Ch 1 圓錐曲線

Ch 1 圓錐曲線

Sec1-1 拋物線

重點整理

1. 定義：到定點(焦點)與到定直線(準線)等距離之點所成之軌跡，稱為拋物線。

2. 解釋名詞：

焦點 ： 即定點 F 準線 ： 定直線 L

對稱軸 ： 過 F 且垂直 L 之直線 頂點 ： 對稱軸與拋物線之交點 焦距 ： 頂點到焦點之距 準點 ： 準線與軸之交點 弦 ：端點在拋物線上的線段 焦弦 ： 過焦點的弦

正焦弦 ：垂直對稱軸的焦弦

焦半徑 ： 連接拋物線上任一點與焦點的線段

1. 拋物線的標準式 ：（對稱軸不平行座標軸）

由定義解之；焦點為F x y( , )0 0 ，準線為L ax by c:   0，拋物線上任一點

( , )

P x y ， 則：拋物線方程式為 ₀ ² ₀ ²

2 2

: ( ) ( ) ax by c

x x y y

a b

 

    

 。

2. 拋物線的標準式 ：（對稱軸平行座標軸）

(1) ^{:y2 4cx} NOTE ：c0 ： 開口朝右； c0 ：開口朝左；

頂點: ^V(0,0) ； 焦點: ^F(c,0) 準線: L:xc 軸: ^l:y0 正焦弦長: ^4c

參數式:

2

2 x ct y ct

 

  ，t R

說明：以F c( ,0)為焦點，L x:  c為準線的拋物線方程式為:y² 4cx。 Pf：

PF d P L( , )

(x c )²(y0)²   |x ( ) |c

x² y²2cx c ² x²2cx c ² y² 4cx

(2) :x² 4cy NOTE ： c0 ： 開口朝上； c0 ： 開口朝下；

頂點： ^V(0,0)； 焦點： ^F(0,c) 準線： ^{L: y c} 軸： l:x0 正焦弦長： ^4c

參數式： x 2ct₂ y ct

 

 

 ，t R

(3) :(yk)² 4c(xh)

頂點： ^V(h,k) 焦點： ^F(hc,k) 準線： L:xhc 軸： ^l:yk 正焦弦長： ^4c

參數式：

2

2 x h ct y k ct

  

  

 ，t R

軸平行 x 軸，可令拋物線為:xay²byc

(4) :(xh)² 4c(yk)

頂點： ^V(h,k) 焦點： ^F(h,kc) 準線： ^L:ykc 軸： l:xh 正焦弦長： ^4c

參數式：

t R ct k y

ct h

x 

 









 2 ,

2

軸平行 y 軸，可令拋物線為:yax² bxc

3. 圓錐曲線與直線的關係：

已知圓錐曲線:ax²bxy cy ²dx ey  f 0，直線L y mx k:   ，將L代 入中，得一^x的二次式Ax²Bx C 0；令判別式為D B ²4AC，則：

(1) D0：L與交於兩點。

(2) D0：L與相切。

(3) D0：L與沒有交點。

NOTE：交於一點未必相切；

4. 圓錐曲線的切線：

若點P x y( , )0 0  ，且:ax²bxy cy ²dx ey  f 0 為圓錐曲線（圓、橢 圓、拋物線、雙曲線）上任一點，則過P之切線為

0 0 0 0

0 0

: 0

2 2 2

x y y x x x y y

L ax x b  cy y d  e    。f

Pf ：

0 0

( , ) P x y 

 ，:ax₀²bx y_{0 0}cy₀²dx₀ey₀ f 0

又

f m x

f y



 





，令 f x y( , )ax²bxy cy ²dx ey  f 0

0 0

0 0

0 0

( , )

2 2

2 _{x y} 2

ax by d ax by d

m bx cy e bx cy e

 

 

    

   

故令切線為 0 ^{0 0} 0

0 0

: ( 2 )( )

2 ax by d

L y y x x

bx cy e

 

   

 

0 0 0 0 0 0

(y y bx )( +2cy e+ )= (2 ax by d x x+ + )(  )

2

0 2 0 0 0 2 0 0

byx  cyy ey bx y  cy ey  (2ax x by x dx₀  ₀  2ax₀²bx y_{0 0}dx₀)

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2ax x b x y y x (  ) 2 cy y dx ey  (2ax 2bx y 2cy dx ey ) 0

又2ax₀²2bx y_{0 0}2cy₀²  2dx₀2ey₀2f

0 0 0 0 0 0 0 0

2ax x b x y y x( ) 2cy y dx ey ( 2dx 2ey 2f dx ey ) 0

            

0 0 0 0 0 0

2ax x b x y y x( ) 2cy y dx ey dx ey 2f 0

         

0 0 0 0

0 0 0

2 2 2

x y y x x x y y

ax x b  cy y d  e  f

     

NOTE ：

(1)  過拋物線內一點作切線：切線數為 0；

 過拋物線上一點作切線：切線數為 1；

 過拋物線外一點對拋物線作切線：切線數為 2；

(2)  過橢圓內一點作切線：切線數為 0；

 過橢圓上一點作切線：切線數為 1；

 過橢圓外一點對橢圓作切線：切線數為 2；

(3)  過雙曲線內一點作切線：切線數為 0；

 過雙曲線上一點作切線：切線數為 1；

 過雙曲線外一點對雙曲線作切線：切線數為 2；

 過雙曲線中心對雙曲線作切線：切線數為 0；

 過雙曲線非中心的漸近線上任一點作切線：切線數為 1；

5. 圓錐曲線的切點弦所在直線（極線）方程式：

點P x y( , )_{0 0} 為圓錐曲線:ax²bxy cy ²dx ey  f 0外一點，對作切 線，切點為A、B，則^_AB直線方程式為

0 0 0 0

0 0 0

2 2 2

x y y x x x y y

ax x b  cy y d  e  f

     

Pf ：

設切點A x y( , )_{1 1} ，B x y( , )_{2 2} ，且過_A、B 之切線分別為

1 1 1 1

1: 1 1 0

2 2 2

x y y x x x y y

L ax x b  cy y d  e  f

      、

2 2 2 2

2: 2 2 0

2 2 2

x y y x x x y y

L ax x b  cy y d  e  f

      ；

又P x y( , )0 0 L1 _{1 0} ^{1 0 1 0} _{1 0} ^{1 0 1 0} 0

2 2 2

x y y x x x y y

ax x b  cy y d  e  f

      

0 0 2

( , )

P x y L _{2 0} ^{2 0 2 0} _{2 0} ^{2 0 2 0} 0

2 2 2

x y y x x x y y

ax x b  cy y d  e  f

      

故 : ₀ ^{0 0} ₀ ^{0 0} 0

2 2 2

x y y x x x y y

AB ax x b  cy y d  e  f

     



6. 二次曲線系：

若兩二次曲線₁與₂至少交於一點，則過₁與₂交點之二次曲線可令為

1 2

: k 0

     。 7. 拋物線的光學性質：

過拋物線上任一點的切線，與過切點的焦半徑所夾的銳角，等於此切線與 過切點而平行於拋物線之軸的直線所夾的銳角。

Pf ：

設點P ct( ², 2 )ct :y² 4cx，則過_P之切線為 : 2 4 ² 2 ct x L cty c 

  ，令y0

得B ct( ²,0)。

又_{PF  (ct}²_c)² _{(2 )ct} ² _{ (ct}²_c)² _|ct²_c|

2 2 2

( ) | |

BF  ct c  ct c

1 3 1 2

PF BF    

     

8. 圓錐的截痕：

(1) 圓：

(2) 拋物線：

(3) 橢圓：

(4) 雙曲線：

(5) 一直線：

(6) 兩相交直線：

(7) 一點：