答案： ∈ 01. 完成下列表格： 高中數學第四冊二下 第一章_圓錐曲線1-4_雙曲線

高中數學第四冊二下

第一章_圓錐曲線1-4_雙曲線 01.完成下列表格：

雙曲線Γ ^{9x2－16y2＝144 4x2－9y2＋36＝0} 中 心

焦 點 頂 點 正焦弦長 貫軸方程式 共軛軸方程式 貫軸長 共軛軸長 漸近線

P∈Γ，L1，L2 表 示兩漸近線，

d（P，L1）×

d（P，L2）

雙曲線Γ ^4x

2－y²＋8x＋4y

＋4＝0

│

（ x － 5 ）

＋ y

2

2

y

5 x ＋ ） ＋

（

＝8

中 心 焦 點 頂 點 正焦弦長 貫軸方程式 共軛軸方程式 貫軸長 共軛軸長 漸近線

P∈Γ，L1，L2 表 示兩漸近線，

d（P，L1）×

d（P，L2） 答案：

雙曲線Γ ^{9x2－16y2＝144 4x2－9y2＋36＝0} 中 心 ^{（0，0） （0，0）}

焦 點 ^{（±5，0）} （0，±

13

頂 點 ^{（±4，0） （0，±2）}

正焦弦長

2

9

貫軸方程式 ^{y＝0 x＝0}

共軛軸方程式 ^{x＝0 y＝0}

貫軸長 ^{8 4}

共軛軸長 ^{6 6}

漸近線

⎩ ⎨ ⎧

0 y 4 x 3

0 y 4 x 3

＝

－

＝

＋

⎩ ⎨

⎧

0 y 3 x 2

0 y 3 x 2

＝

－

＝

＋

P∈Γ，L1，L2 表 示兩漸近線，

d（P，L1）×

d（P，L2）

25 144

13 36

雙曲線Γ ^4x

2－y²＋8x＋4y

＋4＝0

│

（ x － 5 ）

＋ y

2

2

y

5 x ＋ ） ＋

（

＝8

中 心 ^{（－1，2） （0，0）}

焦 點 （－1，2±

5

（－5，0）

頂 點 ^{（－1，0），（}

－1，4）

（4，0），

（－4，0）

正焦弦長 ¹

2 9

貫軸方程式 ^{x＝－1 y＝0}

共軛軸方程式 ^{y＝2 x＝0}

貫軸長 4 8

共軛軸長 2 6

漸近線

⎩ ⎨ ⎧

0 4 y x 2

0 y x 2

＝

＋

－

＝

＋

4 3

P∈Γ，L1，L2 表 示兩漸近線，

d（P，L1）×

d（P，L2）

5 4

25 144

02.試判斷下列方程式圖形：

(１)│ （x－1）²＋（y－1）²－ x²＋（y＋1）² │＝3。

(２)│ （x－1）²＋（y－1）²－ x²＋（y＋1）² │＝ 5 。 (３)│ （x－1）²＋（y－1）²－ x²＋（y＋1）² │＝2。

答案：令 F1（1，1），F2（0，－1），F₁F₂＝ 5 ，P（x，y）

(１)│PF －1 PF │＝3＝2a，2 F1F2＜2a ，沒有圖形 (２)│PF －₁ PF │＝ 5 ＝2a，₂ F₁F₂＝2a，兩射線 (３)│PF －1 PF │＝2＝2a，2 F1F2＞2a，雙曲線 答：(１)沒有圖形；(２)兩射線；(３)雙曲線 03.(１)試證：雙曲線 ₂

2

a x － ₂

2

b

y ＝1（a＞0，b＞0）上任一點至兩條漸近線之距離乘積為 _{2 2}

2 2

b a

b a

＋ 。 (２)雙曲線 x²－4y²＝4 上任一點至兩條漸近線之距離乘積為何？

答案：(１)設漸近線方程式為 ₂

2

a x － ₂

2

b

y ＝0⇒ 兩條漸近線為

⎩⎨

⎧

0 ay bx L

0 ay bx L

2 1

＝

－

：

＝

＋

：

令 P（x0，y0）∈Γ： ₂² a x － ₂

2

b

y ＝1 ⇒ b²x02－a²y02＝a²b²

所求 d（P，L1）×d（P，L2）＝ ⁰_{2 2}⁰ b a

ay bx

＋

∣

＋

∣ × ⁰_{2 2}⁰ b a

ay bx

＋

∣

－

∣ ＝ _{2 2}

2 0 2 2 0 2

b a

y a x b

＋

－ ＝ _{2 2}

2 2

b a

b a

＋ (２)x²－4y²＝4 ⇒

4 x²

－ 1 y²

＝1 ⇒ a²＝4，b²＝1，所求為 _{2 2}

2 2

b a

b a

＋ ＝ 1 4

1 4

＋

× ＝ 5 4

答：(２) 5 4

04.一雙曲線之兩漸近線為 x－y＋3＝0 與 x＋2y－2＝0，且過（1，3），則此雙曲線的方程式為【

】。

答案：（x－y＋3）（x＋2y－2）＝5

解析：設雙曲線方程式為（x－y＋3）（x＋2y－2）＝k，過（1，3）

（1－3＋3）（1＋6－2）＝k ∴k＝5

∴所求為（x－y＋3）（x＋2y－2）＝5

05.一雙曲線的方程式為 9x²－4y²＋18x＋12y－144＝0，則：

(１)中心坐標為【 】。

(２)其兩漸近線方程式為【 】。

(３)其共軛雙曲線為【 】。

答案：(１)（－1，

2

3）；(２) 3x＋2y＝0，3x－2y＋6＝0；(３)9x²－4y²＋18x＋12y＋144＝0

解析：(１) 9（x²＋2x＋1）－4（y²－3y＋

4

9）＝144 ⇒ 9（x＋1）²－4（y－

2

3）²＝144

⇒ 16 1 x＋）²

（ －

362 y－3）²

（

＝1，中心為（－1，

2 3）

(２)漸近線方程式為 16

1 x＋）²

（ －

36 2 y－3）²

（

＝0

⇒ 4 1 x＋ ＋

62 y－3

＝0 或 4

1 x＋ －

62 y－3

＝0⇒

⎩⎨

⎧

0 6 y 2 x 3 L

0 y 2 x 3 L

2 1

＝

＋

－

：

＝

＋

：

(３)共軛雙曲線為 16

1 x＋）²

（ －

362 y－3）²

（

＝－1⇒ 9x²－4y²＋18x＋12y＋144＝0 06.已知雙曲線Γ 與

4 x²

－21 y²

＝1 有共同焦點，且其貫軸長為 6，試求雙曲線Γ 的方程式。

答案

07.試

。 答案 解析

08.試 ( ( ( 答案 解析

09.若 答案 解析

10.試 解

案：已知 4 x 且 a²＝ 其共焦 可假設

∴Γ：

試求貫軸長

。

案： 1 2 y＋）

（

析：橢圓 （

∴a²＝ 其共焦 利用 1 試就實數 m (１)【

(２)【

(３)【

案：(１)－

析：⎩⎨⎧ x 4

m y

2－

＝ D＝b²－

⇒ D＝

(１) D (２) D (３) D

若直線 L 的 案：y＝2x±

析：設直線

⎪⎩

⎪⎨

⎧ 5 x 2x y

2

＋

＝

利用判 所求為 試求經過點 解：

4 x²

－21 y²

＝1 4，b²＝21 焦點的雙曲線 設雙曲線Γ

9 x²

－16 y²

＝

長為 2，且與

）2

－ 6 1 x ）＋

（

9 1 x＋）²

（ ＋（ 16，b²＝9 焦點的雙曲線

＋b'²＝7 m 的範圍，

】，相 】，相 】，不 5 ＜m＜

4 y

1 mx

2＝

＋ 聯立

－4ac

＝（－2m）

D＞0，－16 D＝0，m＝±

D＜0，m＜

的斜率為 2

± 23

線 L 的方程式 3 1

y k x

2

＝

＋

聯立 判別式 D＝b 為 y＝2x± 2

點 M（8 2

1 的中心為

∴c²＝4＋

線亦為

： ₂

2

3

x － ₂

2

' b

y

＝1

與橢圓 16（

）2

＝1

16 2 y＋）²

（ ＝1

，c²＝a²－b 線亦為直立

∴b'²＝6，所

討論直線 L 相交於兩點 相切一點。

不相交。

5 且 m≠±

立解之，4x²

2－4（4－

6m²＋80＞0

± 5 ，表 L

－ 5 或 m

，且與 5 x²

式為 y＝2x 立解之，得

b²－4ac＝0 23

，10）且與

（0，0），

＋21＝25 左右型，且

＝1，利用

（x＋1）²＋

1 為直立型 b²＝7 立型 ⇒

所求為 （y L：y＝mx 點。

±2；(２) m

－（mx＋1

m²）（－5 0 ⇒ m²＜5 L 與雙曲線 m＞ 5 ，表

＋ 3 y²

＝1 相

x＋k

5 x²

＋ 3 x 2 ＋

（

⇒（20k）

與雙曲線 1 x

，貫軸在 x

且貫軸長為 用 3²＋b'²＝2

＋9（y＋2）

可假設為

1 2）²

＋ －（x

＋1 與雙曲

m＝± 5 ； 1）²＝4 ⇒

5）＝4m²＋ 5 ⇒ － 5 線相切

表 L 與雙曲線

相切，則直

3 k）²

＋ ＝1 ⇒

2－4×23×

6 x²

－25 y²

＝1 軸上

為 6

25 ⇒ b'²＝

2＝144 有共

1 2 y＋）²

（ －

6 1 x＋）²

＝1

曲線 4x²－y²

(３) m＜－

（4－m²）

＋20（4－m

＜m＜ 5 且 線不相交

直線 L 之方程

⇒ 23x²＋20

（5k²－15）

1 有共同漸 16

共同焦點的

－ ₂

2

' b

1 x ( ＋）

＝

2＝4 的相交

－ 5 或 m x²－2mx－

m²）＝－16m 且 m≠±2，

程式為【

0kx＋5k²－

＝0 ⇒ k²

漸近線的雙曲

的雙曲線方程

1

交情形：

m＞ 5

－5＝0

m²＋80 表相交兩點

】

－15＝0

2＝23 ⇒ k＝

曲線方程式

程式為【

點

。

＝± 23

式。

】

答案

11.某 ( ( ( 答案

案：與 16 x²

－ 已知 M

∴Γ：

某一雙曲線 (１)對稱中 (２)貫軸所 (３)雙曲線 案：(１)已 (２)對 故 (３)雙 4

∴

又 所

－25 y²

＝1 有 M（8 2，1

16 x²

－25 y²

＝

線以 2x＋y＝

中心。

所在直線的方 線方程式。

已知 ⎩⎨⎧ y x 2

y x 2

－

＋

對稱中心（－

故貫軸為 x＋

雙曲線Γ 可設

（x＋1）²－ Γ： ∣∣

－

（ k

2 y

又 OF＝ 5 所求為 4

y－

（

有共同漸近 10）∈Γ⇒

＝4 ⇒ 64 x²

－

＝0，2x－y 方程式。

0 4 y

0 y

＝

＋

＝ 為其

－1，2）與

＋1＝0，此雙 設為（2x＋

－（y－2）

2）²

－ 4 k 1 x

∣

＋

（

，利用 a²＋ 2）²

－ 1 x＋

（

近線的雙曲線

⇒ 16 2 8 ）²

（ －

－100 y²

＝1

y＋4＝0 為漸

其漸近線，

與焦點（－1 雙曲線為直

＋y）（2x－

2＝k 1 ²

∣

）＝1

＋b²＝c²⇒ 1）²

＋ ＝1

線可假設為

－ 25 10²

＝k

漸近線，且

其交點即為 1，2－ 5 ） 直立型

－y＋4）＝k

│k│＋ 4 k∣

∣

為Γ：16 x²

－

∴k＝4

且以（－1，

為對稱中心

）皆在貫軸 k

＝5 ∴│k 25 y²

＝k

2－ 5 ）為

心，聯立解之 軸上

k│＝4

為一焦點。

之得中心（

。試求

（－1，2）