完美圖
張鎮華
I. Gessel 和 G.-C. Rota 在 1987 年編輯“Classic Papers in Combinatorics”一 書, 收集了三十九篇從1930年以來影響組合數學極深遠的文章。 這些文章長者達六十三 頁, 短的只有一頁 (事實上只有五行證明)。 本文旨在從頭闡述 L. Lov´asz 有關完美圖 的四頁著作 (見第447至450頁)。
1. 圖論源起
圖論源自 Euler 1736 年為解答克尼斯 堡橋問題而寫的一篇文章, 其後的兩百年間, 在電路及化學等各領域中, 人們用相類似的 概念, 但不同名稱, 來解釋各自的問題, 可 謂圖論的春秋戰國時代。 1936 年 Konig 寫 出第一本圖論的書, 這門學問遂堂堂進入一 統大業, 自此之後, 各式各樣有關圖論書籍及 雜誌文章出現, 圖論成了組合數學的一大支。
若干基本內容已成為大部份書籍共同的基礎, 本文所要討論的完美圖相關的著色數和點團 數就是例子。 且聽細說。
一個圖是一有序對G = (V, E), 其中 V 是非空有限集, 其元素稱為該圖的(頂) 點, E 是一些 V 的二元素子集的集, 其元素稱為該 圖的邊。 為簡便我們常將邊 {x, y} 寫成 xy
或 yx。 當 xy 為一邊時, 我們稱點 x 和點 y 相鄰, 點 x 和邊 xy 相鄰, 點 y 和邊 xy 相 鄰。
為了視覺上的方便, 我們常畫圖來表示 上述用集合定義的圖, 我們在平面上用一點 或一小圈來代表圖的一點, 用連接兩點的曲 線來代表一邊。 舉例來說, 圖 1 就是下述圖 G = (V, E) 的畫圖表示:
V = {a, b, c, d, e, f },
E = {ac, ad, bc, cd, de, cf, df }
1
圖1: G = (V, E)
若 S ⊆ V , 由 S 誘導出來的子圖 GS = (S, Es), 其中
ES = {xy ∈ E : x ∈ S 且 y ∈ S}。
而 G − S 則是指GV−S, 也就是將 S 從 圖中去除, 並將與 S 的點相鄰的邊也一齊去 掉。G − {x} 常簡寫為 G − x。
圖2: G{a,b,c,f }
圖 G = (V, E) 的補圖 G = (V, E), 其中
E = {xy : x 6= y, x ∈ V, y ∈ V, xy 6∈ E}。
圖3: G = (V, E)
2. 四個基本參數
下面這四個基本概念, 是圖論中常見且 重要的, 它們是完美圖理論的源頭。
圖中的一兩兩相鄰 (不相鄰) 的點集叫 做點團集(獨立集)。 例如, 圖1 中, {a, c, d}
為一點團集, 而 {a, b, e, f } 為一獨立集。 圖
的點團集是其補圖的獨立集, 而其獨立集是 其補圖的點團集; 是故, 此二概念實乃同一概 念。 定義
點團數µ(G): G 中最大點團集的點數, 獨立數α(G): G 中最大獨立集的點數。
對任一圖 G, 下式恆成立:
µ(G) = α(G) 且 α(G) = µ(G)。
圖 G = (V, E) 的著色數 χ(G)(點團 覆蓋數 θ(G)) 是使得我們可以將 V 分割成 k 個獨立集 (點團集) 的最小正整數k。 著色 數的另一個看法是, 我們可以用 k 種顏色塗 點, 使得同色的點必不相鄰, 也就是說, 同一 色的點構成一獨立集。 這兩個參數從補圖的 角度來看, 也是一體的兩面, 我們也有:
χ(G) = θ(G) 且 θ(G) = χ(G)。
圖4: 圖1 中 G 的 3 色塗法
就因為有上述補圖中相等的性質, 為了 節省, 我們以下只討論 µ 和 χ 這兩個參數, 配合上 G 和 G, 實際上就有四種概念。
引理1: 對任何圖 G, χ(G) ≥ µ(G) 恆 成立。
證:設V 被分割成獨立集S1, S2, · · · , Sk
其中 k = χ(G), 而C是大小為µ(G) 的點 團集。 由定義知每個 Si 包括 C 中最多一點, 是故 k ≥ |C|, 引理由此得證。
圖 5 所示的 5 圈 C5是一使得引理 1 的 不等式真正不等的例子, 一般而言長度大於 4 的奇圈 C2n+1 (n ≥ 2) 均有此性質。
圖5: χ(C5) = 3 > 2 = µ(C5) 尤有甚者, 我們可以找出很多例子, 使得 χ(G) 和 µ(G) 的差很大, 例如用 n 個 C5
聯合所成的 nC5 其補圖 nC5 恆有:
χ(nC5) = 3n > 2n = µ(nC5)。
3. 完美圖源起
引理 1 一般稱為弱對偶不等式, 一個相 關的問題是如何刻劃等式成立時 G 該有的條 件, 許多其它的經驗告訴我們, 當對偶等式成 立時, 圖大多有美好的性質。 但是對 χ 和 µ 而言, 光是要求 χ(G) = µ(G), 事實上不夠。
舉例來說, 假若 G = (V, E) 為任一圖 (可以 是一內在很亂毫無架購的圖), 設 G 有 n 個 點, 考慮有 n 個點的完全圖 Kn (圖中的點 兩兩相鄰), 則對 G 和 Kn 的聯集 G ∪ Kn
恆有
χ(G ∪ Kn) = n = µ(G ∪ Kn)。
意思是說 χ 和 µ 值相等的圖中也可能藏有極 壞的子圖。 因此之故, 我們實在有要求所有誘 導子圖的 χ 等於 µ 的必要。 所以 C. Berge 在 1958 年定義: G 為完美圖若對 G 的所 有誘導子圖 H 恆有 χ(H) = µ(H)。 事實上
Berge 原來有兩個定義: χ 完美圖就是這裡 的完美圖, θ 完美圖則是指其補圖為 χ 完美 圖, 我們只用一個概念是一簡化。
完美圖最大的不協調者是奇洞, 也就是 長度大於 4 的奇圈 Cn, 其中 n 為 ≥ 5 的 奇數, 另一則為反奇洞, 即是奇洞的補圖 Cn, 其中 n 為 ≥ 5 的奇數。 因為當 n ≥ 5 為奇 數時,
χ(Cn) = 3 > 2 = µ(Cn) 且
χ(Cn) = (n+ 1)/2 > (n−1)/2 = µ(Cn), 所以有
引理2: 完美圖不含奇洞及反奇洞。
有許多經驗都顯示引理 2 的逆敘述成 立, 而在這些例證中也一再的顯示, G 和 G 或者同時為完美圖, 或者同時不為完美圖, 基 於種種經驗, Berge 在 1958 寫下兩個有關 完美圖的猜測, 這一序列的理論遂展開序幕。
(C1) G 為完美圖若且唯若 G 為完美 圖。
(C2) G 為完美圖若且唯若 G 不含奇 洞及反奇洞。
以上這兩個猜測中, (C1) 若有一方向成 立, 另一方向自然成立, (C2) 的一方向就是 引理 2, 故只要證明反方向。 有趣的是, (C2) 可以推得 (C1), 理由是, 當 (C2) 成立時:
G 為完全圖
⇐⇒ G 不含奇洞及反奇洞(C2)
⇐⇒ G 不含反奇洞及奇洞
⇐⇒ G 為完全圖(C2)
所以, 史上稱 (C1) 為完全圖的弱猜測, 而 (C2) 為完全圖強猜測。(C1) 已於 1971 年 被 L. Lov´asz 證出來 [4], 本文一開頭所介紹 的 Lov´asz 的文章, 是第二種證法, 其精神和 Fulkerson [2] 的 anti-blocking 多面體理論 實為同一物。 另一方面, (C2) 則歷經三十餘 年仍不得解, 許多理論及文章, 繞此打轉, 但 終不得其門而入。 今年元月在 DIMACS 召 開的完美圖研討會, 其專精的程度已非普通 圖論學者所能立即入門。
4. 完美圖的第一位證人
最早被驗證完美圖的兩個猜測成立的圖 類是區間圖。 在實數軸上選取 n 條閉區間 Ii = [ai, bi], 其中 1 ≤ i ≤ n, 造如下的 圖 G = (V, E):
V = {v1, v2, . . . , vn},
E = {vivj : i 6= j 且 Ii∩ Ij 6= φ}。
這樣的圖 G 稱為這 n 條閉區間產生的區間 圖, 這些閉區間則稱為區間圖 G 的區間代表。
圖六: 區間圖及其區間代表
為驗證完美圖的兩個猜測對區間圖成立, 我 們必須證明, 對任一區間圖 G 恆有:
(1) G 為完美圖;
(2) G 為完美圖;
(3) G 不含 C2n+1 及 C2n+1, n ≥ 2。
因為區間圖的任一誘導子圖也是一區間圖, 所以我們只須證明, 對任一區間圖 G 恆有:
(甲) χ(G) = µ(G);
(乙) χ(G) = µ(G), 亦即 θ(G) = α(G);
(丙)C2n+1和C2n+1都不是區間圖,n ≥ 2。
我們採取下述的 「演算證明法」 來解釋 (甲)。 在這方法裡, 我們找出一種用 k∗ 色來 塗點, 同時找到至少有 k∗ 點的點團集 C∗, 由 定義及引理 1
k∗ ≥ χ(G) ≥ µ(G) ≥ |C∗| ≥ k∗。 所以這些不等式事實上都是等式, 而上述的 塗色法是最佳的塗法, C∗ 是最大點團集。
在下述的方法裡, 我們用區間代表來代 替區間圖 G, 所以點就以區間表式, 塗色就 是要將每個區間塗一顏色, 使相交的區間塗 不同色, 點團集則相當於兩兩相交的一些區 間的集。 塗色及找點團的演算法如下:
(1) 將 n 個區間依右端點從小到大排序, 為 方便計假設 b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn; (2) i 從 n 到 1 逐次執行 (3)
(3) 假設 k 是沒有用來塗某一與 Ii 相交區 間的最小正整數, 將 Ii 塗 k;
(4) 若 k∗ 是上述用過最大顏色數, 而且 Ii∗
被塗 k∗, 令 C∗ 為包含 bi∗ 的所有區間 所成的點團集。
舉例來說, 圖 6 的區間圖 G 裡, b1 < b2 < b3 < b4 < b5 < b6
k k k k k k
3 6 8 9 11 13
首先, 將 I6 塗 1; 其次 I5 和 I6 相交, 所以 I5 塗 2; 再來 I4 和 I5 相交, 所以塗 1; 再來 I3 和 I4 及 I5 相交, 所以 1 和 2 不能用, 只 能塗 3; 接著 I2 塗 1; 最後 I1 也塗 1。 當所有 區間塗完顏色後, k∗ = 3, 相對應的 i∗ = 3, C∗ = {I3, I4, I5}。 的確, 這是一個正確的著 色法, C∗ 是一點團集, 而且 |C|∗ = 3。
對一般的區間圖 G, 當上述演算法完成 時, 首先, 因為步驟 (3) 的著色方法, 相交的 區間顯然塗不同色。 其次, (4) 中選出來的集 C∗ 為點團集, 因為 C∗ 中每一區間均含 bi∗。 最後, 由於 (3) 的方法, 當我們執行 (2) 到 i = i∗ 時, 對任一 m ∈ {1, 2, · · · , k∗ − 1}
均能找到某一和 Ii∗相交且 bim ≥ bi∗ 的 Iim 使得 Iim 已經塗上 m 這色, 此時 Iim 必然 包含 bi∗ 這個實數, 是故, C∗ 至少包括含 bi∗
的 k∗ 條區間:
Ii∗, Ii1, Ii2, . . . , Iik∗−1。 亦即 |C∗| ≥ k∗。 因此我們證明了 (甲)。
和上述相仿, 但由 I1 檢察到 In, 亦可 證明 (乙)。 為方便起見, 對任一實數 x, 我們 用 C(x) 表示這 n 條區間中含 x 的所有區
間所成的集合, C(x) 顯然為一點團集。 為了 證明 (乙), 考慮下面的演算法:
(0) C ← φ; S ← φ;
(1) 將 n 個區間依右端點從小到大排序, 為 方便計假設 b1 ≤ b2 ≤ . . . bn;
(2) i 從 1 到 n 逐次執行 (3)
(3) 當 Ii 不和 S 中任一區間相交時, 將 C(bi) 加入 C 中, 將 Ii 加入 S 中。
還是用圖 6 的區間圖來說明。 最初, C 和 S 均為空集合; i = 1 時, 將 C(3) = {I1, I3} 加入 C 中, I1 加入 S 中; i = 2 時, 將 C(6) = {I2, I3} 加入 C 中, I2 加入 S 中; i = 3 時, 不加東西; i = 4 時, 將 C(9) 加入 C 中, I4 加入 S 中; i = 5 時, 不加東 西; i = 6 時, 將 C(13) 加入 C 中, I6 加入 S 中。 最後
C∗ = {{I1, I3}, {I2, I3}, {I4, I5}, {I6}}
為一點團覆蓋,
S∗ = {I1, I2, I4, I6} 為一獨立集。
一般而言, 假設上述演算法結束時 C∗ = {C(bi1), C(bi2), . . . , C(bim)}
S∗ = {Ii1, Ii2, . . . , Iim}
由 (3) 的選法, S∗ 顯然為一獨立集。 而 C∗ 中的每一點團集 C(bij) 均含 Iij, 同一點團 集不能含 S∗ 中兩個不同點, 所以
|C∗| = m = |S∗|
成立。 最後我們要說明 C∗ 是一點團覆蓋, 也 就是任一區間 Ii 均在最少某一 C(bij) 中。
當演算法執行 (3) 時有兩種可能; 一種是 Ii
不和 S 中任一區間相交, 此時 C(bi) 被放入 C 中, 所以得證; 另一可能是 Ii 和 S 中某一 區間 Iij 相交, 因為 bi ≥ bij, 所以 Ii 包含 bij, 也就是 Ii 在 C(bij) 中, 但 C(bij) 顯然 在 C 內, 故得證。 因此我們證明了 (乙)。
最後來證明 (丙)。 我們其實可以證明更 一般的結果:
(丙1) Cn 不是區間圖, n ≥ 4。
(丙2) Cn 不是區間圖, n ≥ 5。
假設 Cn 是 x1x2. . . xnx1, 其中 xi 和 xi+1 相鄰 (xn+1 視為 x1), 其他不相鄰。 假若 Cn (n ≥ 4) 是區間區, xi 所對應的區間 Ii = [ai, bi], 1 ≤ i ≤ n。 為方便計, 假設 b2 ≤ 其他任何 bi, 因為 I1 和 I3 均與 I2 相交, 且 b2 ≤ b1, b2 ≤ b3, I1 和 I3 均含 b2, 也就是 x2 和 x3 相鄰, 和假設矛盾。 假 設 Cn (n ≥ 5) 是區間圖, xi 所對應的區間 Ii = [ai, bi], 1 ≤ i ≤ n, 也假設 b2 ≤ 其他 任何 bi, 因為 I4 和 I5 均和 I2 相交, 因此都 含 b2, 所以 x4 和 x5 相鄰, 矛盾。(丙) 證明 完證。
上述的證明方法其實與原始證明很不 同, 卻是對偶理論的極佳例子。
事實上, 由於對 (丙 1) 及 (丙 2) 等相 關的研究, 弦圖(chordal graph 或 trian- gulated graph) 及比較圖(comparability graph) 等也逐漸為人研究, 參見 [3]。 到目 前為止, 為人熟知的完美圖已有許多種類。
5. 本題
現在回歸到本文開始所說的四頁證明, 也就是要證明完美圖弱猜測: G 為完美圖若 且唯若 G 為完美圖。 假設用 |G| 表示 G 的 頂點個數, Lov´asz 其實證明下述定理, 從而 完美圖弱猜測立即得證。
定理3: G 為完美圖若且唯若對 G 的任 一誘導子圖 G′ 恆有 µ(G′)µ(G′) ≥ |G′|。
證: (=⇒) 假設 G 是完美圖, 對任一 誘導子圖 G′, χ(G′) = µ(G′), 所以可以 將 G′ 的頂點分割成 µ(G′) 個獨立集, 每 個獨立集最多只含 µ(G′) 點, 所以不等式 µ(G′)µ(G′) ≥ |G′| 成立。
(⇐=) 反之, 我們將用數學歸納法證明 G 為完美圖, 因此我們可以假設比 G 小的 G 的誘導子圖及其補圖均為完美圖。
將一頂點 x 複製 h 遍 (h ≥ 0) 的意思 是將 x 換成 h 個獨立頂點, 他們都和原來 x 相鄰的點相鄰。 這個概念和 D.R. Fulkerson 所提出來的 「多完美」 概念類似。 首先我們證 明
(∗) 如果 G0 是由 G 複製一些頂點所 成, 則
µ(G0)µ(G0) ≥ |G0|。
假設 (∗) 不成立, 而 G0 是最小的反例, 則 G 有一頂點 y 被複製 h ≥ 2 次; 假如 y1, y2, . . . , yh 是 G0 中對應的點, 則
µ(G0− y1)µ(G0− y1) ≥ |G0| − 1, 由於 G0 的選法,
µ(G0)µ(G0) ≤ |G0| − 1,
因此
µ(G0) = µ(G0− y) = p, µ(G0) = µ(G0− y) = r,
|G0| = pr + 1。
令 G1 = G0 − {y1, . . . , yh}, 則 G1
是由 G − y 複製一些頂點所成, 由 [1]
的定理 1, G1 為完美圖, 所以 G1 能被 µ(G1) ≤ µ(G0) = r 個不相交的點團集 C1, C2, . . . , Cr 覆蓋, 設 |C1| ≥ |C2| ≥ . . . ≥ |Cr|。
顯然 h ≤ r。 由於 |G1| = |G0| − h = pr − 1 − h, 所以
|C1| = . . . = |Cr−h+1| = p。
令 G2 是用 C1∪ . . . ∪ Cr−h+1∪ {y1} 所誘 導出來 G0 的子圖, 則
|G2| = (r − h + 1)p + 1 < |G0|;
所以, 由 G0 的選法,
µ(G2)µ(G2) ≥ |G2|。
又因為 µ(G2) ≤ µ(G0) = p, 所以 µ(G2) ≥ r − h + 2。
令 F 是 G2 中含 r − h + 2 點的獨立集, 則
|F ∩ Ci| ≤ 1 (1 ≤ i ≤ r − h + 1), 所以 y1 ∈ F 。 因此可以知道 F ∪ {y2, . . . , yh} 是 G0 中的獨立集。 但另一方面
|F ∪ {y2, . . . , yh}| = r + 1 > µ(G0)
是一矛盾。 所以 (∗) 得證。
接下來我們要證明 χ(G) = µ(G)。 為 證此, 我們事實上只須找到一獨立集 F 使得 µ(G − F ) < µ(G) 成立就可以; 這個道理是 因為由歸納法假設, G − F 可以用 µ(G) − 1 色塗完, 加上 F , G 可以用 µ(G) 色塗完。
假設對 G 的任一獨立集 F , G − F 恆 包含一大小為 µ(G) 的點團集 CF, 對任何 x ∈ G, 用 h(x) 表示含 x 的 CF 的個數, G0 是將 G 的每個點 x 複製 h(x) 次所得到 的圖, 由 (∗) 可知
µ(G0)µ(G0) ≥ |G0| 另一方面, 顯然
|G0| =X
x
h(x) =X
F
|CF| = pf, 其中 f 表示 G0 所有獨立集的個數。 再者
µ(G0) ≤ µ(G) = p, µ(G0) = max
F
X
x∈F
h(x)
= max
F
X
F′
|F ∩ CF′|
≤ max
F
X
F′6=F
1 = f − 1。
得到矛盾。 證畢。
6. 參考資料
1. C. Berge, Farbung von Graphen, deren s¨amtliche bzw. deren ungerade Kreise starr sind, Wiss. Z. Martin- Lurther-Univ., Halle-Wittenberg Math.-Natur, Reihe(1961), 114-115.
2. D. R. Fulkerson, Blocking and an- tiblocking pair of polyhedra, Math.
Programming 1 (1971), 168-194.
3. M. C. Golumbic,Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Academic Press, 1980.
4. L. Lov´asz. Normal hypergraphs and
the perfect graph conjecture, Discrete Math. 2 (1972), 253-267.
—本文作者任教於交通大學應數系—
