分別交 CD 與 AB 於 t 和 o 。接著，球 O 被拋 擲 p q  次，如果它一次單獨拋擲中落在 AD 和ot 之間，稱為在一次試驗中發生了事n 件 M 。

圖一

為了便於接下來的說明，我們不妨設AB1。依照貝葉斯的說法，球W 的位置決 定了機率 x。同時，點 o 落在點r與 s 之間的機率可以表示為 rs 的長度。因此，在球W 拋 擲後，事件 M 的條件機率相當於 Ao 的長度。

HPM 通訊第十七卷第九期第一一版

反過來說，任何給定一個機率範圍，都能用AB上的一個區間來表示，記做 [ ,x xdx]，此時， x 值若視為球落在 ot 右側的機率，則1 x 表示球落在ot 左側的機率。

所以，在 p q  次的拋擲中，球有 p 次落在ot 右側的機率為n (1 ) (1 )

n p q n p n p

p p

yC x x C x x ^ 。

接著，貝葉斯在AB的下方畫出y C xⁿ_p ^p(1x)^{n p} 對應的曲線(承自棣美弗的成果)。

由命題 3 知道，P E( F)P E P F E( ) ( | )。因此，球W 落在區間[ ,x xdx]的上方，而球 O 有 p 次落在球W 右側的機率可以用[ ,x xdx]下方與曲線之間所圍成的區域(斜線所示) 面積表示。所以，當P E( F) P r((  x s)(X  p))即為區間[ , ]r s 下方與曲線之間所 圍的區域面積。以現在的符號即為

(1 )

s n p n p

rC xp x ^ dx



同理，P F( )P((0  x 1) (X  p))，可以表為AB與曲線之間所圍的區域面積，為

1

0C xⁿ_p ^p(1x)^{n p} dx



因此，由定理 5 可知，

( ) ( | )

( ) P E F P E F

P F

  ₁

0

(1 ) (1 )

s n p n p

r p

n p n p

p

C x x dx C x x dx





 







依此結果，我們易知：事件 M 發生的機率，只要知道一定次數的試驗中發生與不發生的 次數就能決定，不用知道更多其他的信息，透過上述面積的計算就能得到機率。

儘管貝葉斯形式上解決了這個問題，進入統計推斷的領域。但是，至少有兩個困難 亟需跨越：首先，分子和分母涉及的面積計算(積分)並不容易。再來，對於上面這個推 論的方式(等同一個思想實驗)，利用球的投擲滾動是否真的能代表實際情形嗎？而且，

貝葉斯只考慮X 0,1, 2 都具有相同的機率的情形，因為他覺得「沒有理由認為在一,n 定次數的試驗中，它發生的次數會偏向某個可能的值，而不是其他的值。」這個假設引 發不小的爭論：在不了解給定情形下發生事件的機率，就可以斷定所有可能的結果都具 有相同的機率嗎？

而且，貝氏定理的核心概念是「先驗機率 新獲得的資訊 更新後的後驗機率」。這 與二十世紀初期方興未艾，以頻率論(frequentism)為核心概念的統計學是相抵觸。可想 而知，貝氏定理被長期冷落也就不意外。不過，進入二十一世紀，基於貝氏定理所發展 的各式應用卻充斥在我們四周，如 Google 搜索篩選詞條到無人駕駛汽車判斷自己的行 駛位置等等。這又是另一段很長的故事，有興趣的讀者，可以參閱 Sharon McGrayne

HPM 通訊第十七卷第九期第一二版

所寫的《不死的定理》(The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, and Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press, 2011. )

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《HPM 通訊》駐校連絡員 日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 基隆市：許文璋（南榮國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）

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（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）

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桃園縣：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川、林典蔚（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

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南投縣：洪誌陽（普台高中）

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高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）張復凱（金門高中） 馬祖：王連發（馬祖高中）

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