第第第第4章章章章 數據分析數據分析數據分析數據分析

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(1)

第 第

第 4 章 章 章 章 數據分析 數據分析 數據分析 數據分析

4-1 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析

重點一重點一

重點一重點一 平均數平均數平均數平均數、、中位數、、中位數中位數中位數、、、、眾數眾數眾數眾數 例題

例題 例題 例題 1

某次考試,10 位學生數學成績如下:79,85,50,56,78,63,65,73,46,49,則算術平 均數為 分

解 解 解

解 算術平均數 µ=(79+85+50+56+78+63+65+73+46+49)÷10

=644

10 =64.4(分)

例題例題 例題例題 2

某公司 55 位職員的月薪及人數分配表如下,則平均月薪為 元 月薪(元) 30000 32000 35000 40000 50500

人 數 5 10 20 18 2 解解

解解 平均月薪為

(30000×5+32000×10+35000×20+40000×18+50500×2)÷55

=1991000÷55=36200(元)

(2)

例題 例題 例題 例題 3

試求 6,27,60,10.8 的幾何平均數為 解解

解解 所求的幾何平均數為

4 6 27 60 10.8× × ×

4 6 27 6 108× × ×

4(2 3× × × × ×) 33 (2 3)(22×33

4 24×38

=2×32=18

例題 例題 例題 例題 4

某次考試甲、乙兩組的數學分數如下:

甲組:49,40,46,45,31,50,75,53,70,55,58,60,57 乙組:64,50,81,73,85,59,64,77,70,79

則:(1)甲組之中位數為 分 (2)乙組之中位數為 分 解解

解解 (1) 將數據由小到大排列得 31,40,45,46,49,50,53,55,57,58,60,70,75,

共 13 個分數

∴中位數為第 7 位同學的分數即 53 分

(2) 將數據由小到大排列得 50,59,64,64,70,73,77,79,81,85,共 10 個分數

∴中位數為第 5 位、第 6 位同學的平均分數 即70 73

2

+ =71.5(分)

(3)

下表為某班 37 個學生家庭人口數的次數分配表,則:

(1) 中位數為 人 (2) 眾數為 人

家庭人數 3 4 5 6 7 次 數 4 5 10 12 6 解解

解解 (1) 中位數為 5 人 (2) 眾數為 6 人

重點二 重點二 重點二

重點二 變異數與標準差變異數與標準差變異數與標準差變異數與標準差 例題

例題 例題 例題 6

十位學生的數學測驗分數分別為 62,82,61,85,67,79,80,73,86,95,則此資料的 (1) 算術平均數為 分

(2) 若標準差為 A分,則 A=

解 解 解

解 (1) 算術平均數 µ=62 82 61 85 67 79 80 73 86 95 10

+ + + + + + + + +

=77(分)

(2) 標準差 σ=

1 (62 77)2 (82 77)2 (61 77)2 (85 77)2 (67 77)2 79 77)2 80 77)2 73 77)2 86 77)2 95 77)2

10× + + + + +( +( +( +( +(

1 (225+25+256+64+100+4+9+16+81+324) 10×

1 1104

10×110.4

∴A=110.4

(4)

例題 例題 例題 例題 7

有一分組資料如下表,則:

(1) 算術平均數為

(3) 若標準差為 A,則 A=

數 值 6 12 18 24 30 次 數 1 3 4 3 1 解

解 解

解 (1) 算術平均數 µ= 1

12(6×1+12×3+18×4+24×3+30×1)

= 1

12×216=18

(2) 標準差 σ= 1 2 2 2 2 2

1 (6 18) 3 (12 18) 4 (18 18) 3 (24 18) 1 (30 18) 12× × −〔 + × − + × − + × − + × − 〕

= 1

(144 108 0 108 144)

12× + + + +

= 1

12×504= 42

∴A=42

例題 例題 例題 例題 8

某班學生 50 人,分成甲、乙兩組,其成績如下表,則:

(1) 全班之算術平均數為 分

(2) 若全班之標準差為 A分,則 A=

組別 人數 平均成績 標準差 甲 20 75 8 乙 30 80 6 解

解 解

解 (1) µ=20 75 30 80 20 30

× + ×

+ =78(分)

(2) 8=σ= 1 2 2

20

x-75 

x2=113780 6=σ

2802

30 1

x 

x2=193080

σ= 1 2

113780 193080 78

50( + )- = 53.2(分)

 A=53.2

(5)

例題 例題 例題 例題 9

根據統計資料,1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度,標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋 友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱,已知當攝氏溫度為 x 度時,華氏溫度為 y=9

5x+32 度;

若用華氏溫度表示,則 1 月分臺北地區的 (1) 平均氣溫是華氏 度

(2) 標準差是華氏 度 解解

解 (1) µy=9

5µx+32=9

5×16+32=60.8(度)

(2) σy=9 5σx=9

5×3.5=6.3(度)

例題 例題 例題 例題 10

有 n 個數值 x1,x2,……,xn的算術平均數為 40,中位數為 45,眾數為 43,標準差為 3,求

-4x1+3,-4x2+3,……,-4xn+3 的 (1) 算術平均數為

(2) 中位數為 (3) 眾數為 (4) 標準差為 解解

解解 (1) (-4)×40+3=-157 (2) (-4)×45+3=-177 (3) (-4)×43+3=-169 (4) |(-4)|×3=12

(6)

重點四重點四

重點四重點四 數據的標準化數據的標準化數據的標準化數據的標準化 例題

例題 例題 例題 11

已知五位同學的身高與體重如下表所示:

身高 x(公分) 163 165 167 171 174 體重 y(公斤) 48 54 62 66 70 試求這兩組的標準化數據

解解

解 (1) 算術平均數 µx=1

5(163+165+167+171+174)=168

標準差 σx= 1 2 2 2 2 2

163 168 165 168 167 168 171 168 174 168

5〔( - )+( - )+( - )+( - )+( - )〕

= 1

25 9 1 9 36

5( + ++ + )= 16=4

將各身高的數據減去算術平均數得-5,-3,-1,3,6,再除以標準差 4 故得出身高的標準化數據為-1.25,-0.75,-0.25,0.75,1.5

(2) 算術平均數 µy=1

5(48+54+62+66+70)=60

標準差 σy= 1 2 2 2 2 2

48 60 54 60 62 60 66 60 70 60 5〔( - )+( - )+( - )+( - )+( - )〕

= 1

144 36 4 36 100

5( + + + + )= 64=8

將各體重的數據減去算術平均數得-12,-6,2,6,10,再除以標準差 8 故得出體重的標準化數據為-1.5,-0.75,0.25,0.75,1.25

例題 例題 例題 例題 12

輊翔班上期中考試的算術平均數為 80 分,標準差為 5 分,期末考試的算術平均數為 72 分,

標準差為 4 分,又輊翔期中考試成績為 84 分,期末考試成績為 77 分,試問輊翔哪一次考試 的班級排名較佳?

解 解 解

解 期中考的算術平均數 µ=80,標準差 σ=5 期末考的算術平均數 µ=72,標準差 σ=4 將成績經標準化後

期中考84 80 5

- =0.8,表成績比平均多 0.8 個標準差

期末考77 72 4

- =1.25,表成績比平均多 1.25 個標準差

∴期末考的班級排名較佳

數據

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參考文獻

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