勾股定理證明-G025
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 從 G 點作 AB 的平行線交 CF 於 L 點，從 L 點作 BK 的平行線交 AC 於 M 點。
3. 從 H 點作 AC 的平行線交 BK 於 S 點，從 K 點作 BC 的平行線交 HS 於 R 點。
4. 延長 GA ，交 HR 於 Q 點。
5. 延長 KB ，交 CE 於 N 點。
6. 在 AQ 上取一點 P ，使得 APLC，再從 P 點作 CA 的平行線交 AH 於 O 點。
A B
H
E F
G
D
K L
M
N C
P O
Q R
S
【求證過程】
先分別證明輔助圖中所對應區域間的全等關係，再由正方形 AHKB 所切割的區 塊，能拼合成正方形 CBDE 與正方形 CAGF 的區域，藉此得到面積相等的關係，最後推 出畢氏定理的關係式。
1. 先證明三角形RHK 與三角形 FGL 全等：
因為 GF 平行且等長於 AC ，又 GL // AB ，由平行關係得知， FGL CAB， 90
GFL ACB
，所以 FGL CAB(ASA 全等)，同理 HK 平行且等長於 AB，
由平行關係得知對應角相等，所以 CAB RHK(ASA 全等)，因此 .
FGL CAB RHK
2. 證明三角形 KRS 與三角形 BCN 全等，且證明三角形 AOP 與三角形 LMC 全等：
由 CAB RHK得到 CBRK，又由平行關係得知 NCB SRK且 NBC SKR
，所以
KRS BCN
(ASA 全等).
同理，因為條件 APLC，由平行關係得知 OAP MLC且 APO LCM ， 所以
AOP LMC
(ASA 全等).
3. 證明四邊形 HOPQ 與四邊形 BNED 全等，同理四邊形 AQSB 與四邊形 GAML 全等：
因為 AH AB，且HAQ90 BAQ BAC，又AQH ACB90，所以 AHQ ABC
(AAS 全等)，得到 AQ ACFC，且 , HQBC BD 又因為
, PQAQAPFCLCFLCBED 由平行關係得到對應角相等，因此
, HOPQ BNED
四邊形 四邊形
同理，因為 AB GL ，且 AQ ACGA，由平行關係得到對應角相等，因此 .
AQSB GAML
四邊形 四邊形
4. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
( ) ( )
( ) ( )
AHKB
KRS HOPQ RHK AOP AQSB
BCN BNED FGL LMC
CBDE C
ML A
GA GF
正方形 面積
＝ 面積＋四邊形 面積 ＋ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝ 面積＋四邊形 面積 ＋ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積﹒
得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 38). Amsterdam: A.
Versluys.
2. 心得：此證明圖形分割的元件與 G127 相同，利用了正方形直角的特性，找出互餘 關係得到全等圖形的對應角相等，再搭配對應邊等長的關係得到全等圖形。
最後只利用了平移的拼圖方法，得到了三個正方形面積之間的畢氏定理關 係。此題證明圖形可以讓學生體驗了拼圖操作的證明樂趣。(此圖形分割的元 件與 G026 有四塊相同)。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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