答案 解析： (1)原式 3 3 6 3 3

高雄市明誠中學  高一數學平時測驗        日期：104.09.17 

範  圍 

數與數線(A) 

班級  一年____班  姓 名

座號   

一、填充題(每題 10 分) 1. 化簡下列各式：

(1) 3

27 3 12

  4  ________.

(2)( 2 3 2)( 2  3 2) ________.

(3)(4 2 3)(4 2 3)  ________.

答案： (1) ^{5 3} 2

 (2) 4 3 5 (3)4

解析： (1)原式 3 3 6 3 ³

   2 5 3

2



(2)原式[ 2 ( 3 2)][ 2 ( 3 2)]    2 ( 3 2)2

     2 (3 4 3 4) 4 3 5 (3)原式 16 12 4  

2. 化簡下列各式：

(1)( 3 6)³ ________.

(2)(3 2)(2 18)________.

(3)(3 2 6)² ________.

答案： (1) 21 3 15 6 (2) 7 2 (3) 24 12 3

解析： (1)原式 3 3 3 3 6 3 3 6 6 6      21 3 15 6 (2)原式 (3 2)(2 3 2)  6 9 2 2 2 6 7 2   (3)原式 18 6 12 6   24 12 3

3. 試求下列各值：

(1)(x1)(x³x²   ________. x 1) (2)(x1)(x⁴x³x²   ________. x 1) (3)(x³x² x 1)(x³x²    ________. x 1) 答案： (1)x⁴1 (2)x⁵1 (3)x⁶x⁴x²1

解析： (1)原式(x⁴x³x² x) (x³x²  x 1) x⁴ 1

(2)原式(x⁵x⁴x³x² x) (x⁴x³x²  x 1) x⁵ 1 (3)原式[(x³ 1) (x²x)][(x³ 1) (x²x)]

3 2 2 2

(x 1) (x x)

    x⁶2x³ 1 (x⁴2x³x²)x⁶x⁴ x²1 4. (1)化簡：(^{1 5})³ (^{1 5})³

2 2

   ________.

(2)若 7 7 7 x

 , 1

y 7 1

 ，則x³y³  ________.

答案： (1)4 (2)¹¹ 54

解析： (1)原式 1 3 5 15 5 5 1 3 5 15 5 5

2 2 4

8 8

     

    

(2) ₂^{7 1 7 1}

( 7) 7 7 1 6

x   

 

7 1 7 1

( 7 1)( 7 1) 6

y   

 

( 7 1) ( 7 1) 1 ( 7 1)( 7 1) 1

6 3; 36 6

x y     xy   

∴x³y³(xy)³3(x y x )( y) 1 ³ 1 1 ( ) 3

3 6 3

    11

54 5. 試以分數表示：

(1)1.54 ________.

(2)1.54 0.83  ________.

答案： (1)¹⁷

11 (2)¹⁵⁷ 66

解析： (1)設x1.54, 則100x154.54

∴99x153 ^{153 17} 99 11

 x 

(2)設y0.83 則100y83.3, 10y8.3

∴90y75 75 5 90 6

 y 

所求 ^{17 5 157}

11 6 66 x y

    

6. 若a 3 6, b2 2 7, c 10 5，則 a, b, c 之大小順序為________.

答案： c a b 

解析： a²  9 6 6 6 15 6 6  

2 8 4 14 7 15 4 14

b     

2 10 2 50 5 15 10 2

c     

又(6 6)² 216

(4 14)² 16 14 224  (10 2)² 200

故c² a² b²    c a b 7. 試求下列各值：

(1)(2 3)²⁰⁰⁹(2 3)²⁰¹⁰ ________.

(2)99² 100¹

3 3________.

(3)22.5²22.5 5 2.5  ² ________.

答案： (1) 2 3 (2)⁸⁹⁹⁹⁹

9 (3)400

解析： (1)原式(2 3)[(2 3)(2 3)]²⁰⁰⁹ (2 3)(4 3) ²⁰⁰⁹  2 3 (2)原式(100¹)(100¹) 1

10000

  89999

(3)原式22.5² 2 22.5 2.5 2.5  ² (22.5 2.5) ² 20² 400 8. 若  2 a 3, 1 b 4，則(1)ab 的範圍______.(2)^a

b的範圍為______.

答案： (1) 8 ab12 (2) 2 a 3

  b

解析： (1)  2 a 3, 1    b 4 8 ab12 (2) 2 3, ^{1 1} 1 2 3

4 a a

b b

         9. 將⁴

7化為小數，小數點後第100 位數字為__________

答案： 4

解析： ⁴ 0.571428571428 0.571428

7   ∵100 6 16 4   ，∴所求4

10. 設a 3 2 2 ，則a^{3 1}₃

a 之值為__________．

答案： 14

解析： a 3 2 2  ( 2)² 1² 2 2  ( 2 1) ²  2 1

1 1 1

2 1 2 1 ( 2 1) 2

2 1 a

a      a    



∴ ³ 1₃ 1 ³ 1 1

( ) 3( )( )

a a a a

a a a a

      (2)³  3 1 214

11. a b, 均為正數，若ab20，且aa₀時，5a3b有最小值 m ，則數對( , )a m₀  _________．

答案： (2 3, 20 3) 解析： 由算幾不等式

得^{5 3} 15 10 3 5 3 20 3 2

a b

ab a b

     

∴5a3b的最小值為20 3

當等號成立時，5a3b10 3 a 2 3 故數對( , ) (2 3, 20 3)a m₀ 

12. 小明用鐵絲網要在河岸圍出一塊長方形的花圃，若沿河岸的一邊不圍，若小明要花圃的面積為 450 平方公尺，則至少要_________公尺的鐵絲網．

答案： 60

解析： 如圖，設所圍長方形的長，寬分別為a b, 公尺 依題意，ab450 由算幾不等式

得 ² 2

2 a b

 ab

  a 2b2 900 60 ∴所求最少要60 公尺的鐵絲網 13. 若 41 12 5  x y，其中 x 為整數，且0 y 1，則 4

y  _________． y

答案： 2 5

解析： 41 12 5  41 2 180  ( 36)²( 5)²2 36 5  ( 36)²( 5)²  6 5 3. 

∴x3,y(6 5) 3 3   5

4 4

(3 5)

3 5 y  y 



4(3 5)

(3 5) 2 5

4

     

14. 設 x ，y為有理數，若(x2 3)(2 3) 6  y 3，則 x ，y ． 答案： 6；2

解析： (x2 3)(2 3) 2 x 6 x 3 4 3 6  y 3

∵x，y，∴ 2 6 6 6

4 2

x x

x y y

  

 

     

 

15. 設a b, 為實數，且 a b  3 (3a2b4)²  ，則數對0 ( , )a b  ． 答案： (2,5)

解析： 3 0 2

3 2 4 0 5

a b a

a b b

   

 

     

  ^{故數對}( , ) (2,5)a b 

16. 設a 7 47，則 a 在哪兩個連續整數之間？答： ． 答案： 3  a 4

解析： a 7 47  7 7 4  ^，且a 7 47  7 6 3  故3 a 4

17. 設p(a²22a121)(a²2a137)，其中 a 為正整數，若 p 為質數，則p______。

答案： 257

解析： a²2a137 ( a1)² 136 1 且 p 為質數

∴a² 22a121 1  a 10或12

(1)當a10則p217 7 31  不為質數 (2)當a12則p257

∴p257

18. 設 a, b 為有理數，且(ab 2)(1 2 2)   1 5 2，則 a______，b  ______.

答案： 3,1

解析： 1 5 2 2 2 1 21 7 2

2 3 2

1 2 2 2 2 1 7

a b         

  ∴a3,b 1 19. 設 x, y 是有理數，且 7 4

6 3  x y，其中x0,y0，則 x ______，y______.

答案： ² 3,¹

2

解析： 7 4 7 48 7 2 12 3 4 3 4 1 2

6 3 6+ 36 6 6 6 6 2 3

 

        ∴

1 2 2 3 x

y

 

 



或 2 3 1 2 x

y

 

 



20. 設數線上三點A( 3), (5), (0) B O ，以AB為直徑做一半圓，過原點 O 作數線的垂線交半圓於 C ，

再以 O 為圓心， OC 為半徑畫弧，交數線右側一點P，則點P的坐標為__________．

答案： 15

解析： 如圖，OA3,OB5OC AB

∴OPOC OA OB  3 5  15故點P的坐標為 15 21. 化簡 6 35 為 ．

答案： ^{14 10} 2



解析： 12 2 35 7 5 14 10

6 35

2 2 2

  

   

22. 有一最簡正分數，其分子與分母之和為 80，將其化為小數並用四捨五入法計算後得 0.7，則此 最簡分數為______.

答案： ³³ 47

解析： 設分子 a 分母 b a b 80

0.65 a 0.75 0.75 0.65

b a b

 b   

1.75b a b 1.65b 1.75b 80 1.65b

      

45.7 b 48.4 b 46( ), 47, 48( )

 …  …  不合 不合

47, 33, b a

∴ 分數為³³

47 23. 設 3 1 3 1

3 1, 3 1 a  b 

  ，試求

2 2

b a

a  b 的值為_________．

答案： 52

解析： 3 1 3 1

, , 1

3 1 3 1 a  b  ab

 

2 2

( 3 1) ( 3 1) 8 2 4 ( 3 1)( 3 1)

a b   

   

 

∴

2 2 3 3

3 3

b a b a

a b

a b ab

     (a b )³3 (ab a b ) 64 12 52  

24. 設a b c d, , , 均為實數，若a²b²c²d² 7 2a4b2c2d，則 a b c d   之值為_________．

答案： 1

解析： a²b²c²d² 7 2a4b2c2d

2 2 2 4 2 2 2 2 7 0

a a b b c c d d

         

2 2 2

(a 2a 1) (b 4b 4) (c 2c 1)

         (d²2d  1) 0

2 2 2 2

(a 1) (b 2) (c 1) (d 1) 0

        

∵a b c d, , , 均為實數 ∴

1 0 2 0 1 0

1 0 a b c d

  

  

  

  



 1

2 1 1 a b c d

 

  

  

 



∴a b c d         1 2 1 1 1

25. 設x0,y0，且2x5y21，求x y 之最大值為__________，此時數對² ( , )x y __________．

答案： ³⁴³, (7, )⁷

5 5

解析： 由算幾不等式

得 5 ³5 ² 7 ³5 ²

3 x y

x x y

  x y

  

2 34 2 43

5 3 35

y

x x y

    ∴x y 的最大值為^{2 343}

5

當等號成立時 5 7 7, ⁷

x x y  x y5 26. 若 a 為正整數，且^{5 12}

2 3 a

a



 亦為正整數，則 a______。

答案： 2,3,8,21

解析： 2a3 5a ……12 2a3 2a ……3

∴2a3 2(5a12) 5(2 a 3) 2a3 39

∴2a 3 1,3,13,39 2,3,8, 21

a

27. 若正實數 a 的小數部分為 b ，若a²3b² 20，則 a b  ______________。

答案： 4

解析： 0   b 1 0 b²   1 0 3b² 3……

2 3 2 20 17 2 20

a  b   a  ……

∴ 17 a 20   a 4 b

∴a² 3b² 20(4b)²3b² 20

2 1 2

2 2 0

3 2 b b b

a

   

    

   ∴a b  4