第第第第4章章章章 數據分析數據分析數據分析數據分析

第 第

第 第 4 章 章 章 章 數據分析 數據分析 數據分析 數據分析

4-1 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析

重點一重點一

重點一重點一 平均數平均數平均數平均數、、中位數、、中位數中位數中位數、、、、眾數眾數眾數眾數 例題

例題 例題 例題 1

某次考試，10 位學生數學成績如下：79，85，50，56，78，63，65，73，46，49，則算術平 均數為 分

解 解 解

解 算術平均數 µ＝（79＋85＋50＋56＋78＋63＋65＋73＋46＋49）÷10

＝644

10 ＝64.4（分）

例題例題 例題例題 2

某公司 55 位職員的月薪及人數分配表如下，則平均月薪為 元 月薪（元） 30000 32000 35000 40000 50500

人 數 5 10 20 18 2 解解

解解 平均月薪為

（30000×5＋32000×10＋35000×20＋40000×18＋50500×2）÷55

＝1991000÷55＝36200（元）

例題 例題 例題 例題 3

試求 6，27，60，10.8 的幾何平均數為 解解

解解 所求的幾何平均數為

4 6 27 60 10.8× × ×

＝⁴ 6 27 6 108× × ×

＝⁴（2 3× × × × ×） 3³ （2 3）（2²×3³）

＝⁴ 2⁴×3⁸

＝2×3²＝18

例題 例題 例題 例題 4

某次考試甲、乙兩組的數學分數如下：

甲組：49，40，46，45，31，50，75，53，70，55，58，60，57 乙組：64，50，81，73，85，59，64，77，70，79

則：(1)甲組之中位數為 分 (2)乙組之中位數為 分 解解

解解 (1) 將數據由小到大排列得 31，40，45，46，49，50，53，55，57，58，60，70，75，

共 13 個分數

∴中位數為第 7 位同學的分數即 53 分

(2) 將數據由小到大排列得 50，59，64，64，70，73，77，79，81，85，共 10 個分數

∴中位數為第 5 位、第 6 位同學的平均分數 即70 73

2

＋ ＝71.5（分）

下表為某班 37 個學生家庭人口數的次數分配表，則：

(1) 中位數為 人 (2) 眾數為 人

家庭人數 3 4 5 6 7 次 數 4 5 10 12 6 解解

解解 (1) 中位數為 5 人 (2) 眾數為 6 人

重點二 重點二 重點二

重點二 變異數與標準差變異數與標準差變異數與標準差變異數與標準差 例題

例題 例題 例題 6

十位學生的數學測驗分數分別為 62，82，61，85，67，79，80，73，86，95，則此資料的 (1) 算術平均數為 分

(2) 若標準差為 A分，則 A＝

解 解 解

解 (1) 算術平均數 µ＝62 82 61 85 67 79 80 73 86 95 10

＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋

＝77（分）

(2) 標準差 σ＝

＝ ¹ (62 77)² (82 77)² (61 77)² (85 77)² (67 77)² 79 77)² 80 77)² 73 77)² 86 77)² 95 77)²

10×〔 − + − + − + − + − +( − +( − +( − +( − +( − 〕

＝ ¹ (225+25+256+64+100+4+9+16+81+324) 10×

＝ ¹ 1104

10× ＝ 110.4

∴A＝110.4

例題 例題 例題 例題 7

有一分組資料如下表，則：

(1) 算術平均數為

(3) 若標準差為 A，則 A＝

數 值 6 12 18 24 30 次 數 1 3 4 3 1 解

解 解

解 (1) 算術平均數 µ＝ 1

12（6×1＋12×3＋18×4＋24×3＋30×1）

＝ 1

12×216＝18

(2) 標準差 σ＝ 1 ^{2 2 2 2 2}

1 (6 18) 3 (12 18) 4 (18 18) 3 (24 18) 1 (30 18) 12× × −〔 + × − + × − + × − + × − 〕

＝ 1

(144 108 0 108 144)

12× + + + +

＝ 1

12×504＝ 42

∴A＝42

例題 例題 例題 例題 8

某班學生 50 人，分成甲、乙兩組，其成績如下表，則：

(1) 全班之算術平均數為 分

(2) 若全班之標準差為 A分，則 A＝

組別 人數 平均成績 標準差 甲 20 75 8 乙 30 80 6 解

解 解

解 (1) µ^全＝20 75 30 80 20 30

× ＋ ×

＋ ＝78（分）

(2) 8＝σ^甲＝ 1 ^{2 2}

20

∑

∑

∑

30 1

x乙

∑

σ^全＝ 1 ²

113780 193080 78

50（ ＋ ）－ ＝ 53.2（分）

A＝53.2

例題 例題 例題 例題 9

根據統計資料，1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋 友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱，已知當攝氏溫度為 x 度時，華氏溫度為 y＝9

5x＋32 度；

若用華氏溫度表示，則 1 月分臺北地區的 (1) 平均氣溫是華氏 度

(2) 標準差是華氏 度 解解

解解 (1) µ_y＝9

5µ_x＋32＝9

5×16＋32＝60.8（度）

(2) σy＝9 5σx＝9

5×3.5＝6.3（度）

例題 例題 例題 例題 10

有 n 個數值 x1，x2，……，xn的算術平均數為 40，中位數為 45，眾數為 43，標準差為 3，求

－4x₁＋3，－4x₂＋3，……，－4x_n＋3 的 (1) 算術平均數為

(2) 中位數為 (3) 眾數為 (4) 標準差為 解解

解解 (1) （－4）×40＋3＝－157 (2) （－4）×45＋3＝－177 (3) （－4）×43＋3＝－169 (4) ｜（－4）｜×3＝12

重點四重點四

重點四重點四 數據的標準化數據的標準化數據的標準化數據的標準化 例題

例題 例題 例題 11

已知五位同學的身高與體重如下表所示：

身高 x（公分） 163 165 167 171 174 體重 y（公斤） 48 54 62 66 70 試求這兩組的標準化數據

解解

解解 (1) 算術平均數 µ_x＝1

5（163＋165＋167＋171＋174）＝168

標準差 σ_x＝ 1 ^{2 2 2 2 2}

163 168 165 168 167 168 171 168 174 168

5〔（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）〕

＝ 1

25 9 1 9 36

5（ ＋ ＋＋ ＋ ）＝ 16＝4

將各身高的數據減去算術平均數得－5，－3，－1，3，6，再除以標準差 4 故得出身高的標準化數據為－1.25，－0.75，－0.25，0.75，1.5

(2) 算術平均數 µy＝1

5（48＋54＋62＋66＋70）＝60

標準差 σy＝ 1 ^{2 2 2 2 2}

48 60 54 60 62 60 66 60 70 60 5〔（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）〕

＝ 1

144 36 4 36 100

5（ ＋ ＋ ＋ ＋ ）＝ 64＝8

將各體重的數據減去算術平均數得－12，－6，2，6，10，再除以標準差 8 故得出體重的標準化數據為－1.5，－0.75，0.25，0.75，1.25

例題 例題 例題 例題 12

輊翔班上期中考試的算術平均數為 80 分，標準差為 5 分，期末考試的算術平均數為 72 分，

標準差為 4 分，又輊翔期中考試成績為 84 分，期末考試成績為 77 分，試問輊翔哪一次考試 的班級排名較佳？

解 解 解

解 期中考的算術平均數 µ^中＝80，標準差 σ^中＝5 期末考的算術平均數 µ末＝72，標準差 σ末＝4 將成績經標準化後

期中考84 80 5

－ ＝0.8，表成績比平均多 0.8 個標準差

期末考77 72 4

－ ＝1.25，表成績比平均多 1.25 個標準差

∴期末考的班級排名較佳