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Part 1 終值與現值
何謂貨幣的時間價值：
相同數量的貨幣在不同的時間點，具有不同的價值；而且相同數量的貨幣，其價 值隨著時間的延後而遞減。
貨幣的時間價值的原因：1. 金融市場的存在。 2. 通貨膨脹。
如何比較處在不同時間點的現金流量：
1. 折現(Discount)：計算未來現金流量於目前的價值，即現值(present value，以 PV 表示)。
2. 本利和：計算目前現金流量於未來的價值，即終值(future value，以 FV 表示)。
計算本利和的公式：FV=PV×FVIF(k% , n)
其中 FVIF(k% , n) =
((((
1 ++++k%))))
n稱為終值利率因子，代表目前的 1 元，在利率 為 k%的情況下，於 n 期後的本利和。折現的公式：PV=FV×PVIF(k% , n)
其中 PVIF(k% , n) =
n
% k 1
1
+ ++
+ 稱為現值利率因子，代表 n 期後的 1 元，在利 率為 k%的情況下，於目前的價值。
假設利率為 10%，則不同期數下的終值利率因子與現值利率因子如下表：
期數 FVIF PVIF 1 1.1 0.909091 2 1.21 0.826446 3 1.331 0.751315 4 1.4641 0.683013 5 1.61051 0.620921
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例：假設利率為 10%，則 1 年後的 10,000 元與 3 年後的 12,000 元何者價值較高?
1. 1 年後的 10,000 元於 3 年後的價值 FV=10,000×FVIF(10% , 2)=10,000×1.21 = 12100(元)，高於 3 年後的 12,000 元，因此 1 年後的 10,000 元價值較高。
2. 3 年後的 12,000 元於 1 年後的價值 PV=12,000×PVIF(10% , 2)=12,000×0.8264 = 9,917(元)，低於 1 年後的 10,000 元，因此 1 年後的 10,000 元價值較高。
例：假設利率為 12%，則目前的 1 元在不同的複利期間下，於 1 年後的本利和分 別為：
複利期間 複利次數 本利和 有效利率%
年 1 1.12 12 半年 2 1.1236 12.36
季 4 1.125509 12.550881 月 12 1.126825 12.682503 天 365 1.127475 12.7474616 隨時 ∞ 1.127497 12.7496852
假設名目利率為 k%，每年複利次數為 m，則有效利率= 1
m
% 1 k
m
−
−
−
−
++++
假設名目利率為 r，在連續複利的情況下，則
目前的 1 元於 t 年後的本利和=ert； t 年後的 1 元於目前的價值=e−−−−rt
例：某月光族月薪 30000 元，每一個月月初入賬，該月光族每隔 10 天提領 10000 元花用，假設利率為 1.8%，每一個月有 30 天，請問半年後共有多少利息?
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Part 2 年金終值與年金現值
何謂年金(Annuity)：定期產生之等額現金流量。
若現金流量於每一期的期末產生，稱為普通年金(Ordinary Annuity)；若現金 流量於每一期的期初產生，則稱為期初年金(Annuity Due)。
年金終值 FVOA=PMT×FVIFA(k% , n)
其中 PMT(Payment)為每一期所產生的現金流量。
FVIFA(k% , n)=
(((( ))))
% k
1
% k 1++++ n −−−−
稱為年金終值利率因子，代表每 1 期產生 1 元的年金，於期末的終值總和。
年金現值 PVOA=PMT×PVIFA(k% , n) 其中 PMT 為每一期所產生的現金流量。
PVIFA(k% , n)=
% k
% k 1 1 1
n
+ ++
− +
−
−
−
稱為年金現值利率因子，代表每 1 期產生 1 元的年金，於期初的現值總和。
例：某保單要求投保人自 30 歲起，於每一個月月底必須繳交保費 3,000 元，至 55 歲退休為止；退休後該投保人可於每一個月月底支領 5,000 元，至 80 歲壽終 正寢為止。假設利率為 3%，請問該保單對投保人是否划算?
解：
保費於 25 年後的終值＝3,000×FVIFA(0.25% , 300)＝3,000×
0025 . 0
1 0025 .
1 300 −−−− ＝3,000×446＝1,338,023
支領額於退休時的現值＝5,000×PVIFA(0.25% , 300)＝5,000×
0025 . 0
0025 . 1 1 1
300
−
−
−
−
＝5,000×210.88＝1,054,400
支領額現值總和低於繳交的保費終值總和，所以該保單對投保人不划算。
永續年金：沒有到期日的年金。永續年金現值＝PMT×
% k
1
期初年金現(終)值＝普通年金現(終)值×(1+k%)
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Part 3 分期付款
何謂分期付款：買方向銀行貸款購買商品，再將原本必須按期付息、到期償 還本金的還款模式等化成年金的型態來支付。
將 n 期之分期付款每一期繳交金額(PMT)，以貸款利率(k%)折現的現值總和 等於貸款額度。以數學式表示如下：
貸款額度＝PMT×PVIFA(k% , n)
分期付款每一期繳交之金額，除了支付利息，還會償還部分本金，至到期日 本金將全部還清；而且隨著時間經過，分期付款每一期支付的利息將逐漸減 少，償還的本金將逐漸增加。
例：20 年期、利率 2.4%、額度 200 萬元的房貸，每一個月應繳金額為何?
解：2,000,000＝PMT×PVIFA(0.2% , 240)＝PMT×
002 . 0
002 . 1 1 1
− 240
−−
−
＝PMT×190.46 PMT＝2,000,000÷190.46＝10,501
每一個月應繳金額為 10,501 元。
例：承上題，若 10 年後想一次還清所有貸款，則應繳金額為何?若利率上升至 3.6%，每一個月應繳金額為何?
期數 分期付款 支付利息 償還本金 剩餘欠款 0 0 0 0 2000000 1 10501 4000 6501 1993499 2 10501 3987 6514 1986985 3 10501 3974 6527 1980458 4 10501 3961 6540 1973918 5 10501 3948 6553 1967365 6 10501 3935 6566 1960798 7 10501 3922 6579 1954219 8 10501 3908 6593 1947626 9 10501 3895 6606 1941021 10 10501 3882 6619 1934402 11 10501 3869 6632 1927770 12 10501 3856 6645 1921124
